2023年初中升學(xué)考試數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)試題分類匯編之十七尺規(guī)作圖

2023年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編之十七尺規(guī)作圖

一、選擇題

6.（2023河北）如圖1,已知NABC,用尺規(guī)作它的角平分線.

如圖2,步驟如下，

第一步：以5為圓心，以。為半徑畫弧，分別交射線84，BC于點(diǎn)、D，E；

第二步：分別以。，E為圓心，以人為半徑畫弧，兩弧在NABC內(nèi)部交于點(diǎn)產(chǎn)；

第三步：畫射線BP.射線3尸即為所求.

下列正確的是（）

圖2

A.a,b均無限制B.a>0,的長(zhǎng)

2

C.a有最小限制，b無限制D.tz>0,的長(zhǎng)

2

【答案】B

【詳解】第一步：以5為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交射線84,8c于點(diǎn)。，E；

**?（2>0；

第二步：分別以。，E為圓心，大于工。后的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在NABC內(nèi)部交于點(diǎn)P；

2

...方>，￡>￡：的長(zhǎng)；

2

第三步：畫射線阱.射線8P即為所求.

綜上，答案為：?>0；。>,。石的長(zhǎng)，

2

故選：B.

10（2023河南）.如圖，在AABC中，A3=BC=G,N84C=30°,分別以點(diǎn)AC為

圓心，AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)。，連接。A,。。,則四邊形ABC。的面積為（）

1

a

c

AB

A.66B.9C.6D.36

【答案】D

【解析】

【分析】

連接BD交AC于0,由已知得4ACD為等邊三角形且BD是AC的垂直平分線，然后解直

角三角形解得AC、BO、BD的值，進(jìn)而代入三角形面積公式即可求解.

【詳解】連接BD交AC于0,

由作圖過程知，AD=AC=CD,

.?.△ACD為等邊三角形,

ZDAC=60",

：AB=BC,AD=CD,

；.BD垂直平分AC即：BDJ_AC,A0=0C,

在RtaAOB中，AB=y/3,ZBAC=30°

/Q

/.BO=AB-sin30°=—,

2

?3

A0=AB?cos300=-,AC=2AO=3,

2

在RtAAOD中，AD=AC=3,ZDAC=60°,

.\D0=AD?sin60°=^l,

2

、3x"3x述=35

S四邊形44CD=S^BC+

2222

故選：D.

2

D

9.（2023貴陽(yáng)）如圖，&AA8C中，ZC=90°,利用尺規(guī)在8C,84上分別截取BE,

BD，使BE=BD；分別以。，E為圓心、以大于工。七為長(zhǎng)的半徑作弧，兩弧在NCK4

2

內(nèi)交于點(diǎn)b；作射線8尸交AC于點(diǎn)G,若CG=1,P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，則GP的最小值

為（）

C.1D.2

【答案】C

【詳解】解：由題意可知，當(dāng)GPJ_AB時(shí),GP的值最小，

根據(jù)尺規(guī)作圖的方法可知，GB是NABC的角平分線，

VZC=90°,...當(dāng)GP_LAB時(shí)，GP=CG=1,

故答案為：C.

7.（2023廣西南寧）（3分）如圖，在AABC中，BA=BC,ZB=80°,觀察圖中尺規(guī)作圖

的痕跡，則/OCE的度數(shù)為（）

AE

A.60°B.65°C.70°D.75°

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得/ACB的度數(shù)，觀察作圖過程可得，進(jìn)而可得

3

的度數(shù).

【解答】解："：BA=BC,ZB=80",.?.NA=/ACB=4(180°-80°)=50°,

2

ZACD=1800-NACB=130°,

觀察作圖過程可知：CE平分N4C￡),

ACD=65

AZDCE=^-J/.°，，NOCE的度數(shù)為65°故選：B.

二、填空題

18.（2023天津）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，AABC的頂點(diǎn)A,C均落在

格點(diǎn)上，點(diǎn)B在網(wǎng)格線上，且AB=2.

3

（I）線段AC的長(zhǎng)等于:

（II）以為直徑的半圓與邊AC相交于點(diǎn)D,若P,。分別為邊AC,BC上的動(dòng)點(diǎn)，

當(dāng)BP+PQ取得最小值時(shí)，請(qǐng)用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)尸，Q,并

簡(jiǎn)要說明點(diǎn)P，Q的位置是如何找到的（不要求證明）.

答案:⑴⑵）如圖，取格點(diǎn)M,N,連接MN,連接并延長(zhǎng)，與MN相交于點(diǎn)B'；

連接B'C,與半圓相交于點(diǎn)E,連接BE,與AC相交于點(diǎn)尸，連接8'P并延長(zhǎng)，與相

交于點(diǎn)Q,則點(diǎn)P,。即為所求.

4

18（2023蘇州）.如圖，已知NMQV是一個(gè)銳角，以點(diǎn)。為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別

交OM、QV于點(diǎn)A、B,再分別以點(diǎn)A、3為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于

2

點(diǎn)C,畫射線0c.過點(diǎn)A作A。ON,交射線OC于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作DE_LOC,交ON

于點(diǎn)E.設(shè)。4=10,DE=12,則sinNMON=.

【詳解】連接AB交OD于點(diǎn)H,過點(diǎn)A作AGJ_ON于點(diǎn)G,

由尺規(guī)作圖步驟，可得：OD是NMON的平分線，OA=OB,

AOHIAB,AH=BH,

；DEIOC,

；.DE〃AB,

ADON,

???四邊形ABED是平行四邊形，

.\AB=DE=12,

AAH=6,

；?OH=y]AO2-AH2=A/102-62=8，

VOBAG=ABOH,

ABOH12x848

?AG=------------=--------=—

105

24

sinZMON------

OA25

故答案是：—

25

5

13.（2023新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)）（5分）如圖，在x軸，y軸上分別截取OA,OB,使OA=

OB,再分別以點(diǎn)A,B為圓心，以大于點(diǎn)18長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P.若點(diǎn)P的坐

標(biāo)為（a,2a-3）,則。的值為3.

T”

BV

-、

~OX

【分析】根據(jù)作圖方法可知點(diǎn)P在NBOA的角平分線上，由角平分線的性質(zhì)可知點(diǎn)尸到

x軸和y軸的距離相等，結(jié)合點(diǎn)尸在第一象限，可得關(guān)于〃的方程，求解即可.

1

【解答】解：???OA=OB,分別以點(diǎn)A,B為圓心，以大于5AB長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于

點(diǎn)P,

二點(diǎn)尸在/BOA的角平分線上，

二點(diǎn)P到x軸和），軸的距離相等，

又?點(diǎn)P在第一象限，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a,2a-3）,

??〃=2a~3>??a=3.

故答案為：3.

16.（2023遼寧撫順）（3分）如圖，在RtZ\ABC中，乙4c8=90°,AC=2BC,分別以點(diǎn)A

和B為圓心，以大于工AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和M作直線仞M交AC

2

于點(diǎn)E,連接BE,若CE=3,則BE的長(zhǎng)為5.

6

14.（2023寧夏）（3分）如圖，在△A8C中，NC=84°,分別以點(diǎn)A、8為圓心，以大于工

2

AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)M、N,作直線MN交AC點(diǎn)￡＞；以點(diǎn)B為圓心，

適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交84、BC于點(diǎn)、E、F,再分別以點(diǎn)E、尸為圓心，大于工EF的

2

長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,作射線8P,此時(shí)射線BP恰好經(jīng)過點(diǎn)D,則/A=32

度.

三、解答題

20.（2023北京）已知：如圖，△ABC為銳角三角形，AB=BC,CD〃AB.

求作：線段BP,使得點(diǎn)P在直線CD上，且/ABP=L/3AC.

2

作法：①以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫圓，交直線CD于C,P兩點(diǎn)；②連接BP.線段BP

就是所求作線段.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：VCD//AB,

ZABP=.

VAB=AC,

...點(diǎn)B在。Ah.

7

又：NBPC=L/BAC()(填推理依據(jù))

2

.".ZABP=-ZBAC

2

【解析】（1）如圖所示

（2）ZBPC；在同圓或等圓中同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半。

23.（2023廣州）（本小題滿分12分）

如圖10,ZXABD中，ZABD=ZADB.

（1）作點(diǎn)A關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)C；

（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）所作的圖中，連接BC,DC,連接AC,

交8。于點(diǎn)0.圖10

①求證：四邊形A8CD是菱形；

②取8c的中點(diǎn)E,連接OE,若?！?二，BD=10,求點(diǎn)E到AD的距離.

2

【詳解過程】解：⑴作圖如下：.?.點(diǎn)C為所求的點(diǎn)A關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)。

（2）①證明：..?點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于BD對(duì)稱

8

，BC=BA,DC=DA

「△ABD中，ZABD=ZADB

；.AB=AD

；.AB=BC=CD=DA

四邊形ABCD是菱形。

②過B作BF1AD于點(diǎn)F。根據(jù)平行線上的距離處處相等

可知BF的長(zhǎng)度就是點(diǎn)E到AD的距離。

?.?四邊形ABCI）是菱形

；.ACJ_BD于點(diǎn)0,即NB0C=90°。

13

?.,在RT4B0C中，E為BC中點(diǎn)，OE=—

2

.BC=2OE=13.

.AB=BC=CD=DA=13.

,BD=10.

.BO=DO=5

.在RTZ\BCO中，CO=12.

.AC=2CO=24.

S菱形-x24xl0

2=2=120.

S菱形

.120

，13xBD=120,H即nBD=——.

13

所以點(diǎn)E到AD的距離上120。

13

23.（2023福建）如圖，C為線段AB外一點(diǎn).

AH

（I）求作四邊形ABC。，使得C0//A6,且CD=2A8；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法,

保留作圖痕跡）

（2）在（1）的四邊形ABC0中，AC,BD相交于點(diǎn)P，AB，CO的中點(diǎn)分別為M,N,

求證：M,P,N三點(diǎn)在同一條直線上.

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析

【詳解】解：（1）

9

D

H

則四邊形ABCD就是所求作的四邊形.

(2)?：AB//CD,：.ZABP=ZCDP,ZBAP=ZDCP,

.AB_AP

?而一而

?；M,N分別為AB，CO的中點(diǎn),

…“-AMAP

■■AB=2AM，CD=2CN,:.——=——

CNCP

連接"P，NP,又?：NBAP=4DCP,

???WMSACPN，,ZAPM=NOW,

???點(diǎn)P在AC上/.ZAPM+ZCPM=180°,ZCPN+ZCPM=180°,

M,P,N三點(diǎn)在同一條直線上.

【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖、平行線的判定與性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定等基礎(chǔ)知識(shí),

考查推理能力、空間觀念與幾何直觀，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.

17.（2023陜西）如圖，已知△4BC,AC>AB,ZC=45°.請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在AC邊上

求作一點(diǎn)P,使NP8C=45°.（保留作圖痕跡.不寫作法）

【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖法，作一個(gè)角等于已知角，在AC邊上求作一點(diǎn)尸，使NP8C=45°

即可.

10

【解答】解：如圖，點(diǎn)尸即為所求.

22.（2023哈爾濱）（7分）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,線段鉆和線段S

的端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上.

（1）在圖中畫出以4?為邊的正方形45EF,點(diǎn)E和點(diǎn)F均在小正方形的頂點(diǎn)上；

（2）在圖中畫出以8為邊的等腰三角形CDG,點(diǎn)G在小正方形的頂點(diǎn)上，且△CZX7的周

（1）在圖1中，作AA8C關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的AA'8'C'；

（2）在圖2中，作AA5C繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，頂點(diǎn)仍在格點(diǎn)上的ZVl'B'C'.

11

（1）△4*（；'即為所求.（2）A48'C'即為所求.

27.（2023南京）（9分）如圖①，要在一條筆直的路邊/上建一個(gè)燃?xì)庹?，?同側(cè)的A、B

兩個(gè)城鎮(zhèn)分別鋪設(shè)管道輸送燃?xì)?試確定燃?xì)庹镜奈恢?，使鋪設(shè)管道的路線最短.

（1）如圖②，作出點(diǎn)A關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)A,線段A'3與直線/的交點(diǎn)C的位置即為所求，

即在點(diǎn)C處建燃?xì)庹?，所得路線AC8是最短的.

為了證明點(diǎn)C的位置即為所求，不妨在直線1上另外任取一點(diǎn)C',連接AC'、BC,證明

AC+CB<AC+CB.請(qǐng)完成這個(gè)證明.

（2）如果在A、3兩個(gè)城鎮(zhèn)之間規(guī)劃一個(gè)生態(tài)保護(hù)區(qū)，燃?xì)夤艿啦荒艽┻^該區(qū)域.請(qǐng)分別

給出下列兩種情形的鋪設(shè)管道的方案（不需說明理由）.

①生態(tài)保護(hù)區(qū)是正方形區(qū)域，位置如圖③所示；

②生態(tài)保護(hù)區(qū)是圓形區(qū)域，位置如圖④所示.

12

【解答】證明：(1)如圖②，連接A'C',

點(diǎn)A,點(diǎn)A'關(guān)于/對(duì)稱，點(diǎn)C在/上，

:.CA=CA',

AC+BC=AC+BC=A'B,

同理可得AC'+CB=A'C+BC,

A'B<A'C'+CB,

..AC+HC<AC'+C'B；

(2)如圖③，

在點(diǎn)C出建燃?xì)庹?，鋪設(shè)管道的最短路線是ACD8,（其中點(diǎn)。是正方形的頂點(diǎn)）;

如圖④，

在點(diǎn)C出建燃?xì)庹?，鋪設(shè)管道的最短路線是ACD+OE+EB,（其中CD,BE都與圓相切）

13

16.(2023貴陽(yáng))如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為項(xiàng)點(diǎn)

分別按下列要求畫三角形.

圖①圖②圖③

(1)在圖①中，畫一個(gè)直角三角形，使它的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)；

(2)在圖②中，畫一個(gè)直角三角形，使它的一邊長(zhǎng)是有理數(shù)，另外兩邊長(zhǎng)是無理數(shù);

(3)在圖③中，畫一個(gè)直角三角形，使它的三邊長(zhǎng)都是無理數(shù).

【分析】

(1)畫一個(gè)邊長(zhǎng)為3,4,5的三角形即可；

(2)利用勾股定理，找長(zhǎng)為2及、2夜和4的線段，畫三角形即可；

(3)利用勾股定理，找長(zhǎng)為0、2右和質(zhì)的線段，畫三角形即可；

【詳解】解：(答案不唯一)

圖①'1(2)圖②(3)圖③

IL\u...L.

24.(2023無錫)如圖，已知AABC是銳角三角形(AC<A8).

14

A

（1）請(qǐng)?jiān)趫D1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖；作直線/,使/上的各點(diǎn)到3、。兩點(diǎn)的距

離相等；設(shè)直線/與A3、8c分別交于點(diǎn)M、N,作一個(gè)圓，使得圓心0在線段MN上,

且與邊A3、8C相切：（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若BM=g,BC=2,則的半徑為

解：（1）①先作8C的垂直平分線：分別以8,C為圓心，大于,5。的長(zhǎng)為半徑畫弧，連

2

接兩個(gè)交點(diǎn)即為直線/,分別交A3、于M、N；

②再作NABC的角平分線：以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作圓弧，與NA3C的兩條邊分別

有一個(gè)交點(diǎn)，再以這兩個(gè)交點(diǎn)為圓心，相同長(zhǎng)度為半徑作弧，連接這兩條弧的交點(diǎn)與點(diǎn)8,

即為NABC的角平分線，這條角平分線與線段MN的交點(diǎn)即為。；

③以。為圓心，QV為半徑畫圓，圓。即為所求；

（2）過點(diǎn)。作垂足為E，設(shè)ON=OE=r

54

VBMBC=2,:.BN=1,：.MN=-

33

根據(jù)面積法，??S&BMN=S^BNO+S^BMO

14115…1

—xlx—=—xbrd--x--r,解得r=—,

232232

故答案為：r=—,

2

19.（2023長(zhǎng)沙）人教版初中數(shù)學(xué)教科書八年級(jí)上冊(cè)第48頁(yè)告訴我們一種作已知角的平分線

15

的方法：

已知：ZAOB

求作：NAOB的平分線

做法：（1）以0為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交0A于點(diǎn)M,交0B于點(diǎn)N,

（2）分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于‘MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在NA08的內(nèi)部相交于

2

點(diǎn)C

（3）畫射線0C,射線0C即為所求.

請(qǐng)你根據(jù)提供的材料完成下面問題：

（1）這種作已知角平分線的方法的依據(jù)是（填序號(hào)）.

①SSS②5AS③A4s④A&4

（2）請(qǐng)你證明0C為NAQB的平分線.

解：（1）根據(jù)作圖的過程知道：OM=ON,OC=OC,CM=CM,所以由全等三角形的判定定

理SSS可以證得^EOC^ADOC,從而得到OC為NAOB的平分線；

故答案為：①；

（2）如圖，

連接MC、NC.

根據(jù)作圖的過程知，

在4MOC與4NOC中,

16

OM=ON

<oc=oc,

CM=CN

.,?△MOC^ANOC（SSS）,

ZAOC=ZBOC,

???OC為NAQB的平分線.

15（2023山東青島）.已知：ABC..

求作：O,使它經(jīng)過點(diǎn)5和點(diǎn)C,并且圓心。在NA的平分線上,

解：根據(jù)題意可知，先作NA的角平分線,

再作線段BC的垂直平分線相交于O,

即以O(shè)點(diǎn)為圓心，OB為半徑，作圓O,

如下圖所示：

21.（2023甘肅定西）如圖，在ZVIBC中，。是8c邊上一點(diǎn)，且皮）=54.

（1）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：

①作ZABC的角平分線交AD于點(diǎn)E；

②作線段DC的垂直平分線交OC于點(diǎn)尸.

（2）連接ER,直接寫出線段和AC的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系.

.解：（1）①作出NA6C的角平分線；

②作出線段。。的垂直平分線.

17

位置關(guān)系：EF//AC.

19.(2023吉林)(7分)圖①、圖②、圖③都是3X3的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂

點(diǎn)稱為格點(diǎn).A,B,C均為格點(diǎn).在給定的網(wǎng)格中，按下列要求畫圖：

(1)在圖①中，畫一條不與A8重合的線段使與AB關(guān)于某條直線對(duì)稱，且

M,N為格點(diǎn).

(2)在圖②中，畫一條不與AC重合的線段P。，使尸。與4c關(guān)于某條直線對(duì)稱，且P,

。為格點(diǎn).

(3)在圖③中，畫一個(gè)△〃￡：/,使△￡>￡『與△ABC關(guān)于某條直線對(duì)稱，且。，E,尸為

格點(diǎn).

圖①圖②