新教材高中數(shù)學(xué)人教A版學(xué)案8-1第2課時(shí)圓柱圓錐圓臺(tái)球簡(jiǎn)單組合體

第2課時(shí)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球、簡(jiǎn)單組合體[目標(biāo)]1.記住圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的定義及它們的結(jié)構(gòu)特征；2.能用圓柱、圓錐、圓臺(tái)的定義及結(jié)構(gòu)特征解答一些相關(guān)問(wèn)題；3.了解組合體的概念．[重點(diǎn)]圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的定義及結(jié)構(gòu)特征．[難點(diǎn)]圓柱、圓錐、圓臺(tái)之間關(guān)系的理解．要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)一圓柱[填一填]1．以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱．2．旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面；平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線．3．棱柱和圓柱統(tǒng)稱(chēng)為柱體．[答一答]1．(1)在圓柱中，圓柱的任意兩條母線是什么關(guān)系？過(guò)兩條母線的截面是怎樣的圖形？(2)在圓柱中，過(guò)軸的截面是軸截面，圓柱的軸截面是什么圖形？軸截面含有哪些重要的量？(3)圓柱上底面圓周上任一點(diǎn)與下底面圓周上任一點(diǎn)的連線是圓柱的母線嗎？提示：(1)圓柱的任意兩條母線平行，過(guò)兩條母線的截面是矩形．(2)圓柱的軸截面是矩形，軸截面中含有圓柱的底面直徑與圓柱的母線．(3)不一定．圓柱的母線與軸是平行的．知識(shí)點(diǎn)二圓錐[填一填]1．以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐．2．棱錐與圓錐統(tǒng)稱(chēng)為錐體．[答一答]2．直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐嗎？提示：不是．當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個(gè)同底面圓錐組成的幾何體．知識(shí)點(diǎn)三圓臺(tái)[填一填]1．用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái)．2．棱臺(tái)與圓臺(tái)統(tǒng)稱(chēng)為臺(tái)體．[答一答]3．類(lèi)比圓柱、圓錐的形成過(guò)程，圓臺(tái)可以由平面圖形旋轉(zhuǎn)而成嗎？提示：(1)圓臺(tái)可以看作是直角梯形以垂直底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其他三邊旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面所圍成的幾何體．(2)圓臺(tái)也可以看作是等腰梯形以其兩底邊的中點(diǎn)連線為軸，各邊旋轉(zhuǎn)半周形成的曲面所圍成的幾何體．知識(shí)點(diǎn)四球[填一填]半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱(chēng)球．半圓的圓心叫做球的球心；連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段叫做球的半徑；連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過(guò)球心的線段叫做球的直徑．[答一答]4．半圓或圓繞它的直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成什么？它與球有區(qū)別嗎？提示：半圓或圓繞它的直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球面．球面是一曲面，它只能度量面積而不能度量體積；球是由球面圍成的幾何體，它不僅可以度量球的表面積，還可以度量其體積．5．用一個(gè)平面去截球，得到的是一個(gè)圓嗎？提示：不是，得到的是一個(gè)圓面，球是一個(gè)幾何體，包括表面及其內(nèi)部．知識(shí)點(diǎn)五簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征[填一填]1．定義：由簡(jiǎn)單幾何體組合而成的幾何體稱(chēng)為簡(jiǎn)單組合體．2．簡(jiǎn)單組合體構(gòu)成的兩種基本形式簡(jiǎn)單組合體eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成；,由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成.))[答一答]6．組合體的形式有哪些？提示：(1)多面體與多面體的組合體．(2)旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體．(3)多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體.典例講練破題型類(lèi)型一旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征[例1]下列命題正確的是________．①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②圓柱的母線是連接圓柱上底面上一點(diǎn)和下底面上一點(diǎn)的直線；③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓；④以等腰三角形的底邊上的高所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐；⑤球面上四個(gè)不同的點(diǎn)一定不在同一平面內(nèi)；⑥球的半徑是球面上任意一點(diǎn)和球心的連線段；⑦球面上任意三點(diǎn)可能在一條直線上；⑧用一個(gè)平面去截球，得到的截面是一個(gè)圓面．[分析]準(zhǔn)確理解旋轉(zhuǎn)體的定義，在此基礎(chǔ)上掌握各旋轉(zhuǎn)體的性質(zhì)，才能更好地把握它們的結(jié)構(gòu)特征，以作出準(zhǔn)確的判斷．[解析]①以直角三角形的一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周才可以得到圓錐，故①錯(cuò)誤；②圓柱的母線是連接圓柱上底面上一點(diǎn)和下底面上一點(diǎn)的線段，且這條線段與軸平行，故②錯(cuò)誤；③它們的底面為圓面，故③錯(cuò)誤；④正確；作球的一個(gè)截面，在截面的圓周上任意取四點(diǎn)，則這四點(diǎn)就在球面上，故⑤錯(cuò)誤；根據(jù)球的半徑定義可知⑥正確；球面上任意三點(diǎn)一定不共線，故⑦錯(cuò)誤；用一個(gè)平面去截球，一定截得一個(gè)圓面，故⑧正確．[答案]④⑥⑧簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體判斷問(wèn)題的解題策略,1準(zhǔn)確掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)和球的生成過(guò)程及其特征性質(zhì)是解決此類(lèi)概念問(wèn)題的關(guān)鍵.,2解題時(shí)要注意兩個(gè)明確：,①明確由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而成；,②明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線.[變式訓(xùn)練1]下列命題：①任意平面截圓柱，截面都是圓面；②圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線；③在圓臺(tái)上、下兩底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓臺(tái)的母線，其中正確的是(D)A．①②B．②③C．①③D．②解析：過(guò)圓柱兩母線的截面為矩形，有時(shí)斜的截面為橢圓，故①錯(cuò)誤；圓臺(tái)的母線不是上底面和下底面上任意兩點(diǎn)的連線，③錯(cuò)誤；由圓錐母線的定義知②正確，故選D.類(lèi)型二旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)計(jì)算命題視角1：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的計(jì)算問(wèn)題[例2]已知一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為12cm，兩底面的面積分別為4πcm2和25πcm2(1)圓臺(tái)的高；(2)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)．[分析]在解答有關(guān)臺(tái)體的問(wèn)題時(shí)，一般要把臺(tái)體還原成錐體，這就是常應(yīng)用的“還臺(tái)為錐”的思想，不僅在作圖時(shí)應(yīng)用，而且在計(jì)算時(shí)也常應(yīng)用此思想尋求元素間的關(guān)系，以便解決問(wèn)題．[解](1)設(shè)圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形ABCD(如圖所示)．由題意可得上底的一半O1A＝2cm，下底的一半OB＝5cm，腰長(zhǎng)AB＝12cm，所以圓臺(tái)的高AM＝eq\r(122－5－22)＝3eq\r(15)(cm)．(2)如圖，延長(zhǎng)BA，OO1，CD，交于點(diǎn)S，設(shè)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為lcm，則由△SAO1∽△SBO，得eq\f(l－12,l)＝eq\f(2,5)，解得l＝20.故截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為20cm旋轉(zhuǎn)體中有關(guān)底面半徑、母線、高的計(jì)算，可利用軸截面求解，即將立體問(wèn)題平面化.對(duì)于圓臺(tái)的軸截面，可將兩腰延長(zhǎng)相交后在三角形中求解.這是解答圓臺(tái)問(wèn)題常用的方法.[變式訓(xùn)練2]如圖所示，用一個(gè)平行于圓錐SO底面的平面截這個(gè)圓錐，截得圓臺(tái)上、下底面的面積之比為116，截去的圓錐的母線長(zhǎng)是3cm，求圓臺(tái)O′O的母線長(zhǎng)解：設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為lcm，由截得圓臺(tái)上、下底面面積之比為116，可設(shè)截得圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為r、4r.過(guò)軸SO作截面，如圖所示．則△SO′A′∽△SOA，SA′＝3cm∴eq\f(SA′,SA)＝eq\f(O′A′,OA)，∴eq\f(3,3＋l)＝eq\f(r,4r)＝eq\f(1,4).解得l＝9.即圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為9cm命題視角2：球的截面問(wèn)題[例3]已知半徑為10的球的兩個(gè)平行截面的周長(zhǎng)分別是12π和16π，求這兩個(gè)截面間的距離．[分析]畫(huà)出球的截面圖，球心與截面圓心連線垂直于截面所在的平面，構(gòu)造直角三角形解決．對(duì)于球的兩個(gè)平行截面要注意討論它們?cè)谇蛐耐瑐?cè)還是異側(cè)，否則容易漏解．[解]設(shè)球的大圓為圓O，C，D兩點(diǎn)為兩截面圓的圓心，AB為經(jīng)過(guò)C，O，D三點(diǎn)的直徑且兩截面圓的半徑分別是6和8.當(dāng)兩截面在球心同側(cè)時(shí)，如圖(1)，此時(shí)CD＝OC－OD＝eq\r(OE2－EC2)－eq\r(OF2－DF2)＝8－6＝2.當(dāng)兩截面在球心兩側(cè)時(shí)，如圖(2)，此時(shí)CD＝OC＋OD＝eq\r(OE2－EC2)＋eq\r(OF2－DF2)＝8＋6＝14.故兩截面間的距離為2或14.利用球的截面，將立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題是解決球的有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵.[變式訓(xùn)練3]一個(gè)與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為π，則球的直徑為2eq\r(2).解析：設(shè)球心到平面的距離為d，截面圓的半徑為r，則πr2＝π，∴r＝1，設(shè)球的半徑為R，則R＝eq\r(d2＋r2)＝eq\r(2)，故球的直徑為2eq\r(2).類(lèi)型三簡(jiǎn)單組合體命題視角1：簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征[例4](1)如圖①所示的物體為燕尾槽工件，請(qǐng)說(shuō)明該物體是由哪些幾何體構(gòu)成的．(2)指出圖②中三個(gè)幾何體的主要結(jié)構(gòu)特征．[分析]由多面體和旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判斷．[解](1)題圖①中的幾何體可以看作是一個(gè)長(zhǎng)方體割去一個(gè)四棱柱所得的幾何體，也可以看成是一個(gè)長(zhǎng)方體與兩個(gè)四棱柱組合而成的幾何體(如圖所示)．(2)(A)中的幾何體由一個(gè)三棱柱挖去一個(gè)圓柱后剩余部分組合而成，其中圓柱內(nèi)切于三棱柱．(B)中的幾何體由一個(gè)圓錐挖去一個(gè)四棱柱后剩余部分組合而成，其中四棱柱內(nèi)接于圓錐．(C)中的幾何體由一個(gè)球挖去一個(gè)三棱錐后剩余部分組合而成．其中三棱錐內(nèi)接于球．會(huì)識(shí)別較復(fù)雜的圖形是學(xué)好立體幾何的第一步，我們應(yīng)注意觀察周?chē)奈矬w，然后將它們“分拆”成幾個(gè)簡(jiǎn)單的幾何體，進(jìn)而培養(yǎng)我們的空間想象能力和識(shí)圖能力.[變式訓(xùn)練4]如圖，繞虛線旋轉(zhuǎn)一周后形成的旋轉(zhuǎn)體是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的？解：如圖所示，由一個(gè)圓錐O4O5，一個(gè)圓柱O3O4及一個(gè)圓臺(tái)O1O3中挖去圓錐O1O2組成的．命題視角2：與球有關(guān)的“切”與“接”問(wèn)題[例5]已知正方體的棱長(zhǎng)為a，分別求出它的內(nèi)切球及與各棱都相切的球的半徑．[分析]解決此題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)軸截面，建立半徑與棱長(zhǎng)的關(guān)系．[解](1)正方體的內(nèi)切球與各面的切點(diǎn)為正方體各面的中心，故作出經(jīng)過(guò)正方體相對(duì)兩面的中心且與棱平行的截面，則球的一個(gè)大圓是其正方形截面的內(nèi)切圓，如圖(1)所示，設(shè)球的半徑為R1，易得R1＝eq\f(a,2).(2)與正方體的各棱均相切的球與正方體相連接的點(diǎn)是正方體各棱的中點(diǎn)，故應(yīng)作出經(jīng)過(guò)正方體一組平行棱中點(diǎn)的截面，則球的軸截面是其正方形截面的外接圓，如圖(2)所示，設(shè)球的半徑為R2，易求得球的半徑R2＝eq\f(\r(2),2)a.組合體問(wèn)題應(yīng)分清各部分之間是如何組合起來(lái)的，以便轉(zhuǎn)化為平面圖形進(jìn)行計(jì)算．正方體的內(nèi)切球直徑等于正方體的棱長(zhǎng)；外接球直徑等于其體對(duì)角線的長(zhǎng)；球與正方體各棱都相切，則球的直徑等于正方體面對(duì)角線的長(zhǎng)．[變式訓(xùn)練5]正三棱錐內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，經(jīng)過(guò)棱錐的一條側(cè)棱和高作截面，正確的圖形是(C)解析：正三棱錐的內(nèi)切球與各個(gè)面的切點(diǎn)為正三棱錐各面的中心，所以過(guò)一條側(cè)棱和高的截面必過(guò)該棱所對(duì)面的高線，故C正確．課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典1．下列說(shuō)法正確的是(C)A．用一平面去截圓臺(tái)，截面一定是圓面B．通過(guò)圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn)，有無(wú)數(shù)條母線C．圓臺(tái)的任意兩條母線延長(zhǎng)后相交于同一點(diǎn)D．圓錐的母線可能平行解析：對(duì)于A，用一平面去截圓臺(tái)，當(dāng)截面與底面不平行時(shí)，截面不是圓面；對(duì)于B，通過(guò)圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn)，只有一條母線；對(duì)于D，圓錐的母線延長(zhǎng)后交于頂點(diǎn)，因此不可能平行．2．下圖中的幾何體由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得．現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)幾何體，則截面圖形可能是(D)A．(1)(2) B．(1)(3)C．(1)(4) D．(1)(5)解析：由題圖得當(dāng)截面過(guò)旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，截面圖形是(1)；當(dāng)截面不過(guò)旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，截面圖形是(5)，故選D.3．已知圓錐SO的母線長(zhǎng)為5，底面直徑為8，則圓錐SO的高h(yuǎn)＝3.解析：如圖，∵圓錐的底面直徑AB＝8，∴圓錐的底面半徑R＝OA＝4.又∵SA＝5，∴圓錐的高h(yuǎn)＝SO＝eq\r(52－42)＝3.4．下列說(shuō)法正確的是②③④.(填序號(hào))①以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；②矩形任意一條邊所在的直線都可以作為軸，其他邊繞其旋轉(zhuǎn)形成圓柱；③半圓面繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球；④用一個(gè)平面去截球，得到的截面是一個(gè)圓面．解析：①以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周可得到圓臺(tái)；②③④正確．5．已知圓錐底面半徑r＝1cm，母線l＝6cm解：如圖，將圓錐側(cè)面沿母線PA展開(kāi)，所得扇形的圓心角θ＝eq\f(r,l)·360°＝eq\f(1,6)×360°＝60°.連接AA′，則AA′的長(zhǎng)度就是螞蟻爬的最短距離．因?yàn)椤鰽A′P是等邊三角形，所以AA′＝AP＝6cm即螞蟻至少要爬6cm——本課須掌握的四大問(wèn)題1．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的關(guān)系如圖所示．2．處理臺(tái)