2023年考研數(shù)學(xué)二真題及答案解析

2023年全國碩士碩士入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)二真題分析

一、選擇題：1?8小題，每題4分，共32分，下列每題給出的四個選項中，只有一項符合題目規(guī)定的,

請將所選項前的字母填在答題納指定位置上.

l-cos>/x八

-------------Y。

(1))若函數(shù)/(x)=ax在x=0處持續(xù)，則()

b,x<0

(A)ab(B)ab=-—(C)ab=0(D)ab-2

2

【答案】A

1

r~xii

【解析】lim———~—=lim——=——,f(x)在x=0處持續(xù)——=b==—.選A.

xWaxXT。'ax2a2a2

（2）設(shè)二階可導(dǎo)函數(shù)/（幻滿足A1）=/（-1）=1"（0）=-1且/”（尢）＞0,則（）

(A)jf[x}dx>0

(C)￡f^x)dx>￡f{x}dx(￡))￡f(x)dx<￡f(x)dx

【答案】B

【解析】

/（x）為偶函數(shù)時滿足題設(shè)條件，此時，/1）公=J：f（x）公，排除C,D.

取/(尤)=2/-1滿足條件,則J：f(%)加=J：(2/_1)公=_|<0，選B.

（3）設(shè)數(shù)列｛當(dāng)｝收斂，則（）

⑹當(dāng)㈣(x.+框［)=0時,

(A)當(dāng)limsinx,,=0時，hmxn=0Iimxz/=0

/：—>QOW->oO

(C)當(dāng)lim(xw+%,：)=0時，hmxn=0(￡))當(dāng)lim(xM+sinxw)=0時，\imxn=0

〃一>00n-x?w—>oon-^x>

【答案】D

【解析】特值法：（A）取光〃=?，有l(wèi)imsinx”=0,limx〃=〃，A錯;

w->ooHT8

取無”=一1,排除B,C.因此選D.

（4）微分方程的特解可設(shè)為

(A)Ae1'+e2'(5cos2x+Csin2x)(B)Axe2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)

(C)Ae1'+xelx(Bcos2x+Csin2x)(D)Axe2'+e2'(JBCOS2X+Csin2x)

【答案】A

2

【解析】特性方程為：/1-42+8=0=>/!12=2±2/

f(x)=e2x(1+cos2x)=e2x+e2xcos2xy：=Aelx=xe2r(Bcos2x+Csin2x),

故特解為：y*=X*+乂=A/*+xe2x(3cos2x+Csin2x),選C.

(5)設(shè)/(x,y)具有一階偏導(dǎo)數(shù)，且對任意的(x,y),均有二(龍，)')>0,二(乂>)〉0,則

dxdy

(A)/(O,O)>/(1,1)(B)/(O,O)</(1,1)(C)/(0,1)>/(1,0)(D)/(0,1)</(1,0)

【答案】c

【解析】:在')')>0,0('')')<0,0/(x,y)是有關(guān)XHU單調(diào)遞增函數(shù),是有關(guān)曠的單調(diào)遞減函數(shù)，

dxoy

因此有/(0,1)</(1,1)</(1,0),故答案選D.

(6)甲乙兩人賽跑，計時開始時，甲在乙前方10(單位：m)處，圖中實線表達(dá)甲的速度曲線丫=匕。)(單

位：mis),虛線表達(dá)乙的速度曲線丫=為?)，三塊陰影部分面積的數(shù)值依次為10,20,3,計時開始后乙追

上甲的)時刻記為0(單位：s),則()

v(m!s)

(A)/0=10(B)15<Z0<20(C)125(D)“25

【答案】B

【解析】從o到u這段時間內(nèi)甲乙口勺位移分別為「v,⑴故j：3。謹(jǐn),則乙要追上甲，則

pv2(t)-vl(t)J/=10)當(dāng)=25時滿足，故選C.

J0

jo)

(7)設(shè)A為三階矩陣，D=(%%，%)為可逆矩陣，使得KAP=1，則4(%%烏)=()

；2)

(A)+a2(B)a2+2a3(C)%+%(D)a}4-2a2

【答案】B

【解析】

']f0、(Q、

P'AP=1=AP=P1n4(/,%2，3)1

烏)=(，。。=a2+2<Z3,

、2)、VI2,

因此B對的。

-20o--21O--10o-

(8)設(shè)矩陣A=021,8=020,c=020，則()

001001002

(A)A與C相似,8與C相似(B)A與C相似,8與C不相似

(C)A與C不相似,8與C相似(D)A與C不相似,B與C不相似

【答案】B

【解析】由|/IE—d=0可知A的特性值為2,2,1.

’100、

由于3—r(2E—4)=1,，A可相似對角化，即4~020

、。02,

由b￡一卻=0可知B特性值為2,2,1.

由于3-r(2E—3)=2,；.B不可相似對角化，顯然C可相似對角化，二A~C,但B不相似于C.

二、填空題：9T4小題，每題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.

(9)曲線y=1+arcsin2)的斜漸近線方程為

【答案】y=x+2

【解析】

lim—=lim(l+arcsin—)=l,lim(y-x)=limxarcsin—2,

XfooXx—>00Xx—>00'/XT8

y-x+2

(10)設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程《確定，則T=______

y=sinrdx.

—it=。

【答案】--

8

【解析】

dydxdycost

—=cosr,—=Al+et=>—=-----

dtdtdxl+ez

'cost)

/丁_+/J__sin/(I+d)-cos/dd2y_1

n芯—dx-(i+d)2=正/~~8

~dtV'

'4-QOln(l+x)

(11)■dx-_______

I。(1+x)2

【答案】1

【解析】

+00+必.=-Jln(l+尤)41

(1+x)o1+x

0

ln(l+x)|^+彳O0

------^dx

(1+x)2

1+L1°一!0

(12)設(shè)函數(shù)f(x,y)具有一階持續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且df(x,y)="Zr+x(l+y)eycly,/(0,0)=0,則

f(x，y)=

【答案】孫e"

【解析】/；=yey,f'.=x(l+y)ey,f(x,y)=Jyeydx=xyey+c(y),故

yyyy

f'y=xe+xye+c'(y)=xe+xye,

因此c'(y)=0,即c(y)=C,再由f(0,0)=0,可得/(%,)，)=孫

【答案】

【解析】

(,八⑶JP。蟲[P.tan丁x,“

【答案】Incosl.

【解析】互換積分次序:

tanx

['dy['tanXdx=('dx\dy=f'tanxdx-Incos1.

JoJyxJoJo尤Jo

41-2I

(14)設(shè)矩陣A=12的J一種特性向量為1，則a=

31-12

【答案】-1

【解析】設(shè)&=1由題設(shè)知Aa=/la，故

2J

41一2、1、p、

12a1=AIn3+2a

3I2J2J(2

故a=-l.

三、解答題：15—23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字闡明、證明過程或

演算環(huán)節(jié).

[yjx—te'dt

(15)(本題滿分10分)求極限lim蟲,=-

*G

2

【答案】-

3

fyJx-te'

【解析】lim—~=——dt,令x—，=〃，則有

Xf0

￡yjx-te'dt=_j°y/uex+udu=￡y[uex^udu

￡y[uel,du

原式二limlim—

3

XTOA-?0

戶

￡du

limlim

r-?03y3

J

2

dydy

(16)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)/(〃/)具有2階持續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，y=f(ex,cosx),求多,一

dxx=0dx-

【答案】電,d?y

兀(1，D，

dxA=0

【解析】

x=0

y=/(e*,cosx)=>y(0)=/(1,1)

dy

=>-(港+￡(-sinx))[°=，(L1)?1+加,1)?0=/；(L1)

dxx=0

=>E=Z'ie2v+亢"(—sinx)+力;e*(—sinx)+力；sii？x+工e*-f；cosx

ax~

/(1,1)+￡(1,1)-￡(U)

dx^x=0

結(jié)論:

dy

=，(U)

公0

=/(□)+水,11)-￡(1,1)

(17)(本題滿分10分)求皿七占lnfl+工

…長"In

【答案】-

4

【解析】

期魯―(1+§=/沁(1+幻辦=；仙(1+處加=例(1+力咻4￡^1辦)=；

(18)(本題滿分10分)已知函數(shù)y(x)由方程/+；/一3%+3丁-2=0確定，求y(x)的極值

【答案】極大值為y⑴=1,極小值為y(T)=0

【解析】

兩邊求導(dǎo)得：

3x2+3/y,-3+3y'=0(1)

令y'=0得尤=±1

對(1)式兩邊有關(guān)X求導(dǎo)得6x+6y(y')2+3y2y"+3y"=0(2)

一X=1［x=—1

將％=±1代入原題給的等式中，得4or\，

7=1［y=o

將x=l,y=l代入(2)得y"(l)=—1<0

將x=-l,y=O代入(2)得y"(—1)=2>0

故x=l為極大值點，y⑴=1；x=—l為極小值點，y(—D=0

(19)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,1］上具有2階導(dǎo)數(shù)，且/(1)>0,6111/3<0,證明：

z0*X

(I)方程/(X)=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少存在一種實根；

(口)方程/(x)/(x)+(/(x))2=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少存在兩個不一樣實根。

【答案】

【解析】

(I)f(x)二階導(dǎo)數(shù),/(1)>0,lim^<0

Xf0+X

解：1)由于根據(jù)極限的保號性得

10*X

三3>0,也€(0,5)有^^<0,即/(x)<0

X

進(jìn)而出)€(0?)有〃b)<0

又由于/(X)二階可導(dǎo)，因此/(X)在［0,1］上必持續(xù)

那么在［5,1］上持續(xù)，由/3)<0,/⑴>0根據(jù)零點定理得:

至少存在一點Je(b,l),使/G)=0,即得證

(II)由(1)可知"0)=0,對€(0,1),使fC)=0,令/(x)=〃x)/(x),則/(0)=/?=0

由羅爾定理切e(0看),使廣⑺=o,則尸(0)=尸①)=尸?=。

對F(x)在(0月),何看)分別使用羅爾定理：

切e(0,7),72€(〃，)且丐,%e(0,l)，7#%,使得尸,(7)=F(小)=0,即

F'(X)=/(x)r'(％)+(/(x)y=0在(0,1)至少有兩個不一樣實根。

得證。

(20)(本題滿分11分)已知平面區(qū)域￡>={(%則f+:/<2)，},計算二重積分爪％+1)”辦，。

D

■一華05萬

【答案】—

4

【解析】+dxdy-^(^x1+\^dxdy-l^xrdxdy-^-^dxdy-2^-d0^r2cos20d0+7r--

DDDDoo4

(21)(本題滿分11分)設(shè)y(x)是區(qū)間(0,內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)，且y(l)=0,點尸是曲線L:y=y(x)上

任意一點，L在點P處的切線與y軸相交于點(0,5),法線與x軸相交于點(XdO),若Xp=Yp,求L

上點的坐標(biāo)(x,y)滿足的方程。

【答案】

【解析】設(shè)p(x,y(x))的切線為丫―y(x)=y'(x)(X—%),令X=0得=y(x)-y'(x)x,法線

y_y(x)=一一二(X—x),令y=0得Xp=x+y(x)y'(x)。由X=Yy-xy'(x)=x+yyz(x),即

y(x)

化+l]y'(x)=2-10令)="，則y^ux，按照齊次微分方程的解法不難解出

7xx

12

—ln(w+1)+arctanu=-\n\x\+C,

x

(22)(本題滿分11分)設(shè)3階矩陣A=(?,七,火)有3個不一樣的特性值，且。3=4+2。2。

(I)證明：r(A)=2

(n)若尸=/+。2+。3，求方程組Ax=4底I通解。

【答案】(D略；(II)通解為kR

【解析】

(I)證明：由。3=4+2a2可得4+2%-。3=。，即線性有關(guān)，

因此，同=|?1a2閡=0,即A/J特性值必有0o

又由于A有三個不一樣的特性值，則三個特性值中只有1個0,此外兩個非0.

且由于A必可相似對角化，則可設(shè)其對角矩陣為A=4，4*4*0

、0>

廠⑷=r(A)=2

(II)由(1)(4)=2,知3-/"(4)=1,即Ar=0的基礎(chǔ)解系只有1個解向量,

、r1

由%+2a2-4=0可得(，，=0,則Ar=0的基礎(chǔ)解系為2

7-17

1

又￡=,+&2+%，即(4,02,,則Ax=4的一種特解為

(\\rn

綜上，加=尸的通解為女2+1,keR

（23）（本題滿分11分）設(shè)二次型/（%],為2，X3）=2*一X；+竭+2F々一8x/3+2々工3在正交變換

X=QY下的原則型4#+4及，求"時值及一種正交矩陣。.

1I1

耳

Fa一

12

oX

一

【答案】a=2;Q=f一

而

耳1(1

【解析】

2

r

f(x?x2,x3)=XAX,其中A=11

I1a,

由于/（為龍2，X3）=XZX經(jīng)正交變換后，得到的原則形為4