高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)課時(shí)訓(xùn)練第12章概率隨機(jī)變量及其分布59

【課時(shí)訓(xùn)練】第59節(jié)古典概型一、選擇題1．(2018昆明模擬)小明從某書店購買5本不同的教輔資料，其中語文2本，數(shù)學(xué)2本，物理1本．若將這5本書隨機(jī)并排擺放在書架的同一層上，則同一科目的書都不相鄰的概率是()A.eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)【答案】B【解析】語文、數(shù)學(xué)只有一科的兩本書相鄰，有2Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝48種擺放方法；語文、數(shù)學(xué)兩科的兩本書都相鄰，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝24種擺放方法；而五本不同的書排成一排總共有Aeq\o\al(5,5)＝120種擺放方法．故所求概率為1－eq\f(48＋24,120)＝eq\f(2,5).故選B.2．(2018湖南常德模擬)某校食堂使用除面值外，大小、手感完全一樣的餐票，某同學(xué)口袋中有2張一元餐票，3張兩元餐票，1張五元餐票，他從口袋中隨機(jī)摸出2張餐票，則這2張餐票的面值之和不少于4元的概率為()A.eq\f(7,15) B．eq\f(8,15)C．eq\f(3,5) D．eq\f(2,3)【答案】B【解析】該同學(xué)從口袋中隨機(jī)摸出2張餐票，總的基本事件數(shù)是Ceq\o\al(2,6)＝15，若這2張餐票的面值之和不少于4元，則這2張餐票為2張兩元的或1張兩元的、1張五元的或1張一元的、1張五元的，包含的基本事件數(shù)為Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,1)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)＝8，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式可知，這2張餐票的面值之和不少于4元的概率為eq\f(8,15).3．(2018江蘇常州一模)一袋中裝有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從袋中一次性隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為()A.eq\f(3,5) B．eq\f(4,5)C．eq\f(2,3) D．eq\f(5,6)【答案】D【解析】從袋中一次性隨機(jī)摸出2只球的所有可能情況有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)，設(shè)“這2只球顏色不同”為事件N，這2只球顏色可能為1白1紅，1白1黃，1紅1黃，事件N包含的情況Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1)＋Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,2)＝5(種)，故這2只球顏色不同的概率P(N)＝eq\f(5,6).4．(2018貴州遵義模擬)從集合A＝{－3，－2，－1,2}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為k，從集合B＝{－2,1,2}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為b，則直線y＝kx＋b不經(jīng)過第四象限的概率為()A.eq\f(1,12) B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,2)【答案】B【解析】根據(jù)題意可知，總的基本事件(k，b)共有4×3＝12個(gè)，直線y＝kx＋b不經(jīng)過第四象限，則k＞0，b＞0，包含的基本事件有(2,1)，(2,2)，共2個(gè)，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式可知直線y＝kx＋b不經(jīng)過第四象限的概率P＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).故選B.5．(2018大同調(diào)研)有10件產(chǎn)品，其中有2件次品，每次抽取1件檢驗(yàn)，抽檢后不放回，共抽2次．事件“抽到1件正品，1件次品”發(fā)生的概率是()A.eq\f(32,81) B．eq\f(5,12)C．eq\f(1,2) D．eq\f(16,45)【答案】D【解析】由題意知，這10件產(chǎn)品中有2件次品，8件正品，每次抽取1件，抽檢后不放回，共抽2次，共有Aeq\o\al(2,10)＝90種情況，其中事件“抽到1件正品，1件次品”包含的情況有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,8)Ceq\o\al(1,2)＝32種情況，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式知，事件“抽到1件正品，1件次品”發(fā)生的概率P＝eq\f(32,90)＝eq\f(16,45).6．(2018鄭州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為()A.eq\f(7,9) B．eq\f(1,3)C．eq\f(5,9) D．eq\f(2,3)【答案】D【解析】對函數(shù)f(x)求導(dǎo)可得f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要滿足題意需x2＋2ax＋b2＝0有兩個(gè)不等實(shí)根，即Δ＝4(a2－b2)＞0，即a＞b.又(a，b)的取法共有9種，其中滿足a＞b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6種，故所求的概率P＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).7．(2018太原模擬)記連續(xù)投擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，向量a＝(m，n)與向量b＝(1,0)的夾角為α，則α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))的概率為()A.eq\f(5,18) B．eq\f(5,12)C．eq\f(1,2) D．eq\f(7,12)【答案】B【解析】由題意知，向量a＝(m，n)共有6×6＝36(個(gè))，其中滿足向量a＝(m，n)與向量b＝(1,0)的夾角α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，即n＜m的(m，n)可根據(jù)n的具體取值進(jìn)行分類計(jì)數(shù)：第一類，當(dāng)n＝1時(shí)，m有5個(gè)不同的取值；第二類，當(dāng)n＝2時(shí)，m有4個(gè)不同的取值；第三類，當(dāng)n＝3時(shí)，m有3個(gè)不同的取值；第四類，當(dāng)n＝4時(shí)，m有2個(gè)不同的取值；第五類，當(dāng)n＝5時(shí)，m有1個(gè)取值．因此滿足向量a＝(m，n)與向量b＝(1,0)的夾角α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))的(m，n)共有1＋2＋3＋4＋5＝15(個(gè))，所以所求概率為eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).8．(2018江西新余模擬)在三行三列的方陣eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co3(a11,a12,a13,a21,a22,a23,a31,a32,a33)))中有9個(gè)數(shù)aij(i＝1,2,3，j＝1,2,3)，從中任取3個(gè)數(shù)，則這3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)數(shù)位于同行或同列的概率是()A.eq\f(3,7) B．eq\f(4,7)C．eq\f(1,14) D．eq\f(13,14)【答案】D【解析】從9個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù)共有Ceq\o\al(3,9)＝84種不同的取法．若3個(gè)數(shù)中有2個(gè)數(shù)位于同行或同列，則有eq\f(C\o\al(1,9)C\o\al(1,4)C\o\al(1,4),A\o\al(2,2))＝72種不同的取法，若3個(gè)數(shù)均位于同行或同列，則有6種不同的取法．設(shè)事件M為“這3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)數(shù)位于同行或同列”，則事件M包含的取法共有72＋6＝78(種)，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式得P(M)＝eq\f(78,84)＝eq\f(13,14).故選D.二、填空題9．(2018珠海綜合測試)高一年級某班有63名學(xué)生，現(xiàn)要選一名學(xué)生標(biāo)兵，每名學(xué)生被選中是等可能的，若“選出的標(biāo)兵是女生”的概率是“選出的標(biāo)兵是男生”的概率的eq\f(10,11)，則這個(gè)班的男生人數(shù)為________．【答案】33【解析】由題意可設(shè)該班的男生人數(shù)為x，則女生人數(shù)為63－x，因?yàn)槊棵麑W(xué)生被選中是等可能的，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式知，“選出的標(biāo)兵是女生”的概率是eq\f(63－x,63)，“選出的標(biāo)兵是男生”的概率是eq\f(x,63)，故eq\f(63－x,63)＝eq\f(10,11)×eq\f(x,63)，解得x＝33，故這個(gè)班的男生人數(shù)為33.10．(2018合肥質(zhì)檢)為了慶祝五四青年節(jié)，某書店制作了3種不同的精美卡片，每本書中隨機(jī)裝入一張卡片，集齊3種卡片可獲獎，現(xiàn)某人購買了5本書，則其獲獎的概率為________．【答案】eq\f(50,81)【解析】“獲獎”即每種卡片至少一張，而5＝1＋1＋3＝1＋2＋2，有3種卡片，購買5本書，基本事件總數(shù)為35，故所求概率為eq\f(3C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(3,3)＋3C\o\al(1,5)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),35)＝eq\f(50,81).三、解答題11．(2018鄭州質(zhì)量預(yù)測)在一個(gè)不透明的箱子里裝有5個(gè)完全相同的小球，球上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5.甲先從箱子中摸出一個(gè)小球，記下球上所標(biāo)數(shù)字后，再將該小球放回箱子中搖勻后，乙從該箱子中摸出一個(gè)小球．(1)若甲、乙兩人誰摸出的球上標(biāo)的數(shù)字大誰就獲勝(若數(shù)字相同則為平局)，求甲獲勝的概率；(2)若規(guī)定：兩人摸到的球上所標(biāo)數(shù)字之和小于6，則甲獲勝，否則乙獲勝，這樣規(guī)定公平嗎？【解】用(x，y)(x表示甲摸到的數(shù)字，y表示乙摸到的數(shù)字)表示甲、乙各摸一球構(gòu)成的基本事件，則基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25個(gè)．(1)設(shè)甲獲勝的事件為A，則事件A包含的基本事件有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5