人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊同步練習(xí) 第07課 算數(shù)平方根與平方根（原卷版+解析版）-

第07課算數(shù)平方根與平方根目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1．了解平方根、算術(shù)平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根．2．了解開方與乘方互為逆運(yùn)算，會(huì)用開方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根，會(huì)用計(jì)算器求平方根．知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01平方根和算術(shù)平方根的概念1.算術(shù)平方根的定義如果一個(gè)的平方等于，即,那么這個(gè)正數(shù)x叫做的(規(guī)定0的算術(shù)平方根還是)；的算術(shù)平方根記作，讀作“”，叫做.注意：(1)當(dāng)式子有意義時(shí)，一定表示一個(gè)，即，.(2)沒有算數(shù)平方根；(3)算數(shù)平方根等于本身的數(shù)有：；(4)算數(shù)平方根等于原來的數(shù)；(5)注意運(yùn)算結(jié)果的非負(fù)性；2.平方根的定義如果，那么叫做的平方根.求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做.平方與開平方互為.(≥0)的平方根的符號(hào)表達(dá)為，其中是的.注意：(1)才有平方根；(2)沒有平方根；(3)平方根等于本身的數(shù)是：；(4)一個(gè)正數(shù)有個(gè)平方根，他們；(5)平方根等于原來的數(shù)；知識(shí)點(diǎn)02平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系1．區(qū)別：(1)定義不同；(2)結(jié)果不同：和2．聯(lián)系：(1)平方根包含算術(shù)平方根；(2)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)；(3)0的平方根和算術(shù)平方根均為0．注意：算術(shù)平方根平方根定義若正數(shù)x，，x叫做a的算術(shù)平方根，若數(shù)x，，x叫做a的平方根，a的范圍表示正數(shù)有一個(gè)算術(shù)平方根，是正數(shù)正數(shù)有個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)0的算術(shù)平方根是0的平方根是沒有算術(shù)平方根沒有平方根知識(shí)點(diǎn)03平方根的性質(zhì)(1)(2)知識(shí)點(diǎn)04平方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右(左)每移動(dòng)兩位，算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向右(左)移動(dòng)位。例如：，，，.能力拓展能力拓展考法01算數(shù)平方根與平方根的計(jì)算【典例1】16的算術(shù)平方根是___________．【典例2】9的平方根是_________．【典例3】的平方根是____．【即學(xué)即練】的平方根是．考法02利用平方根解方程【典例4】求下列各式中的x值：(1)169x2＝144；(2)(x－2)2－36＝0.【即學(xué)即練】利用平方根求下列x的值：(1)(x+1)2=16.(2)3(x+2)2=27(3)64(x+1)2﹣25=0．考法03平方根和算數(shù)平方根的逆運(yùn)算【典例5】已知2a﹣1的平方根為±3，3a+b﹣1的算術(shù)平方根為4，求a+2b的平方根．【即學(xué)即練】已知2a+1的平方根是±3，5a+2b-2的算術(shù)平方根是4，求：3a-4b的平方根．【即學(xué)即練】如果一個(gè)正數(shù)m的兩個(gè)平方根分別是2a－3和a－9，求2m－2的值．【即學(xué)即練】已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值.考法04算數(shù)平方根結(jié)果的非負(fù)性【典例6】已知與互為相反數(shù)．(1)求2a－3b的平方根；(2)解關(guān)于x的方程．【即學(xué)即練】已知+|y-17|=0，求x+y的算術(shù)平方根.考法05算數(shù)平方根小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)規(guī)律【典例7】觀察下表，按你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空已知，則的值為_______．【即學(xué)即練】若≈6.172，≈19.517，則≈__．【即學(xué)即練】若則_______.【即學(xué)即練】已知，則=________.考法06平方根的性質(zhì)應(yīng)用【典例8】實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是_________________【即學(xué)即練】實(shí)數(shù)、在數(shù)軸上的位置，化簡______．【即學(xué)即練】已知實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖，則化簡|1﹣a|+的結(jié)果為_____．考法07算數(shù)平方根的估算【典例9】的小數(shù)部分是__________.【即學(xué)即練】若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則．【即學(xué)即練】已知a，b為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，且a<<b，則a＋b＝____．【即學(xué)即練】已知a，b為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，且a<<b，則a＋b＝___________.考法08找規(guī)律【典例10】請(qǐng)先在草稿紙上計(jì)算下列四個(gè)式子的值：①；②；③；④，觀察你計(jì)算的結(jié)果，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫出下面式子的值__________．【即學(xué)即練】觀察下列各式：，，，……請(qǐng)你將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含自然數(shù)n(n≥1)的等式表示出來__________________．【即學(xué)即練】歸納并猜想:(1)的整數(shù)部分為____;

(2)的整數(shù)部分為____;

(3)的整數(shù)部分為____;

(4)猜想:當(dāng)n為正整數(shù)時(shí),的整數(shù)部分為____,并把小數(shù)部分表示出來為____.【即學(xué)即練】觀察分析下列數(shù)據(jù)，并尋找規(guī)律：，，，，，，…，根據(jù)規(guī)律可知第n個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)是__________．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．的算術(shù)平方根為()A． B． C． D．2．下列說法中錯(cuò)誤的是()A．是0.25的一個(gè)平方根 B．正數(shù)a的兩個(gè)平方根的和為0C．的平方根是 D．當(dāng)時(shí)，沒有平方根3．實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，且|a|＞|b|，則化簡的結(jié)果為()A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b4．已知，那么的值為()A．-1 B．1 C． D．5．若則的值是()A．2 B．1 C．0 D．6．下列計(jì)算正確的是()A．＝±3 B．＝﹣2 C．＝﹣3 D．7．的平方根是,用式子表示正確的是()A． B． C． D．8．一個(gè)正方形的面積是15，估計(jì)它的邊長大小在()A．2與3之間 B．3與4之間 C．4與5之間 D．5與6之間9．一個(gè)正數(shù)a的平方根是2x﹣3與5﹣x，則這個(gè)正數(shù)a的值是()A．25 B．49 C．64 D．8110．若2m－4與3m－1是同一個(gè)數(shù)的平方根，則m的值是()A．－3 B．－1 C．1 D．－3或1題組B能力提升練11．16的平方根是．12．已知a、b滿足(a﹣1)2+=0，則a+b=_____．13．一個(gè)正數(shù)的平方根分別是和，則__．14．如果的小數(shù)部分為，的整數(shù)部分為，則=______15．若(x﹣1)2=4，則x=_____．16．若，，則__________________.17．代數(shù)式－3－的最大值為_______，這時(shí)a與b的關(guān)系是_______．18．觀察下列等式：＝；＝；＝；……，則第n(n為正整數(shù))個(gè)等式是__．題組C培優(yōu)拔尖練19．解方程．(1)(2)(3)20．已知2a-1的算術(shù)平方根是3，3a+b-1的平方根是±4，c是的整數(shù)部分，求a+2b-c的平方根．21．已知的立方根是3，的算術(shù)平方根是4，c是的整數(shù)部分．(1)求a，b，c的值；(2)求的平方根．22．實(shí)數(shù).在數(shù)軸上的位置如圖所示，請(qǐng)化簡：.23．有兩個(gè)十分喜歡探究的同學(xué)小明和小芳，他們善于將所做的題目進(jìn)行歸類，下面是他們的探究過程．(1)解題與歸納①小明摘選了以下各題，請(qǐng)你幫他完成填空．＝；＝；＝；＝；＝；＝；②歸納：對(duì)于任意數(shù)a,有＝③小芳摘選了以下各題，請(qǐng)你幫她完成填空．＝；＝；＝；＝；＝；＝；④歸納：對(duì)于任意非負(fù)數(shù)a,有＝(2)應(yīng)用根據(jù)他們歸納得出的結(jié)論，解答問題．?dāng)?shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：-24．觀察下列式子變形過程，完成下列任務(wù)：(1)類比上述變形過程的基本思路，猜想的結(jié)果并驗(yàn)證；(2)算：.第07課算數(shù)平方根與平方根目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1．了解平方根、算術(shù)平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根．2．了解開方與乘方互為逆運(yùn)算，會(huì)用開方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根，會(huì)用計(jì)算器求平方根．知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01平方根和算術(shù)平方根的概念1.算術(shù)平方根的定義如果一個(gè)正數(shù)的平方等于，即,那么這個(gè)正數(shù)x叫做的算術(shù)平方根(規(guī)定0的算術(shù)平方根還是0)；的算術(shù)平方根記作，讀作“a的算術(shù)平方根”，叫做被開方數(shù).注意：(1)當(dāng)式子有意義時(shí)，一定表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，即≥0，≥0.(2)負(fù)數(shù)沒有算數(shù)平方根；(3)算數(shù)平方根等于本身的數(shù)有：0和1；(4)算數(shù)平方根平方等于原來的數(shù)；(5)注意運(yùn)算結(jié)果的非負(fù)性；2.平方根的定義如果，那么x叫做a的平方根.求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開平方.平方與開平方互為逆運(yùn)算.(≥0)的平方根的符號(hào)表達(dá)為，其中是的算術(shù)平方根.注意：(1)非負(fù)數(shù)才有平方根；(2)負(fù)數(shù)沒有平方根；(3)平方根等于本身的數(shù)是：0；(4)一個(gè)正數(shù)有2個(gè)平方根，他們互為相反數(shù)；(5)平方根平方等于原來的數(shù)；知識(shí)點(diǎn)02平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系1．區(qū)別：(1)定義不同；(2)結(jié)果不同：和2．聯(lián)系：(1)平方根包含算術(shù)平方根；(2)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)；(3)0的平方根和算術(shù)平方根均為0．注意：算術(shù)平方根平方根定義若正數(shù)x，，正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根，若數(shù)x，，數(shù)x叫做a的平方根，a的范圍表示正數(shù)有一個(gè)算術(shù)平方根，是正數(shù)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)0的算術(shù)平方根是00的平方根是0負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根負(fù)數(shù)沒有平方根知識(shí)點(diǎn)03平方根的性質(zhì)(1)(2)知識(shí)點(diǎn)04平方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右(左)每移動(dòng)兩位，算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向右(左)移動(dòng)一位。例如：，，，.能力拓展能力拓展考法01算數(shù)平方根與平方根的計(jì)算【典例1】16的算術(shù)平方根是___________．【答案】4【解析】【詳解】正數(shù)的正的平方根叫算術(shù)平方根，0的算術(shù)平方根還是0；負(fù)數(shù)沒有平方根也沒有算術(shù)平方根∵∴16的平方根為4和-4∴16的算術(shù)平方根為4【典例2】9的平方根是_________．【答案】±3【解析】【詳解】分析：根據(jù)平方根的定義解答即可．詳解：∵(±3)2=9，∴9的平方根是±3．故答案為±3．點(diǎn)睛：本題考查了平方根的定義，注意一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根．【典例3】的平方根是____．【答案】±3【解析】【詳解】∵=9，∴9的平方根是.故答案為3.【即學(xué)即練】的平方根是．【答案】±2．【解析】【詳解】解：∵∴的平方根是±2．故答案為±2．考法02利用平方根解方程【典例4】求下列各式中的x值：(1)169x2＝144；(2)(x－2)2－36＝0.【答案】(1)x＝±；(2)x＝8或x＝－4.【解析】【分析】(1)移項(xiàng)后，根據(jù)平方根定義求解；(2)移項(xiàng)后，根據(jù)平方根定義求解．【詳解】解：(1)169x2＝144，移項(xiàng)得：x2＝，解得：x＝±.(2)(x－2)2－36＝0，移項(xiàng)得：(x－2)2＝36，開方得：x-2=6或x-2=-6解得：x＝8或x＝－4.故答案為(1)x＝±；(2)x＝8或x＝－4.【點(diǎn)睛】本題考查利用平方根解方程，解答此題的關(guān)鍵是掌握平方根的概念.【即學(xué)即練】利用平方根求下列x的值：(1)(x+1)2=16.(2)3(x+2)2=27(3)64(x+1)2﹣25=0．【答案】(1)x=3或x=﹣5；(2)x=1或-5；(3)x1=﹣，x1=﹣．【解析】【分析】(1)先根據(jù)平方根的定義求出x+1的值，然后再求解即可；(2)先求得(x+2)2的值，然后依據(jù)平方根的定義求解即可；(3)先化簡并根據(jù)立方根的定義求出x+1的值，然后再進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】(1)開方，得x+1=±4，則x=3或x=﹣5．(2)(x+2)2=,x+2=±,x=1或-5；

(3)方程整理得：(x+1)2=，開方得：x+1=±，解得：x1=﹣，x1=﹣．【點(diǎn)睛】本題考查了利用平方根的定義解方程，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．考法03平方根和算數(shù)平方根的逆運(yùn)算【典例5】已知2a﹣1的平方根為±3，3a+b﹣1的算術(shù)平方根為4，求a+2b的平方根．【答案】±3【解析】【分析】先根據(jù)2a﹣1的平方根為±3，3a+b﹣1的算術(shù)平方根為4求出ab的值，再求出a+2b的值，由平方根的定義進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵2a﹣1的平方根為±3，∴2a﹣1＝9，解得，2a＝10，a＝5；∵3a+b﹣1的算術(shù)平方根為4，∴3a+b﹣1＝16，即15+b﹣1＝16，解得b＝2，∴a+2b＝5+4＝9，∴a+2b的平方根為：±3．【點(diǎn)睛】本題考查的是平方根及算術(shù)平方根的定義，熟知一個(gè)數(shù)的平方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】已知2a+1的平方根是±3，5a+2b-2的算術(shù)平方根是4，求：3a-4b的平方根．【答案】【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)已知得出2a+1=9，5a+2b-2=16，求出ab，代入求出即可．試題解析根據(jù)題意得：2a+1=32=9，5a+2b-2=16，即a=4，b=-1，∴3a-4b=16，∴3a-4b的平方根是±.【即學(xué)即練】如果一個(gè)正數(shù)m的兩個(gè)平方根分別是2a－3和a－9，求2m－2的值．【答案】48【解析】【分析】根據(jù)一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)求出a的值，利用平方根和平方的關(guān)系求出m，再求出2m-2的值．【詳解】解：∵一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是2a－3和a－9，∴(2a－3)+(a－9)=0，解得a=4，∴這個(gè)正數(shù)為(2a－3)2=52=25，∴2m－2=2×25－2=48；故答案為48.【點(diǎn)睛】本題考查平方根.【即學(xué)即練】已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值.【答案】13.【解析】【分析】根據(jù)開方與平方是互逆運(yùn)算，求出2m+2的值，與3m+n+1的值，然后兩式聯(lián)立求出m、n的值，再代入進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，∴2m+2=16，3m+n+1=25，聯(lián)立解得，m=7，n=3，∴m+2n=7+2×3=13．考法04算數(shù)平方根結(jié)果的非負(fù)性【典例6】已知與互為相反數(shù)．(1)求2a－3b的平方根；(2)解關(guān)于x的方程．【答案】(1)的平方根為；(2)．【解析】【分析】(1)先由相反數(shù)的定義列出等式，再根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性、算術(shù)平方根的非負(fù)性求出a、b的值，然后代入，根據(jù)平方根的定義求解即可；(2)先將a、b的值代入，再利用平方根的性質(zhì)求解即可．【詳解】(1)由相反數(shù)的定義得：由絕對(duì)值的非負(fù)性、算術(shù)平方根的非負(fù)性得：解得則故的平方根為；(2)方程可化為整理得解得．【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的定義、絕對(duì)值的非負(fù)性、算術(shù)平方根的非負(fù)性、平方根的定義等知識(shí)點(diǎn)，利用絕對(duì)值的非負(fù)性、算術(shù)平方根的非負(fù)性求解是?？贾R(shí)點(diǎn)，需重點(diǎn)掌握．【即學(xué)即練】已知+|y-17|=0，求x+y的算術(shù)平方根.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程求出x、y的值，代入所求代數(shù)式計(jì)算即可．【詳解】根據(jù)題意得：，解得：，則x+y=25，算術(shù)平方根是：.故答案是：5.【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值.考法05算數(shù)平方根小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)規(guī)律【典例7】觀察下表，按你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空已知，則的值為_______．【答案】387.3【解析】【詳解】試題分析：觀察表格得：被開方數(shù)擴(kuò)大或縮小102n倍，非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根就相應(yīng)的擴(kuò)大或縮小10n倍；或者說成被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左或向右移動(dòng)2n位，算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就向左或向右移動(dòng)n位；被開方數(shù)15到150000小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)4位，所以其算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)2位，即=387.3；【即學(xué)即練】若≈6.172，≈19.517，則≈__．【答案】617.2【解析】【分析】利用被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左或向右移動(dòng)兩位，則算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向左或向右移動(dòng)一位直接回答即可．【詳解】解：∵≈6.172，∴≈617.2，故答案為：617.2．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左或向右移動(dòng)兩位，則算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向左或向右移動(dòng)一位．【即學(xué)即練】若則_______.【答案】44.72【解析】【分析】被開方數(shù)2000是把20的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)2位后得到的，則的值是把的小數(shù)點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)1位.【詳解】因?yàn)椋?4.72.故答案為44.72.【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的概念，關(guān)鍵是理解算術(shù)平方根每向左(或右)移動(dòng)一位，則被開方數(shù)向相同的方向移動(dòng)兩位，反之被開方數(shù)每移動(dòng)兩位，則算術(shù)平方根每向相同的方向移動(dòng)一位．【即學(xué)即練】已知，則=________.【答案】【解析】【詳解】試題解析：考法06平方根的性質(zhì)應(yīng)用【典例8】實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是_________________【答案】【解析】【分析】先根據(jù)數(shù)軸的定義得出，再根據(jù)絕對(duì)值運(yùn)算、算術(shù)平方根進(jìn)行化簡，然后計(jì)算整式的加減即可得．【詳解】由數(shù)軸的定義得：，則，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸的定義、絕對(duì)值運(yùn)算、算術(shù)平方根、整式的加減，根據(jù)數(shù)軸的定義判斷出是解題關(guān)鍵．【即學(xué)即練】實(shí)數(shù)、在數(shù)軸上的位置，化簡______．【答案】【解析】【分析】由數(shù)軸得：，，，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可.【詳解】解：由數(shù)軸得：，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用數(shù)軸判斷實(shí)數(shù)取值范圍、二次根式的化簡、代數(shù)式的恒等變形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本的代數(shù)運(yùn)算能力．觀察數(shù)軸確定a、b及a-b的符號(hào)是解答本題的關(guān)鍵，本題巧用數(shù)軸給出了每個(gè)數(shù)的符號(hào)，滲透了數(shù)形結(jié)合的思想，這也是中考時(shí)?？嫉闹R(shí)點(diǎn)．【即學(xué)即練】已知實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖，則化簡|1﹣a|+的結(jié)果為_____．【答案】1-2a【解析】【詳解】由圖可知：，∴，∴.故答案為.考法07算數(shù)平方根的估算【典例9】的小數(shù)部分是__________.【答案】-3【解析】【詳解】∵9<13<16,∴3<<4,∴的整數(shù)部分是3，小數(shù)部分是-3.故答案為-3.【即學(xué)即練】若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則．【答案】【答題空1】3【答題空2】【解析】【詳解】∵9＜10＜16∴3＜＜4，∴a=3，b=-3，故答案為3，﹣3．【即學(xué)即練】已知a，b為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，且a<<b，則a＋b＝____．【答案】11【解析】【詳解】∵，∴5<<6，∴a=5，b=6，∴a+b=11，故答案為11.【即學(xué)即練】已知a，b為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，且a<<b，則a＋b＝___________.【答案】15【解析】【分析】估算出在哪兩個(gè)相鄰的整數(shù)之間，即可求出a與b的值，然后代入a＋b計(jì)算即可.【詳解】∵72<57<82,∴7<<8,∴a=7,b=8,∴a＋b＝7+8=15.故答案為15.【點(diǎn)睛】此題主要考查了估算無理數(shù)的大小，注意首先估算被開方數(shù)在哪兩個(gè)相鄰的平方數(shù)之間，再估算該無理數(shù)在哪兩個(gè)相鄰的整數(shù)之間．現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常需要估算，估算應(yīng)是我們具備的數(shù)學(xué)能力，“夾逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．考法08找規(guī)律【典例10】請(qǐng)先在草稿紙上計(jì)算下列四個(gè)式子的值：①；②；③；④，觀察你計(jì)算的結(jié)果，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫出下面式子的值__________．【答案】351【解析】【分析】先計(jì)算題干中四個(gè)簡單式子，算出結(jié)果，找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律得出最后式子的的值．【詳解】=1=3=6=10發(fā)現(xiàn)規(guī)律：1+2+3+∴1+2+3=351故答案為：351【點(diǎn)睛】本題考查找規(guī)律，解題關(guān)鍵是先計(jì)算題干中的4個(gè)簡單算式，得出規(guī)律后再進(jìn)行復(fù)雜算式的求解．【即學(xué)即練】觀察下列各式：，，，……請(qǐng)你將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含自然數(shù)n(n≥1)的等式表示出來__________________．【答案】【解析】【分析】觀察分析可得，，，則將此規(guī)律用含自然數(shù)n(n≥1)的等式表示出來是【詳解】由分析可知，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含自然數(shù)n(n≥1)的等式表示出來是故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式，找出題中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵，觀察各式，歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出用n表示的等式即可．【即學(xué)即練】歸納并猜想:(1)的整數(shù)部分為____;

(2)的整數(shù)部分為____;

(3)的整數(shù)部分為____;

(4)猜想:當(dāng)n為正整數(shù)時(shí),的整數(shù)部分為____,并把小數(shù)部分表示出來為____.【答案】l23n【解析】【詳解】試題解析：(1)因?yàn)椋剑?＜＜2，所以的整數(shù)部分為1；(2)因?yàn)椋剑?＜＜3，所以的整數(shù)部分為2；(3)因?yàn)椋剑?＜＜4，所以的整數(shù)部分為3；(4)猜想：當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，的整數(shù)部分為n，小數(shù)部分為：.【即學(xué)即練】觀察分析下列數(shù)據(jù)，并尋找規(guī)律：，，，，，，…，根據(jù)規(guī)律可知第n個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定數(shù)中被開方數(shù)的變化找出變化規(guī)律“第n個(gè)數(shù)據(jù)中被開方數(shù)為：3n-1”，依此即可得出結(jié)論．【詳解】∵被開方數(shù)為：2=3×1-1，5=3×2-1，8=3×3-1，11=3×4-1，14=3×5-1，17=3×6-1，…，∴第n個(gè)數(shù)據(jù)中被開方數(shù)為：3n-1，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根以及規(guī)律型中數(shù)的變化類，根據(jù)被開方數(shù)的變化找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．的算術(shù)平方根為()A． B． C． D．【答案】B【解析】【詳解】分析：先求得的值，再繼續(xù)求所求數(shù)的算術(shù)平方根即可．詳解：∵=2，而2的算術(shù)平方根是，∴的算術(shù)平方根是，故選B．點(diǎn)睛：此題主要考查了算術(shù)平方根的定義，解題時(shí)應(yīng)先明確是求哪個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，否則容易出現(xiàn)選A的錯(cuò)誤．2．下列說法中錯(cuò)誤的是()A．是0.25的一個(gè)平方根 B．正數(shù)a的兩個(gè)平方根的和為0C．的平方根是 D．當(dāng)時(shí)，沒有平方根【答案】C【解析】【詳解】A選項(xiàng)中，因?yàn)椤啊?，所以A中說法正確；B選項(xiàng)中，因?yàn)椤罢龜?shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，而互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0”，所以B中說法正確；C選項(xiàng)中，因?yàn)椤暗钠椒礁恰?，所以C中說法錯(cuò)誤；D選項(xiàng)中，因?yàn)椤爱?dāng)時(shí)，的值是負(fù)數(shù)，而負(fù)數(shù)沒有平方根”，所以D中說法正確；故選C.3．實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，且|a|＞|b|，則化簡的結(jié)果為()A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b【答案】C【解析】【詳解】試題分析：利用數(shù)軸得出a+b的符號(hào)，進(jìn)而利用絕對(duì)值和二次根式的性質(zhì)得出即可：∵由數(shù)軸可知，b＞0＞a，且|a|＞|b|，∴.故選C．考點(diǎn)：1.絕對(duì)值；2.二次根式的性質(zhì)與化簡；3.實(shí)數(shù)與數(shù)軸．4．已知，那么的值為()A．-1 B．1 C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和絕對(duì)值的非負(fù)性，確定a、b的值，再代入代數(shù)式求值即可.【詳解】解：由題意得：a+2=0，b-1=0，即a=-2，b=1所以，故答案為A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定待定的字母的值是解答的關(guān)鍵5．若則的值是()A．2 B．1 C．0 D．【答案】B【解析】【詳解】試題分析：由題意得，3﹣a=0，2+b=0，解得，a=3，b=﹣2，a+b=1，故選B．考點(diǎn)：1．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根；2．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值．6．下列計(jì)算正確的是()A．＝±3 B．＝﹣2 C．＝﹣3 D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)算術(shù)平方根與立方根的定義即可求出答案．【詳解】解：(A)原式＝3，故A錯(cuò)誤；(B)原式＝﹣2，故B正確；(C)原式＝＝3，故C錯(cuò)誤；(D)與不能相加，故D錯(cuò)誤；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根與立方根，熟練掌握算術(shù)平方根與立方根的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.7．的平方根是,用式子表示正確的是()A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依據(jù)一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根解答即可．【詳解】的平方根是,用式子表示正確的是.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是平方根的定義，掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵．8．一個(gè)正方形的面積是15，估計(jì)它的邊長大小在()A．2與3之間 B．3與4之間 C．4與5之間 D．5與6之間【答案】B【解析】【詳解】解：∵一個(gè)正方形的面積是15，∴該正方形的邊長為，∵9＜15＜16，∴3＜＜4．故選B．9．一個(gè)正數(shù)a的平方根是2x﹣3與5﹣x，則這個(gè)正數(shù)a的值是()A．25 B．49 C．64 D．81【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)可得(2x﹣3)+(5﹣x)＝0，可求得x，再由平方根的定義即可解答．【詳解】解：由正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)可得(2x﹣3)+(5﹣x)＝0，解得x＝﹣2，所以5﹣x＝5﹣(﹣2)＝7，所以a＝72＝49．故答案為B．【點(diǎn)睛】本題考查了平方根的性質(zhì),理解平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別及聯(lián)系是解答本題的關(guān)鍵．10．若2m－4與3m－1是同一個(gè)數(shù)的平方根，則m的值是()A．－3 B．－1 C．1 D．－3或1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平方根的性質(zhì)列方程求解即可；【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查平方根的性質(zhì)，易錯(cuò)點(diǎn)是容易忽略相等的情況，做好分類討論是解決本題的關(guān)鍵.題組B能力提升練11．16的平方根是．【答案】±4．【解析】【詳解】由(±4)2=16，可得16的平方根是±4．12．已知a、b滿足(a﹣1)2+=0，則a+b=_____．【答案】﹣1【解析】【分析】利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得a-1=0，b+2=0，解方程即可求得a，b的值，進(jìn)而得出答案．【詳解】∵(a﹣1)2+=0，∴a=1，b=﹣2，∴a+b=﹣1，故答案為﹣1．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟知幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，那么每個(gè)非負(fù)數(shù)都為0是解題的關(guān)鍵.13．一個(gè)正數(shù)的平方根分別是和，則__．【答案】2．【解析】【分析】根據(jù)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)可得關(guān)于x的方程，解方程即可得．【詳解】根據(jù)題意可得：x+1+x﹣5=0，解得：x=2，故答案為2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方根的定義和性質(zhì)，熟練掌握平方根的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．如果的小數(shù)部分為，的整數(shù)部分為，則=______【答案】1【解析】【詳解】15．若(x﹣1)2=4，則x=_____．【答案】x＝3或-1【解析】【詳解】根據(jù)題意，或，解得或．故答案為：3或?1．16．若，，則__________________.【答案】1.01【解析】【詳解】【分析】由于1.0201比102.01小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)了二位，那么則它的平方根就向左移動(dòng)一位，根據(jù)此規(guī)律即可解題．【詳解】∵，∴1.01，故答案為1.01.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方根的定義，解題關(guān)鍵是小數(shù)點(diǎn)的位置，要會(huì)從條件中找到規(guī)律：所求數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)了二位，則它的平方根就向左移動(dòng)一位．17．代數(shù)式－3－的最大值為_______，這時(shí)a與b的關(guān)系是_______．【答案】－3互為相反數(shù)【解析】【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，≥0，則－3－的最大值為－3，此時(shí)a＋b＝0．【詳解】∵≥0，∴－3－≤－3∴－3－的最大值為－3，此時(shí)a＋b＝0，因此a，b互為相反數(shù)．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟記一個(gè)數(shù)的相反數(shù)的性質(zhì)，兩個(gè)數(shù)的和為0．18．觀察下列等式：＝；＝；＝；……，則第n(n為正整數(shù))個(gè)等式是__．【答案】【解析】【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和數(shù)字變化的規(guī)律，即可解答．【詳解】歸納類推得：第n(n為正整數(shù))個(gè)等式是故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根和數(shù)字變化的規(guī)律，根據(jù)觀察前3個(gè)等式，歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．題組C培優(yōu)拔尖練19．解方程．(1)(2)(3)【答案】(1)；(2)，；(3)，．【解析】【分析】(1)系數(shù)化為1后開方，得到兩個(gè)一元一次方程求解即可；(2)系數(shù)化為1后開方，得到兩個(gè)一元一次方程求解即可；(3)先移項(xiàng)，再開方，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可；【詳解】解：(1)系數(shù)化為1得：，兩邊同時(shí)開平方得：；(2)系數(shù)化為1得：，兩邊同時(shí)開平方得：；即或，解得，；(3)移項(xiàng)得：兩邊同時(shí)開平方得：；即或，解得，．【點(diǎn)睛】本題考查利用平方根解方程．解題思想是兩邊同時(shí)開平方，降次，將二次降為一次求解．20．已知2a-1的算術(shù)平方根是3，3a+b-1的平方根是±4，c是的整數(shù)部分，求a+2b-c的平方根．【答案】a+2b－c的平方根為.【解析】【詳解】試題分析：先根據(jù)算術(shù)平方根及平方根的定義得出關(guān)于的方程組，求出的值，再估算出的取值范圍求出c的值，代入所求代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可．試題解析：∵2a?1的算術(shù)平方根是3，3a+b?1的平方根是±4，∴解得∵9<13<16，∴∴的整數(shù)部分是3，即c=3，∴原式6的平方根是21．已知的立方根是3，的算術(shù)平方根是4，c是的整數(shù)部分．(1)求