清單04 直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系 （11個考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）（原卷版）

清單04直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系（11個考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【知識導(dǎo)圖】【考點(diǎn)分布圖】【知識清單】1、直線與圓的位置關(guān)系：（1）直線與圓相交，有兩個公共點(diǎn)；（2）直線與圓相切，只有一個公共點(diǎn)；（3）直線與圓相離，沒有公共點(diǎn)．2、直線與圓的位置關(guān)系的判定：（1）代數(shù)法：判斷直線與圓C的方程組成的方程組是否有解．如果有解，直線與圓C有公共點(diǎn)．有兩組實(shí)數(shù)解時，直線與圓C相交；有一組實(shí)數(shù)解時，直線與圓C相切；無實(shí)數(shù)解時，直線與圓C相離．（2）幾何法：由圓C的圓心到直線的距離與圓的半徑的關(guān)系判斷：當(dāng)時，直線與圓C相交；當(dāng)時，直線與圓C相切；當(dāng)時，直線與圓C相離．3、圓的切線方程的求法（1）點(diǎn)在圓上，如圖．法一：利用切線的斜率與圓心和該點(diǎn)連線的斜率的乘積等于，即．法二：圓心到直線的距離等于半徑．（2）點(diǎn)在圓外，則設(shè)切線方程：，變成一般式：，因?yàn)榕c圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．詮釋：因?yàn)榇藭r點(diǎn)在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個根，若方程只有一個根，則還有一條切線的斜率不存在，務(wù)必要把這條切線補(bǔ)上．常見圓的切線方程：（1）過圓上一點(diǎn)的切線方程是；（2）過圓上一點(diǎn)的切線方程是．4、求直線被圓截得的弦長的方法（1）應(yīng)用圓中直角三角形：半徑，圓心到直線的距離，弦長具有的關(guān)系，這也是求弦長最常用的方法．（2）利用交點(diǎn)坐標(biāo)：若直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)易求出，求出交點(diǎn)坐標(biāo)后，直接用兩點(diǎn)間的距離公式計算弦長．（3）利用弦長公式：設(shè)直線，與圓的兩交點(diǎn)，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數(shù)關(guān)系得弦長：=．5、圓與圓的位置關(guān)系：（1）圓與圓相交，有兩個公共點(diǎn)；（2）圓與圓相切（內(nèi)切或外切），有一個公共點(diǎn)；（3）圓與圓相離（內(nèi)含或外離），沒有公共點(diǎn)．6、圓與圓的位置關(guān)系的判定：（1）代數(shù)法：判斷兩圓的方程組成的方程組是否有解．有兩組不同的實(shí)數(shù)解時，兩圓相交；有一組實(shí)數(shù)解時，兩圓相切；方程組無解時，兩圓相離．（2）幾何法：設(shè)的半徑為，的半徑為，兩圓的圓心距為．當(dāng)時，兩圓相交；當(dāng)時，兩圓外切；當(dāng)時，兩圓外離；當(dāng)時，兩圓內(nèi)切；當(dāng)時，兩圓內(nèi)含．7、兩圓公共弦長的求法有兩種：方法一：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求其長．方法二：求出公共弦所在直線的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦長．8、兩圓公切線的條數(shù)與兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種．（1）兩圓外離時，有2條外公切線和2條內(nèi)公切線，共4條；（2）兩圓外切時，有2條外公切線和1條內(nèi)公切線，共3條；（3）兩圓相交時，只有2條外公切線；（4）兩圓內(nèi)切時，只有1條外公切線；（5）兩圓內(nèi)含時，無公切線．9、圓系方程（1）過直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程是（2）以為圓心的同心圓系方程是：；（3）與圓同心的圓系方程是；（4）過同一定點(diǎn)的圓系方程是．【考點(diǎn)精講】考點(diǎn)1：直線與圓的位置關(guān)系例1．（2023·黑龍江哈爾濱·高二黑龍江省哈爾濱市雙城區(qū)兆麟中學(xué)校考期中）已知，則圓與直線的位置關(guān)系是（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定例2．（2023·山西太原·高二統(tǒng)考期中）已知直線，圓，則直線l與圓C的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定例3．（2023·河北石家莊·高二石家莊二中校考期中）已知，則圓與直線的位置關(guān)系是（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定例4．（2023·江蘇無錫·高二校聯(lián)考期中）若直線與曲線恰有一個公共點(diǎn)，則b的取值范圍是（

）A． B． C． D．例5．（2023·河南商丘·高二商丘市第一高級中學(xué)校聯(lián)考期中）方程有兩相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．例6．（2023·河南信陽·高二統(tǒng)考期中）已知直線l：與圓C：，點(diǎn)，則下列說法不正確的是（

）A．若直線l與圓C相切，則 B．若，則直線l與圓C相離C．若，則直線l與圓C相交 D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切考點(diǎn)2：直線與圓相交的性質(zhì)——韋達(dá)定理及應(yīng)用例7．（2023·江蘇蘇州·高二蘇州中學(xué)?？计谥校┤鐖D，圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)，動直線：與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E、F，與圓交于C、D兩點(diǎn)．(1)求中點(diǎn)M的軌跡方程；(2)設(shè)直線、的斜率分別為、，是否存在實(shí)數(shù)k使得？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．例8．（2023·云南昆明·高一?？计谥校┮阎獔AC：(1)證明：圓C恒過兩個點(diǎn)．(2)當(dāng)時，若過點(diǎn)的直線l與圓C交于M，N兩點(diǎn)，且，求直線l的斜率．例9．（2023·廣東東莞·高二校聯(lián)考期中）已知直線：與圓：相交于，不同兩點(diǎn).(1)求的范圍；(2)設(shè)是圓上的一動點(diǎn)（異于，），為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求面積的最大值.例10．（2023·山東煙臺·高二校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)，，動點(diǎn)P滿足，設(shè)P的軌跡為C．(1)求C的軌跡方程；(2)若過點(diǎn)A的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，求取值范圍．例11．（2023·甘肅甘南·高二校考期中）已知圓過點(diǎn)，圓心在直線上，且被直線截得的弦長為.(1)求圓的方程；(2)若為圓上兩個不同的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，當(dāng)時，求的斜率的取值范圍.例12．（2023·浙江嘉興·高二校考期中）已知圓，過點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)，，且.(1)求圓的圓心坐標(biāo)和半徑：(2)求的方程；(3)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值.例13．（2023·湖北·高二荊州中學(xué)校聯(lián)考期中）已知圓的半徑為2，圓心在軸正半軸上，直線與圓相切．(1)求圓的方程；(2)若過點(diǎn)的直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的方程．考點(diǎn)3：切線問題例14．（2023·江蘇鹽城·高二?？计谥校﹫A在點(diǎn)處切線的一般式方程為．例15．（2023·廣東東莞·高二?？计谥校┮詧A上一點(diǎn)為切點(diǎn)的切線的一般式方程為.例16．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則.例17．（2023·甘肅武威·高二天祝藏族自治縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）過點(diǎn)且與圓C：相切的直線方程為．例18．（2023·河南南陽·高二社旗縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考期中）已知圓：，圓：，過圓上的一點(diǎn)P作圓的一條切線，切點(diǎn)為A，且，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.例19．（2023·江蘇淮安·高二?？茧A段練習(xí)）過圓外一直線上一動點(diǎn)P作圓的切線，則切線長最小值為例20．（2023·四川遂寧·高二四川省蓬溪中學(xué)校校考期中）已知圓的圓心在直線上，且與直線和軸都相切，則圓的方程為.考點(diǎn)4：切點(diǎn)弦問題例21．（2023·河北·高二校聯(lián)考期中）過點(diǎn)作圓：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則直線的方程為．例22．（2023·安徽宣城·高三統(tǒng)考期末）過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，則直線AB方程是.例23．（2023·安徽蕪湖·高二期末）在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)，向圓C：引兩條切線，切點(diǎn)分別為，則直線過定點(diǎn)．例24．（2023·全國·模擬預(yù)測）過直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則直線過定點(diǎn).例25．（2023·廣東·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，則直線的方程為．例26．（2023·湖南益陽·統(tǒng)考一模）已知直線，若P為l上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作的切線，切點(diǎn)為A、B，當(dāng)最小時，直線的方程為.考點(diǎn)5：弦長問題例27．（2023·廣東東莞·高二校聯(lián)考期中）已知圓，直線，直線l被圓C截得的弦長為例28．（2023·廣東江門·高二臺山市第一中學(xué)?？计谥校┮阎本€與圓交于A、B兩點(diǎn)，若面積為，則m的值為．例29．（2023·廣東東莞·高二?？计谥校┲本€與圓相交于兩點(diǎn)，則的最小值為.例30．（2023·安徽宿州·高二校聯(lián)考期中）已知直線及直線截圓所得的弦長均為8，則圓的半徑是．例31．（2023·廣東東莞·高二東莞市東華高級中學(xué)校考期中）已知直線被圓截得的弦長為2，則的值為.例32．（2023·江蘇無錫·高二校聯(lián)考期中）已知圓：，過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長為4，則直線的方程為考點(diǎn)6：面積問題例33．（2023·湖北黃岡·高二校聯(lián)考期中）過直線上一點(diǎn)作圓：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則四邊形的面積的最小值為.例34．（2023·云南昆明·高三昆明市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在圓內(nèi)，過點(diǎn)的最長弦和最短弦分別是和，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．例35．（2023·廣東佛山·高二佛山一中校考期中）已知圓的方程為，設(shè)該圓過點(diǎn)的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形面積為（

）A． B． C． D．例36．（2023·四川成都·高二?？计谥校┻^點(diǎn)引直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時，直線的斜率等于（

）A． B． C． D．例37．（2023·浙江·高二期末）已知圓，圓，若圓的切線交圓于、兩點(diǎn)，則面積的取值范圍是A． B． C． D．例38．（2023·福建莆田·高二校考期中）已知，為圓：的兩條互相垂直的弦，且垂足為，則四邊形ABCD面積的最大值為（

）A．4 B．5 C．8 D．10例39．（2023·北京·高二北京鐵路二中?？计谥校┲本€分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．例40．（2023·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知圓，點(diǎn)為直線上的一個動點(diǎn)，是圓的兩條切線，，是切點(diǎn)，當(dāng)四邊形（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積最小時，直線的方程為（

）A． B．C． D．考點(diǎn)7：直線與圓中的定點(diǎn)定值問題例41．（2023·安徽合肥·高二合肥一中校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足，設(shè)動點(diǎn)的軌跡為曲線，過曲線與軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)作兩條直線分別交曲線于點(diǎn)（異于），且直線，的斜率之積為.(1)求曲線的方程；(2)證明：直線過定點(diǎn).例42．（2023·安徽合肥·高二合肥一中校聯(lián)考期中）已知圓過，兩點(diǎn)，且圓心在直線上.(1)求圓的方程；(2)設(shè)直線與圓交于A，兩點(diǎn)，在直線上是否存在定點(diǎn)，使得直線，的傾斜角互補(bǔ)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.例43．（2023·北京·高二北京十五中?？计谥校┮阎c(diǎn)，圓．(1)求圓過點(diǎn)的切線方程；(2)為圓與軸正半軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與圓交于兩點(diǎn)、，設(shè)、的斜率分別為、，求證：為定值．例44．（2023·河南南陽·高二統(tǒng)考期中）已知圓．(1)證明：圓過定點(diǎn)．(2)當(dāng)時，是否存在斜率為的直線交圓于、兩點(diǎn)，使得以為直徑的圓恰好經(jīng)過原點(diǎn)？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由．例45．（2023·安徽馬鞍山·高二統(tǒng)考期中）平面直角坐標(biāo)系中，直線，圓：，圓與圓關(guān)于直線對稱，是直線上的動點(diǎn)．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，設(shè)線段的中點(diǎn)是，是否存在定點(diǎn)，使得為定值，若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．例46．（2023·河北唐山·高二校聯(lián)考期中）已知圓，過圓上一點(diǎn)作直線分別與圓交于兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為．(1)若圓的切線在軸和軸上的截距相等，求切線方程；(2)若，求證：直線恒過定點(diǎn)．例47．（2023·浙江寧波·高二校聯(lián)考期中）已知圓O的方程為，與x軸的正半軸交于點(diǎn)N，過點(diǎn)作直線與圓O交于A、B兩點(diǎn)．(1)若坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AB的距離為1，求直線AB的方程；(2)如圖所示，作一條斜率為－1的直線交圓于R，S兩點(diǎn)，連接PS，PR，試問是否存在銳角，，使得為定值?若存在，求出該定值，若不存在，說明理由．考點(diǎn)8：圓與圓的位置關(guān)系例48．（2023·新疆伊犁·高二校聯(lián)考期中）圓：與圓：的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．外離 C．內(nèi)含 D．外切例49．（2023·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期中）“”是“圓與圓相切”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件例50．（2023·四川雅安·高二雅安中學(xué)校聯(lián)考期中）已知圓，圓，則“”是“圓與圓外離”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件例51．（2023·浙江嘉興·高二?？计谥校┮阎獔A：與圓：，則兩圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切例52．（2023·山東濰坊·高二統(tǒng)考期中）已知圓：，圓：，則與的位置關(guān)系是（

）A．外切 B．內(nèi)切 C．外離 D．相交考點(diǎn)9：兩圓的公共弦問題例53．（2023·浙江·高二溫州中學(xué)校聯(lián)考期中）已知圓與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則=（

）A． B． C． D．例54．（2023·天津·高二?？计谥校﹫A與圓的公共弦所在直線恒過點(diǎn)（

）A． B． C． D．例55．（2023·海南?？凇じ叨？谝恢行？计谥校﹫A：與圓：相交于A，B兩點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．例56．（2023·浙江臺州·高二臺州一中?？计谥校﹫A：與圓：的公共弦所在直線方程為（

）A． B．C． D．例57．（2023·山西運(yùn)城·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）圓與圓相交于兩點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．考點(diǎn)10：公切線問題例58．（2023·黑龍江·高二統(tǒng)考期中）圓：和圓：的公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例59．（2023·河北滄州·高二校聯(lián)考期中）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元前262~公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)的重要成果.其中有這樣一個結(jié)論：平面內(nèi)與兩點(diǎn)距離的比為常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓.已知點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，則點(diǎn)P的軌跡與圓的公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例60．（2023·廣西玉林·高二統(tǒng)考期中）已知圓：，圓：，則下列說法正確的是（

）A．圓與圓公共弦所在直線的方程為B．圓與圓有兩條公切線C．是圓與圓的一條公切線D．圓與圓上均恰有兩點(diǎn)到直線的距離為2例61．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓，圓，則下列不是，兩圓公切線的直線方程為（）A． B．C． D．例62．（2023·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）已知圓：與圓：相內(nèi)切，則與的公切線方程為（

）A． B．C． D．考點(diǎn)11：圓系方程的應(yīng)用例63．過圓與的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程是_______．例64．已知圓與圓相交于A、B兩點(diǎn)．（1）求公共弦AB所在直線方程；（2）求過兩圓交點(diǎn)A、B，且過原點(diǎn)的圓的方程．例65．已知圓．求證：對任意不等于的實(shí)數(shù)，方程是通過兩個已知圓交點(diǎn)的圓的方程．例66．已知圓和圓．（1）求證：兩圓相交；（2）求過點(diǎn)，且過兩圓交點(diǎn)的圓的方程．（2023·北京通州·高二期中）經(jīng)過點(diǎn)以及圓與圓交點(diǎn)的圓的方程為________．【提升練習(xí)】一、單選題1．（2023·江蘇鹽城·高二鹽城市第一中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)P是直線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P引圓的兩條切線PM，PN，M，N為切點(diǎn)，則PM的最小值為時，r的值為（

）A．1 B．2 C． D．2．（2023·四川·高二校考期中）直線與曲線恰有兩個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．或3．（2023·四川達(dá)州·高二四川省萬源中學(xué)?？计谥校┮阎獔AC:，直線：，直線被圓C截得的弦長最短時，實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B． C．1 D．4．（2023·北京通州·高二統(tǒng)考期中）過直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，，切點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)直線，關(guān)于對稱時，線段的長為（

）A．4 B． C． D．25．（2023·江蘇鹽城·高二?？计谥校┮阎?，，動點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡與圓相交的弦長等于（）A． B． C． D．6．（2023·天津武清·高二統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓(r>0)上存在點(diǎn)P，且點(diǎn)P關(guān)于直線的對稱點(diǎn)Q在圓上，則r的取值范圍是（

）A．(2，+∞) B．[2，+∞) C．(2，8) D．[2，8]7．（2023·江蘇南京·高二期中）已知圓和兩點(diǎn)、，若圓上存在一點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題8．（2023·廣東佛山·高二佛山市南海區(qū)九江中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓：，過直線：上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則（

）A．若點(diǎn)，則直線的方程為B．面積的最小值為C．直線過定點(diǎn)D．以線段為直徑的圓可能不經(jīng)過點(diǎn)9．（2023·河北唐山·高二校聯(lián)考期中）已知圓，直線，直線與圓交于兩點(diǎn)，則（

）A．直線恒過定點(diǎn)B．當(dāng)時，最長C．當(dāng)時，弦最短D．最短弦長10．（2023·山西太原·高二山西大附中?？计谥校﹫A：與圓：，則下列說法正確的是（

）A．兩圓公共弦所在的直線方程為 B．兩圓的位置關(guān)系為外切C．公共弦長為 D．兩圓有四條公切線11．（2023·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)滿足．設(shè)點(diǎn)的軌跡為，則（

）A．軌跡的方程為B．在軸上存在異于的兩點(diǎn)，使得C．當(dāng)三點(diǎn)不共線時，射線是的角平分線D．在軌跡上存在點(diǎn)，使得三、填空題12．（2023·廣東東莞·高二東莞一中校考期中）已知圓心為的圓與直線：相切于點(diǎn)