廣西柳州市2023屆新高三摸底考試數(shù)學(xué)(文)試題含答案

柳州市2023屆新高三摸底考試

文科數(shù)學(xué)

（考試時間120分鐘滿分150分）

注意：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.所有答案請在答題卡上作答，在本試卷和草稿紙上作答無效.答題前請仔細

閱讀答題卡上的“注意事項”，按照“注意事項”的規(guī)定答題.

3.做選擇題時，如需改動，請用橡皮將原選答案擦干凈，再選涂其他答案.

第I卷（選擇題，共60分）

一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個

選項中只有一個選項是符合題目要求的）

1已知集合"=<1},B={y\y>-l},則/門8=（）

A.0B.Ll，l]C.[-1,+8）D.HJ）

2.設(shè)加eR,若復(fù)數(shù)z=-2+i的虛部與復(fù)數(shù)z=m+〃”的虛部相等，則z-z=（）

12I2

A.-3+iB.-1-iC.3-iD.-3-i

3.已知向量￡花，的夾角為g,且司=2,向=3,則（）

A.-1B.3/-4C.-2D.1

4.某學(xué)校組建了合唱、朗誦、脫口秀、舞蹈、太極拳五個社團，該校共有2000名同學(xué)，每

名同學(xué)依據(jù)自己的興趣愛好最多可參加其中一個，各個社團的人數(shù)比例的餅狀圖如圖所示,

其中參加朗誦社團的同學(xué)有8名，參加太極拳社團的有12名，則（）

A.這五個社團的總?cè)藬?shù)為100

B.脫口秀社團的人數(shù)占五個社團總?cè)藬?shù)的20%

C.這五個社團總?cè)藬?shù)占該校學(xué)生人數(shù)的8%

D.從這五個社團中任選一人，其來脫口秀社團或舞蹈社團的概率為50%

5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（）

咽

左=0,戶1

3rx

k=k+l/呼/

s+1（結(jié)束）

----

S

________I

358

A.2B.C-3D-5

6,若a=1g0.3力=log2,c=log4,貝ij（）

35

A.c>b>ag,h>c>aC.c>a>bD.

a>b>c

7若sin（兀-a）=5,則cos2a=（）

247724

A.~B.—C.——D.--

25252525

%+y_2<C

x-y+2>C

8.設(shè)變量4,y滿足約束條件x〉_J，則目標函數(shù)z=x+，的最小值為（）

^>-1

A.2B.-3C.-2D.0

9.己知直線^=丘（左>0）與圓C：（x—2、+G-=4相交于48兩點\AB\=21,則

k—（）

141D.A

ABC

-5-3,212

兀.，兀八、?/兀、

10.若直線x=4是曲線y=sin（0》_4卜3〉0）的一條對稱軸，且函數(shù)y=sm（cox-4）

71

在區(qū)間［0,底］上不單調(diào)，則3的最小值為（）

A.9B.7C.11D.3

11.已知/（x-1）是定義為R上的奇函數(shù)，川）=0,且人均在［-1,0）上單調(diào)遞增，在［0,+8）

上單調(diào)遞減，則不等式/（2*-3）＜°的解集為（）

A.（12）B.（-00/）C.（2,+?）D,

（-8,1）52,+8）

12.如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)；從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，

其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點.若雙曲線E：-,=1（。＞01＞0）的左、

0202

右焦點分別為《，F(xiàn),,從「發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的48兩點反射后，分別經(jīng)過點C和

3

D,且cosN氏4c=一5，ABA.BD,則E的離心率為（）

A.當B.斗。?羋D.p

第n卷（非選擇題，共90分）

二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題卡上）

13.記等差數(shù)列%｝的前〃項和為S,若a=0,a+a=3,則S=.

nn34511--------

14.若函數(shù)/G）=xlnx+1,則〃x）在點（1/（1））處的切線方程為

X2V211

15.已知是橢圓w+』=l的左、右焦點，P在橢圓上運動，求+產(chǎn)］的最小

值為.

16.在正方體/BCO-qqCR中，點f為線段8a上的動點，現(xiàn)有下面四個命題：

①直線DE與直線AC所成角為定值；②點E到直線AB的距離為定值；

③三棱錐E-ABD的體積為定值；④三棱錐E-ABD外接球的體積為定值.

其中所有真命題的序號是.

三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演

算步驟，并將答案寫在答案卡相應(yīng)題號的空白處)

17.在銳角△48C中，角力、B、C所對的邊分別為“、b、c,已知2asinC=/?.

(1)求角A的大??；

(2)若b=2,a=求的面積.

18.己知數(shù)列%｝滿足。=1，。=2“+1.

n1〃+】n

(1)證明｛,+1｝是等比數(shù)列，并求｛,｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛*｝的前〃項和公式.

19.2022年北京冬奧會的申辦成功與“3億人上冰雪”口號的提出，將冰雪這個冷項目迅速炒

“熱”.北京某綜合大學(xué)計劃在一年級開設(shè)冰球課程，為了解學(xué)生對冰球運動的興趣，隨機從

2

該校一年級學(xué)生中抽取了200人進行調(diào)查，其中女生中對冰球運動有興趣的占了，而男生

有20人表示對冰球運動沒有興趣.

(1)完成2x2列聯(lián)表，并回答能否有97.5%的把握認為“對冰球是否有興趣與性別有關(guān)”？

有興趣沒興趣合計

男110

女

合計

(2)已知在被調(diào)查的女生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生，其中3名對冰球有興趣，現(xiàn)在從這5名

學(xué)生中隨機抽取2人，求至少有1人對冰球有興趣的概率.

（）

PK2>k0.100.050.0250010

0

k2.7063.8415.0246.635

0

n（ad一

Kl=f__

+力）Q+d）

20.如圖，在三棱錐尸—48C中，AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=26,o為AC的

中點.

（1）證明：尸0,平面/8C；

（2）若點M在棱8c上，且A/C=2"8,求點C到平面POM的距離.

21.己知函數(shù)/(x)=lm-+t—2x

X

（1）討論當。＞0時，./（X）單調(diào)性.

a-2x2-2x\

(2)證明：&?+-----------

X

22.已知平面上動點。（x,y）到尸（0,1）的距離比。（x,y）到直線/：V=-2的距離小

I,記動點0（x,y）的軌跡為曲線C

（1）求曲線。的方程.

（2）設(shè)點尸的坐標為（0,-1）,過點P作曲線C的切線，切點為4若過點尸的直線"?

與曲線C交于A/,N兩點，證明：NAFM=NAFN.

柳州市2023屆新高三摸底考試

文科數(shù)學(xué)

（考試時間120分鐘滿分150分）

注意：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.所有答案請在答題卡上作答，在本試卷和草稿紙上作答無效.答題前請仔細

閱讀答題卡上的“注意事項”，按照“注意事項”的規(guī)定答題.

3.做選擇題時，如需改動，請用橡皮將原選答案擦干凈，再選涂其他答案.

第I卷(選擇題，共60分)

一、選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個

選項中只有一個選項是符合題目要求的)

1.已知集合Z=(|X241},8={y|yZ-l},則/06=()

A.0B.Li」】C.[T,+8)D,[-1J)

【答案】B

【解析】

【分析】先化簡集合A,再利用交集運算求解.

【詳解】因為》241,所以—14x41,即4={x|TW1},所以/口6={x|-lWxWl}.

故選：B.

2.設(shè)"?eR,若復(fù)數(shù)z=-2+i的虛部與復(fù)數(shù)z=加+〃日的虛部相等，則z?z=()

I2I2

A.-3+iB.-1-iC.3-iD.-3-i

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件求得加的值，利用復(fù)數(shù)的乘法化簡可得結(jié)果.

【詳解】因為復(fù)數(shù)彳=—2+i的虛部與復(fù)數(shù)z,="+疝的虛部相等，則加=1，則Z2=l+i，

因此，=(-2+i)(l+i)=-3-i.

故選：D.

3.已知向量Z,萬，的夾角為孑，且p|=2,M=3,則76—￡)=()

A.-1B.3y/3—4C.-2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算求解即可

r(rr)rr.r.21

[詳解]a-'b-a'-a1/>-|a|'=2x3x_-22=-1

故選：A

4.某學(xué)校組建了合唱、朗誦、脫口秀、舞蹈、太極拳五個社團，該校共有2000名同學(xué)，每

名同學(xué)依據(jù)自己的興趣愛好最多可參加其中一個，各個社團的人數(shù)比例的餅狀圖如圖所示，

其中參加朗誦社團的同學(xué)有8名，參加太極拳社團的有12名，則()

A.這五個社團的總?cè)藬?shù)為100

B.脫口秀社團的人數(shù)占五個社團總?cè)藬?shù)的20%

C.這五個社團總?cè)藬?shù)占該校學(xué)生人數(shù)的8%

D.從這五個社團中任選一人，其來脫口秀社團或舞蹈社團的概率為50%

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)餅狀圖及有關(guān)數(shù)據(jù)得各個社團比例，計算人數(shù)及相應(yīng)概率判斷各選項.

880

【詳解】這五個社團的總?cè)藬?shù)為喇=8°,2000=4%-A錯誤，C錯誤.

12

因為太極拳社團人數(shù)的占比為1rxi0%=15%,所以脫口秀社團人數(shù)的占比為

1-10%-15%-30%-25%=20%,B正確.從這五個社團中任選一人，其來自脫口秀社

團或舞蹈社團的概率為25%+20%=45%,D錯誤.

故選：B.

5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的S值為（）

358

A.2B.2,C.D,5

【答案】c

【解析】

,,1+1c

【詳解】試題分析：左=0時，0<3成立，第一次進入循環(huán)：左=1，5=丁=2；1<3成

立，第二次進入循環(huán)：k=2,s=p=,；2<3成立，第三次進入循環(huán)：

31

蒙+155

%=3,s=—§—=3,3<3不成立，輸出s=］，故選C.

【名師點睛】解決此類型問題時要注意：第一，要明確是當型循環(huán)結(jié)構(gòu)，還是直到型循環(huán)結(jié)

構(gòu)，并根據(jù)各自的特點執(zhí)行循環(huán)體；第二，要明確圖中的累計變量，明確每一次執(zhí)行循環(huán)體

前和執(zhí)行循環(huán)體后，變量的值發(fā)生的變化；第三，要明確循環(huán)體終止的條件是什么，會判斷

什么時候終止循環(huán)體，爭取寫出每一個循環(huán)，這樣避免出錯.

6,若a=lg0.3力=log2,c=log4,則（）

35

A.c>b>aB.b>c>ac.c>a>bD.

a>b>c

【答案】A

【解析】

【分析】利用對數(shù)的運算及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進行比較大小.

【詳解】因為lg03<lgl=0,所以。<0；

因為log2>log1=0,log4>log1=0,所以b〉0,c>0,

3355

一=log5=；log,5=log,G，：=log,3,而log3>log4,

C422222

所以<>1,即b<c.

bc

故選：A.

24

25

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式化簡計算作答.

4.(4、2

［詳解】依題意，sma=5,所以cos2a=l_2sin2a=l_2x匕=.

故選：C

x+y-2<0

x-y+2>0

8.設(shè)變量x,y滿足約束條件Jx>_~，則目標函數(shù)z=x+y的最小值為()

y>-i

B.-3C.-2

【答案】c

【解析】

【分析】作出平面區(qū)域，結(jié)合圖像求直線歹=一》+2在y軸截距Z的最小值，通過平移直線

歹=一”可得在在點力(—1,—1)處取到最小值，代入運算求解.

【詳解】根據(jù)題意可得平面區(qū)域，如圖所示：

?.?目標函數(shù)z=x+V,即歹二一x+z,則求直線>=-x+z在夕軸截距Z的最小值

結(jié)合圖像可得在點4(—l,T)處取到最小值z=-l+(-l)=-2

故選：C.

.-1"y

\/x-y+2=0

/',、x+y-2=0

、y=-x

9.已知直線曠=日（左>0）與圓C:（X_2、+G_1\=4相交于48兩點|/4=2/,則

k=（）

14.LD.A

A.-B.-C

53212

【答案】B

【解析】

|2A：_1|

【分析】圓心0（2,1）到直線y=kx（k>0）的距離為d,則d=而

JI+ki

,解方程即可求出答案.

d=\Nr2~［V~2r\J=V?-J=11所以"二。I1：+%；2"=i

［詳解］圓C：（x_2》+（尸1>=4的圓心C（2,l）,

r=2

所以圓心C（2,l）到直線y=Ax（左>0）的距離為d,則(EM

fZ--：-，

而"=/〃2一（y）2=皿3;|2后4

=1,所以J=l,解得：k=

+左2J

故選：B.

7［.（cox_；）（0>0）的一條對稱軸，且函數(shù)V=sin（ou-；）

10.若直線x=才是曲線^=5111

4

兀

在區(qū)間［0,4］上不單調(diào)，則8的最小值為（）

A.9B.7C.11D.3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出①的關(guān)系式，再求出函數(shù)N=sin(sx-；)含有數(shù)。的單調(diào)區(qū)

間即可判斷作答.

【詳解］因直線x=|是曲線J=sin卜3>0)的一條對稱軸，則

TTTTTT

_co-_=ht+_,%wN,即co=4左+3,%wN,

442

717171713兀./兀、「7137rl

由〈，得一而4而，則函數(shù)y=sin((ox_q)在［—不5,不J上單調(diào)遞

增,

而函數(shù)V=sin(3x-3)在區(qū)間［0,±］上不單調(diào)，則若■<3,

解得①〉9,

所以s的最小值為11.

故選：C

11.已知/(x-1)是定義為R上的奇函數(shù)，義1)=0,且Hx)在上單調(diào)遞增，在［°，+8)

上單調(diào)遞減，則不等式/(2，一3)<°的解集為()

A.(12)B.(-8,1)C.(2,+8)D.

(-oo,l)u(2,+oo)

【答案】D

【解析】

【分析】由/(X-D是定義為R上的奇函數(shù)可知函數(shù)/(X)關(guān)于(-1,0)點對稱；再結(jié)合

/(-0=0,即可得出/(-3)=/(-1)=/(1)=0.再結(jié)合段)在［-1,0)上單調(diào)遞增，在

［0,+8)上單調(diào)遞減，可知函數(shù)/(X)在(-oo,-2)上單調(diào)遞減，在(—2,0)上單調(diào)遞增，在

(0,+co)上單調(diào)遞減.再分類討論即可你求出答案.

【詳解】因為/(X-D是定義為R上的奇函數(shù)，

所以f(x-1)=-f(-x-1)；函數(shù)f(x)關(guān)于(―1,0)點對稱.

當x=2時：/(-3)=-/(0=0;

當x=0時：/(-1)=0；

所以/(X)在(-8,-2)上單調(diào)遞減，在(-2,0)上單調(diào)遞增，在(0,+=o)上單調(diào)遞減.

所以當2、—3<—2時2工一3>—3,解得x<0；

當一2V2、一3V0時2'-3<-1,解得0Wx<1；

當2x—3>0時2》一3>1,解得x>2；

不等式/(2x—3)<0的解集(-oo,l)u(2,+oo)

綜上所述:

故選：D.

12.如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)；從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射,

X2V2

其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點.若雙曲線E：--R=l(a>0,b>0)的左、

aibi

右焦點分別為《，從?發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的4,8兩點反射后，分別經(jīng)過點C和

3

D,且COS/8/C=-5，AB工BD,則E的離心率為()

【答案】B

【解析】

【分析】利用雙曲線的光學(xué)性質(zhì)及雙曲線定義，用18Gl表示|8勺再在兩個

直角三角形中借助勾股定理求解作答.

3

［詳解］依題意，直線。都過點J如圖，有N8_L叫，cos/BA。、

433

設(shè)|8E|=/M,則|8E|=2a+/?,顯然有tanNB/尸=才，|1=才|8F|=才(2。+加)，

21I3414

3171

\AF\=a-m,因此，|//7|=2。+1//|二。一加，在RtABF,

224i22i

\AB\i+\BF\i=\AF|2,

11

971282

即k（2。+機）2+（2。+加）2=（弁”一開加）2,解得加=丁。，Bp|BF\=a,\BF\=a,

To243iJ2J

2

令雙曲線半焦距為C,在Rt嗎?中，|叱卜+|8號2=1勺勺2,即（鏟）2+=（2C）2,

cJT7

解得￡=,

所以E的離心率為

故選：B

【點睛】方法點睛：求雙曲線離心率的三種方法：①定義法，通過已知條件列出方程組，求

得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e.

②齊次式法，由己知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的一元二次方程

求解；

③特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.

第n卷（非選擇題，共90分）

二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題卡上）

13.記等差數(shù)列%｝的前〃項和為S,若a=0,a+a=3,則S=.

nn34511------

【答案】33

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)求出首項和公差，再利用前八項公式計算作答.

【詳解】等差數(shù)列L｝中，&=°，由a+a=a+a=3得a=3,則公差d=/一1=],

■rr川十n3364566—3

首項,=4_2d=_2,

所以S=lla+"T：）=llx（—2）+55=33

iii2

故答案為：33

14.若函數(shù)/（x）=xlnx+l,則在點（1/（1））處的切線方程為

【答案】x-y=0

【解析】

【分析】求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出答案.

【詳解】解：由函數(shù)/（x）=xlnx+l,

得/（D=l,xe（0,+co）,

則/"(x)=l+lnx,

故/、'(1)=1,

所以/（X）在點（1,/（1））處的切線方程為N-1=X-1,

即x_y=0.

故答案為：x-y=O.

X2V211

15.已知，，〃是橢圓4+1T=1的左、右焦點，尸在橢圓上運動，求西+西的最小

值為

【答案】1

【解析】

11

【分析】利用橢圓的定義知|阿|+|華|=4,利用基本不等式即可求出巴+防的最

小值.

【詳解】因為〈，與是橢圓?+餐=1的左、右焦點，P在橢圓上運動，

所以|P<|+—|=4.

所以4=|尸々+|/￥了2嚴嚴町，所以|巧|［尸￡仔4（當且僅當1Pq=|尸勺時等

號成立）.

11|尸產(chǎn)|+|尸勺41

所以----+-----=!u__!il>_=1

所以*I|華|吃卜％一4-

11

即四|+嚴］的最小值為1.

故答案為：1

16.在正方體XBCD-ziy?中，點后為線段8R上的動點，現(xiàn)有下面四個命題：

①直線DE與直線AC所成角為定值：②點E到直線AB的距離為定值；

③三棱錐E-ABD的體積為定值；④三棱錐E-ABD外接球的體積為定值.

其中所有真命題的序號是.

【答案】①③

【解析】

【分析】由線面垂直的性質(zhì)定理得線線垂直判斷①，由正方體的性質(zhì)，可通過E到4v的

距離來計算E到48的距離，從而判斷②，根據(jù)棱錐體積公式，判斷③，想象E在不同位

置時外接球的半徑的變化，判斷④.

【詳解】易證力CJ■平面絲。DEU平面BBRD,所以恒有ZC_LDE，直線。E與直

線4C所成角為90°,所以①是真命題.點E到直線的距離與點E到直線《弓的距離

有關(guān)，所以②是假命題.因為8R//8。,由線面平行的判定定理可得8R//平面"產(chǎn)。，

故點E到平面《8°的距離"為定值，則P=；d.S為定值，所以③是真命

IE-ABDJ△4BD

題BD//平面ABD,E在8。上變化，例如點E在0處和在3。的中點處時，三棱

錐￡一460的外接球半徑不同，故其外接球的體積不是定值，所以④是假命題.

故答案為：①③

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演

算步驟，并將答案寫在答案卡相應(yīng)題號的空白處）

17.在銳角△NBC中，角/、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知2asinC=&\

（1）求角A的大?。?/p>

（2）若6=2,。=",求△48C的面積.

n

【答案】Q）JA=y

⑵￥

【解析】

【分析】（1）根據(jù)正弦定理結(jié)合內(nèi)角的范圍求解即可;

（2）由余弦定理與面積公式求解即可

【小問1詳解】

由已知及正弦定理知：2sinNsinC=JTsinC.

B

因為C為銳角，則sinCHO,所以sin/=》.

兀

因為《為銳角，則/A=可

【小問2詳解】

由余弦定理，b2+C2-2hccosA=a2

jr

則。2+4—4。8$丁=7,即C2-23=0

即(c-3)(c+1)=0,因為c>0,則c=3

??3/5"

所以△N8C的面積s=爹兒，sinN=2X3x2sinJ.

18.已知數(shù)列%｝滿足。=1〃=2a+1.

n1"+1n

(1)證明M+1｝是等比數(shù)列，并求k｝的通項公式；

nn

(2)求數(shù)列｛,｝的前〃項和公式.

【答案】(1)證明見解析，a=2"-1(2)S=2用_2_〃

nn

【解析】

【分析】(1)由已知得%+1=2(%+1),1+1=2，從而能證明｛%+1｝是首項為2，公

比為2的等比數(shù)列，并能求出｛/｝的通項公式?

(2)利用分組求和可求解

［詳解］⑴由a=2a+1可得“戶1=2伍+D,即=2

''nn+\wCl4-1

n

所以｛。+1｝是一個以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列

n

所以。+1=2",所以。=2〃—1

nn

⑵S=a+a+Q+??,+a=(2i-1)+02-1)+(23-1)+…(2〃-1)

nI23n

=(2i+22+23+-2")_(1+1+1+-+1)=2(：-；)_〃

,2"+i—2—n

【點睛】本題考查等比數(shù)列的證明，考查等比數(shù)列的通項公式及前〃項和的求法，是中檔題，

解題時要認真審題，注意分組求和的合理運用.

19.2022年北京冬奧會的申辦成功與“3億人上冰雪”口號的提出，將冰雪這個冷項目迅速炒

“熱”.北京某綜合大學(xué)計劃在一年級開設(shè)冰球課程，為了解學(xué)生對冰球運動的興趣，隨機從

2

該校一年級學(xué)生中抽取了200人進行調(diào)查，其中女生中對冰球運動有興趣的占手，而男生

有20人表示對冰球運動沒有興趣.

(1)完成2x2列聯(lián)表，并回答能否有97.5%的把握認為“對冰球是否有興趣與性別有關(guān)”？

有興趣沒興趣合計

男110

女

合計

(2)已知在被調(diào)查的女生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生，其中3名對冰球有興趣，現(xiàn)在從這5名

學(xué)生中隨機抽取2人，求至少有1人對冰球有興趣的概率.

(

PK?Nk)0.100.0500250.010

0

k2.7063.8415.0246.635

0

n[aa-be尸

K2—/、

(a+b+d)(a+c)(b+d)

【答案】(1)填表見解析；有97.5%的把握認為“對冰球是否有興趣與性別有關(guān)”：

9

⑵TO-

【解析】

【分析】(1)根據(jù)給定數(shù)據(jù)，完善2x2列聯(lián)表，計算K2的觀測值，再與臨界值表比對作答.

(3)對5人編號，利用列舉法結(jié)合古典概型概率公式計算作答.

【小問1詳解】

根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：

有興趣沒有興趣臺計

男9020110

女603090

合計15050200

200x(90x30-20x60)2200

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得K2=_____________________1_=_?6.061,6.061>5.024,

110x90x150x5033

所以有97.5%的把握認為“對冰球是否有興趣與性別有關(guān)”.

【小問2詳解】

記至少1人對冰球有興趣為事件D

記5人中對冰球有興趣的3人為小B、C,對冰球沒有興趣的2人為切、n,

則從這5人中隨機抽取2人，有

(A,m),(A,/?),(B,m),(B,/?),(C,m\{C,/?),(A,5),(A,C),(5,C),(m,n),共io個結(jié)果,

其中2人對冰球都有興趣的有(48),(4c),(B,C),共3個結(jié)果，

1人對冰球有興趣的有(4加),(4〃),(6,加),(8,〃),(。,〃?),(。,〃),共6個結(jié)果，則至少1

人對冰球有興趣的有9個結(jié)果，

9

所以所求事件的概率P(D)=次.

20.如圖，在三棱錐。一48。中，AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=2^,o為xc

的中點.

(1)證明：尸。，平面/8C；

(2)若點M在棱8c上，且MC=2MB,求點C到平面尸0"的距離.

【答案】(1)證明見解析；

⑵坐

【解析】

【分析】(1)證明尸O_LNC,P°,O6,利用線面垂直判定定理求解;

(2)利用等體積法求點C到平面POM的距離即可.

【小問1詳解】

連接如圖，

...AB=BC=2,AC=2yptAABi+BCz=ACi,即△/sc是直角三角形,

又O為/C的中點，二。4=。8=。。，又；PA=PB=PC,

：.&POA泮POB三4Poe

ZPOA=ZPOB=ZPOC=90。.

POLAC,POLOB,OBC\AC^O,08、NCU平面N8C

：.POr^ABC.

【小問2詳解】

由(1)得PO_L平面NBC,PO=dPA2-ACh=邪

在VCOM中，ZOCM=45o,

=廖

OM=JOG+CM2-2OCCMcos45o

S=LxPO又OM=L義小乂旦=更5

.POM22V33

122

S=_x_xS=_

△COM23AABC3

V=>1x5.d=lxSPO

設(shè)點c到平面POM的距離為d,由V=X

rp-OMCC-POM34POM3AOCM

解得d=MZ,

2JT0

.?.點C到平面POM的距離為號一.

21.已知函數(shù)/Q)=lm-+t-2x.

X

(1)討論當r>0時，/)單調(diào)性.

a-2x2_2xz\

(2)證明：&+-------------->fr^).

X

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析.

【解析】

1八1

【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，按“2百和°<a<百兩類討論，得出函數(shù)的單調(diào)性:

OO

a-2x2-2x\

(2)要證e》+----------->/(1),即證ex>lnx+2.構(gòu)造函數(shù)

x

/?W=e'-lnx-2（x>0）,利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，轉(zhuǎn)化

求解即可.

.\1a2x2-x+a

【詳解】(1)解：由題A意可知x>0,./(x)=————2=----------

XX2X2

對于二次函數(shù)N=2X2-x+a,A=l—84.

當a時，△<0,/''6）<0恒成立，危）在》>0上單調(diào)遞減：

O

當0<。<：時，二次函數(shù)夕=-2X2+x—0有2個大于零的零點，分別是

O

_1-JI-8a1+

4=---------，人

1424

(1-JTTSa1+1-5/jT^1+7TT^、

當xw―工----，---------/0>0,加)在％6

=44~,—單調(diào)遞增:

\77

1JTTS?\

+/"(x)<0,與)在xe0,

當XG0，T———------，4-oo和

4~4~

\77)

1+]

---------，+8單調(diào)遞減

1

綜上：當