電路分析第五章教材

第5章互感電路及理想變壓器5.1互感及互感電壓在交流電路中，如果在一個(gè)線圈的附近還有另一個(gè)線圈，則當(dāng)其中一個(gè)線圈中的電流變化時(shí)，不僅在本線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電壓，而且在另一個(gè)線圈中也要產(chǎn)生感應(yīng)電壓，這種現(xiàn)象稱為互感現(xiàn)象，由此而產(chǎn)生的感應(yīng)電壓稱為互感電壓。這樣的兩個(gè)線圈稱為互感線圈?；ジ写沛湥河梢粋€(gè)線圈中電流所產(chǎn)生的與另一個(gè)線圈相交鏈的磁鏈，如Ψ21。而Φ21則稱為互感磁通。兩線圈的磁通相互交鏈的關(guān)系稱為磁耦合。互感系數(shù)為M12=M21=M互感的大小反映一個(gè)線圈的電流在另一個(gè)線圈中產(chǎn)生磁鏈的能力?；ジ械膯挝慌c自感相同，也是亨利(H)。一般情況下，兩個(gè)耦合線圈的電流所產(chǎn)生的磁通，只有部分磁通相互交鏈，彼此不交鏈的那部分磁通稱為漏磁通。兩耦合線圈相互交鏈的磁通越大，說(shuō)明兩個(gè)線圈耦合得越緊密。為了表征兩個(gè)線圈耦合的緊密程度，通常用耦合系數(shù)k來(lái)表示，并定義式中，L1、L2分別是線圈1和2的自感。由于漏磁通的存在，耦合系數(shù)k總是小于1的。k值的大小取決于兩個(gè)線圈的相對(duì)位置及磁介質(zhì)的性質(zhì)。K≈1全耦合K≈0無(wú)耦合如果選擇互感電壓的參考方向與互感磁通的參考方向符合右手螺旋法則，則根據(jù)電磁感應(yīng)定律，有由此可見(jiàn)，互感電壓與產(chǎn)生它的相鄰線圈電流變化率成正比。則同理當(dāng)線圈中的電流為正弦交流時(shí)，如互感電壓可用相量表示為式中，XM=ωM稱為互感抗，單位為歐姆(Ω)。為了表示線圈的相對(duì)繞向以確定互感電壓的極性，常采用標(biāo)記同名端的方法。5.2互感線圈的同名端5.2.1同名端的標(biāo)記原則及測(cè)定互感線圈的同名端是這樣規(guī)定的：如果兩個(gè)互感線圈的電流i1和i2所產(chǎn)生的磁通是相互增強(qiáng)的，那么，兩電流同時(shí)流入(或流出)的端鈕就是同名端；如果磁通相互削弱，則兩電流同時(shí)流入(或流出)的端鈕就是異名端。同名端用標(biāo)記“·”、“*”或“△”標(biāo)出，另一端則無(wú)須再標(biāo)。同名端總是成對(duì)出現(xiàn)的，如果有兩個(gè)以上的線圈彼此間都存在磁耦合時(shí)，同名端應(yīng)一對(duì)一對(duì)地加以標(biāo)記，每一對(duì)須用不同的符號(hào)標(biāo)出。測(cè)定同名端電路5.2.2同名端的應(yīng)用同名端確定后，互感電壓的極性就可以由電流對(duì)同名端的方向來(lái)確定，即互感電壓的極性與產(chǎn)生它的變化電流的參考方向?qū)ν耸且恢碌?。在互感電路中，線圈端電壓是自感電壓與互感電壓的代數(shù)和，即若電流為正弦交流，可用相量表示為自感電壓、的正、負(fù)號(hào)取決于本端口電壓與電流的參考方向是否關(guān)聯(lián)，若關(guān)聯(lián)，取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)。互感電壓、的正、負(fù)號(hào)取決于同名端的位置和端口電壓的參考極性，若變化電流是從同名端流入的，則其互感電壓在另一線圈的同名端是“+”極性，當(dāng)這個(gè)極性與其端口電壓的參考極性一致時(shí)，取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)。例

寫出下圖(a)、(b)所示互感線圈端電壓u1和u2的表達(dá)式。例在圖(a)所示電路中，已知兩線圈的互感M=1H，電流源i1(t)的波形如圖(b)所示，試求開(kāi)路電壓uCD的波形。根據(jù)i1的參考方向和同名端位置，有由圖(b)可知：0≤t≤1s時(shí)，i1=10tA，則

1≤t≤2s時(shí)，i1=(-10t+20)A，則t≥2s時(shí)，i1=0,則5.3互感線圈的連接及等效電路5.3.1互感線圈的串聯(lián)互感線圈的串聯(lián)具有兩種接法——順向串聯(lián)和反向串聯(lián)。式中在圖示電壓、電流參考方向下，根據(jù)KVL可得線圈兩端的總電壓為L(zhǎng)s稱為順向串聯(lián)的等效電感。故電路可以用一個(gè)等效電感Ls來(lái)替代。1.互感線圈的順向串聯(lián)

2.互感線圈的反向串聯(lián)在圖示電壓、電流參考方向下，根據(jù)KVL可得線圈兩端的總電壓為L(zhǎng)f稱為反向串聯(lián)的等效電感。故電路可以用一個(gè)等效電感Lf來(lái)替代。

式中根據(jù)Ls和Lf可以求出兩線圈的互感M為

例將兩個(gè)線圈串聯(lián)接到50Hz、60V的正弦電源上，順向串聯(lián)時(shí)的電流為2A，功率為96W，反向串聯(lián)時(shí)的電流為2.4A，求互感M。

解順向串聯(lián)時(shí)，可用等效電阻R=R1+R2和等效電感Ls=L1+L2+2M相串聯(lián)的電路模型來(lái)表示。根據(jù)已知條件，得反向串聯(lián)時(shí)，線圈電阻不變，由已知條件可求出反向串聯(lián)時(shí)的等效電感所以得5.3.2互感線圈的并聯(lián)互感線圈的并聯(lián)也有兩種接法，一種是兩個(gè)線圈的同名端相連，稱為同側(cè)并聯(lián)，如圖(a)所示；另一種是兩個(gè)線圈的異名端相連，稱為異側(cè)并聯(lián)，如圖(b)所示。在如圖所示的電壓、電流參考方向下，由KVL有1.互感線圈的同側(cè)并聯(lián)同側(cè)并聯(lián)的互感線圈可以用下圖所示無(wú)互感的電路等效，從而消去這種處理互感電路的方法稱為互感消去法，并將此無(wú)互感等效電路稱為去耦等效電路。兩個(gè)互感線圈同側(cè)并聯(lián)時(shí)的等效電感為2.互感線圈的異側(cè)并聯(lián)在如圖所示的電壓、電流參考方向下，由KVL有異側(cè)并聯(lián)互感線圈的去耦等效電路兩個(gè)互感線圈同側(cè)并聯(lián)時(shí)的等效電感為對(duì)兩個(gè)互感線圈只有一端相連的電路進(jìn)行互感消去法對(duì)圖（a）為同名端相連的情況，在圖示參考方向下，可列出其端鈕間的電壓、電流方程為對(duì)圖（b）為異名端相連的情況，在圖示參考方向下，可列出其端鈕間的電壓、電流方程為例

在如圖所示的互感電路中，ab端加10V的正弦電壓，已知電路的參數(shù)為R1=R2=3Ω，ωL1=ωL2=4Ω,ωM=2Ω。求cd端的開(kāi)路電壓。

解當(dāng)cd端開(kāi)路時(shí)，線圈2中無(wú)電流，因此，在線圈1中沒(méi)有互感電壓。以ab端電壓為參考，電壓則

例

圖所示具有互感的正弦電路中，已知XL1=10Ω,XL2=20Ω,XC=5Ω，耦合線圈互感抗XM=10Ω，電源電壓 ,RL=30Ω,求電流 。去耦等效電路及其相量圖5.5理想變壓器變壓器是一種利用互感耦合實(shí)現(xiàn)能量傳輸和信號(hào)傳遞的電氣設(shè)備。它通常由一個(gè)初級(jí)線圈和一個(gè)或幾個(gè)次級(jí)線圈所組成。初級(jí)線圈(也稱原繞組)接電源，次級(jí)線圈(也稱副繞組)接負(fù)載。能量通過(guò)磁耦合由電源傳遞給負(fù)載。如果變壓器的線圈繞在用鐵磁性物質(zhì)制成的鐵芯上，就叫做鐵芯變壓器，這種變壓器的電磁特性一般是非線性的。而空心變壓器是指以空氣或以任何非鐵磁性物質(zhì)作為芯子的變壓器，這種變壓器的電磁特性是線性的。理想變壓器是一種特殊的無(wú)損耗、全耦合變壓器。它作為實(shí)際變壓器的理想化模型,是對(duì)互感元件的一種理想化抽象,它滿足以下三個(gè)條件:

（1）耦合系數(shù)k=1,即無(wú)漏磁通。（2）自感系數(shù)L1、L2無(wú)窮大且L1/L2等于常數(shù)。（3）無(wú)損耗,即不消耗能量,也不儲(chǔ)存能量。5.5.1理想變壓器的變壓作用鐵芯變壓器若鐵芯磁通為Φ,則有

理想變壓器的變壓關(guān)系式為式中n稱為變比,它等于初級(jí)線圈與次級(jí)線圈的匝數(shù)比,是一個(gè)常數(shù)。5.5.2理想變壓器的變流作用

互感線圈模型因?yàn)槔硐胱儔浩鱧=1,即,則得聯(lián)立求得又由電壓關(guān)系式可得由于理想變壓器L1→∞,因而為理想變壓器的變流關(guān)系式。理想變壓器吸收的瞬時(shí)功率恒等于零。即在進(jìn)行變壓、變流關(guān)系計(jì)算時(shí),要根據(jù)理想變壓器符號(hào)中的同名端來(lái)確定變壓、變流關(guān)系式中的正、負(fù)號(hào)。原則是:

（1）兩端口電壓的極性對(duì)同名端一致的,則關(guān)系式中冠正號(hào),否則冠負(fù)號(hào)；（2）兩端口電流的方向?qū)ν讼喾吹?則關(guān)系式中冠正號(hào),否則冠負(fù)號(hào)。5.5.3理想變壓器的阻抗變換輸入阻抗為若在次級(jí)接一負(fù)載ZL理想變壓器次級(jí)接負(fù)載ZL,對(duì)初級(jí)而言,相當(dāng)于在初級(jí)接負(fù)載n2ZL。其中n2ZL稱為次級(jí)對(duì)初級(jí)的折合阻