2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（全國版理） 第9章 拋物線

拋物線

【考試要求】1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程2掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì)(范圍、

對稱性、頂點、離心率).3.了解拋物線的簡單應(yīng)用.

佚口識梳理】

1.拋物線的概念

把平面內(nèi)與一個定點尸和一條定直線/(/不經(jīng)過點好的距離相箜的點的軌跡叫做拋物線，點F

叫做拋物線的焦慮，直線/叫做拋物線的型」

2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)

圖形

范圍x》0,)，GRxWO,>GRy20,xGRyWO,xCR

焦點

準(zhǔn)線方程X=—2一甘

x2X2

對稱軸y軸

頂點(0.0)

離心率e=i

【常用結(jié)論)

拋物線焦點弦的幾個常用結(jié)論

設(shè)48是過拋物線VnZpMp＞。)的焦點F的弦，若A(xi，yi),B(x2,m)，則

(2)若A在第一象限，8在第四象限，則—，|8用=行一，弦長|A8|=xi+x2+p

IcosaiIcosa.

=懸?為弦48的傾斜角)；

(3)-L+-L=2.

⑶|冏十|F劇p'

(4)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；

⑸以A尸或BF為直徑的圓與)，軸相切；

(6)過焦點弦的端點的切線互相垂直且交點在準(zhǔn)線上；

(7)通徑：過焦點與對稱軸垂直的弦長等于2p.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確（請在括號中打“J”或“X”）

（1）平面內(nèi)與一個定點尸和一條定直線/的距離相等的點的軌跡是拋物線.（X）

（2）方程y=4f表示焦點在x軸上的拋物線，焦點坐標(biāo)是（1,0）.（X）

⑶拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.（X）

（4）若直線與拋物線只有一個交點，則直線與拋物線相切.（X）

【教材改編題）

1.拋物線y=2/的準(zhǔn)線方程為（)

A.產(chǎn)，B.產(chǎn)-；

C.y=-1

D.y=~\

答案A

解析由），=2/,得『=%，，故拋物線），=2/的準(zhǔn)線方程為產(chǎn)一益.

2.過拋物線V=4x的焦點的直線/交拋物線于P（?,yi）,Q（M，、2）兩點，如果為+及=6,

則IPQI等于（）

A.9B.8C.7D.6

答案B

解析拋物線V=4x的焦點為F（l,0）,準(zhǔn)線方程為x=-l.根據(jù)題意可得，

|PQ|=+IQQ=汨+1+*+1

=彳|+及+2=8.

3.已知拋物線C與雙曲線產(chǎn)=1有相同的焦點，且頂點在原點，則拋物線C的方程是

答案y2=±4，lr

解析由已知可知雙曲線的焦點為

（一啦，0）,（啦，0）.

設(shè)拋物線方程為y2=±2px（p>0）,則?=也，

所以夕=2吸，所以拋物線方程為丁=±4巾乂

題型一拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程

命題點1定義及應(yīng)用

例1（1）（2020.全國I）已知A為拋物線C：）2=2px（p>0）上一點，點A到C的焦點的距離為

12,到y(tǒng)軸的距離為9,則P等于（）

A.2B.3C.6D.9

答案C

解析設(shè)A(x,y),由拋物線的定義知，點A到準(zhǔn)線的距離為12,即x+g=12.

又因為點A到y(tǒng)軸的距離為9,即x=9,

所以9+§=12,解得p=6.

(2)已知點M(20,40),拋物線k=2px(p>0)的焦點為F.若對于拋物線上的一點P,\PM\+\PF]

的最小值為41,則p的值等于.

答案42或22

解析當(dāng)點例(20,40)位于拋物線內(nèi)時，如圖①，過點P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為D,

則甲網(wǎng)=|尸。|,

\PM\+\PF]=\PM\+\PD\.

當(dāng)點M,P,。三點共線時，IPM+IP?的值最小.

由最小值為41,得20+g=41,解得p=42.

當(dāng)點例(20,40)位于拋物線外時，如圖②，當(dāng)點、P,M,尸三點共線時，『M+IPQ的值最小.

由最小值為41,得@()2+(20一分=41,

解得p=22或p=58.

當(dāng)p=58時，^=116*,點M(20,40)在拋物線內(nèi)，故舍去.

綜上，p=42或p=22.

①②

思維升華“看到準(zhǔn)線想到焦點，看到焦點想到準(zhǔn)線”，許多拋物線問題均可根據(jù)定義獲得

簡捷、直觀的求解.“由數(shù)想形，由形想數(shù)，數(shù)形結(jié)合”是靈活解題的一條捷徑.

命題點2求標(biāo)準(zhǔn)方程

例2(1)設(shè)拋物線)J=2px的焦點在直線2x+3y—8=0上，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()

A.x——4B.x——3

C.X——2D.X——1

答案A

解析直線2x+3y—8=0與x軸的交點為(4,0),...拋物線9=2px的焦點為(4,0),...準(zhǔn)線方

程為X——4.

(2)已知拋物線C：?=2*3>0)的焦點為凡準(zhǔn)線為/,點A是拋物線C上一點，ADLI,交

/于。.若[Af]=4,ZDAF=60°,則拋物線C的方程為()

A.V=8xB.V=4x

C.^-—IxD.y2=x

答案B

解析根據(jù)拋物線的定義可得|AD|=|AQ=4,

又NZMF=60。，

所以IAOI—〃=IAF|COSeo^liA/q,

所以4-p=2,解得p=2,

所以拋物線C的方程為V=4x.

【教師備選】

1.已知拋物線V=4x的焦點為凡M,N是拋物線上兩個不同的點.若|MQ+Wfl=5,則線

段MN的中點到y(tǒng)軸的距離為（）

35

A.3B.5C.5D.5

答案B

解析由題意知拋物線的準(zhǔn)線方程為》=-1,分別過點M,N作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M',

N'（圖略），

根據(jù)拋物線的定義得=

\NF]=\NN'I，

所以|MF|+|NF|=|MM'|+WMI，

所以線段MN的中點到準(zhǔn)線的距離為

|（|WF|+|Af/;l）=2>所以線段MN的中點到y(tǒng)軸的距離為,一1=|.

2.（2022?濟南模擬）已知拋物線『=2py（p>0）,過焦點F的直線與拋物線交于A,8兩點（點A

在第一象限）.若直線A8的斜率為坐，點A的縱坐標(biāo)為|,則。的值為（）

A.C.1D.2

答案c

解析由題意得，拋物線『=20，（/?0）的焦點在），軸上，

準(zhǔn)線方程為尸一多

設(shè)A（XA,劃），

則|AF]=y4+g=|+多

設(shè)直線AB的傾斜角為明

則tana=坐，

JT

因為《￡[0,7i）9所以。=不

3

2-2

-22-23

-〃

所以|AF|=

Jn

所以3—p=,+多解得p=l.

思維升華求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法

（1）定義法；（2）待定系數(shù)法：當(dāng)焦點位置不確定時，分情況討論.

跟蹤訓(xùn)練1（1）設(shè)拋物線的頂點為0,焦點為F,準(zhǔn)線為I,P是拋物線上異于0的一點，過

P作于。.則線段尸。的垂直平分線（）

A.經(jīng)過點。B.經(jīng)過點P

C.平行于直線OPD.垂直于直線0P

答案B

解析連接PF（圖略），由題意及拋物線的定義可知|PQ|=|FP|,則尸為等腰三角形，故

線段FQ的垂直平分線經(jīng)過點P.

（2）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”，講述了“勾股定理”

及一些應(yīng)用，直角三角形的三條邊長分別稱為“勾”“股”“弦”.設(shè)點F是拋物線/=

2Pxs>0）的焦點，/是該拋物線的準(zhǔn)線，過拋物線上一點A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為B,直線

AP交準(zhǔn)線/于點C,若Rt/VIBC的“勾”|A8|=3,“股”|C陰=3小，則拋物線的方程為（）

A.y2=2xB.y2=3xC.y2=4xD./=6x

答案B

解析如圖，|A8|=3,

18cl=34，

則|AC|=、32+（34>=6,

設(shè)直線/與x軸交于點”，

由|AB|=|AF|=3,|AC|=6,可知點F為AC的中點，

13

所以|「，|=習(xí)48|=2，

3

又尸"l=p,所以〃=2，

所以拋物線的方程為V=3x.

題型二拋物線的幾何性質(zhì)

例3（1）（2021.新高考全國II）拋物線）2=2*（p>0）的焦點到直線y=x+｝的距離為明，則p

等于（）

A.1B.2C.2吸D.4

答案B

z、g-0+]

解析拋物線的焦點坐標(biāo)為保0,其到直線x-y+l=o的距離d=—=也，

yjY1+1'

解得p=2(p=-6舍去).

(2)已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F,直線/的斜率為小且經(jīng)過點凡與拋物線C交于

4,8兩點(點4在第一象限)，與拋物線C的準(zhǔn)線交于點D若|AQ=8,則以下結(jié)論不正確的

是()

A.p=4B.DF=M

C.\BD\^2\BF]D.|8F|=4

答案D

解析如圖所示，分別過點A,2作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點E,M,連接EE

設(shè)拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點P,則|PF]=p.因為直線/的斜率為小，所以其傾斜角為60。.

因為4E〃x軸，所以NEA尸=60。，

由拋物線的定義可知，|AE|=|AQ,

則AAE尸為等邊三角形，

所以/EFP=NAEF=60°,

則NPEF=30。，

所以|Afl=|En=2Ff]=2p=8,得p=4,

故A正確；

因為|AE|=|￡F|=2|PF|,S.PF//AE,

所以F為AO的中點，則際=麗，故B正確；

因為ND4E=60。，所以NAOE=30。，

所以出￡>|=2|BM=2|8勻，故C正確；

因為山。|=2|8月，

11Q

所以舊回二手勿尸司人儀=1,故D錯誤.

【教師備選】

1.拋物線V=2px3>0)準(zhǔn)線上的點4與拋物線上的點8關(guān)于原點O對稱，線段48的垂直平

分線。”與拋物線交于點M,若直線MB經(jīng)過點M4,0),則拋物線的焦點坐標(biāo)是()

A.(4,0)B.(2,0)

C.(1,0)D.&0)

答案c

解析設(shè)點B(X1,9),M(X2,”)，

則點A（一x”—yi）,可得一xi=一多

貝11xi=多

設(shè)直線MB的方程為x=my+4,

x=my+4,

聯(lián)立,可得y2—21npy—8p=0,

iy=2px,

所以yi》2=—8p,

由題意可知，

2o

OB-OM=xiX2+yiy2=^f+yiy2

=籌-80=16—80=0,

解得p—2.

因此，拋物線的焦點為（1,0）.

2.（2022?唐山模擬）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于

拋物線對稱軸的方向射出.反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物

P偌,1）射

線的焦點.已知拋物線r：V=x，0為坐標(biāo)原點，一束平行于x軸的光線/i從點

入，經(jīng)過一上的點A8,V）反射后，再經(jīng)「上另一點83,”）反射后，沿直線/2射出，經(jīng)過

點。，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A./”=一］

B.|AB|=y1

C.尸8平分NA8Q

D.延長AO交直線x=一：于點C,則C,B,。三點共線

答案A

解析設(shè)拋物線的焦點為凡

則心°）-

因為喘，1），

且l\//x軸，

故4（1,1）,

故直線AF：尸淳T）4T

1

-故錯

A誤

2=

故yiV

4,

一不

故"=

l,

又yi=

，

,一力

故我

；

正確

故B

1，

T=f

]^+

|=l+

故H3

,

y=x

1

,由｛

y=x

AO：

直線

不

x=_

="，

故"

:），

:，一

《一

可得

；

正確

故D

線，

點共

。三

,B,

所以C

25

41

,

|AB|

啟=

一1=

|=正

因為|AP

角形，

等腰三

PB為

故4A

B,

AAP

8P=

故NA

B,

NAP

BQ=

故NP

/2,

而/i〃

,

/PBQ

BP=

即/A

正確.

故C

BQ,

分NA

B平

故P

出拋物

觀地看

可以直

過圖形

，通

形思考

合圖

，常結(jié)

題時

質(zhì)解

何性

的幾

物線

應(yīng)用拋

升華

思維

觀性.

題的直

思想解

形結(jié)合

現(xiàn)了數(shù)

，體

特征

幾何

向等

口方

、開

稱軸

、對

頂點

線的

F,

點為

）的焦

S>0

=2px

線C：V

，拋物

原點

坐標(biāo)

。為

）已知

全國I

高考

1?新

1）（202

2（

訓(xùn)練

跟蹤

線方程

的準(zhǔn)

則C

=6,

尸。|

OP.若

PQ_L

，且

一點

軸上

為x

，。

垂直

與x軸

，P尸

一點

C上

P為

.

為

3

2

X=-

答案

,

PQF

F^Z

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=p,

|PQ

/qn?,

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角形法