中考數(shù)學(xué)知識點(diǎn)與經(jīng)典題型練習(xí) 相似三角形中由動點(diǎn)引起的分類討論問題(解析版)

專題26相似三角形中由動點(diǎn)引起的分類討論問題

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，在RtABC中，ZBC4=90%CDJ_AB于點(diǎn)￡>,下列結(jié)論錯誤的有（）個

①圖中只有兩對相似三角形；@BCAC=ABCD;③若BC=25AD=8,則CZ）=4.

A.1個B.2個C.3個D.O個

【答案】A

【分析】①根據(jù)相似三角形判定判斷；②利用面積法證明即可：③利用相似三角形的性質(zhì)求

出BC,再利用勾股定理求出Cz）即可.

【詳解】解：VZACB=90°,CDLAB,

ZACD=ZCDB=ZACB,

:行I=A,ZB=ZB

∕?ACDsRABCs∕?CBD,故①錯誤，

SzACB=yAC?BC=AB-CD,

.?BC?AC=AB?CD,故②正確，

VΔCβD^>ΔABC,

.CBBD

,'Aθ^^BC,

?26_BD

"8+BD-2√5'

.?.8D=2或-IO（舍棄），

2222

在Rt?CDB中，CD=y∣BC-BD=A∕（2√5）-2=4,故③正確，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找

相似三角形解決問題，屬于中考常考題型.

2.在RtABC中，ZBAC=90°,48=AC,點(diǎn)O為線段BC上一點(diǎn)，以Ao為一邊構(gòu)造

Rt∕?ADE,NDAE'=90。，AD=AE,下列說法正確的個數(shù)是（）

①圖中和NBAD相等的角有2個（不含/BAZ））；②若不添加線段，圖中共有5對相似三

角形；@AD2=OA-AC;?DEr=BD1+CD2.

E

σ

B'~~---------------

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)

及勾股定理進(jìn)行證明即可得出答案.

【詳解】在RtABC中，ABAC=90°,AB=AC,在mA4DE,NoAE=90。，AD=AE,

o

.?.ZB=ZC=45=ZAD1E=ZE'=45°,

.?.ΔASCΔAE>E,

.?.ZBAC-ZDAC=ZDAE-NDAC,即ZBAD=ZCAE,

.,.ΔABDAAEO,

在ΔAOE和ΔDOC中，

,Z￡=ZC,ΛAOE=ADOC,

.-.ZCAE=ZODC,

.-.AODC=ABAD,故圖中和/8AD相等的角有2個（不含/&LD）,①正確；

:.\AOEAooC,

：.MBDNDeO,

ZDAOZCAD,

:.AAODΔADC,故若不添加線段，圖中共有5對相似三角形，②正確；

空=獎，BPAD2=OA-AC,故③正確；

ACAD

連接。，

AB=AcNBAD=ZCAE9AO=AE,

.?ΔABDMCE(SAS)f

[BD=CE,/B=NACE=45°,

.ZAC3=45。,

.?.ZDCE=90°,

..CD2+CE2=DE2,

.?.DE2=BD2+CD',故④正確；

綜上，說法正確的由①②③④；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定

和性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZABC=90o,AB=7,AD=3,BC=4?點(diǎn)

P為AB邊上一動點(diǎn)，若APAD與APBC是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個數(shù)是()

【答案】B

【分析】由于NPAD=NPBC=90。，故要使△PAD與△PBC相似，分兩種情況

討論：φ?APD^?BPC,②AAPDsaBCP,這兩種情況都可以根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的

比相等求出AP的長，即可得到P點(diǎn)的個數(shù).

【詳解】VABlBC,

ΛZB=90%

VAD√BC,

ΛZA=180o-ZB=90°,

ΛZPAD=ZPBC=90°,

設(shè)AP的長為X,則BP長為7-X：

若AB邊上存在P點(diǎn)，使APAD與APBC相似，那么分兩種情況：

①若4APDS∕?BPC,則AP：BP=AD:BC,即x：(7-x)=3：4,

解得:x=3

②若AAPDs∕?BCP,則AP：BC=AD:BP,即x：4=3：(7-x),

解得：x=4或3.

.?.滿足條件的點(diǎn)P的個數(shù)是2個，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，難度適中,進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZABC=90o,AB=8,AD=3,BC=4,點(diǎn)P為

AB邊上一動點(diǎn)，若△PAD與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個數(shù)是()

D

A'---卞-------IB

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【詳解】試題分析：由于NPAD=NPBC=90。，故要使△PAD與△PBC相似，分兩種情況討

論：Φ?APD^ΔBPC,②^APDS^BCP,這兩種情況都可以根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比

相等求出AP的長，即可得到P點(diǎn)的個數(shù).

解：VAB±BC,

∕B=90°.

VAD/7BC,

ΛZA=180o-ZB=90o,

ΛZPAD=ZPBC=90o.AB=8,AD=3,BC=4,

設(shè)AP的長為X,則BP長為8-X.

若AB邊上存在P點(diǎn)，使△PAD與△PBC相似，那么分兩種情況：

24

①若AAPDsZiBPC,則AP：BP=AD:BC,即x：(8-x)=3：4,解得x=7；

②若△APDsABCP,則AP：BC=AD:BP,CPX：4=3：(8-χ),解得x=2或x=6.

.?.滿足條件的點(diǎn)P的個數(shù)是3個，

故選C.

考點(diǎn)：相似三角形的判定；直角梯形.

5.如圖，在矩形A8C。中，點(diǎn)E為AO上一點(diǎn)，且AB=8,AE=3,BC=4,點(diǎn)尸為AB邊

上一動點(diǎn),連接PC、PE,若工∕?E與，PBC是相似三角形,則滿足條件的點(diǎn)P的數(shù)量為()

A.I個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】設(shè)AP=X,則BP=8τ,分△尸A￡APBC和AR4EZ?CBP兩種情況，根據(jù)相

似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可.

【詳解】解：：四邊形A8C。是矩形，

.,.NA=N8=90°,

iScAP=x,則BP=8-x,

當(dāng)APAEZV5BC時，

AEPA

~BC~~PB,

吟六，

解得χ=524t，

當(dāng)APAEacep時，

AEPA

~PB~~BC'

Hn3X

即

解得x=2或6,

24

?,.AP=——或2或6,

7

；.滿足條件的點(diǎn)P的個數(shù)有3個.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵，解

答時，注意分類討論思想的靈活運(yùn)用.

6.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，且A8=8,AE=3,BC=4,點(diǎn)P為AB上一

動點(diǎn)，連接PC、PE,若△%￡與3PBC是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個數(shù)有（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】設(shè)AP=X,貝U8P=8-x,分△以ES∕?P8C和△隙ES△（；肝兩種情況，根據(jù)相似三

角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可.

【詳解】解：設(shè)AP=X,則BP=8-x,

ΛAIJΛR

當(dāng)△/?Es△尸BC時，一=—?,即；=

BCPB48-χ

解得，尸日，

APPA->v

當(dāng)△/?Es∕?C8P時，—=--,=

PBBC8τ4

解得，x=2或6.

可得：滿足條件的點(diǎn)尸的個數(shù)有3個.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三

角形相似是解題的關(guān)鍵，解答時，注意分情況討論思想的靈活運(yùn)用.

7.如圖，在矩形48C。中，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，且AB=8,AE=3,8C=4,點(diǎn)P為AB邊

上一動點(diǎn),連接尸。/￡若4必￡與^PBC是相似三角形,則滿足條件的點(diǎn)尸的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】設(shè)AP=X,WJBP=8-X,分△/?ES∕?PBC和△/?Es4CBP兩種情況，根據(jù)相似

三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可.

【詳解】解：設(shè)AP=X,則8P=8-χ,

當(dāng)A∕?ES2?PBC時，一=—,即"白，

BCPB48-*

24

解得，x=3,

APP?O

當(dāng)A∕?Es∕?C8P時，—,即廠一v=；,

PBBC8-x4

解得，x=2或6,

可得：滿足條件的點(diǎn)P的個數(shù)有3個.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解答時，注意分情況討論思想的靈活運(yùn)用.

二、填空題

8.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，且AB=8,AE=3,BC=4,點(diǎn)P為AB上

一動點(diǎn)，連接PC、PE,若4PAE與APBC是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個數(shù)有.

個.

【分析】設(shè)AP=x,則BP=8-χ,分APAEsaPBC和APAEsZ?CBP兩種情況，根據(jù)相似

三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可.

【詳解】解：設(shè)AP=x,貝IJBP=8-X,

ΛΓDAa

當(dāng)△PAEs/XPBC時?，—,即"六v，

BCPB48-x

24

解得，x=y.

ApDA1r

當(dāng)△PAEsaCBP時，——=—，SP√-=7,

PBBC8-x4

解得，x=2或6,

可得：滿足條件的點(diǎn)P的個數(shù)有3個.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三

角形相似是解題的關(guān)鍵，解答時，注意分情況討論思想的靈活運(yùn)用.

9.如圖，在四邊形ABC。中，AD∕∕BC,ZABC=90°,AD=2,BC=6,AB=7,點(diǎn)P是線

段BA上的一個動點(diǎn)，連接PC、PD.若A∕?O與APBC是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P

有個.

【答案】3

ApRPApDC

【分析】設(shè)AP=X,則8P=7-x,分兩種情況：①當(dāng)%時；②當(dāng)某=能時；分別

ADBCADBP

得出X的方程，解方程得出AP的長，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：AD//BC,ZABC=90°,

：.APAD+AABC=XW,

ΛZMD=90o,

設(shè)AP=x,貝∣j8P=7-χ,

分兩種情況：

①噴嘿時，

即臺譽(yù)

7

解得：x=“

②畸嘴時，

HuX6

BP2=7≡7

解得：x=3,或x=4,

故答案為：3

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定、解方程；熟練掌握相似三角形的判定定理，通過分

類討論得出比例式是解決問題的關(guān)鍵.

10.如圖，在矩形ABCZ)中，點(diǎn)E為AQ上一點(diǎn)，且AB=8,AE=3,BC=4,點(diǎn)P為AB上一

動點(diǎn)，連接PC.PE,若4^《與^P8C是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個數(shù)有

個.

【答案】3

【分析】設(shè)AP的長為X,則3P長為8-x,分△APEs2?BPC與PES∕?BCP兩種情況討

論即可得解.

【詳解】解：YABJ_BC,

.?./8=90。.

'：ADBC,

：.ZΛ=180o-ZB=90o,

N∕?E=NP8C=9(Γ.

AB=8,AE=3,BC=4,

設(shè)AP的長為x,則BP長為8*

若AB邊上存在尸點(diǎn)，使△/?E與△PBC相似，那么分兩種情況：

①若AA尸ESZ?BPC,貝l]AP：BP=AE:BC,即x：(8-x)=3：4,解得4日；

②若△APES∕?8CP,貝∣]4P：BC=AE:BP,即x：4=3：(8-x),解得Λ=2或戶6.

.?.滿足條件的點(diǎn)P的個數(shù)是3個.

故答案是：3.

【點(diǎn)睛】由于NΛ4E=NPBC=90o,故要使△/?E與△PBC相似，分兩種情況討論：

Φ?ΛPfi∞?B∕,C,②AAPEsABCP,這兩種情況都可以根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等

求出AP的長，即可得到P點(diǎn)的個數(shù).

11.如圖，AABC的兩條高A。、8E交于點(diǎn)H,則圖中的相似三角形共有一對.

[分析]根據(jù)相似二角形的判定定理找出相似的三角形即可.

【詳解】解：：AO18C,BELAC,

：./ADC=/BEC,

"：NC=NC,

：.；ADCs；BEC；

VZA=ZA,ZADC=ZAEH,

：.AADCsAAEH；

.?.AAEHS∕?BEC；

,:4BHD=ZAHE,ZBDH=ZAEH,

：.ABDHSAAEH；

ABDHSABEC；

；；ADCsBEC,

：.ABDHs￡?ADC.

綜上所述：有6對相似三角形.

故答案為：6

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理,

找出所有的相似三角形.

三、解答題

12.如圖，正方形A8C3,點(diǎn)P為射線OC上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，連接尸。,

DQ,過點(diǎn)尸作PE，。Q于點(diǎn)E.

（1）請找出圖中一對相似三角形，并證明；

（2）若AB=4,以點(diǎn)P,E,。為頂點(diǎn)的三角形與AAQQ相似，試求出。P的長.

【答案】（1）ΔDPE^AQDA,證明見解析；（2）DP=2或5

【分析】（1）由NADC=NDEP=NA=90?？勺C明△ADQsZiEPD;

（2）若以點(diǎn)P,E,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ADQ相似，有兩種情況，當(dāng)^ADQ^AEPQ時一，

EPDE

設(shè)EQ=x,則EP=2x,則DE=2√5-χ,由小ADQS∕?EPD可得.），可求出X的值，

則DP可求出；同理當(dāng)△ADQs∕?EQP時，設(shè)EQ=2a,則EP=a,可得過!二網(wǎng)=2=_L,

a42

可求出a的值，則DP可求.

【詳解】（1）ΔADQ<^?EPD,證明如下：

VPE±DQ.

.?.∕DEP=NA=90°,

VZADC=90o,

ΛZADQ+ZEDP=90o,ZEDP+ZDPE=90o,

ΛZADQ=ZDPE,

；.△ADQs^EPD;

（2）?.,AB=4,點(diǎn)Q為AB的中點(diǎn),

ΛAQ=BQ=2,

*2222

..DQ=y∣AD+AQ=√4+2=2√5，

VZPEQ=ZA=90o,

若以點(diǎn)P,E,Q為頂點(diǎn)的三角形與AADQ相似，有兩種情況,

ADPEC

①當(dāng)△ADQS∕?EPQ時?,-----=-----=2,

AQEQ

設(shè)EQ=x,則EP=2x,貝IJDE=26-X,

由（1）知aADQSZ?EPD,

.EPDE

??耘一而‘

?2x2Λ∕5-x

??—=------------，

42

:?x=^β

；?DP=√DE2+EP2=5:

②當(dāng)△ADQsZSlEQP時，設(shè)EQ=2a,則EP=a,

同理可得過!二照=2=1,

a42

??.a=拽，

5

DP=癇E=Jlm，乎j=2.

綜合以上可得DP長為2或5,使得以點(diǎn)P,E,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ADQ相似.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三

角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.由教科書知道，相似三角形的定義：如果兩個三角形各角分別相等，且各邊對應(yīng)成比例，

那么這兩個三角形相似：由教科書中實踐操作可得基本事實：兩條直線被一組平行線所截，

所得的對應(yīng)線段成比例.

（甲）（乙）

（1）請依據(jù)上面定義和事實，完成下列問題：

①已知，如圖甲，ΔABC中，點(diǎn)。、E分別在A8、AC上，且。E〃BC.

問：ΔAOE與AAfiC相似嗎？試證明.

②你得到的結(jié)論是：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形

⑵依據(jù)（1）中②的結(jié)論完成下列問題：

ΛL>

已知，如圖乙，在ΔABC和JA3"C"中，=-,■,/A=NA'.

ABAC

①問：AEC'與ΔABC相似嗎？試證明.

②你得到的結(jié)論是：的兩個三角形相似.

【答案】（1）①相似；證明見解析；②相似

(2)①相似；證明見解析；②兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等

【分析】⑴①過點(diǎn)。作DF//AC,利用三角形相似的定義證明即可；②由①可知平行于三

角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似；

(2)①根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似即可證明；②由①中可知兩邊成比例

且夾角相等，可以判定三角形相似進(jìn)而可得答案.

(1)

①相似.

證明如下：如圖，過點(diǎn)D作。尸交BC于點(diǎn)尸

易得：四邊形OEC尸是平行四邊形，即。E=尸C

由已知得NA=NA,ZADE=ZB,ZAED=ZC

'：DE//BC

.ADAE

■"AB-AC

5L'JDF∕∕AC

?A。CFDE

.ADAEDE

"AB-AC-BC

，由相似三角形定義得：MBC.

②解：由①可知平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相

似

故答案為：相似.

(2)

①相似.

證明如卜：如圖，在A8上取一點(diǎn)。，使，過點(diǎn)。作OE交AC丁點(diǎn)E

..AB_AC

DE〃BC,

,ADAE

：./SADESMBC

，ZA=ZA,ZADE=ZB?ZAED=ZC,

..ΛBAC

'A7FA7C7/A=ZA',AD=AB'

,ABABACAC

■'AD-AΨ-AC'~~AE

：.A：C=AE

在AABC和A'8'。中，

AE=A'C'

-ZA=NA'

AD=A'B'

ΔΛDE,A'B'C'(SAS)

又,.?MDESΔABC

,

.?.ΔABC^iA'βC.

②解：由題意知，兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等的兩個三角形相似

故答案為：兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的定義及事實的應(yīng)用，全等三角形的判定，平行線的性質(zhì).理

解題意綜合運(yùn)用知識是解決本題的關(guān)鍵.

14.如圖，E是平行四邊形ABC。的邊ZM延長線上一點(diǎn)，連結(jié)EC交A。于尸.

（1）寫出圖中的三對相似三角形（不添加輔助線）；

（2）請在你所寫的相似三角形中選一對，說明相似的理由.

【答案】（12EAPsacBP,&AEPs4DEC,?BCP^ΛDEC

（2）?EAP<^ΔCBP,理由見解析（答案不唯一）

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定，可得到△E4Ps∕?c8P,

AAEPSADEC,ABCPS∕?DEC;

(2)根據(jù)平行線定理可求得NE4尸=NB,進(jìn)而可以求證AE4Ps4CBP即可解題.

(1)

XEAPSχcBP'&AEPs∕?DEC、δBCP^∕?DEC.

(2)

選^EAPSACBP,

理由如下：在。ABCD中ADHBC,

.'.NEAP=NB.

XVNAPE=NBPC,

.?∕?EAP^ACBP.

同理，利用“兩角法”證得△4EPs∕?θEC,4BCPs/XDEC.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的證明，平行四邊形的性質(zhì)，利用相似三角形的判定是解題

的關(guān)鍵.

15.某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了尺規(guī)作圖、等腰三角形和相似三角形的有關(guān)知識后，在等腰

ZABC中，其中AB=AC,如圖I,進(jìn)行了如下操作.

第一步，以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交BA的延長線和AC于點(diǎn)E、凡如圖H；

第二步，分別以點(diǎn)E,尸為圓心，大于;EF的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)Q,作射線AO；

第三步，以。為圓心，D4的長為半徑畫弧，交射線4E于點(diǎn)G；

(1)填空：寫出/C43與NGAO的大小關(guān)系為；A。與BC的位置關(guān)系為；

AO

⑵當(dāng)AB=AC=6,3C=2時，連接。G,求出丁的值；

AG

(3)如圖ΠI,根據(jù)以上條件，點(diǎn)尸為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M為射線AD上的一個動點(diǎn)，連接尸M,

PC當(dāng)/CPM=NB時，求AM的長.

【答案】(1)NCW=NG4Γ>,AD^BC

(2)3

(3)9

【分析】(1)根據(jù)題目的尺規(guī)作圖可得4。平分NC4G,由此即可得到NCAD=NG4D；根

據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NABC=N4C8,再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、角的和差可得

ZCAG=ZGAD+ZCAD=ZABC+ZACB,從而可得/GW=NCW=ZABC=ZACS,然

后根據(jù)平行線的判定即可得出結(jié)論；

(2)先根據(jù)相似三角形的判定證出，A3CDAG,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得

ADABC

-----=-----=3；

AGBC

(3)以M為圓心，的長為半徑畫弧，交射線84于點(diǎn)N,設(shè)AN=x,則AM=例N=3x,

NP=X+3,由(2)可得NCPM=NB=NN,再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、角的和差可得

ZBCP=ZNPM,然后根據(jù)相似三角形的判定可得ABPC-?MWP,最后根據(jù)相似三角形的

性質(zhì)可得X的值，由此即可得出答案.

(1)解：由尺規(guī)作圖步驟可知，AD平分NC4G,；.NCW=NG4￡＞：VAB=AC,：.

ZABC=ZACB,,.?ZCAG=ZGAD+ZCAD=ZABC+ZACB,：.

NGAD=NCAD=ZABC=ZACB,：.AD∕/BC,故答案為：ZCAD=ZGAD,AD∕/BC.

(2)解：VDA=DG,：.ZGAD=ZAGD,V/IGAD=ZCAD=ZABC=ZACB,：.

ΛΓ)AB

ZGAD=ZCADZABC=ZACB=ZAGD,：.ABCDAG,：.—=—,T

AGBC

.ADAB.

AB=AC=6BC=2,.?--=--=3

1AGBC

(3)解：如圖，以“為圓心，MA的長為半徑畫弧，交射線84于點(diǎn)N,

ΛJ?∕fAft

由（2）-^^ZNAM=ZCAM=ZB=ZACB=ZN,--=—=3,設(shè)ATV=x,則

ANBC

AM=MN=3x,：點(diǎn)尸為AB的中點(diǎn)，ΛPA=PB=^AB=3,NP=AN+PA=x+3,'：

NCPM=NB,二ZCPM=NB=AN,又?.ZCPN=ACPM+ANPM=ZB+ZBCP,/?

MNNP3rx+3

ABCP=ANPM,Λ,BPCNMP,Λ—=—,即一二——,WWx=3,ΛAM=3x=9.

BPBC32

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的尺規(guī)作圖、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等

知識點(diǎn)，較難的是題（3）,通過作輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵.

16.如圖，在AABC中，AB=AC=5,8C=8,點(diǎn)。是邊BC上（不與B,C重合）一動點(diǎn)，

ZADE=ZB=a,DE交AC于點(diǎn)、E,

（1）不添加其它字母，寫出圖中所有的相似三角形，并選擇一對進(jìn)行證明；

（2）設(shè)BO=x,CE=y,求出y與X的函數(shù)關(guān)系式，并利用關(guān)系式求出線段AE長度的取值

范圍；

（3）當(dāng)△OCE為直角三角形時，8。的長為

Q25

【答案】(1)△8ADSZ?COE,?ΛDf∞?4CD,證明見解析：(2)一≤AE<5;(3)4或一

54

【分析】(1)由AB=AC,可得∕B=∕C,再由∕AOE=∕8,Zβ+ZBΛD=ZADC,

ZADC^ZADE+ZCDE,可得NBA氏NCDE,即可證明^BADSACDE；由NB=NAOE=NC,

可推出NA。C=NAoE+NCDE=/AEo=/C+NCDE,即可證明4A。ES2?ACD;

(2)由△8AoS△(7/)￡?,可得CE=B-DC,再由夕。=》，CE=y,8C=8,得到

AB

CD=BC-BD=S-X,即),=x(8-x),則

5

2

AE=AC-CE=5+X(F=/-,16-16+5=l(x-4)+1(0<x<8),然后利用二次

函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

(3)分當(dāng)NZ)EC=90。，當(dāng)NCQE=90。時，兩種情況討論求解即可.

【詳解】解：⑴'：AB=AC,

NB=NC,

VZADE=ZB,ZB+ZBAD=ZADC,ZADC=ZADE+ZCDE,

：.ZBAD=ZCDE,

：.MBADSXCDE；

'：ZB^ZADE=ZC,

：.ZADC=NADE+NCDE=NAED=NC+NCDE,

Λ?ΛDE^ΔACDi

A

.ABBD

'~DC~'CE

BDDC

AB

：BD=x,CE=y,BC=8,

β

.CD=BC-BD=S-X9

?vj(8r)

,.AE=AC_CE=5+〃丁)=x―8x；]6]6+5=；(x_4y+、(0<x<8)

>O,

3

9

?.當(dāng)x=4時，AE有最小值，最小值為g,

9

?-<AE<5；

5

(3)如圖所示，當(dāng)/。EC=90。，

:ABADSACDE,

,.ZBDA=ZCED=^°,即ADLBC,

Ji'：AB=AC,

?CD=BD=-BC=4;

2

如圖示，當(dāng)/CoE=90。時，過點(diǎn)A作AH_LBC于，,

：./AHC=NEDC=9V,BH=HC=—BC=4,

2

?'?AH=yjAC2-HC2=3?

VZADE=ZC=ZB.ZC+ZCA∕∕=90o,ZΛDE+ZAD∕∕=90o,

ZADH=ZCAH1

???XAHCsADHA,

.AHHC

??----=-----，

HDHA

：.HDD,

HC4

25

JBD=BH+DH=—,

4

25

???綜上所述，當(dāng)△。圓為直角三角形時，的長為4或二,

4

25

故答案為：4或

4

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，二次函數(shù)的應(yīng)用,

勾股定理，三角形外角的性質(zhì)等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定

條件.

17.如圖，ABLBD,CDLBD,AB=3,CD=8,BD=IO,一動點(diǎn)P從點(diǎn)B向右D運(yùn)動,

問當(dāng)點(diǎn)P離點(diǎn)B多遠(yuǎn)時，△/?B與△PS是相似三角形?

【分析】求出NB=/D=90。，根據(jù)相似三角形的判定得出當(dāng)尊=黑或得=需時，?PAB

與APCD是相似三角形，代入求出即可.

【詳解】解：-ABLBD,CDLBDf

ΛZβ=ZD=90o,

ARBPARBP

，當(dāng)——=——時，APABfCPD,或——=—時，bPAB~>PCD,

DPCDCDDP

VAB=3,CD=8,BD=IO,

.3BP+3BP

..----------=HV—=-----------,

IO-BP8-8IO-BP

30

.?.8P=6或4或yγ,

30

即P8=6或4或T時，△/?B與APC。是相似三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查J'相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，注意有兩種情況，用的知識點(diǎn)是：當(dāng)

兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩三角形相似.

18.如圖①，在AABC中，AC=Be,點(diǎn)力是線段AB上一動點(diǎn)，NEDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),在旋

轉(zhuǎn)過程中始終保持NA=NEz）凡射線。E與邊AC交于點(diǎn)M,射線QE與邊BC交于點(diǎn)M

連接

（1）找出圖中的一對相似三角形，并證明你的結(jié)論；

（2）如圖②，在上述條件下，當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動到AB的中點(diǎn)時，求證：在/MF繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)過

程中，點(diǎn)D到線段MN的距離為定值.

圖①圖②

【答案】（1）XADMSABND,理由見解析；（2）證明見解析.

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定解答即可；

（2）作。GLMMDHYAM,利用相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可.

【詳解】（1）XADMsdBND,理由如下：

?：AC=BC,

：.ZA=ZB,

,.?ZΛ+ZAMI）=ZEDF+ZBDN,

'：ZA=ZEDF,

：.NAMD=/BDN,

：.∕?ADM^∕?BND;

(2)證明：作。G_LMN于G,DH_LAM于”，如圖②,

圖②

由（1）得，&ADMsABND,

.AMDM

,,~BD~~DN1

"：AD=BD,

,AMDM?/

..——=——,又NzA=NEM

ADDN

Λ?ΛDM^?DiVM,

JNAMO=NNM。，又DG_LMMDHlAMf

JDG=DH,

；點(diǎn)。為43中點(diǎn)，

...OH為定值，即OG為定值，

，在/ED尸繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)。到線段Λ∕N的距離為定值.

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，掌

握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，在RtAABC中，ZC=90o,AC=BC=4cm,點(diǎn)D為AC邊上一點(diǎn)，且AD=3cm,

動點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動.作NDEF=45。，與邊BC相交于點(diǎn)F.

(備用圖)

1)找出圖中的一對相似三角形，并說明理由；

(2)當(dāng)△BEF為等腰三角形時，求AE的長；

(3)求動點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動的過程中點(diǎn)F的運(yùn)動路線長.

【答案】(1)?ADE∞?BEF;理由見解析：(2)∣√∑或3√∑或3.(3)ycm.

【詳解】試題分析：（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出NA=NB=45。由三角形的外角性質(zhì)和

已知條件證出NADE=NBEF,即可得出結(jié)論；

（2）分三種情況：①若EF=BF,由相似三角形的性質(zhì)和勾股定理求出AE=DE=∣√∑即可；

②若EF=BE,由相似三角形的性質(zhì)和勾股定理求出AE即可；

③若BF=BE,則NFEB=NEFB,由4ADESA1BEF得出AE=AD=3即可.

Δ∩Ap

（3）由（1）得出AADEsaBEF,得至IJH=三，得出y是X的二次函數(shù)，即可得出結(jié)

BEBr

果.

試題解析：（1）△ADES∕?BEF,理由如下：

；在RtAABC中，ZC=90o,AC=BC=4cm,

ΛZA=ZB=45o,

,?,NDEB=NA+NADE=NDEF+NBEF,NDEF=45。，

ΛZADE=ZBEF,

Λ?ADE∞?BEF;

（2）分三種情況

①如圖1,

圖\

若EF=BF,PllJZB=ZBEF,

XV?ADE^?BEF,

ΛZA=ZADE=45%

ΛZAED=90o,

3

.*.AE=DE=-Λ∕2；

2

②如圖2,

若EF=BE,則NB=NEFB

又：ZkADEsZXBEF,

ΛZA=ZAED=450,

.?.ZADE=90o,

ΛAE=3√2;

③如圖3,

圖3

若BF=BE,則/FEB=/EFB

又MADEsz?BEF,

ΛZADE=ZAED,

.?.AE=AD=3.

綜上所述，當(dāng)ABEF為等腰三角形時，AE的長為5血或3應(yīng)或3.

(3)設(shè)AE=XCm,BF長為ycm.

「在AABC中，ZC=90o,AC=BC=4.

ΛZA=ZB=45o,AB=4√2,

由(1)得：△ADE^?BEF,

.ADAE

.3_X

4√2-xy，

?'?y=-∣χ2÷^V2χ,

?*?y=-τx2÷^-V2X=-7(X-2√2)2+7?

3333

Q

當(dāng)x=2應(yīng)時，y有最大值=§,

：從運(yùn)動的過程中可以得出點(diǎn)E運(yùn)動的路程正好是2BF,

點(diǎn)E運(yùn)動路程為2xg號(cm).

考點(diǎn)：相似形綜合題.

20.問題背景：

一次數(shù)學(xué)綜合實踐活動課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個結(jié)論.如圖1,

已知AD是4ABC的角平分線,可證嚼=黑.小慧的證明思路是:如圖2,過點(diǎn)C作CE//AB,

AliBD

交AC的延長線于點(diǎn)E,構(gòu)造相似三角形來證明工廠

CD

圖1圖3

(1)嘗試證明：請參照小慧提供的思路，利用圖2證明等=先；

/??CLJ

(2)應(yīng)用拓展：如圖3,在RdABC中，NBAC=90。，。是邊BC上一點(diǎn).連接A￡),將△ACQ

沿AO所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊AB上的E點(diǎn)處.

①若AC=1,AB=2,求。E的長；

②若BC=∕n,ZAED—a,求。E的長(用含〃?，α的式子表示).

【答案】(1)詳見解析

⑵①OE=g②OE=---

3Iana+1

【分析】(1)利用AB〃CE,吁證得/.ABDECD,即=；==；，由A。平分NH4C可知

BDCD

AC=EC,即可證得結(jié)果；

(2)利用(1)中的結(jié)論進(jìn)行求解表示即可.

(1)

解：?ΛAB∕∕CE,

：,/BAD=/DEC,

「AO平分NBAC,

：.ZBAD=ACAD,

：.ZCAD=ZDEC,

/.AC=ECf

Λ

:ZBDA=ZCDE1

工,ABDECD,

.ABCE

,Λ~BD~~CD

B|J—=—

BDCD

.ABBD

Λ~AC~~CD

(2)

①由折疊可知，A。平分NRAeCD=DE,

..?zABBD

由z⑴得θ,就=而'

VAC=LAB=2,

?^?BC=y/AC2+AB2=√l2+22=√5?

.2加-CD

??—=-------，

1CD

解得：CD=叵,

3

IDE=CD=M

3

②由折疊可知∕AEO=NC=α,

tana=----

AC

,-,ABBDm-CD

由z①7λ可r知就=而

CD

m-CD

tana=

CD

m

CD=

tana+1

即：DE=CD=---.

tana+1

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是相似三角形的綜合運(yùn)用，靈活轉(zhuǎn)化比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

21.習(xí)過相似三角形后，劉老師布置了一道思考題.

問題情境：如圖1，等腰三角形ABC中，AC=BC,CO為AB邊上的中線，M為CD上一

個動點(diǎn)，DEJ.BM于點(diǎn)E,連接CE,若點(diǎn)N為AC上一個動點(diǎn)，連接EN,當(dāng)AC=5,AB=6

時，求EN的最小值.

小明在分析這道題時，發(fā)現(xiàn)思路不明顯，他采用從特殊到一般的方法進(jìn)行探究，以下是他的

探究過程，請仔細(xì)閱讀，并完成下列任務(wù).

C

原題中動點(diǎn)較多，小明準(zhǔn)備先從動點(diǎn)的條件入手分析：

分析一：如圖2,等腰三角形ABC中，AC=BC,Co為AB邊上的中線,

若CD=A8,點(diǎn)/為CD的中點(diǎn)，DEJ.BM于一點(diǎn)、E,連接CE,

點(diǎn)N為AC上一個動點(diǎn)，連接EN,探究EN是否存在最小值；

過程：連接AE,?.?C。垂直平分48,CD=AB,M是8的中點(diǎn)，

：.BD=MD,N8/W=90。，.-.BDM是等腰直角三角形，

?；DE-LBM,：.BE=DE,：./DBE=NEDC=45。,

'；AB=CD,/...BAEDCEt

AE=CE,NBEA=ZDEC,

.?.ZBEA-NDEA=ZDEC-ZDEA,.?.ZBED=NCEA=90°,

.?.VC4￡是等腰直角三角形，.?.當(dāng)ENJ_AC時有最小值；

分析二：如圖3,等腰三角形ABC中，AC=BC,CO為A8邊上的中線,

若CD≠AB,且M,N分別為C。、CA的中點(diǎn)，DEJ.BM于點(diǎn)E,

連接CE,EN,求證：AC=2EN.

任務(wù):

(1)小明在分析一中判斷EN的最小值時運(yùn)用了原理；(填序號)

①兩點(diǎn)之間線段最短；②垂線段最短；③平行線間的距離；④點(diǎn)到圓的距離.

(2)請完成分析二的證明：

(3)請直接寫出問題情境中EN的最小值.

【答案】⑴②

(2)見解析

【分析】(1)由分析一的證明過程即可求解;

,口kIBEBDH/口7-[BEAB

(2)連接AE,證明aBOES“OWE,得到一=——，再得到——=——證明

DEDMDECD

ΛDEC,得到NSE4=NDEC,證明NBEO=NCE4=90°,再利用一線合一即可證明；

(3)當(dāng)硒，AC時EN的長最短，由點(diǎn)M的運(yùn)動過程中，ZBED?直等于90。，故點(diǎn)E可

看成在以B。為直徑，。為圓心的.4BC內(nèi)部的圓周上的動點(diǎn)，過點(diǎn)。作ON'J_AC交0。

于點(diǎn)E',交AC于點(diǎn)N',此時E,N'即為所求硒的最小值,根據(jù)解直角三角形的方法求出OM

的長，故可求解.

(1)

由分析一知當(dāng)ENLAC時有最小值，即垂線段最短，故填②;

(2)

接AE,垂直平分AB,DElBM,

：.NBED=ADEM=ZBDM=90°.

,.?NBDE+ZMDE=90°,ZBDE+NDBE=90°,

：.ZMDE=NDBE,

4BDEs&DME，

.BEBD

VD,M分別是A8,CQ的中點(diǎn)，

ΛBD=ABfDM=gCD

.BDAB

^~DM~~CD9

?BEAB

,'~DE~~CD'

?：AMBD=ZEDM,

:ABEASDEC,

：.ABEA=ZDEC,

???/BEA-ZDEA=ZDEe-NDEA,

JNBED=NCEA=90。,

2N是AC的中點(diǎn),

JAC=IEN.

C

求EN的最小值，即為ENj_AC時EN的長.

在點(diǎn)M的運(yùn)動過程中，NBEr）一直等于90°,

???點(diǎn)E可看成在以8。為直徑，。為圓心的ABC內(nèi)部的圓周上的動點(diǎn),

如圖所示.過點(diǎn)。作。N'，AC交二O于點(diǎn)E，，交AC于點(diǎn)N',

此時EN即為所求EN的最小值.

VAC=5,AB=6,C。垂直平分A8,

3

：.BD=AD=3,BO=DO=OE'=-,

2

CD=y∣AC2-AD2=4>

....CD4

..sinZ-A=----=—,

AC5

9418

.,.QM=OAsinZA=-X-=—,

255

1Q?Ol

??.E,N,=0N,-OEt=,

5210

21

JEN的最小值為

【點(diǎn)睛】此題主要考查圓與兒何綜合，解題的關(guān)鍵是熟知等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角

形與相似三角形的判定與性質(zhì)、圓的性質(zhì)、解直角三角形的方法.

22.如圖，在邊長為6的等邊ABC中，。是48邊上一點(diǎn)，AD=4,E是Be邊上一動點(diǎn),

ZDEF=60。交AC邊于尸.