求向量組的極大無關(guān)組

求向量組的極大無關(guān)組思路之一:

定義法.(2)向量組中含向量個數(shù)最多的線性無關(guān)部分組都是向量組的極大無關(guān)組;(1)假定是某向量組中的r個向量,如果線性無關(guān),且向量組中任一向量都可由線性表示,則是向量組的一個極大無關(guān)組;此方法比較煩瑣,較少用求向量組的極大無關(guān)組的方法總結(jié)思路之二:

初等行變換法.(1)將向量組中的各向量作為矩陣A的各列;(2)對A施行初等行變換(注意僅限初等行變換);(3)化A為階梯形,在每一階梯中取一列為代表,則所得向量組即為原向量組得一個極大無關(guān)組.用初等行變換求極大無關(guān)組是最基本的方法.思路之三:

利用等價性.設(shè)為某向量組的一個極大無關(guān)組,則任意r個線性無關(guān)的部分組均為極大無關(guān)組.例1求下列向量組的一個極大無關(guān)組分析:按定義向量個數(shù)最多的線性無關(guān)部分組都是向量組的極大無關(guān)組.思想:(i)通過觀察找出一個無關(guān)組;(ii)往前面找出的無關(guān)組中增加一個向量,若得到新的向量組仍然線性無關(guān),則得到了新的線性無關(guān)組,否則,繼續(xù)考慮下一個向量(iii)重復(fù)步驟(ii)直到考慮完所有的向量為止,這樣最后得到的線性無關(guān)組便是原向量組的一個最大無關(guān)組.解:線性無關(guān).1)2)因?yàn)榈膶?yīng)分量不成比例,所以線性無關(guān).3)下面考慮向量組線性相關(guān).4)下面考慮向量組設(shè)存在一組數(shù)使得即從而解得即也即所以是向量組的一個極大無關(guān)組.例2考慮向量組求此向量組的一個極大線性無關(guān)組,并把其余向量分別用該極大無關(guān)組線性表示.解:用這些向量作為矩陣A的列向量，并對矩陣A作初等行變換可見,為一個極大無關(guān)組.事實(shí)上,均為極大無關(guān)組.進(jìn)一步有所以有注:這里用到初等行變換不改變列向量之間的線性關(guān)系.分析:若能證明向量組例3試證:若n維單位向量可以由n維向量線性表示,則線性無關(guān).I:II:等價,則又從而因此,線性無關(guān).證明:由于n維單位向量可以由故向量組n維向量線性表示,又顯然有n維向量可以由n維單位向量線性表示,I:II:等價,則又從而因此,線性無關(guān).例4設(shè)為齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,試判別下述向量組是否仍是的基礎(chǔ)解系.分析:本題實(shí)際上已知為的解空間的極大無關(guān)組,要求證明是否仍是的解空間的極大無關(guān)組.由于已知極大無關(guān)組為三個向量,所以任意三個線性無關(guān)向量均為極大無關(guān)組,這只要證明與是否等價即可.注意:作為基礎(chǔ)解系,應(yīng)說明為解向量.解:只需證明線性無關(guān)即可,顯然均為的解,而這又轉(zhuǎn)化為證明與等價.(1)由知記為A又從而因此秩(注: