北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三 專題5.2 生活中的軸對稱章末測試卷（拔尖卷）（舉一反三）（原卷版+解析）

第5章生活中的軸對稱章末測試卷（拔尖卷）【北師大版】考試時(shí)間：100分鐘；滿分：100分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共23題，單選10題，填空6題，解答7題，滿分100分，限時(shí)60分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本章內(nèi)容的具體情況！一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）(2023秋?石城縣期末）第24屆冬奧會將于2022年2月4日至20日在北京和張家口舉辦，北京是全世界唯一同時(shí)舉辦過夏季和冬季奧運(yùn)會的城市．下列四個(gè)圖分別是四屆冬奧會部分圖標(biāo)，其中是軸對稱圖形的為（）A． B． C． D．2．（3分）(2023秋?羅莊區(qū)期末）如圖，彈性小球從點(diǎn)P出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動，每當(dāng)小球碰到矩形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角．當(dāng)小球第1次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為Q，第2次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為M，…．第9次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為圖中的（）A．點(diǎn)P B．點(diǎn)Q C．點(diǎn)M D．點(diǎn)N3．（3分）(2023秋?青田縣期末）如圖，點(diǎn)A、B、C都在方格紙的“格點(diǎn)”上，請找出“格點(diǎn)”D，使點(diǎn)A、B、C、D組成一個(gè)軸對稱圖形，這樣的點(diǎn)D共有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．44．（3分）(2023秋?遷安市期末）如圖，將長方形紙片沿MP和NP折疊，使線段PB'和PC'重合，則下列結(jié)論正確（）①∠BPB′=12∠C②∠BPM+∠B'PM＝90°③∠BPM+∠NPC＝90°④∠NPM＝90°⑤∠B'PM+∠NPC＝90°A．①②③ B．③④⑤ C．②③④ D．①⑤5．（3分）(2023秋?亳州期末）定義：過△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)作一條直線m，若直線m能將△ABC恰好分成兩個(gè)等腰三角形，則稱△ABC為“奇妙三角形”．如圖，下列標(biāo)有度數(shù)的四個(gè)三角形中，不是“奇妙三角形”的是（）A． B． C． D．6．（3分）(2023秋?越秀區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB邊的垂直平分線DE，分別與AB邊和AC邊交于點(diǎn)D和點(diǎn)E，BC邊的垂直平分線FG，分別與BC邊和AC邊交于點(diǎn)F和點(diǎn)G，又△BEG的周長為16，且GE＝1，則AC的長為（）A．16 B．15 C．14 D．137．（3分）(2023秋?蘇州期末）若一個(gè)等腰三角形的一條邊是另一條邊的k倍，我們把這樣的等腰三角形叫做“k倍邊等腰三角形”．如果一個(gè)等腰三角形是“4倍邊等腰三角形”，且周長為18cm，則該等腰三角形底邊長為（）A．12cm B．12cm或2cm C．2cm D．4cm或12cm8．（3分）(2023秋?招遠(yuǎn)市期末）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，在直線BC上取一點(diǎn)P，使CP＝CA，連接AP，則∠BAP的度數(shù)為（）A．15° B．55° C．15°或55° D．15°或75°9．（3分）(2023秋?羅莊區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，延長AD至E，使AD＝DE，連接BE，若AB＝4AC，△BDE的面積為12，則△ABC的面積是（）A．6 B．9 C．12 D．1510．（3分）(2023秋?澄海區(qū)期末）如圖，若∠AOB＝44°，P為∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)M在OA上，點(diǎn)N在OB上，當(dāng)△PMN的周長取最小值時(shí)，∠MPN的度數(shù)為（）A．82° B．84° C．88° D．92°二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）(2023秋?永城市期末）在如圖所示的圖中補(bǔ)一個(gè)小正方形，使其成為軸對稱圖形，共有種補(bǔ)法．12．（3分）(2023秋?澄海區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為斜邊AB上的一點(diǎn)，連接CD，將△BCD沿CD翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，點(diǎn)F為直角邊AC上一點(diǎn)，連接DF，將△ADF沿DF翻折，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)E重合，則∠CEF的度數(shù)為．13．（3分）(2023秋?官渡區(qū)期末）如圖，鈍角△ABC中，AB＝6，AC＝3，BC＝4，過三角形一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線可將△ABC分成兩個(gè)三角形，若分成的兩個(gè)三角形中有一個(gè)三角形為等腰三角形，則這樣的直線有條．14．（3分）(2023秋?臨海市期末）如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的平分線，延長CD至點(diǎn)E，使DE=12CD，連接BE，若AC＝2BC，△BDE的面積為1，則△ABC的面積是15．（3分）(2023秋?寧津縣期末）如圖，已知∠AOB＝40°，點(diǎn)D是邊OA上一點(diǎn)，在射線OB上取一點(diǎn)C，當(dāng)△OCD是等腰三角形時(shí)，∠OCD的度數(shù)為．16．（3分）(2023秋?黃岡期末）已知：如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)M，N分別是邊OA，OB上的定點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是邊OB，OA上的動點(diǎn)，記∠MPQ＝α，∠PQN＝β．當(dāng)MP+PQ+QN最小時(shí)，則β﹣α＝．三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）(2023秋?黃石港區(qū)期末）如圖a，網(wǎng)格中的每一個(gè)正方形的邊長為1，△ABC為格點(diǎn)三角形，直線MN為格點(diǎn)直線（點(diǎn)A、B、C、M、N在小正方形的頂點(diǎn)上）．（1）僅用直尺在圖a中作出△ABC關(guān)于直線MN的對稱圖形△A′B′C′．（2）如圖b，僅用直尺將網(wǎng)格中的格點(diǎn)三角形ABC的面積三等分，并將其中的一份用鉛筆涂成陰影．（3）如圖c，僅用直尺作三角形ABC的邊AC上的高，簡單說明你的理由．18．（6分）(2023秋?思明區(qū)校級期末）請僅用無刻度的直尺完成下列畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡．（1）如圖①，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，畫出四邊形ABCD的對稱軸m；（2）如圖②，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，畫出BC邊的垂直平分線n．19．（8分）(2023秋?密山市校級期末）在△ABC中，AB＝AC，AC邊上的中線BD把△ABC的周長分成15和6兩部分，求這個(gè)三角形的腰長及底邊長．20．（8分）(2023春?蓮湖區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E是BC邊上的一點(diǎn)，連接AE，BD垂直平分AE，垂足為F，交AC于點(diǎn)D，連接DE．（1）若△ABC的周長為18，△DEC的周長為6，求AB的長．（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度數(shù)．21．（8分）(2023秋?湖里區(qū)期末）經(jīng)過三角形一個(gè)頂點(diǎn)及其對邊上一點(diǎn)的直線，若能將此三角形分割成兩個(gè)等腰三角形，稱這個(gè)三角形為“鉆石三角形”，這條直線稱為這個(gè)三角形的“鉆石分割線”．例如，如圖，△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，若AD＝DC＝CB，則稱△ABC是“鉆石三角形”，直線CD是△ABC的“鉆石分割線”．（1）已知Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，則Rt△ABC“鉆石三角形”（填“是”或者“不是”）；（2）已知，△ABC是“鉆石三角形”，∠A＞∠B＞∠C，直線BD是△ABC的“鉆石分割線”，探求∠ABC與∠C之間的關(guān)系．22．（8分）(2023春?新城區(qū)校級期末）已知：四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，OA＝OC，OB＝OD+CD．（1）如圖1，過點(diǎn)A作AE∥CD交BD于點(diǎn)E，求證：AE＝BE；（2）如圖2，將△ABD沿AB折疊，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為D′，求證：∠BDC＝2∠ABD′．23．（8分）(2023秋?順平縣期末）如圖（1），三角形ABC中，BD是∠ABC的角平分線．（1）若∠A＝80°，∠ABC＝58°，則∠ADB＝°．（2）若AB＝6，設(shè)△ABD和△CBD的面積分別為S1和S2，已知S1S2=2（3）如圖（2），∠ACE是△ABC的一個(gè)外角，CF平分∠ACE，BD的延長線與CF相交于點(diǎn)F，CG平分∠ACB，交BD于點(diǎn)H，連接AF，設(shè)∠BAC＝α，求∠BHC與∠HFC的度數(shù)（用含α的式子表示）．第5章生活中的軸對稱章末測試卷（拔尖卷）【北師大版】考試時(shí)間：100分鐘；滿分：100分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共23題，單選10題，填空6題，解答7題，滿分100分，限時(shí)60分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本章內(nèi)容的具體情況！一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）(2023秋?石城縣期末）第24屆冬奧會將于2022年2月4日至20日在北京和張家口舉辦，北京是全世界唯一同時(shí)舉辦過夏季和冬季奧運(yùn)會的城市．下列四個(gè)圖分別是四屆冬奧會部分圖標(biāo)，其中是軸對稱圖形的為（）A． B． C． D．分析：根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．【解答】解：選項(xiàng)A、B、C不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，選項(xiàng)D能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形，故選：D．2．（3分）(2023秋?羅莊區(qū)期末）如圖，彈性小球從點(diǎn)P出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動，每當(dāng)小球碰到矩形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角．當(dāng)小球第1次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為Q，第2次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為M，…．第9次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為圖中的（）A．點(diǎn)P B．點(diǎn)Q C．點(diǎn)M D．點(diǎn)N分析：根據(jù)反射角與入射角的定義作出圖形，可知每6次反彈為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，進(jìn)而確定位置即可．【解答】解：如圖所示，小球反彈6次回到點(diǎn)P處，而9﹣6＝3，∴第9次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為圖中的點(diǎn)N．故選：D．3．（3分）(2023秋?青田縣期末）如圖，點(diǎn)A、B、C都在方格紙的“格點(diǎn)”上，請找出“格點(diǎn)”D，使點(diǎn)A、B、C、D組成一個(gè)軸對稱圖形，這樣的點(diǎn)D共有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4分析：直接利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出符合題意的答案．【解答】解：如圖所示：點(diǎn)A、B、C、D組成一個(gè)軸對稱圖形，這樣的點(diǎn)D共有4個(gè)．故選：D．4．（3分）(2023秋?遷安市期末）如圖，將長方形紙片沿MP和NP折疊，使線段PB'和PC'重合，則下列結(jié)論正確（）①∠BPB′=12∠C②∠BPM+∠B'PM＝90°③∠BPM+∠NPC＝90°④∠NPM＝90°⑤∠B'PM+∠NPC＝90°A．①②③ B．③④⑤ C．②③④ D．①⑤分析：由折疊可知，∠BPM＝∠B'PM=12∠BPB'，∠CPN＝∠C'PN【解答】解：由折疊可知，∠BPM＝∠B'PM=12∠BPB'，∠CPN＝∠C'PN∴∠BPM+∠NPC=12∠BPB'+1∠NPM＝∠B'PM+∠C'PN=12∠BPB'+1∠B'PM+∠NPC=12∠BPB'+1故①②錯(cuò)誤．故選：B．5．（3分）(2023秋?亳州期末）定義：過△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)作一條直線m，若直線m能將△ABC恰好分成兩個(gè)等腰三角形，則稱△ABC為“奇妙三角形”．如圖，下列標(biāo)有度數(shù)的四個(gè)三角形中，不是“奇妙三角形”的是（）A． B． C． D．分析：根據(jù)等腰三角形的定義畫出圖形即可判斷．【解答】解：A．是“奇妙三角形”，不合題意；B．是“奇妙三角形”，不合題意；C．不是“奇妙三角形”，符合題意；D．是“奇妙三角形”，不合題意；故選：C．6．（3分）(2023秋?越秀區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB邊的垂直平分線DE，分別與AB邊和AC邊交于點(diǎn)D和點(diǎn)E，BC邊的垂直平分線FG，分別與BC邊和AC邊交于點(diǎn)F和點(diǎn)G，又△BEG的周長為16，且GE＝1，則AC的長為（）A．16 B．15 C．14 D．13分析：根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EB＝EA、GB＝GC，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵DE是AB邊的垂直平分線，∴EB＝EA，∵FG是BC邊的垂直平分線，∴GB＝GC，∵△BEG的周長為16，∴GB+GE+EB＝16，∴AE+GE+GC＝16，∴AC+GE+GE＝16，∵GE＝1，∴AC＝16﹣2＝14，故選：C．7．（3分）(2023秋?蘇州期末）若一個(gè)等腰三角形的一條邊是另一條邊的k倍，我們把這樣的等腰三角形叫做“k倍邊等腰三角形”．如果一個(gè)等腰三角形是“4倍邊等腰三角形”，且周長為18cm，則該等腰三角形底邊長為（）A．12cm B．12cm或2cm C．2cm D．4cm或12cm分析：設(shè)該等腰三角形的較短邊長為xcm（x＞0），則較長邊長為4xcm．分①xcm為腰；②4xcm為腰兩種情況討論即可．【解答】解：設(shè)該等腰三角形的較短邊長為xcm（x＞0），則較長邊長為4xcm．①當(dāng)xcm為腰時(shí)，∵x+x＜4x，∴x，x，4x不能組成三角形；②當(dāng)4xcm為腰時(shí)，4x，4x，x能夠組成三角形，∵4x+4x+x＝18，∴x＝2，∴該等腰三角形底邊長為2cm．故選：C．8．（3分）(2023秋?招遠(yuǎn)市期末）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，在直線BC上取一點(diǎn)P，使CP＝CA，連接AP，則∠BAP的度數(shù)為（）A．15° B．55° C．15°或55° D．15°或75°分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以得到△ABC各內(nèi)角的關(guān)系，然后根據(jù)題意，畫出圖形，利用分類討論的方法求出∠BAP的度數(shù)即可．【解答】解：如右圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，∵AB＝AC，∠ABC＝70°，∴∠ACB＝∠ABC＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵CA＝CP1，∴∠CAP1＝∠CP1A=180°?∠AC∴∠BAP1＝∠CAP1﹣∠CAB＝55°﹣40°＝15°；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，∵AB＝AC，∠ABC＝70°，∴∠ACB＝∠ABC＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵CA＝CP2，∴∠CAP2＝∠CP2A=∠ACB∴∠BAP2＝∠CAP2+∠CAB＝35°+40°＝75°；由上可得，∠BAP的度數(shù)是15°或75°，故選：D．9．（3分）(2023秋?羅莊區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，延長AD至E，使AD＝DE，連接BE，若AB＝4AC，△BDE的面積為12，則△ABC的面積是（）A．6 B．9 C．12 D．15分析：由角平分線的性質(zhì)可得DG＝DH，由三角形的面積關(guān)系可求解．【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DG⊥AC，交AC的延長線于G，DH⊥AB于H，∵AD＝DE，△BDE的面積為12，∴S△ABD＝S△BDE＝12，∵AD是∠BAC的平分線，DH⊥AB，DG⊥AC，∴DG＝DH，∵AB＝4AC，∴S△ABD＝4S△ACD，∴S△ACD＝3，∴S△ABC＝12+3＝15，故選：D．10．（3分）(2023秋?澄海區(qū)期末）如圖，若∠AOB＝44°，P為∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)M在OA上，點(diǎn)N在OB上，當(dāng)△PMN的周長取最小值時(shí)，∠MPN的度數(shù)為（）A．82° B．84° C．88° D．92°分析：作點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)A'，點(diǎn)P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)P''，連接P'P''交OA于M'，OB與N'，此時(shí)P'P''的長即為△PMN的周長的最小值，可知∠P'PP''＝180°﹣44°＝136°，再利用三角形內(nèi)角和定理可得答案．【解答】解：作點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)A'，點(diǎn)P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)P''，連接P'P''交OA于M'，OB與N'，∴PM'＝P'M'，PN'＝P''N'，此時(shí)P'P''的長即為△PMN的周長的最小值，∵∠AOB＝44°，∴∠P'PP''＝180°﹣44°＝136°，∴∠P'+P''＝44°，∵∠P'＝∠MPP'，∠P''＝∠P''PN'，∴∠M'PN'＝∠P'PP''﹣（∠P'+∠P''）＝136°﹣44°＝92°，故選：D．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）(2023秋?永城市期末）在如圖所示的圖中補(bǔ)一個(gè)小正方形，使其成為軸對稱圖形，共有4種補(bǔ)法．分析：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)畫出圖形即可．【解答】解：如圖所示：故共有4種補(bǔ)法．故答案為：4．12．（3分）(2023秋?澄海區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為斜邊AB上的一點(diǎn)，連接CD，將△BCD沿CD翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，點(diǎn)F為直角邊AC上一點(diǎn)，連接DF，將△ADF沿DF翻折，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)E重合，則∠CEF的度數(shù)為90°．分析：根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵將△BCD沿CD翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，∴∠B＝∠CED，∵將△ADF沿DF翻折，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)E重合，∴∠A＝∠DEF，∴∠CEF＝∠DEF+∠CED＝∠A+∠B＝90°，故答案為：90°．13．（3分）(2023秋?官渡區(qū)期末）如圖，鈍角△ABC中，AB＝6，AC＝3，BC＝4，過三角形一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線可將△ABC分成兩個(gè)三角形，若分成的兩個(gè)三角形中有一個(gè)三角形為等腰三角形，則這樣的直線有7條．分析：分別以A、B、C為等腰三角形的頂點(diǎn)，可畫出直線，再分別以AB、AC、BC為底的等腰三角形，可畫出直線，綜合兩種情況可求得答案．【解答】解：分別以A、B、C為等腰三角形的頂點(diǎn)的等腰三角形有4個(gè)，∴滿足條件的直線有4條；分別以AB、AC、BC為底的等腰三角形有3個(gè)，∴滿足條件的直線有3條，綜上可知滿足條件的直線共有7條，故選：C．14．（3分）(2023秋?臨海市期末）如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的平分線，延長CD至點(diǎn)E，使DE=12CD，連接BE，若AC＝2BC，△BDE的面積為1，則△ABC的面積是分析：由角平分線的性質(zhì)可得DG＝DH，由三角形的面積關(guān)系可求解．【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DG⊥AC于G，DH⊥CB于H，∵DE=12CD，△∴S△BCD＝2S△BDE＝2，∵CD是∠ACB的平分線，DH⊥CB，DG⊥AC，∴DG＝DH，∵AC＝2BC，S△ACD=1∴S△ACD＝2S△BCD，∴S△ACD＝4，∴S△ABC＝S△ACD+S△BCD＝4+2＝6，故答案為：6．15．（3分）(2023秋?寧津縣期末）如圖，已知∠AOB＝40°，點(diǎn)D是邊OA上一點(diǎn)，在射線OB上取一點(diǎn)C，當(dāng)△OCD是等腰三角形時(shí)，∠OCD的度數(shù)為40°或70°或100°．分析：分三種情況討論：①當(dāng)OD＝OC，②當(dāng)OD＝DC，③當(dāng)OC＝CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖，①當(dāng)OD＝OC時(shí)，∠OCD＝∠ODC=180°?∠AOB②當(dāng)OD＝DC時(shí)，∠OCD＝∠COD＝40°；③當(dāng)OC＝CD時(shí)，∠ODC＝∠COD＝40°，∴∠OCD＝180°﹣∠ODC﹣∠COD＝100°．綜上所述，∠OCD的度數(shù)為40°或70°或100°．故答案為：40°或70°或100°．16．（3分）(2023秋?黃岡期末）已知：如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)M，N分別是邊OA，OB上的定點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是邊OB，OA上的動點(diǎn)，記∠MPQ＝α，∠PQN＝β．當(dāng)MP+PQ+QN最小時(shí)，則β﹣α＝60°．分析：作M關(guān)于OB的對稱點(diǎn)M′，N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)N′，連接M′N′交OA于Q，交OB于P，則MP+PQ+QN最小，易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和平角的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖，作M關(guān)于OB的對稱點(diǎn)M′，N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)N′，連接M′N′交OA于Q，交OB于P，則MP+PQ+QN最小，∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ=12∠M'PM，∠OQP＝∠AQN，∴∠QPN=12∠M'PM=∵∠QPN＝∠AOB+∠OQP＝∠AOB+∠AQN'＝∠AOB+＝30°+12×∴12（180°﹣α）＝30°+12∴180°﹣α＝60°+（180°﹣β），∴180°﹣α＝240°﹣β，∴β﹣α＝240°﹣180°，∴β﹣α＝60°，故答案為60°．三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）(2023秋?黃石港區(qū)期末）如圖a，網(wǎng)格中的每一個(gè)正方形的邊長為1，△ABC為格點(diǎn)三角形，直線MN為格點(diǎn)直線（點(diǎn)A、B、C、M、N在小正方形的頂點(diǎn)上）．（1）僅用直尺在圖a中作出△ABC關(guān)于直線MN的對稱圖形△A′B′C′．（2）如圖b，僅用直尺將網(wǎng)格中的格點(diǎn)三角形ABC的面積三等分，并將其中的一份用鉛筆涂成陰影．（3）如圖c，僅用直尺作三角形ABC的邊AC上的高，簡單說明你的理由．分析：（1）分別作出A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)A′，B′，C′即可．（2）如圖，取格點(diǎn)O，計(jì)算可知S△AOC＝S△BOC＝S△AOB＝2（平方單位）．本題方法多只要滿足條件即可．（3）如圖，選擇格點(diǎn)D、E，證明△ABD≌△CBE．于是，AB＝CB．選擇格點(diǎn)Q，證明△ABQ≌△CBQ，于是，AQ＝CQ．推出BQ為線段AC的垂直平分線，設(shè)BQ與AC相交于點(diǎn)F，則BF為所要求的△ABC的邊AC上的高．【解答】（1）解：如圖a中，△A′B′C′即為所求．（2）解：如圖，取格點(diǎn)O，計(jì)算可知S△AOC＝S△BOC＝S△AOB＝2（平方單位）本題方法多，列舉部分方法如下：（3）解：如圖，選擇格點(diǎn)D、E，證明△ABD≌△CBE．于是，AB＝CB．選擇格點(diǎn)Q，證明△ABQ≌△CBQ，于是，AQ＝CQ．∴BQ為線段AC的垂直平分線，設(shè)BQ與AC相交于點(diǎn)F，則BF為所要求的△ABC的邊AC上的高．18．（6分）(2023秋?思明區(qū)校級期末）請僅用無刻度的直尺完成下列畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡．（1）如圖①，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，畫出四邊形ABCD的對稱軸m；（2）如圖②，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，畫出BC邊的垂直平分線n．分析：（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可作出對稱軸m；（2）延長BA，CD交于點(diǎn)E，連接AC，BD交于點(diǎn)F，連接EF即可畫出BC邊的垂直平分線n．【解答】解：（1）如圖，對稱軸m即為所求；（2）BC邊的垂直平分線n即為所求．19．（8分）(2023秋?密山市校級期末）在△ABC中，AB＝AC，AC邊上的中線BD把△ABC的周長分成15和6兩部分，求這個(gè)三角形的腰長及底邊長．分析：已知腰上的中線BD將這個(gè)等腰三角形的周長分成15和6兩部分，而沒有說明哪部分是15，哪部分是6；所以應(yīng)該分兩種情況進(jìn)行討論：第一種AB+AD＝15，第二種AB+AD＝6；分別求出其腰長及底邊長，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理將不合題意的解舍去．【解答】解：如圖，解：設(shè)AD＝x，∵BD是△ABC的中線，∴CD＝AD=12AC＝又∵AB＝AC，∴AB＝AC＝2x，又∵中線BD把△ABC的周長分成15和6兩部分，①當(dāng)AD+AB＝15時(shí)，有2x+x＝15，得x＝5，即AB＝10，∴BC+CD＝6，即5+BC＝6，得BC＝1，∴等腰△ABC的腰為10，底邊為1；②當(dāng)AD+AB＝6時(shí)，有2x+x＝6，得x＝2，即AB＝4，∴BC+CD＝15，即BC+2＝15，得BC＝13，又∵4+4＜13，∴此種情況不能構(gòu)成三角形．∴綜上所述：等腰△ABC的腰為10，底邊為1．20．（8分）(2023春?蓮湖區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E是BC邊上的一點(diǎn)，連接AE，BD垂直平分AE，垂足為F，交AC于點(diǎn)D，連接DE．（1）若△ABC的周長為18，△DEC的周長為6，求AB的長．（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度數(shù)．分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AB＝BE，AD＝DE，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到答案；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，證明△BAD≌△BED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BED＝∠BAC＝105°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵BD是線段AE的垂直平分線，∴AB＝BE，AD＝DE，∵△ABC的周長為18，△DEC的周長為6，∴AB+BE+EC+CD+AD＝18，CD+EC+DE＝CD+CE+AD＝6，∴AB+BE＝18﹣6＝12，∴AB＝6；（2）∵∠ABC＝30°，∠C＝45°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，在△BAD和△BED中，BA=BEBD=BD∴△BAD≌△BED（SSS），∴∠BED＝∠BAC＝105°，∴∠CDE＝∠BED﹣∠C＝105°﹣45°＝60°．21．（8分）(2023秋?湖里區(qū)期末）經(jīng)過三角形一個(gè)頂點(diǎn)及其對邊上一點(diǎn)的直線，若能將此三角形分割成兩個(gè)等腰三角形，稱這個(gè)三角形為“鉆石三角形”，這條直線稱為這個(gè)三角形的“鉆石分割線”．例如，如圖，△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，若AD＝DC＝CB，則稱△ABC是“鉆石三角形”，直線CD是△ABC的“鉆石分割線”．（1）已知Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，則Rt△ABC是“鉆石三角形”（填“是”或者“不是”）；（2）已知，△ABC是“鉆石三角形”，∠A＞∠B＞∠C，直線BD是△ABC的“鉆石分割線”，探求∠ABC與∠C之間的關(guān)系．分析：（1）如圖，取BC的中點(diǎn)D連接AD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AD＝CD＝BD，求得△ACD和△ABD是等腰三角形，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意得到△BCD與△ABD是等腰三角形，且腰相等，求得CD＝BD，設(shè)∠C＝x，則∠DBC＝∠C＝x，∠ADB＝∠C+∠DBC＝2x．在△ABD當(dāng)AB＝BD時(shí)，如圖1，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A＝∠ADB＝2x．求得∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣3x，于是得到結(jié)論，在△ABD當(dāng)AB＝AD時(shí)，如圖2，推出△ADB是等邊三角形，得到∠ADB＝∠ABD＝2x＝60°，∠C＝x＝30°，求得∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，是得到結(jié)論．【解答】解：（1）是，理由：如圖，取BC的中點(diǎn)D連接AD，∵∠A＝90°，∴AD＝CD＝BD，∴△ACD和△ABD是等腰三角形，∴Rt△ABC“鉆石三角形”，故答案為：是；（2）∵△ABC是鉆石三角形，直線BD是鉆石分割線，∴△BCD與△ABD是等腰三角形，且腰相等，∵BC＞AC＞AB，∴在△BCD中，BC最大，不可能為腰．∴CD＝BD，設(shè)∠C＝x，則∠DBC＝∠C＝x，∠ADB＝∠C+∠DBC＝2x．在△ABD當(dāng)AB＝BD時(shí)，如圖1，∴∠A＝∠ADB＝2x．∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣3x，即3∠C+∠ABC＝180°，且45°＞∠C＞36°；在△ABD當(dāng)AB＝AD時(shí)，如圖2，∵AB＝AD，BD＝CD，∴∠ADB＝2∠C＝2x，∠ABD＝∠ADB＝2x，∴∠ABC＝3x，∴∠ABC＝3∠C，在△ABD中，當(dāng)AD＝BD時(shí)，如圖3，∴∠A＝∠ABD=180°?∠ADB2=∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，∴AC是最大邊，這與BC是最大邊矛盾，∴不合題意，舍去；綜上所述，∠ABC＝3∠C或3∠C+∠ABC＝180°，且45°＞∠C＞36°．解法二：∵△ABC是鉆石三角形，直線BD是鉆石分割線，∴△BCD與△ABD是等腰三角形，且腰相等，∵BC＞AC＞AB，∴在△BCD中，BC最大，不可能為腰．∴CD＝BD，∴△ABD的一條腰為BD．設(shè)∠C＝x，則∠DBC＝∠C＝x，∠ADB＝∠C+∠DBC＝2x．①在△ABD的另一條腰為AB時(shí)，即AB＝BD，如圖1，∴∠A＝∠ADB＝2x．∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣3x，即3∠C+∠ABC＝180°，且45°＞∠C＞36°，②在△ABD的另一條腰為AD時(shí)，即AD＝BD，如圖3，∴∠A＝∠ABD=180°?∠ADB2=∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，∴AC是最大邊，這與BC是最大邊矛盾，∴不合題意，舍去．綜上所述，∠ABC＝3∠C或3∠C+∠ABC＝180°，且45°＞