電路分析第11章耦合電路和理想變壓器

第十一章耦合電感和理想變壓器§11-1基本概念§11-4耦合電感的去耦等效電路

§11-5理想變壓器的VCR§11-6理想變壓器的阻抗變換性質(zhì)§11-2耦合電感的VCR耦合系數(shù)§11-3空心變壓器電路的分析反映阻抗1第11章耦合電路和理想變壓器學(xué)習(xí)目的：學(xué)會(huì)對(duì)含有互感電路的分析和計(jì)算。學(xué)習(xí)重點(diǎn)：空心變壓器電路、理想變壓器電路的計(jì)算。學(xué)習(xí)難點(diǎn)：互感電壓極性的判別。關(guān)鍵詞：互感、變壓器。2i+–u

在圖示u、i、e假定參考方向的前提下，當(dāng)通過線圈的磁通或i發(fā)生變化時(shí)，線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為d

dt

eL=Ndi

dt=LNL+–ui–eL+

L稱為自電感或自感。線圈的匝數(shù)N越多，其電感越大；線圈中單位電流產(chǎn)生的磁通越大，電感也越大。一.電感元件自電感L=iN

=N=L

i磁鏈§11-1基本概念u=–eL

=di

dtL1.自電感3

i1

流過第一個(gè)線圈產(chǎn)生自感磁通Φ11,

其磁鏈Ψ11=L1i1

且在第二個(gè)線圈產(chǎn)生互感磁通Φ21,其磁鏈Ψ21=M21i12.互電感自感電壓互感電壓u2Φ21+-+u1-i1i2Φ114i2

流過第二個(gè)線圈產(chǎn)生自感磁通Φ22,其磁鏈Ψ22=L2i2且在第一個(gè)線圈產(chǎn)生互感磁通Φ12,其磁鏈Ψ12=M12i2M12=M21=M2.互電感自感電壓互感電壓M稱為互電感，單位亨利（H)u2Φ12+-+u1-i1i2Φ22Φ2252.互電感自感電壓互感電壓u2Φ12+-+u1-i1i2Φ22Φ22u2Φ21+-+u1-i1i2Φ116

對(duì)于繞向已知的兩個(gè)電感線圈，可以根據(jù)右手螺旋法則判別。如果電流中所產(chǎn)生的磁通方向一致，這兩端便是同名端。二.耦合電感的同名端

同名端：一對(duì)耦合電感線圈，在磁通作用下，在任何瞬時(shí)互感電動(dòng)勢(shì)的極性都相同的兩個(gè)對(duì)應(yīng)端。用“●”標(biāo)出。L1L2Mu2Φ21+-+u1-i1i2Φ11Φ22Φ12L1L2M7三.根據(jù)同名端確定互感電壓的正負(fù)如果電流的參考方向由線圈的同名端指向另一端，那么由這個(gè)電流在另一個(gè)線圈中產(chǎn)生的互感電壓的

參考方向也應(yīng)該由線圈的同名端指向另一端；L1L2M+u2–i1設(shè)i2=0+

i2L1L2M+u2i1–

+或電流的參考方向由線圈的非同名端指向另一端，那么由這個(gè)電流在另一個(gè)線圈中產(chǎn)生的互感電壓的

參考方向也應(yīng)該由線圈的非同名端指向另一端。8三.根據(jù)同名端確定互感電壓的正負(fù)L1L2M+u2i1–L1L2M+u2i1–L1L2M+u2i1–設(shè)i2=0+

+

+L1L2M+u2–i1+

i29四.互感電壓用附加的電壓源代替

(去耦）L1L2M+u2i1–11′2′2+–u1i2=0L1L2+u2i1–11′2′2+–u1i2=0+–L1L2M+u2i1–11′2′2+–u1i2=0L1L2+u2i1–11′2′2+–u1i2=0+–+

+10四.互感電壓用附加的電壓源代替

對(duì)于正弦穩(wěn)態(tài)電路，則可用相量模型，并依據(jù)相量的微分性質(zhì)L1L2M+u2i1–11′2′2+–u1i2=0L1L2+u2i1–11′2′2+–u1i2=0+–j

L1j

L2j

M+–11′2′2+–+–j

L1j

L2+–11′2′2+–+

11L1L2M+u2i1–11′2′2+–u1i2L1L2+u2i1–11′2′2+–u1i2+–+–一.耦合電感的VCR§11-2耦合電感的VCR耦合系數(shù)+

+

12L1L2M+u2i1–11′2′2+–u1i2L1L2+u2i1–11′2′2+–u1i2+–+–j

L1j

L2j

M+–11′2′2+–+–j

L1j

L2+–11′2′2+–+–一.耦合電感的VCR相量模型+

+

+

+

13L1L2+u2i1–11′2′2+–u1i2+–+–+–j

L1j

L2+–11′2′2+–+–一.耦合電感的VCRL1L2M+u2i1–11′2′2+–u1i2相量模型14例：求圖示電路中的開路電壓Uab。?解：Uab?=j5+?I2j2I1??I2=0Uab?=j2I1?=j2×10/0°—=20/90°V——=j20Vj3

+–baj2

j5

j3

+–baj5

++––15i1在線圈L1產(chǎn)生自感磁鏈Ψ11=N1

11=L1i1在線圈L2產(chǎn)生互感磁鏈Ψ21=N2

21=Mi1i2

在線圈L1產(chǎn)生自感磁鏈Ψ22=N2

22=L2i2在線圈L1產(chǎn)生互感磁鏈Ψ12=N1

12=Mi2在極限情況下，

21=

11，

12=

22，即每一線圈產(chǎn)生的磁通全部與另一線圈交鏈，這種耦合稱為全耦合。L1L2M+u2i1–11′2′2+–u1i2二、

耦合系數(shù)全耦合時(shí)M最大16定義：M值與Mmax值之比k

稱為耦合系數(shù)。用來衡量兩線圈耦合程度。0≤k≤1:k=1全耦合k＞0.5緊耦合k＜0.5松耦合k=0無耦合L1L2M+u2i1–11′2′2+–u1i2二、

耦合系數(shù)17例：求輸入阻抗，已知k=0.52HMi1+–u1i21H1

+–j

j2

+–+–1

解:列回路方程18三.耦合電感線圈的串聯(lián)

等效電感L=L1+L2+2M正弦穩(wěn)態(tài)時(shí)，1.

順接串聯(lián)：異名端相接L1L2Mi+–uabL1L2iab+–u+–+–順接等效阻抗Z=jω(L1+L2+2M)19等效電感L=L1+L2

2M2.

反接串聯(lián)：同名端相接

正弦穩(wěn)態(tài)時(shí)，反接等效阻抗Z=jω(L1+L2–2M)三.耦合電感線圈的串聯(lián)

L1L2iab+–u+–+–L1L2Mi+–uab20例：列寫圖示電路的網(wǎng)孔電流方程。L1+–Mi1uSL2Ri2RL1+–i1uSL2Ri2R+–+–21§11-3空心變壓器電路的分析反映阻抗一.空心變壓器電路模型

相量模型L1L2MRLR1R2+Us-初級(jí)回路次級(jí)回路i1i2+–j

L1j

L2+–+–RLR1R2220222121=+IZIZ&&212111=+UIZIZs&&&0)(2221=+++ILjRRIMjL&&ww)(2111=++UIMjILjRs&&&ww211222112222211211221210ZZZZUZZZZZZZUIss-==&&&211222112122211211211120ZZZZUZZZZZZUZIss--==&&&1.回路法Z11=R1+jwL1Z22=R2+RL+jwL2Z12=Z21=jwM依據(jù)克萊姆法則j

L1+–+–RLR1+–j

L2R2二.空心變壓器電路的分析方法

23例：圖示電路中R1=R2＝10,L1=1010

，

L2=1000

，

M=10,1/C=1000

，US=100o求電流I1和電流I2。..解：回路法.j

L1j

L2j

M+–R1R2+–j

L1j

L2

+–+–R1R224初級(jí)看進(jìn)去的等效阻抗2222112221121122211222111ZMZZZZZZZZZZIUZsiw+=-=-==&&2222ZMw稱為次級(jí)回路在初級(jí)回路的反映阻抗21122211221ZZZZUZIs-=&&Z11=R1+jwL1Z22=R2+RL+jwL2Z12=Z21=jwM+–j

L1j

L2+–+–RLR1R2

2.用反映阻抗計(jì)算2222ZMw初級(jí)回路+–Z1125

2.用反映阻抗計(jì)算2212ZIMjI&&w-=2222111ZMZUIs&&w+=Z11=R1+jwL1Z22=R2+RL+jwL2Z12=Z21=jwM0)(2221=+++ILjRRIMjL&&ww次級(jí)電流和初級(jí)電流的關(guān)系+–j

L1j

L2+–+–RLR1R22222ZMw初級(jí)回路+–Z11次級(jí)回路263.用戴維南定理分析

LjRZ+=2222wCIMjU=10Ow&&sLjRUI+=1110w&&I=20&將RL斷開，將US置零，在開路處外加電壓源，可等效看作初級(jí)與次級(jí)顛倒。+–j

L1j

L2

+–+–R1R2

+–+–j

L1j

L2+–R1R2

+–1122ZMw為初級(jí)回路在次級(jí)回路的反映阻抗Z11=R1+jwL1?+–Z0RL等效阻抗戴維南等效電路273.用戴維南定理分析

LRZMLjRIMjI+++–=112222102www&&CIMjU=10Ow&&sLjRUI+=1110w&&+–Z0RLLjRZ+=2222wZ11=R1+jwL1+–j

L1j

L2+–+–RLR1R228Z11=R1+jwL1

+–j

L1j

L2

+–

+–RLR1R2阻抗折算小結(jié)：1、折算到初級(jí)回路Z22=R2+RL+jwL22、折算到次級(jí)回路初級(jí)回路+–Z112222ZMwZ22=R2+jwL2Z11=R1+jwL1+–Z0RL29例：圖示電路中R1=20

R2＝0.08,RL=42

,L1=1130

，

L2=18.84

，

M=146,US=1150o求電流I1和電流I2..解：用反映阻抗概念求.j

L1j

L2j

M+–R1R2RL反映阻抗:30例：圖示電路中R1=20

R2＝0.08,RL=42

,L1=1130

，

L2=18.84

，

M=146,US=1150o求電流I1和電流I2..解：用反映阻抗概念求.j

L1j

L2j

M+–R1R2RL2222ZMw初級(jí)回路+–Z112212ZIMjI&&w=+–j

L2R2RL0)(2221=+++ILjRRIMjL&&ww-31§11-4

耦合電感的去耦等效電路L2=Lc+LbL1=La+LbM=LbLa=L1

–MLb=MLc=L2

–ML1L2M+u2i1–11′2′2+–u1i2LaLc+u2–i1i2+u1–Lb比較得：32L2=Lc+LbL1=La+LbLb=–MLa=L1+MLc=L2+MLb=–ML1L2M+u2i1–11′2′2+–u1i2LaLc+u2–i1i2+u1–Lb§11-4

耦合電感的去耦等效電路比較得：33

理想變壓器是一種雙口元件，它也是一種耦合元件，它原是由實(shí)際鐵心變壓器抽象而來的。1.電路模型2.理想變壓器的VCR

u2=nu

1

i2=–(1/n)i1理想變壓器與耦合電感元件的符號(hào)類似，但它唯一的參數(shù)只是一個(gè)稱為變比或匝比的常數(shù)n，而沒有L1，L2和M等參數(shù)。在圖中所示同名端和電壓、電流的參考方向下§11-5理想變壓器的VCR1:n+u2i1–11′2′2+–u1i2理想變壓器可以實(shí)現(xiàn)電壓變換，電流變換，是電壓、電流的線性變換器。342.理想變壓器的VCR

u2=nu

1

i2=–(1/n)i1

u2=nu

1

i1=n

i2（1）兩電壓高電位端與同名端一致時(shí),電壓比取正，反之取負(fù)。（2）兩電流都從同名端流進(jìn),電流比取負(fù)，反之取正。

u2=–nu

1

i1=–ni21:n+u2i1–11′2′2+–u1i21:n+u2i1–11′2′2+–u1i21:n+u2i1–11′2′2+–u1i2352.理想變壓器的VCR

u2=nu

1

i2=–(1/n)i1

u2=–nu

1

i2=–(1/n)i1（1）兩電壓高電位端與同名端一致時(shí),電壓比取正，反之取負(fù)。（2）兩電流都從同名端流進(jìn),電流比取負(fù)，反之取正。

u2=nu

1

i1=ni21:n+u2i1–11′2+–u1i22′1:n+u2i1–11′2′2+–u1i21:n+u2i1–11′2+–u1i22′2′362.理想變壓器的VCR

u2=nu

1

i2=–(1/n)i1在正弦穩(wěn)態(tài)，上面兩個(gè)VCR式均可表示為相應(yīng)的相量形式。即n=——N2N13.功率

理想變壓器既不消耗能量也不儲(chǔ)存能量。若變壓器的初級(jí)匝數(shù)為N1，次級(jí)匝數(shù)為N2，則匝比（變比）為:1:n+u2i1–11′2′2+–u1i237n>1電阻折合到初級(jí)變小Ri<RLn<1電阻折合到初級(jí)變大Ri>RL§11-6理想變壓器的阻抗變換性質(zhì)

u2=nu

1

i2=–(1/n)i1理想變壓器不僅可以實(shí)現(xiàn)電壓變換，電流變換，而且能夠?qū)崿F(xiàn)阻抗變換。1:n+u2i1–+–u1i2RL+–u1i1Ri38理想變壓器有變換阻抗的性質(zhì)，可以實(shí)現(xiàn)最大功率匹配。在正弦穩(wěn)態(tài)，可由對(duì)應(yīng)的相量模型進(jìn)行分析1:n+–+–ZL+–Zi39

例：電路如圖所示，交流信號(hào)源E=120V，內(nèi)阻R0=800，負(fù)載

RL=8，（1）當(dāng)RL折算到初級(jí)回路的等效電阻Ri=R0時(shí)，求變壓器的匝數(shù)比和信號(hào)源輸出的功率；（2）當(dāng)將負(fù)載直接與信號(hào)源聯(lián)接時(shí)，信號(hào)源輸出多大功率？[解]（1）?I21:nRL?U2?U1?I1R0RiE?+–+–+–Ri

=—RL=R0n21108800L==

=RR01n—n=0.1??40

例：電路如圖所示，交流信號(hào)源E=120V，內(nèi)阻R0=800，負(fù)載

RL=8，（1）當(dāng)RL折算到初級(jí)回路的等效電阻Ri=R0時(shí)，求變壓器的匝數(shù)比和信號(hào)源輸出的功率；（2）當(dāng)將負(fù)載直接與信號(hào)源聯(lián)接時(shí)，信號(hào)源輸出多大功率？[解]（1）?U1?I1R0E?+–+–（2）可利用變壓器進(jìn)行阻抗匹配Ri41例：電路如圖所示，試求電壓U2。?1:10+–1

50

+–+–解：方法1：網(wǎng)孔法網(wǎng)孔方程由理想變壓器的VCR解：方法2：阻抗折算到初級(jí)回路+–+–1

42例:求負(fù)載獲得最大功率時(shí)的匝比n，并求最大功率PLmax

1.534.2WD=o9.365124430D=+×=jjjZo3解：用戴維南定理對(duì)初級(jí)進(jìn)行化簡1.53600o1004D=D×+=Vj3jUoco&31:n+9.6ΩZ0+––+–1:n+9.6Ωj3Ω4Ω+–V0100Do–+–43例:求負(fù)載獲得最大功率時(shí)的匝比n，并求最大功率PLmax

將變壓器的次級(jí)折算到初級(jí)n=2由得解：Z0+–1:n+9.6ΩZ0+––+–0Z1.534.2WD=o模匹配1:n+9.6Ωj3Ω4Ω+–V0100Do–+–44W46.4966.9993.62max=×=LP54.26993.62112D==AIIo&&54.26986.134.2)1.53(4.21.53601D=+DD=AIooo&W46.4964.2986.132max==LP×n=20Z1.534.2WD=o或+–Z0例:求負(fù)載獲得最大功率時(shí)的匝比n，并求最大功率PLmax

解：1:n+9.6ΩZ0+––+–451:n11:n2R1R2練習(xí)：求電路的輸入阻抗461:2+–1

j

j2

練習(xí)1：求電壓練習(xí)2：求ab以左的戴維南等效電路1:23

+–4

+–+–

j2

+–ab47練習(xí)題：求圖示電路中電壓u(t)，已知1:23

u+–4

8H4

2H5Hj2

3

+–4

j8

–+–+48練習(xí)題：求圖示電路中電壓u(t)，已知j2

3

+–4

j8

–+–+解：49同名端的判別：實(shí)驗(yàn)方法有交流法和直流法②u＋－①③④ⅡⅠ如果U13=U12–U34交流法則①與③是同名端或②與④是同名端