新教材高中數(shù)學人教B版學案7-2-2單位圓與三角函數(shù)線

7．2.2單位圓與三角函數(shù)線[課程目標]1.理解單位圓、有向線段的概念．2．學會用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值表示出來，即用正弦線、余弦線、正切線表示出來．3．通過三角函數(shù)的幾何表示，進一步加深對數(shù)形結(jié)合思想的理解，拓展思維空間．[填一填]1．單位圓一般地，在平面直角坐標系中，坐標滿足x2＋y2＝1的點組成的集合稱為單位圓．2．正弦線、余弦線如圖所示，如果過角α終邊與單位圓的交點P作x軸的垂線，垂足為M，則eq\o(OM,\s\up16(→))可以直觀地表示cosα：eq\o(OM,\s\up16(→))的方向與x軸的正方向相同時，表示cosα是正數(shù)，且cosα＝|eq\o(OM,\s\up16(→))|；eq\o(OM,\s\up16(→))的方向與x軸的正方向相反時，表示cosα是負數(shù)，且cosα＝－|eq\o(OM,\s\up16(→))|.習慣上，稱eq\o(OM,\s\up16(→))為角α的余弦線．類似地，圖中的eq\o(MP,\s\up16(→))可以直觀地表示sinα，因此稱eq\o(MP,\s\up16(→))為角α的正弦線．3．正切線如圖所示，設(shè)角α的終邊與直線x＝1交于點T，則eq\o(AT,\s\up16(→))可以直觀地表示tanα，因此eq\o(AT,\s\up16(→))稱為角α的正弦線．正弦線、余弦線和正切線都稱為三角函數(shù)線．[答一答]1．對于三角函數(shù)線的理解應(yīng)注意哪些問題？提示：(1)三角函數(shù)線是表示一個角的三角函數(shù)值的幾何方法，是對任意角的三角函數(shù)定義的一種“形”上的補充，它們的大小(即長度)等于角α的三角函數(shù)的絕對值，要特別注意它們均有方向．記法：當兩個端點都在x軸上時，以原點為起點(余弦線)；當兩個端點有一個在x軸上時，以x軸上的點為起點(正弦線、正切線)，三角函數(shù)值的正負與軸的方向才相同．(2)正切線都是過點A(1,0)作圓的切線與角α終邊或反向延長線相交所成的有向線段．當角α終邊在第一、四象限時，正切線為過A(1,0)作單位圓的切線與角α終邊所成的有向線段；當角α終邊在第二、三象限時，正切線為過點A(1,0)作圓的切線與角α終邊的反向延長線的交點所成的有向線段．(3)當角α的終邊在x軸上時，點P與點M重合，點T與點A重合，此時，正弦線和正切線都變成了一點，它們的數(shù)量為零，而余弦線|eq\o(OM,\s\up16(→))|＝1或－1；當角α的終邊在y軸上時，正弦線|eq\o(MP,\s\up16(→))|＝1或－1，余弦線變成了一點，它表示的數(shù)量為零，正切線不存在．2．怎樣由三角函數(shù)值(范圍)，利用單位圓中三角函數(shù)線確定終邊相同的角(范圍)?提示：(1)已知正弦值sinα＝a，因為正弦線是與y軸平行或重合的向量eq\o(MP,\s\up16(→))，所以確定的方法是：①在y軸上找出與正弦值對應(yīng)的一點(0，a)(若正弦值為正，在y軸正半軸上取點，若為負，在y軸負半軸上取點)；②過該點作x軸的平行線交單位圓于兩點A，B；③分別作射線OA，OB，則OA，OB就是使sinα＝a的角的終邊．若sinα≥a，則平行線上方一段圓弧所對應(yīng)角的范圍為所求，若sinα<a，則平行線下方一段圓弧所對應(yīng)角的范圍為所求(但不包括角的邊界)，簡述為大上，小下．(2)已知余弦值cosα＝a，因為余弦線是與x軸重合的向量eq\o(OM,\s\up16(→))，所以確定的方法是：①在x軸上找出與余弦值對應(yīng)的一點(a,0)(若余弦值為正，在x軸正半軸上取點，若為負，在x軸負半軸上取點)；②過該點作y軸的平行線交單位圓于兩點A，B；③分別作射線OA，OB，則OA，OB就是使cosα＝a的角的終邊．若cosα≥a，則該平行線右側(cè)一段圓弧對應(yīng)角的范圍為所求，若cosα<a，則平行線左側(cè)一段圓弧對應(yīng)角的范圍為所求，簡述為大右，小左．(3)已知正切值tanα＝a，過A(1,0)點作單位圓的切線，在切線上截取AT＝a，過O，T作直線交單位圓于兩點A，B，則射線OA，OB為所求的使tanα＝a的角α的終邊，對于tanα>a(或tanα≤a)型的不等式，用以后所學習的正切函數(shù)圖像解決比較方便．類型一三角函數(shù)線[例1]分別作出eq\f(2π,3)和－eq\f(3π,4)的正弦線、余弦線和正切線．[解](1)在直角坐標系中作單位圓如圖所示，以O(shè)x軸正方向為始邊作eq\f(2π,3)的終邊與單位圓交于P點，作PM⊥Ox軸，垂足為M，由單位圓與Ox正方向的交點A作Ox軸的垂線與OP的反向延長線交于T點，則sineq\f(2π,3)＝MP，coseq\f(2π,3)＝OM，taneq\f(2π,3)＝AT.即eq\f(2π,3)的正弦線為eq\o(MP,\s\up16(→))，余弦線為eq\o(OM,\s\up16(→))，正切線為eq\o(AT,\s\up16(→)).(2)同理可作出－eq\f(3π,4)的正弦線、余弦線和正切線，如圖所示．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)))＝M′P′，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)))＝OM′，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)))＝AT′.即－eq\f(3π,4)的正弦線為eq\o(M′P′,\s\up16(→))，余弦線為eq\o(OM′,\s\up16(→))，正切線為eq\o(AT′,\s\up16(→)).三角函數(shù)線是有向線段，因此書寫時應(yīng)分清起點和終點，這對于下一步學習三角函數(shù)性質(zhì)很有用處.[變式訓練1]確定下式的符號：sin1－cos1.解：因為eq\f(π,4)<1<eq\f(π,2)，如圖所示，由三角函數(shù)線可得sin1>eq\f(\r(2),2)>cos1，故sin1－cos1>0.類型二利用三角函數(shù)線求三角函數(shù)值或角的范圍命題視角1：利用三角函數(shù)線求三角函數(shù)值的范圍[例2](1)若－eq\f(2π,3)≤θ≤eq\f(π,6)，確定sinθ的范圍；(2)若30°≤θ<90°或90°<θ≤120°，確定tanθ的范圍．[分析](1)先在單位圓中畫出角θ的終邊對應(yīng)的區(qū)域－eq\f(2π,3)≤θ≤eq\f(π,6)，借助正弦線確定函數(shù)值的變化范圍．(2)先在單位圓中畫出角θ的終邊對應(yīng)的區(qū)域30°≤θ<90°或90°<θ≤120°，借助正切線確定函數(shù)值的變化范圍．[解](1)∵－eq\f(2π,3)≤θ≤eq\f(π,6)，∴θ的終邊對應(yīng)區(qū)域如圖，在由OB轉(zhuǎn)向OA過程中sinθ的值在第三象限為負，在第四象限為負，在θ＝－eq\f(π,2)時，正弦線|MB|＝R，故最小值為－1；在第一象限時，正弦線取正值且不斷增大，故在θ＝eq\f(π,6)時取最大值eq\f(1,2).∴－1≤sinθ≤eq\f(1,2).(2)畫出角θ的終邊對應(yīng)區(qū)域，如圖，當角θ的終邊從OA轉(zhuǎn)向OB時，tanθ在第一象限取正值，正切線越來越長到無窮，∴tanθ≥eq\f(\r(3),3)；tanθ在第二象限取負值時，由90°→120°的過程中，正切線越來越短，到OB時，tanθ＝MN＝－eq\r(3)，∴tanθ≤－eq\r(3)，∴tanθ∈(－∞，－eq\r(3)]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞)).充分利用單位圓畫出已知角的范圍，結(jié)合正弦線、余弦線、正切線正確解題，應(yīng)特別注意正弦線、余弦線、正切線的位置、方向、符號.正弦線為α的終邊與單位圓“交點”到x軸的垂直線段，由“垂足”指向“交點”，與y軸同向為正、反向為負；余弦線在x軸上，由“原點”指向“垂足”，與x軸同向為正，反向為負；正切線在過單位圓與x軸正向的交點的切線上，由“切點”指向與α終邊或反向延長線的交點，與y軸同向為正，反向為負.[變式訓練2]已知eq\f(π,3)<α<eq\f(4π,3)，則cosα的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))).解析：角α的終邊對應(yīng)區(qū)域如圖中陰影部分，角α終邊在從OA轉(zhuǎn)向OB過程中，其余弦線OM越來越短，然后變成負值，在α＝π時取最小值－1，然后又增大，由于coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，∴－1≤cosα<eq\f(1,2).命題視角2：利用三角函數(shù)線求角的范圍[例3]利用三角函數(shù)線，求滿足下列條件的角α的集合：(1)sinα＝eq\f(1,2)；(2)cosα≥eq\f(\r(3),2).[分析](1)在單位圓中畫出sinα＝eq\f(1,2)的正弦線，確定在0～2π內(nèi)符合要求的角，而后根據(jù)終邊相同的角得出答案；(2)先確定cosα＝eq\f(\r(3),2)的余弦線，再確定符合條件的角的范圍．[解](1)如圖①所示，過點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))作x軸的平行線，與單位圓交于P、P′點，則sin∠xOP＝sin∠xOP′＝eq\f(1,2)，所以∠xOP＝eq\f(π,6)，∠xOP′＝eq\f(5π,6).所以滿足條件的所有角α的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝\f(π,6)＋2kπ或α＝\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z)).(2)如圖②所示，過點Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0))作x軸的垂線，與單位圓交于點P、P′，則cos∠xOP＝cos∠xOP′＝eq\f(\r(3),2)，所以∠xOP＝eq\f(π,6)，∠xOP′＝－eq\f(π,6).所以滿足條件的所有角α的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|－\f(π,6)＋2kπ≤α≤\f(π,6)＋2kπ，k∈Z)).表示角的集合時要注意終邊相同的角的表示方法，明確角的旋轉(zhuǎn)方向是順時針還是逆時針，產(chǎn)生的角是變大還是變小.[變式訓練3]在單位圓中畫出適合下列條件的角α終邊的范圍，并由此寫出角α的集合：(1)sinα≥eq\f(\r(3),2)；(2)cosα≤－eq\f(1,2).解：(1)作直線y＝eq\f(\r(3),2)交單位圓于A，B兩點，連接OA，OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(陰影部分)即為角α的終邊的范圍，如圖①.故滿足條件的角α的集合為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)≤α≤2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)))).(2)作直線x＝－eq\f(1,2)交單位圓于C，D兩點，連接OC與OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(陰影部分)即為角α終邊的范圍，如圖②.故滿足條件的角α的集合為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2π,3)≤α≤2kπ＋\f(4π,3)，k∈Z)))).類型三比較三角函數(shù)值的大小[例4]利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大?。?1)sineq\f(2,3)π與sineq\f(4,5)π；(2)taneq\f(2,3)π與taneq\f(4,5)π.[分析]在同一個單位圓中根據(jù)角的大小作出三角函數(shù)線，根據(jù)三角函數(shù)線來比較大?。甗解]如圖所示．(1)∵|eq\o(M1P1,\s\up16(→))|>|eq\o(M2P2,\s\up16(→))|且eq\o(M1P1,\s\up16(→))與eq\o(M2P2,\s\up16(→))都與y軸正方向一致，∴sineq\f(2,3)π>sineq\f(4,5)π.(2)∵|eq\o(AT1,\s\up16(→))|>|eq\o(AT2,\s\up16(→))|且eq\o(AT1,\s\up16(→))與eq\o(AT2,\s\up16(→))都與y軸正方向相反，∴taneq\f(2,3)π<taneq\f(4,5)π.利用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大小時，一般分三步：1角的位置要“對號入座”；2比較三角函數(shù)線的長度；3確定有向線段的正負.[變式訓練4]sineq\f(2π,5)，coseq\f(6π,5)，taneq\f(2π,5)從小到大的順序是coseq\f(6π,5)<sineq\f(2π,5)<taneq\f(2π,5).解析：由圖可知coseq\f(6π,5)<0，taneq\f(2π,5)>0，sineq\f(2π,5)>0，∵|eq\o(NM,\s\up16(→))|<|eq\o(AT,\s\up16(→))|，故coseq\f(6π,5)<sineq\f(2π,5)<taneq\f(2π,5).類型四證明三角不等式[例5]設(shè)角α是銳角，利用單位圓與三角函數(shù)線證明：sinα<α<tanα.[證明]如圖所示，設(shè)角α的終邊交單位圓于P，過點P作PM垂直于x軸，垂足為M.過點A(1,0)作單位圓的切線交OP于點T，連接PA，則sinα＝MP，tanα＝AT，∵S△OAP<S扇形OAP<S△OAT，∴eq\f(1,2)OA·MP<eq\f(1,2)αOA2<eq\f(1,2)OA·AT.又OA＝1，∴MP<α<AT，即MP<α<AT.∴sinα<α<tanα.三角函數(shù)線是三角函數(shù)的幾何表示，它直觀地刻畫了三角函數(shù)的概念.與三角函數(shù)的定義結(jié)合起來，可以從數(shù)與形兩方面認識三角函數(shù)的定義.[變式訓練5]利用三角函數(shù)線證明：|sinα|＋|cosα|≥1.證明：當角α的終邊在x(y)軸上時，正弦線(余弦線)變成一個點，而余弦線(正弦線)的長等于r(r＝1)，此時|sinα|＋|cosα|＝1.當角α的終邊落在某一個象限內(nèi)時，如圖所示，利用三角形兩邊之和大于第三邊有：|sinα|＋|cosα|＝MP＋OM>1.綜上有|sinα|＋|cosα|≥1.1．已知eq\o(MP,\s\up16(→))，eq\o(OM,\s\up16(→))，eq\o(AT,\s\up16(→))分別是60°角的正弦線、余弦線和正切線，則一定有(B)A．MP<OM<AT B．OM<MP<ATC．AT<OM<MP D．OM<AT<MP解析：OM<MP<AT.2．已知角α的正弦線和余弦線是方向相