02 模塊二　數(shù)列 【正文】作業(yè)手冊

模塊二數(shù)列限時集訓(xùn)(五)微專題5等差數(shù)列、等比數(shù)列[時間:45min]基礎(chǔ)過關(guān)1.[2023·廣東深圳二調(diào)]設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S10=20,S20=10,則S30= ()A.0 B.-10C.-30 D.-402.[2023·青島三模]若{an}為等比數(shù)列,則“a1<a3<a5”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.記數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則“S3=3a2”是“{an}為等差數(shù)列”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=n2a1,若a1,a2,ak1,ak2,ak3依次成等比數(shù)列,則kA.81 B.63C.41 D.325.[2023·溫州三模]已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),數(shù)列{bn}滿足an2=bnbn+1,an+an+1=2bn+1,則 (A.{bn}是等差數(shù)列B.{bn}是等比數(shù)列C.{bn}D.{bn}6.已知等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,若(2n+3)Sn=nTn,則a5b6= (A.925 B.C.37 D.7.[2023·湖北十堰調(diào)研]意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時,發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù):1,1,2,3,5,8,13,21,….該數(shù)列的特點為前兩個數(shù)都是1,從第三個數(shù)起,每一個數(shù)都等于它的前面兩個數(shù)的和,即an+an+1=an+2,人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列{an}稱為“斐波那契數(shù)列”,則(a1a3-a22)(a2a4-a32)(a3a5-a42)·…·(a2022a2024-aA.-2024 B.2024C.-1 D.18.(多選題)已知等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項和為Sn,且d≠0,a1,a4,a6成等比數(shù)列,則下列說法正確的是 ()A.S19=0B.a9=0C.當(dāng)d<0時,S9是Sn的最大值D.當(dāng)d>0時,S10是Sn的最小值9.(多選題)[2023·武漢武昌區(qū)質(zhì)檢]已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則下列說法正確的是 ()A.若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,則a1+a3+a8=2a6恒成立B.若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,則S3,S6-S3,S9-S6,…為等差數(shù)列C.若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且a3=7,S3=21,則a4=-7D.若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,則S3,S6-S3,S9-S6,…為等比數(shù)列10.若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且2a2是4a1與a3的等差中項,則a2+a11.88鍵鋼琴從左到右各鍵的音的頻率組成一個遞增的等比數(shù)列.若中音A(左起第49個鍵)的頻率為440Hz,鋼琴上最低音的頻率為27.5Hz,則左起第61個鍵的音的頻率為Hz.

12.已知數(shù)列{an}滿足a1=23,且2an+1-an+1an=1,n∈N*(1)證明數(shù)列11-an是等差數(shù)列,并求數(shù)列{a(2)記Tn=a1a2a3…an,n∈N*,Sn=T12+T22+…+Tn2,證明:能力提升13.已知等差數(shù)列{an}滿足a3=20,a1+a7=56.(1)求數(shù)列{an}的通項公式.(2)記bn=Sn4(n+1),其中Sn為數(shù)列{an}的前n項和.設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù),求使[b1]+[b2]+[b3]+…+[bn]14.[2023·湖南郴州質(zhì)檢]“現(xiàn)值”與“終值”是利息計算中的兩個基本概念,掌握好這兩個概念,對于順利解決有關(guān)金融中的數(shù)學(xué)問題以及理解各種不同的算法都是十分有益的.所謂“現(xiàn)值”是指在n期末的金額,把它扣除利息后,折合成現(xiàn)時的值,而“終值”是指n期后的本利和.它們計算的基點分別是存期的起點和終點.例如,在復(fù)利計息的情況下,設(shè)本金為A萬元,每期利率為r,期數(shù)為n,到期后的本利和為S萬元,則S=A(1+r)n,其中,S稱為n期后的終值,A稱為n期后終值S的現(xiàn)值,即n期后的S的現(xiàn)值為A=S(現(xiàn)有如下問題:小明想買一座公寓有如下兩個方案,方案一:一次性付全款25萬元;方案二:分期付款,每年年初付款3萬元,第十年年初付完;(1)已知一年期存款的年利率為2.5%,試討論兩種方案哪一種更好?(2)若小明把公寓租出去,租客第一年年初需交租金2萬元,此后每年年初漲租金1000元,參照(1)中的存款年利率2.5%,預(yù)計第10年租金收到后小明所獲得的全部租金的終值(精確到百元).參考數(shù)據(jù):(1+2.5%)10≈1.28.

限時集訓(xùn)(六)微專題6遞推數(shù)列與數(shù)列求和[時間:45min]基礎(chǔ)過關(guān)1.已知斐波那契數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=1,an+2=an+1+an,若a1+a3+a5+a7+a9+…+a2023=ak,則k= ()A.2025 B.2026C.2028 D.20242.數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2anan+2,則anA.n+12 BC.2nn+1 3.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和,若an+1=2an-2,S2=10,則{an}的通項公式為 ()A.an=2n+2 B.an=3n-4C.an=n2+n D.an=3n2-14.[2023·廣東潮州三模]已知數(shù)列{an},{bn},其中a1=1,且an,an+1是關(guān)于x的方程x2-bnx+2n=0的兩個實數(shù)根,則b10等于 ()A.24 B.32C.48 D.645.斐波那契數(shù)列{Fn}由意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖時發(fā)現(xiàn),又稱為“兔子數(shù)列”,該數(shù)列滿足F1=F2=1,且Fn+2=Fn+1+Fn(n∈N*).盧卡斯數(shù)列{Ln}是以數(shù)學(xué)家盧卡斯命名的,與斐波那契數(shù)列聯(lián)系緊密,即L1=1,且Ln+1=Fn+Fn+2(n∈N*),則F2023= ()A.13L2022+16L2024 B.13L2022+C.15L2022+15L2024 D.-15L2022+6.(多選題)[2023·山東威海二模]已知數(shù)列{an}的首項a1=1,前n項和為Sn.設(shè)λ與k是常數(shù),若對任意n∈N*,均有Sn+11k-S1kn=λan+11k成立,則稱此數(shù)列為“λ-k”數(shù)列.若數(shù)列{an}是“22-2A.Sn=9n-1B.{an}為等比數(shù)列C.{Sn-an}的前n項和為9D.Sn7.(多選題)已知數(shù)列{an}滿足a3=28,an=[2(-1)n+n]an-1(n≥2,n∈N*),數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,且bn=log2(a2n+2·a2n-1)-log2(a2n·a2n+1),則下列說法正確的是A.a4aB.a1·a2=16C.數(shù)列a2D.滿足不等式Sn-5>0的正整數(shù)n的最小值為638.[2023·邯鄲三模]已知數(shù)列{an}滿足對任意n≥2,均有an+1=an-an-1+n.若a1=a2=2,則a2023=.

9.[2023·廣東深圳三模]設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=3且2an=Sn·Sn-1(n≥2),則{an}的通項公式為.

10.[2023·安徽五校聯(lián)考]“完美數(shù)”是一類特殊的自然數(shù),它的所有真因數(shù)(除自身之外的正因數(shù))的和恰好等于它本身,尋找“完美數(shù)”用到函數(shù)σ(n):n∈N*,σ(n)為n的所有真因數(shù)之和,如σ(28)=1+2+4+7+14=28,則28是一個“完美數(shù)”,則再寫出一個“完美數(shù)”為;σ(2160)=.

11.[2023·山西運(yùn)城三模]已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且2Sn=3n-2n-1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若bn=2·3nan+1an+2,求數(shù)列{能力提升12.在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=1+1nan+n+12n,設(shè)(1)求數(shù)列{bn}的通項公式;(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.13.[2023·郴州模擬]已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足a1=1,a2a3a4=64,數(shù)列{bn}滿足b1=1,b1+12b2+13b3+…+1nbn=bn+1-1(n∈N(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;(2)設(shè)cn=an+(-1)n(2bn+1),求數(shù)列{cn}的前2n項和T2n.

限時集訓(xùn)(七)微專題7數(shù)列中的雙數(shù)列問題[時間:45min]基礎(chǔ)過關(guān)1.已知等差數(shù)列{an}滿足a3=10,a5-2a2=6.(1)求an;(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=2n-1,n為奇數(shù),12an-1,n為偶數(shù)2.[2023·安徽蕪湖質(zhì)檢]已知等差數(shù)列{an},等比數(shù)列{bn},且a1=1,abn=2n+1-(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;(2)將數(shù)列{an}和{bn}中的項合并,按從小到大的順序重新排列構(gòu)成新數(shù)列{cn},求{cn}的前100項和.3.已知數(shù)列{an},{bn}的各項均為正數(shù),滿足1an-bn=bn(1)求{an},{bn}的通項公式;(2)用[x]表示不超過x的最大整數(shù),求數(shù)列{[an+an+1]·2bn}的前n項和S4.[2023·鎮(zhèn)江三模]已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,滿足Sn=2(an-1).等差數(shù)列{bn}滿足b4=a2,b8=a3.(1)求{an},{bn}的通項公式;(2)已知(在①②中任選一個條件),將數(shù)列{an}的第m項am取出,并按原順序構(gòu)成一個新的數(shù)列{cn},求{cn}的前20項和T20.

①log4am=bk,②am=3bk+1,其中k∈N*.能力提升5.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知Sn+2+3Sn=4Sn+1-2an,a1=1,a2=3.(1)證明:數(shù)列{an+1-2an}是等差數(shù)列;(2)記(an+1)bn=n+2n2+n,Tn為數(shù)列{bn}的前n項和6.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足Sn=2n+1-2.數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,且滿足b1=1,b2=2,TnTn(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式.(2)是否存在正整數(shù)n,使得an+bn+1an-bn+1恰為數(shù)列{bn}中的一項

提能特訓(xùn)(二)高分提能二數(shù)列與其他知識的交匯問題[時間:45min]基礎(chǔ)過關(guān)1.若數(shù)列{an}滿足a1=2,1an-1an+1-1anan+1=1,則a2023=A.2 B.-12 C.-3 D.2.[2023·湖南雅禮中學(xué)一模]斐波那契螺旋線被譽(yù)為自然界最完美的“黃金螺旋”,它的畫法是:以斐波那契數(shù)列1,1,2,3,5,8,…的各項的比例為邊長比例的正方形拼成矩形,然后在每個正方形中畫一段圓心角為90°的圓弧,這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線.如圖,矩形ABCD是由若干符合上述特點的正方形拼接而成的,其中AB=16,則圖中的斐波那契螺旋線的長度為 ()A.11π B.12πC.15π D.16π3.記Tn為數(shù)列{an}的前n項積,已知1Tn+1an=1,則T10=A.8 B.9 C.10 D.114.已知數(shù)列{an}滿足an=cos2nπ3-sin2nπ3,記bn=(3n-1)an,n∈N*,則數(shù)列{bn}的前60項和是A.130 B.-845C.90 D.-8605.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知(a2-1)3+2025(a2-1)=1,(a2024-1)3+2025(a2024-1)=-1,則下列結(jié)論中正確的是()A.S2025=2025,a2024<a2B.S2025=2025,a2024>a2C.S2025=2026,a2024<a2D.S2025=2026,a2024>a26.[2023·北京西城區(qū)二模]已知數(shù)軸上兩點O,P的坐標(biāo)為O(0),P(70),現(xiàn)O,P兩點在數(shù)軸上同時相向運(yùn)動.點O的運(yùn)動規(guī)律為第一秒運(yùn)動2個單位長度,以后每秒比前一秒多運(yùn)動1個單位長度;點P的運(yùn)動規(guī)律為每秒運(yùn)動5個單位長度.則點O,P相遇時在數(shù)軸上的坐標(biāo)為 ()A.(40) B.(35)C.(30) D.(20)7.設(shè)n∈N*,函數(shù)f1(x)=xex,f2(x)=f'1(x),f3(x)=f'2(x),…,fn+1(x)=f'n(x),曲線y=fn(x)的最低點為Pn,△PnPn+1Pn+2的面積為Sn,則 ()A.{Sn}是遞增數(shù)列B.{Sn}是遞減數(shù)列C.{S2n-1}是遞增數(shù)列D.{Sn}是擺動數(shù)列8.(多選題)[2023·常德一模]如圖,有一列曲線Ω1,Ω2,…,Ωn,…,且Ω1是邊長為1的等邊三角形,Ωi+1是對Ωi(i=1,2,…)進(jìn)行如下操作得到的:將曲線Ωi的每條邊三等分,以每邊中間部分的線段為邊,向外作等邊三角形,再將中間部分的線段去掉,得到Ωi+1.記曲線Ωn(n=1,2,…)的邊數(shù)為Ln,周長為Cn,圍成的面積為Sn,則下列說法正確的是 ()A.數(shù)列{Ln}是首項為3,公比為4的等比數(shù)列B.數(shù)列{Cn}是首項為3,公比為43C.數(shù)列{Sn}是首項為34,公比為4D.當(dāng)n無限增大時,Sn趨近于定值29.