河南省高二年級(jí)上冊(cè)11月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

一、單選題

1.空間任意四個(gè)點(diǎn)4B,C,D,則刀+無(wú)-麗等于（）

A.DBB.ABC.ACD.BA

【答案】D

【分析】利用空間向量加法的三角形法則和向量減法的定義即可求出答案.

【詳解】易知，出+而-在=歷+5-闞=刀+而=麗+山=的.

故選：D.

2.如圖，平行六面體/SCO-481GA中，NC與8。的交點(diǎn)為設(shè)9=1AD^b,AA,=e,則

下列向量中與可7相等的向量是（

B.—o+—^+c

22

1-1--

D.——a——b+c

【答案】C

【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求解即可.

【詳解】由已知得和=而_而=，方+亞）_（而+石+祠）

故選：C.

3.若向量。=（1,40）,*=（2,-1,2）,且ai,bf的夾角的余弦值為|,則實(shí)數(shù)人等于（）.

444

A.0B.――C.0或一1D.0或§

【答案】C

【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算及夾角公式，代入坐標(biāo)計(jì)算即可.

【詳解】由題意得cos口,而=箭=卡.搞"W,解得附。或人-?

故選:C.

4.如圖，某圓錐S。的軸截面&4C是等邊三角形，點(diǎn)5是底面圓周上的一點(diǎn)，且乙8OC=60。，點(diǎn)

M是弘的中點(diǎn)，則異面直線“8與CM所成角的余弦值是（）

D,在

2

【答案】C

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，分別得到方，而，然后根據(jù)空間向量夾角公式計(jì)算即可.

【詳解】以過點(diǎn)。且垂直于平面的直線為x軸，直線。c,os分別為y軸，z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)0C=2,

則根據(jù)題意可得/（0,-2,0）,5（>/3,1,0）,C（0,2,0）,M（0,-l,V3）,

所以布=（百,3,0）,@7=（0,-3,6）,

設(shè)異面直線AB與CM所成角為6,

|V3x0+3x（-3）+0xV3|

則cos0=|cos^S,CM）=3

>/3+9-79+34

故選：C.

5.已知定直線/的方程為V-l=Mx-2）（%<0）,點(diǎn)。是直線/上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)。作圓

C:（x-l）2+（y+2）2=l的一條切線，M是切點(diǎn)，C是圓心，若面積的最小值為則

△0MC面積最小時(shí)直線/的斜率左為（）

1345

A.——B.——C.——D.——

3432

【答案】B

【分析】分析可知當(dāng)時(shí)，△0A/C的面積取最小值，求得|C0|=3,即圓心C到直線/的距離

為3,利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得上的值.

【詳解】由題意可得直線/的方程為依-y+l-24=0,圓C的圓心C(l,-2),半徑為1,

如圖Sowe=^\QM\-\CM\=^\QM\=6,

又|OM=J|CQ1-I,所以，當(dāng)理|取最小值時(shí)，|0叫取最小值，此時(shí)C0_L/,

可得|0陷=2五，二|。。|=3,則3=尼芥子i=白'，解得/=_((%<o).

故選：B.

6.已知直線以+2y-4=0與直線x+(a+l)y+2=0平行，則實(shí)數(shù)”的值為()

2

A.1B.-2C.1或-2D.一§

【答案】A

【分析】根據(jù)兩直線平行的條件列方程，化簡(jiǎn)求得。，檢驗(yàn)后確定正確答案.

【詳解】由于直線改+2丁-4=0與直線x+(a+lW+2=0平行，

所以4x(a+l)=2xl,a2+a-2=0,a=l或a=-2,

當(dāng)。=-2時(shí)，兩直線方程都為x-y+2=0,即兩直線重合，所以。=-2不符合題意.

經(jīng)檢驗(yàn)可知。=1符合題意.

故選：A

7.已知42,0),8(0,2),若直線y=%(x+2)與線段有公共點(diǎn)，則上的取值范圍是()

A.[-1』]B.[1,+°0)

C.[0,1]D.(-0,-1]U[1,+?)

【答案】C

【分析】判斷出直線y=%(x+2)經(jīng)過定點(diǎn)〃(-2,0),分別求出兒,心，即可求解.

【詳解】由于直線V=MX+2)的斜率為k,且經(jīng)過定點(diǎn)(-2,0),設(shè)此定點(diǎn)為“.

而直線的斜率為七“=空當(dāng)=。，直線MS的斜率為而=o：j：)=l，

要使直線丁=4卜+2)與線段有公共點(diǎn)，只需04k41.

故選：C.

8.從［-6,9］中任取一個(gè)實(shí)數(shù)〃?，則直線3》+”+加=0被圓X2+J?=2截得的弦長(zhǎng)大于2的概率為

()

2211

A.~B.-C."D.-

3535

【答案】A

【分析】求出直線3x+4y+機(jī)=0被圓/+丁=2截得的弦長(zhǎng)大于2的等價(jià)條件，利用幾何概型的概

率公式進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)論.

【詳解】解：由題知所給圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為0，

當(dāng)弦長(zhǎng)大于2時(shí)，圓心到直線/的距離小于1,即野<1,

所以-5<"1<5,

故選A.

二、多選題

9.在四面體中，E是棱8c的中點(diǎn)，且次=》而+P麗+z成，則下列結(jié)論中不正確的是

A.x+y+x

C.x=y+zD.x1=y2+z

【答案】ABD

【分析】應(yīng)用空間向量加減、數(shù)乘的幾何意義，結(jié)合幾何體用而，麗，友表示衣，即可確定X、

戶Z的值，進(jìn)而判斷各選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

...左=詬+詼=而+;（麗+嵐），

.-.x=l,y=z=5，^ix=y+z,故A,B,D錯(cuò)誤，c正確.

故選：ABD.

10.如圖，在正方體/8CO-4用GA中，點(diǎn)。在線段/c上移動(dòng)，M為棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)

A.2。//平面43C；

B.ND0M的大小可以為90。

C.直線R。與直線恒為異面直線

D.存在實(shí)數(shù)義，使得|麗-2不-（1-2）函=等四成立

【答案】ABD

【分析】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系。-平，利用空間向量的方法逐一計(jì)算各個(gè)選項(xiàng).

【詳解】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系。-斗，如圖所示，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,

設(shè)0（x,2-x,0）,0”x”2,￡>,（0,0,2）,5（2,2,0）,5,（2,2,2）,

所以西=（-x,x-2,2）,西=（2,2,2）.又。31平面486,所以平面

48G的法向量為函=（2,2,2）.因?yàn)槲?西=0,

所以所以2。//平面48G，故A正確；

對(duì)于5,當(dāng)。為4C的中點(diǎn)時(shí),0(1,1,0),0(221),4(2,0,0),C(0,2,0),

所以西=(-1,7,2),衣=(-2,2,0),而=(0,2,1),

西?衣=0,西?元=0,西?初=0,所以

所以平面K4c，所以ND0”的大小可以為90。，故8正確；

對(duì)于C當(dāng)。為線段4C的中點(diǎn)時(shí)，直線。。與5片共面，故C不正確

對(duì)于D,4。,C三點(diǎn)共線n而=+(1-〃)求

|兩-〃幣瓦卜|兩一麻卜的...日而，故D正確.

11.在平面直角坐標(biāo)系X。，中，己知P】g,0,48是圓C：x2+(y-￡|=36上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿

足歸力|=忸4，下列結(jié)論正確的是()

7T

A.直線N8的傾斜角是:

B.直線48的傾斜角是5一兀

C.?卻最大時(shí)，口D45的面積是3百

D.卻最大時(shí)，口尸的面積是6

【答案】AD

【分析】因?yàn)閨尸/|=歸四，則點(diǎn)P在相的垂直平分線上，所以PC1Z8,根據(jù)兩直線垂直的斜率

關(guān)系可求得.|/用最長(zhǎng)即為圓的直徑，|PC|用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算，5.3=:,即|尸。|代入即可

求得.

【詳解】?H=|尸司，.?.尸在力8的垂直平分線上，又力8是圓C的弦，圓心C也在48的垂直平分

線上，則既0=2~言=一0-,.:力^的斜率為行，直線N5的傾斜角為￡.當(dāng)過圓

。-坦33

2

心C,即為直徑時(shí)，|”|=12,此時(shí)口尸力8的高為PC,且|PC|=1,

S…g-M|PC|=gxl2xl=6.

故選：AD

12.已知直線/八x+y4=0與圓心為M（0,1）且半徑為3的圓相交于/,8兩點(diǎn)，直線打

2加什2y-3m5=0與圓M交于C,。兩點(diǎn)，則四邊形4c8。的面積的值可以是（）

A.973B.972C.6貶D.9（及+1）

【答案】BC

【分析】寫出圓的方程，聯(lián)立直線方程與圓方程，求出48的坐標(biāo)，可知?jiǎng)又本€過48的中點(diǎn)，

則當(dāng)CD與AB垂直時(shí)四邊形ACBD面積最大，代入四邊形ACBD面積公式求解即可.

【詳解】根據(jù)題意，圓”的圓心為M（0,1）且半徑為3,則圓〃的方程為》2+（尸1）2=%即

x2+jA2y8=0,

直線x+升4=0與圓/相交于48兩點(diǎn)，

x2+y2-2y—8=0fx=3[x=0

則有:,解可得：1或,，即48的坐標(biāo)分別為（3,1）,（0,4）,

x+y-4=0[y=l[y=4

___35

則|/8|=J9+9=3及,且的中點(diǎn)為（],-）,

35

直線2mx+2產(chǎn)3〃?一5=0,變形可得機(jī)（2x3）+2-5=0,直線辦恒過定點(diǎn)（]，-）

設(shè)N（。，I"）,

22

當(dāng)C。與垂直時(shí)，四邊形/CB。的面積最大，

53

此時(shí)CD的方程為變形可得y=x+l,經(jīng)過點(diǎn)M（0,1）,

則此時(shí)|CD|=6,

故S四邊影ACBD的最大值=$/。8+$/。8=3'6、3五=972，

故S四邊形ACBD^）忑i，

故選：BC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于求得的中點(diǎn)與直線6恒過定點(diǎn)是同一點(diǎn)，從而判斷當(dāng)

與AB垂直時(shí)四邊形ACBD面積最大.

三、填空題

13.已知點(diǎn)4(1,1,3),5(0-1,2),C(2,3㈤,若A,8,C三點(diǎn)共線,則』=.

【答案】4

【分析】首先求出刀，就的坐標(biāo)，再根據(jù)A,B,C三點(diǎn)共線，即可得到茄〃關(guān)，從而

AC=tAB,即可得到方程，解得即可；

【詳解】解：因?yàn)?(1,1,3),5(0,-1,2),C(2,3M)

所以方=(-1,-2,-1),祝=(1,2,2-3)

1=—t(

ULUULHI._t-—1

因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線，所以/8〃/C，即NC=f/8，所以｛2=-2/,解得｛,

X=4

2-3=-r1

故答案為：4

14.設(shè)曲線/(x)=缶在x=2處的切線與直線"-丁=0垂直，則。=.

【答案】-9

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及兩直線垂直的關(guān)系，求實(shí)數(shù)。的值.

【詳解】因?yàn)?(x)=l-一=，所以/'(%)=廠',所以/(2)=:，

x+1+9

所以=即。=一9.

故答案為：-9

15.唐代詩(shī)人李頑的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河詩(shī)中隱含

著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬'問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊

飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)閐+/45

,河岸線所在直線方程為x+y=8,若將軍從點(diǎn)44,0)處出發(fā)，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域

即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程為.

【答案】3小

【分析】求出點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)8,再根據(jù)|。卻的值求最值.

【詳解】設(shè)8(%,%),則人相二七，的中點(diǎn)坐標(biāo)為(血;，彳］,

有因?yàn)锳,8關(guān)于直線x+y=8,

所以％—4,解得%=8,%=4,

上+為=8

22

即8(8,4),

故最短路徑為麻不-石=3不，

故答案為：3VL

16.已知圓C的圓心在y軸上，截直線4：3x+4y+3=0所得弦長(zhǎng)為8,且與直線％：3x-4y+37=0

相切，則圓C的方程.

【答案】f+3-3)2=25

【分析】設(shè)圓C的圓心為C(O,b),半徑為r(r>0),分別求出圓心C到直線4和4的距離，利用直

線與圓的位置關(guān)系列出方程組，可得圓的方程.

【詳解】設(shè)圓C的圓心為C(0,6),半徑為r(r>0)

圓心c到直線/,的距離為4=乂=嗎電，

r22

V3+45

1-46+371\4b-31\

圓心C到直線/2的距離為出=業(yè)+(可=-5—

[小電苴+】6

25b=3

即《解得

(4^37/r=5

r=d2[—

25

則圓C的方程為公+3-3)2=25

故答案為:f+(y-3)2=25

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)線距公式，解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)是直線

與圓相交時(shí)，半徑的平方與弦長(zhǎng)一半的平方和圓心到直線的距離的平方和相等，并利用直線人與相

切，列出方程組，解出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生邏輯思維能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

四、解答題

17.已知刁=（力+1,1,22）,在=（6,2〃-1,2）.

（1）若，麻,分別求，與〃的值;

（2）若同=石,且萬(wàn)與半=（2,-244）垂直,求之.

【答案】（1）/l=g,〃=3；（2）a=（0,1,-2）.

【分析】（1）根據(jù)平行關(guān)系可得1=區(qū)，由此構(gòu)造方程組求得結(jié)果;

（2）根據(jù)向量垂直和模長(zhǎng)可構(gòu)造方程組求得7,由此得到履

4+1=6/

【詳解】（1）由1/區(qū)得：。=區(qū)，即解得：

2/1=2，P=3

(2)v51c,:.a-c=2(A+l)-2A-2A2=-2A2+2=0,

又同=后，^(2+1)2+1+4/2=V5,即5萬(wàn)+24-3=0,

5分+2/1-3=0

由，得：A=-l?4=(0,1,-2).

-222+2=0

18.如圖，在三棱柱/8C-44cl中，1.平面/8C,/8=2石,4C=28C=4,且。為線段48

的中點(diǎn)

(1)證明：BClAtD;

（2）若用到直線AC的距離為M,求二面角B.-A.C-D的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

八、37465

⑷-------

155

【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可證得Z4,8C,理由勾股定理證得8CJ.48,再根據(jù)線面垂

直的判定定理可證得5c工平面,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證;

(2)過8作于連接用“，易證則以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立

空間直角坐標(biāo)系8-斗，利用向量法即可求出答案.

【詳解】(I)證明：因?yàn)?，平面N8C,8Cu平面N8C,所以44,8C,

因?yàn)?2區(qū)AC=2BC=4,

所以+=4。2,所以8c1N8,

因?yàn)?8c/4=4,所以8C/平面4844，

又4。u平面力8A4,所以8CJ.4。：

(2)解：過B作BH上4c于H,連接用”，

因?yàn)槠矫?8C,AA,□WB,

所以_L平面48C,

又因4Cu平面/8C,所以8，J.NC,

因?yàn)?所以ZC1平面8片〃,

又平面8片"，所以用”J./C,則=

因?yàn)锽H=2X2#=6,所以5A=J19-3=4.

4

以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系8-%產(chǎn)，如圖所示,

則C(0,0,2),0,0),4QG,4,0),4(0,4,0),

n-DA=\J3x+4y=0

設(shè)平面4。的法向量為。=(xj,z),貝卜[

n-CA.=2Gx+4y-2z=0

令x=4,貝ij萬(wàn)=(4,-6,2方)，

同理可得平面48c的一個(gè)法向量為m=(0,1,2),

mn/--\3百3網(wǎng)

則cos何，＞及幣

由圖可知，二面角片-4C-。為鈍角，

故二面角4-4C-。的余弦值為一主匝.

155

19.己知直線//：x+y+2=0；I2：mx+2)H-n=0.

(1)若l山2,求〃？的值；

(2)若〃〃2,且他們的距離為石，求〃?，〃的值.

【答案】(1)m=-2；(2)m=2,n=4±2y/10.

【分析】(1)由垂直得斜率互為負(fù)倒數(shù)，可求得加；

(2)由平行求得拉，再由距離求得〃.

【詳解】(1)4的斜率為尢=T,?.?//1/2,???直線4的斜率為/=-1=1，二加=-2；

(2)???1=［，加=2(小4時(shí)兩直線平行)，

4的方程化為x+y+g=O,.?.兩平行間的距離為,卜-萬(wàn)|匕,解得〃=4±2&6.

2八丁=也

【點(diǎn)睛】本題考查兩直線垂直與平行的條件，考查兩平行線間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.

20.已知圓C的圓心在直線y=gx,且過圓C上一點(diǎn)河(1,3)的切線方程為y=3x.

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)M的直線/與圓交于另一點(diǎn)N,求SACMN的最大值及此時(shí)的直線/的方程.

【答案】(l)(x-4)2+(y-2)2=10

(2)5,2x+歹—5=0或x-2y+5=0

【分析】(1)根據(jù)題意，過也點(diǎn)的直徑所在直線方程為x+3y-10=0,進(jìn)而與直線y=聯(lián)立方程

即可得圓心，進(jìn)而求解方程；

(2)要使SCMN最大，則N點(diǎn)滿足CN所在直線與所在直線垂直，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)

算，且CN所在直線方程為y=3x-10,再與圓的方程聯(lián)立即可求得N的坐標(biāo)為(3,-1)或(5,5),再

分別討論求解方程即可.

【詳解】(1)解：由題意，過M點(diǎn)的直徑所在直線方程為y-3=-§(x-l),即x+3y-10=0.

x+3y-10=0r=4

聯(lián)立1，解得,,

y=^x[y=2

???圓心坐標(biāo)為(4,2),半徑產(chǎn)=(4-+(2-=10,

???圓C的方程為(X-4)2+(”2)2=10；

(2)解：服(1,3),要使最大，

則N點(diǎn)滿足CN所在直線與CM所在直線垂直，

此時(shí)SCMN的最大值為S=；*廂XVioxsin90°=5；

2-31

VCM-4^T--3(

.??。%所在直線方程為丁-2=3(》-4),即y=3x-10,

[y=3x-10[x=3[x=5

聯(lián)立；2/*得，或＜，

[(x-4)+(y-2)=10[y=-l[y=5

即N的坐標(biāo)為(3,-1)或(5,5),

當(dāng)N(3,-l)時(shí)，出的方程為富=三，即2x+y-5=0；

3+11-3

當(dāng)N(5,5)時(shí)，MN的方程為二=兵，即x-2y+5=0.

綜上所述，MV所在直線方程為2x+y-5=0或x-2y+5=0.

21.如圖，圓/+/=8內(nèi)有一點(diǎn)兄(-1,2),為過點(diǎn)兄且傾斜角為。的弦.

(1)當(dāng)a=135。時(shí)，求48的長(zhǎng).

(2)是否存在弦N8被點(diǎn)兄平分？若存在，寫出直線N8的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)|/同=回；(2)x-2y+5=0.

【分析】(1)求出直線的斜率即可寫出其點(diǎn)斜式方程，利用勾股定理可求得弦長(zhǎng)；

(2)當(dāng)弦48被點(diǎn)。平分時(shí)，4B與OR垂直,由此可求出直線Z8的斜率，寫出其點(diǎn)斜式方程化

簡(jiǎn)即可.

【詳解】(I)依題意，直線的斜率為T,又直線過點(diǎn)兄(-1,2),

所以直線"8的方程為：y-2=-(x+l),

圓心0(0,0)到直線AB的距離為"=等，則;|/同==粵,

所以卜同=同；

(2)當(dāng)弦被點(diǎn)[平分時(shí)，與。6垂直，

因?yàn)?-2,所以=

直線48的點(diǎn)斜式方程為y=；(x+l)+2

即x-2y+5=0.

22.已知直線/:(w+2)x+(l-2m)y+4/n-2=0^0]C: