第一章 空間向量與立體幾何 章末重難點(diǎn)歸納總結(jié)（解析版）

第一章空間向量與立體幾何章末重難點(diǎn)歸納總結(jié)考點(diǎn)一空間向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積【例1】（2023春·江蘇連云港）平行六面體中，已知底面四邊形為矩形，，，，則（

）A． B．2 C． D．10【答案】A【解析】由圖可得，則，故,故選：A【一隅三反】1．（2023河南新鄉(xiāng)）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．如圖，在塹堵中，分別是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，則（

）

A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【解析】連接，由棱柱性質(zhì)，側(cè)棱平面，平面，則，故，又，.故選：C2．（2023北京）已知正方體的中心為，則在下列各結(jié)論中正確的共有（）①與是一對(duì)相反向量；②與是一對(duì)相反向量；③與是一對(duì)相反向量；④與是一對(duì)相反向量．A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【解析】

對(duì)于①，，，，與是一對(duì)相反向量，①正確；對(duì)于②，，，又，與不是相反向量，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，，，，，,與是一對(duì)相反向量，③正確；對(duì)于④，，，又，與是一對(duì)相反向量，④正確.故選：C.3．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，，分別是，的中點(diǎn)，則的值為（

）

A． B．C． D．【答案】A【解析】依題意，由，，故,所以．故選:A．4．（2023春·陜西西安·高一長(zhǎng)安一中?？计谀┰谡忮F中，是的中心，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】為正三棱椎，為的中心，∴平面，平面，∴，，△ABC是等邊三角形，∴，，故，，則．故選：D.

考點(diǎn)二空間向量的基本定理【例2-1】（2023春·江蘇南通）已知P是所在平面外一點(diǎn)，M是BC的中點(diǎn)，若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如下圖所示：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，所以，，又因?yàn)?，且、、不共面，則，，故，，故選：A.【例2-2】．（2023春·高二單元測(cè)試）已知是空間的一個(gè)基底，若，，則（

）A．是空間的一個(gè)基底B．是空間的一個(gè)基底C．是空間的一個(gè)基底D．與中的任何一個(gè)都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底【答案】C【解析】對(duì)A，因?yàn)?，所以，則共面，不能作為空間的一組基底，故A不正確；對(duì)B，因?yàn)?，所以，則共面，不能作為空間的一組基底，故B不正確；對(duì)C，假設(shè)共面，因?yàn)樽鳛榱丝臻g的一組基底，所以不共線，又，故不共線，則可設(shè)，所以.因?yàn)槭强臻g的一組基底，所以的值不存在，即向量不共面,能作為空間的一組基底，故C正確；對(duì)D，有選項(xiàng)C知，向量與可以構(gòu)成空間的一組基底，故D不正確.故選：C.【一隅三反】1．（2023春·河南周口）三棱錐中，M是平面BCD內(nèi)的點(diǎn)，則以下結(jié)論可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】

如圖所示，因?yàn)辄c(diǎn)M在平面BCD內(nèi)，可設(shè)，則有，即用向量，，表示，三個(gè)基向量的系數(shù)之和為1，顯然A符合題意．故選：A．2．（2023秋·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外的任一點(diǎn)，下列條件中能確定點(diǎn)共面的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】當(dāng)共面時(shí)，不妨設(shè)，變形得到，則，設(shè)，若點(diǎn)與點(diǎn)共面，則，只有選項(xiàng)中符合題意.故選：.3．（2022秋·高二單元測(cè)試）（多選）下列各組向量中共面的有（）A．=（1，2，3），=（3，0，2），=（4，2，5）B．=（1，2，-1），=（0，2，-4），=（0，-1，2）C．=（1，1，0），=（1，0，1），=（0，1，-1）D．=（1，1，1），=（1，1，0），=（1，0，1）【答案】ABC【解析】選項(xiàng)A中，設(shè)，則解得故存在實(shí)數(shù)使得，因此共面.選項(xiàng)B中，選項(xiàng)C中.故B，C中三個(gè)向量也共面.選項(xiàng)D中，設(shè)，則顯然無解，故不共面.故選：ABC.4．（2023甘肅）（多選）下列命題正確的是（）A．若，則與共面B．若與共面，則C．若＝x＋y，則M，P，A，B共面D．若M，P，A，B共面，則＝x＋y【答案】AC【解析】AC：由向量共面定理知，則與共面；＝x＋y，則M，P，A，B共面，正確；B：若共線，與不共線，則就不成立；D：若M，A，B共線，點(diǎn)P不在此直線上，則＝x＋y不正確．故選：AC考點(diǎn)三空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示【例3】（2023廣西）（多選）已知空間向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．） D．與夾角的余弦值為【答案】BCD【解析】因?yàn)?，且，故A不正確；因?yàn)?，，則，故B正確；因?yàn)?，，故C正確；由于，，所以，所以D正確.故選:BCD.【一隅三反】1．（2023廣東）若，且為共線向量，則的值為（

）A．7 B．C．6 D．8【答案】C【解析】因?yàn)闉楣簿€向量，且它們均為非零向量，故存在實(shí)數(shù)，使得，故，所以，故，故，故選：C.2．（2023福建）已知，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以，，所?故選：C3．（2023秋·高一單元測(cè)試）設(shè)，則AB的中點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，所以故選：C．考點(diǎn)四空間向量與立體的綜合運(yùn)用【例4-1】（2023春·新疆阿勒泰）如圖，在四棱錐中，底面，四邊形是直角梯形，，，，點(diǎn)E在棱PB上．

(1)證明：平面平面PBC；(2)當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）因?yàn)榈酌妫矫?，所以．因?yàn)椋?，所以．所以，所以．又因?yàn)?，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．又平面EAC，所以平面平面PBC．（2）解法一：以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CB，CA，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，．

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，即，，，所以．所以，．設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為，則．所以，取，則，．所以平面ACE的一個(gè)法向量為．又因?yàn)槠矫鍼AC，所以平面PAC的一個(gè)法向量為．設(shè)平面PAC與平面ACE的夾角為，則．所以，平面PAC與平面ACE夾角的余弦值為．解法二：取AB的中點(diǎn)G，連接CG，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CG，CD，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，．

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，因?yàn)椋?，即，，，所以．所以，．設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為，則．所以，取，則，．所以，平面ACE的一個(gè)法向量為．又因?yàn)槠矫鍼AC，所以平面PAC的一個(gè)法向量為．設(shè)平面PAC與平面ACE的夾角為，則．所以，平面PAC與平面ACE夾角的余弦值為【一隅三反】1．（2023秋·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，二面角的大小為，是中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)橹苯翘菪沃?，，且，所以四邊形是平行四邊形，平面平面，平?又是中點(diǎn)平面平面，平面，又平面，平面平面，平面平面.（2）連接，由知：，由（1）知：且，，在平面內(nèi)過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以方向分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，從而，設(shè)平面的法向量為，即，令，得，易知平面的一個(gè)法向量為，，由題意知，二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.2．（2023春·浙江）在四棱錐中，底面為正方形，平面，．

(1)求證：平面平面；(2)若是中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)榈酌鏋檎叫危?，又平面，所以平面，又平面，所以平面平?（2）將題干圖形調(diào)整一下位置，記的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接，如圖，

因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，又由（1）知平面，平面，所以，又平面，所以平面，又是的中點(diǎn)，底面為正方形，所以，故以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，不妨設(shè)，則在中，，則，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，則，故，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，故，記直線與平面所成角為，則，所以，故直線與平面所成角的正弦值為.3．（2023春·重慶長(zhǎng)壽）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為菱形，PB＝PD，E，F(xiàn)分別為AB和PD的中點(diǎn)．(1)求證：EF∥平面PBC；(2)求證：平面PBD⊥平面PAC．(3)若，求二面角的平面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3).【解析】（1）取PC的中點(diǎn)為G，連接FG，BG，則因?yàn)镕，G分別是PD，PC的中點(diǎn)，所以，且，又因?yàn)辄c(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，，，所以且，所以且，即四邊形BEFG是平行四邊形，所以平面PBC，平面PBC，所以EF平面PBC.（2）取AC與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)O，連接PO，因?yàn)镻B=PD，點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以，由，，，平面，平面，得平面.又因?yàn)槠矫?，所以平面PBD⊥平面PAC.（3）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以又由（2）知，又，平面，平面，所以平面，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA，OB，OP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以在等邊中，，在直角中，，所以，設(shè)平面PAB的法向量為，則，，，由，得，取，得.設(shè)平面PBC的法向量為，則，，，由，得，取，得，所以，由圖可知二面角為鈍二面角，所以二面角的平面角的余弦值為.考點(diǎn)五動(dòng)點(diǎn)和軌跡問題【例5-1】（2023春·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考期中）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是正方形所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若平面，則點(diǎn)軌跡在正方形內(nèi)的長(zhǎng)度為.

【答案】【解析】取的中點(diǎn)，連接，如圖所示：

因?yàn)?，平面，平面，所以平?因?yàn)?，平面，平面，所以平?又因?yàn)槠矫?，，所以平面平?因?yàn)槠矫?，平面，所以點(diǎn)在平面的軌跡為.所以.故答案為：【例5-2】（2023春·上海寶山）已知、分別是正方體的棱、的中點(diǎn)，求：

(1)與所成角的大??；(2)二面角的余弦值；(3)點(diǎn)在棱上，若與平面所成角的正弦值為，請(qǐng)判斷點(diǎn)的位置，并說明理由.【答案】(1)；(2)；(3)點(diǎn)是線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，理由見解析.【解析】（1）在正方體中，令，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以的方向分別為,,軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則,，設(shè)與所成角為，，所以與所成角的大小是.

（2）平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，則，令，得，設(shè)的夾角為，，（3）設(shè)，則，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)與平面所成角為，即，所以當(dāng)，即點(diǎn)是線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí),與平面所成角的的正弦值為【一隅三反】1．（2023春·河北保定）（多選）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，P為底面ABCD內(nèi)（包括邊界）一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若直線與平面沒有公共點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為B．若，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為C．二面角B—EF—D的正切值為D．過E，F(xiàn)，C的平面截該正方體所得截面為五邊形【答案】ACD【解析】對(duì)于A，連接，在正方體中，由可得四邊形為平行四邊形，所以；因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可得平面，因?yàn)?，平面，所以平面平面；因?yàn)橹本€與平面沒有公共點(diǎn)，所以點(diǎn)P的軌跡線段，其長(zhǎng)度為，A正確.

對(duì)于B，取的中點(diǎn)，連接，設(shè)交于點(diǎn)，在正方形中，與全等，所以，所以，即；又分別為中點(diǎn)，所以平面，而平面，所以；因?yàn)?，所以平?因?yàn)椋渣c(diǎn)P的軌跡線段，其長(zhǎng)度為，B不正確.

對(duì)于C，延長(zhǎng)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，過點(diǎn)作于，連接，由正方體的性質(zhì)可得平面，平面，所以；因?yàn)?，，所以平面，所以；所以為二面角的平面角；在直角三角形中，，所以；在直角三角形中，，所以，C正確.

對(duì)于D，延長(zhǎng)，利用延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)作出截面圖，如圖，五邊形即為過E，F(xiàn)，C的平面截該正方體所得截面，D正確.

故選：ACD.2．（2023春·山東棗莊），分別是棱長(zhǎng)為1的正方體的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，總有，則點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為.

【答案】【解析】取中點(diǎn)，連接，設(shè)，則，，，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)檎襟w中面，面，所以，因?yàn)槊?，，所以面，因?yàn)檎襟w中面，面，所以，所以點(diǎn)的軌跡為矩形，在直角中，所以矩形面積為.即點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為.故答案為：3．（2023·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）在正方體中，為的中點(diǎn)，過的平面截此正方體，得如圖所示的多面體，為直線上的動(dòng)點(diǎn).

(1)點(diǎn)在棱上，當(dāng)時(shí)，平