甘肅青海寧夏三省2023屆高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試卷（含答案）

甘肅青海寧夏三省2023屆高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)(文)試卷

學(xué)校：姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、選擇題

1、若iz=l—2i,則z2=()

A.-3-4iB.3-4iC.-3+4iD.3+4i

2、已知集合A={x∣4x<l},B={x∣-3<6%<8},則AB=()

B.{J∣x<g}C.卜Ix<：}D.∣x∣-y<x<?^∣

3、已知平面向量α=(2,m),6=(4,—6),且α?b=T0,則∣α∣=()

A.5B.2√2C.√13D.√15

4、已知互相垂直的兩個(gè)平面α,"交于直線/,若直線加滿足加_La,則()

A.m±βB.2_L/〃C.mllβD.IHm

5、某企業(yè)為了解員工身體健康狀況，采用分層抽樣的方法從該企業(yè)的營(yíng)銷(xiāo)部門(mén)和研發(fā)

部門(mén)抽取部分員工體檢，已知該企業(yè)營(yíng)銷(xiāo)部門(mén)和研發(fā)部門(mén)的員工人數(shù)之比是4:1,且

被抽到參加體檢的員工中，營(yíng)銷(xiāo)部門(mén)的人數(shù)比研發(fā)部門(mén)的人數(shù)多72,則參加體檢的人

數(shù)是()

A.90B.96C.120D.144

6、在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別是α,b,c,若的面積是

G(O2+C2-/)

，則A=()

4

,π

A.-

3B?T吟

2尤+y-2≥0,

7、已知實(shí)數(shù)X,y滿足約束條件∣x-2y-2≤0,,則』的最大值是()

X

A.lB.-C.2D.3

3

8、已知函數(shù)/(x-l)為偶函數(shù)，且函數(shù)/(x)在［-l,+∞)上單調(diào)遞增，則關(guān)于X的不等

式/(1-2')<∕(-7)的解集為()

A.(-∞,3)B.(3,+∞)C.(-∞,2)D.(2,+∞)

9、已矢口cos(α+^^∣?]+cos[α+^?)=g,貝IJCoS〔2a+,)=()

A?-空B?i*

25

10、將函數(shù)/(X)=2Sin(2x+獅圖象向左平移J單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖

像，則g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()

13π.π,π,1lπ,

A.--------FK71,FKTt(?∈Z)B.------Fκ7U,Fk∏(ZeZ)

24-------2424-----24

π,π,π,5π.

C.-----l-κπ,-+κπ(女∈Z)D.---Fkll,----FKTt伏∈Z)

63.36

11、已知體積為三的球Q與正三棱柱ABC-A與G的所有面都相切，則三棱柱

ABC-44Cl外接球的表面積為()

A.24πB.20πC.16πD.12π

12、若函數(shù)/(X)=Ye*-In%的最小值為加，則函數(shù)gCrXGe"+?τ∏x的最小值為()

A.∕∏-lB.em+1C.∕∏÷lD.em-1

二、填空題

13、函數(shù)/(x)=5SinX+3CoSX的圖象在點(diǎn)(0,3)處的切線的斜率為.

14、南宋晚期的龍泉窯粉青釉刻花斗笠盞如圖1所示，忽略杯盞的厚度，這只杯盞的

軸截面如圖2所示，其中光滑的曲線是拋物線的一部分，已知杯盞盛滿茶水時(shí)茶水的

深度為3cm,則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為cm.

15、2023年杭州亞運(yùn)會(huì)需招募志愿者，現(xiàn)從甲、乙等5名志愿者中任意選出2人開(kāi)展

應(yīng)急救助工作，則甲、乙2人中恰有1人被選中的概率為.

r22

16、已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，尸是雙曲線a-τ-a=l(q>0/>0)的左焦點(diǎn)，平面內(nèi)一點(diǎn)

ab

M滿足AOM尸是等邊三角形，線段MF與雙曲線E交于點(diǎn)M且IMNI=INR則雙曲

線E的離心率為.

三、解答題

17、設(shè)數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為S“，JSLSn=2αn-l.

(1)求｛4,,｝的通項(xiàng)公式；

(2)若bn=an+log,an+i,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和Tn.

18、赤霉素在幼芽、幼根、末成熟的種子中合成，其作用是促進(jìn)細(xì)胞的生長(zhǎng)，使得植

株變高，每粒種子的赤霉素含量x(單位：ng∕g)直接影響該粒種子后天的生長(zhǎng)質(zhì)量.現(xiàn)通

過(guò)生物儀器采集了赤霉素含量分別為10,20,30,40,50的種子各20粒，并跟蹤每

粒種子后天生長(zhǎng)的情況，收集后天生長(zhǎng)茁壯的種子數(shù)量y(單位：粒)，得到的數(shù)據(jù)如下

表：

赤霉素含

1020304050

量X

后天生長(zhǎng)

茁壯的種237810

子數(shù)量y

(1)求y關(guān)于X的線性回歸方程；

(2)利用(1)中的回歸方程，估計(jì)IOOO粒赤霉素含量為60ng∕g的種子中后天生長(zhǎng)茁壯的

數(shù)量.

∑(xi-x)(^.-y)

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為b=*?----------,

/=1

a=y-hx.

19、如圖，在四棱錐P-ABcD中，四邊形ABCO是菱形，NABC=60。，PA=PC,

E是棱PD上的動(dòng)點(diǎn)，且2PO=3PE.

(1)證明：AC_L平面PBD

(2)若AB=2,PB=PD=娓,求點(diǎn)尸到平面ACE的距離.

20、已知函數(shù)f(x)=?nx--x+-.

2X

(1)若“X)在(3,+8)上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)”的取值范圍；

⑵當(dāng)XGn,+8)時(shí)，/(χ)≤0恒成立，求實(shí)數(shù)α的取值范圍.

22

21、已知橢圓C:*+我=l(α>b>O),四點(diǎn)M∣(-2,—2),M2(2,l),M3(2,2),

〃4(加，1)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)過(guò)點(diǎn)(-2,-4)的直線/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,試問(wèn)直線MvP,的斜率

之和是否為定值?若是定值，求出此定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22、［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

在直角坐標(biāo)系Xoy中，曲線C的參數(shù)方程為F=l+=c°sα,(α為參數(shù)).在以坐標(biāo)原

點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C與極軸相交于O,A兩點(diǎn).

(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程及點(diǎn)A的極坐標(biāo)；

(2)若直線/的極坐標(biāo)方程為e=g,曲線C與直線/相交于。，B兩點(diǎn)，求AOAB的面

積.

23、［選修4-5：不等式選講］

已知函數(shù)/(x)=∣x+α∣+∣x-3∣.

(D當(dāng)α=2時(shí),求不等式/(x)≥2x的解集;

(2)若不等式/(x)≤g4+5的解集非空，求”的取值范圍.

參考答案

1、答案：D

解析：因?yàn)閕z=l-2i,所以(iz)2=(l-2i)2,gp-z2=-3-4i,則z?=3+4i.

2、答案：B

解析：因?yàn)锳={x∣x<1},8={x∣-g<X<g},所以A6={x∣x<g}.

3、答案：C

解析：α?b=8—6加=—10,則/"=3,所以Ial=J4+9=-Jn.

4、答案：B

解析：因?yàn)镮UCc,所以又<2_1力，所以加//夕或mu/?.故選B.

5、答案：C

解析：設(shè)參加體檢的人數(shù)是〃，則3」〃=72,解得〃=120.

55

6、答案：A

222

一I?/?(z?+c-α)?/?r-

解析：由題意可得一OcsinA=——---------------=——becosA,所以tanA=6,則

242

π

A=-.

3

7、答案：C

解析：畫(huà)出可行域，如圖所示，且A∣^,-∣)表示的是可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)0(0,0)

連線的斜率，故工,-±2.

8、答案：A

解析：因?yàn)?(X-1)為偶函數(shù)，所以/(X-1)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則/(X)的圖象關(guān)于

直線尤=T對(duì)稱.因?yàn)?(x)在[-1,+∞)上單調(diào)遞增，所以/(x)在(-∞,T]上單調(diào)遞減.因

為了(1—2)</(—7),所以一7<l-2'<5,解得x<3.

9、答案：C

解析：因?yàn)閏os(α+^∣?J+CoSla+^?)=g,所以cos(a+1]-sina+])=g，所以

I.(.π?1,∣.24,,(C2π?.(C24

l-sιn2?+—=—，rn貝IJSnI2a+—=—，故CoS2a+—=-sιn2a+—=-----.

(6J25(6J2513)(6J25

10、答案：D

解析：g(x)=/1+個(gè))=2sin+g=2COSl2x+gJ,令

π+2kπ<2x+^≤2π+2A,π,kwZ,解得;+kπ≤x≤詈+kπ,AeZ,故g(x)的單調(diào)

遞增區(qū)間為-+kπ,-+kπ(&∈Z).

_36_

11、答案：B

解析：因?yàn)榍?1的體積為手，所以球。1的半徑為1,又球。與正三棱柱ABC-AgG

的所有面都相切，所以正三棱柱ABC-A6Cl底面內(nèi)切圓的半徑為1，高為2,則三棱

柱ABC-4gG外接球的半徑為Vi萬(wàn)=6，即外接球的表面積為20π.

12、答案:C

解析：若Xe(O,+∞),則exe(0,+∞),所以函數(shù)

/(e?)=(e%)2eex-ln(e?)=x2eex+2-(1+Inx)的最小值與/(Λ)的最小值相等，因?yàn)?/p>

g(χ)=/(")+1，所以g(χ)的最小值為加+1.

13、答案：5

解析：因?yàn)?'(x)=5cosx-3sinx,所以/'(0)=5.

14、答案：—

8

解析：如圖，以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，建立直角坐標(biāo)系，

依題意可得A的坐標(biāo)為設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為V=2Py(P>0),

則以=6p,解得P=—.故該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為^cm.

488

3

15、答案：-

5

解析：記另外3人為α,b,C從這5人中任意選出2人，總事件包括（甲,乙），

（甲,0）,（甲力），（甲,c）,（乙,0）,（乙力），（乙,c）,（a,b）,（a,c）,（b,c）,共10種情況,

其中甲、乙2人中恰有1人被選中的事件包括（甲⑷，（甲力），（甲,c）,（乙,α）,（乙力）,

（乙,c）,共6種情況，故所求的概率為9=土

105

√B+1

16、答案:

3

解析：設(shè)雙曲線E的右焦點(diǎn)為F2,連接NF?（圖略），因?yàn)锳OMF是等邊三角形，所以

IMF∣=∣OF∣=c,NOfM=60°.又IMNI=INFI,所以INFl=I.在AFN心中,

222

∣TV∕?∣HΛ^F∣+?FF2f-2?NF?-?FF2?COSZNFF2=^-C,則IN用=半c,則

+1

2α=∣N居|一|NFl=^???e,貝∣jf=-j=f—=^.

1^l2a√13-13

17、答案：(l)α,,=2"τ

解析：⑴當(dāng)〃=1時(shí)，Sl=al=2ai-1,解得“∣=L

當(dāng)“22時(shí)，S,τ=2α,"-1,則%=S“一S(IT=2α,,-2α,τ,即4=2α,-("≥2),

從而｛0,,｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，

故4=%q"T=2n^*.

⑵由(1)可得/+∣=2",則勿=2"-∣+〃,

故(=(1+1)+(2+2)+(2?+3)++(2π^*+n)

=(1+2+22++2n^l)+(l+2+3++n)

l-2n(l+n)2n+'+√+zι-2

=--------1----------π=-------------------.

1-222

18、答案：(l)y=0.21x-03

(2)615

版十二zιχ-10+20+30+40+50CC-2+3+7+8+10Z

解析：⑴X=-------------------------=30,V=--------------------=6.

55

Z(XiT)(y-y)=2io,∑(χ,?-χ)^=WOO,

/=I/=1

?210-

則ZJ=------=0.21,a-y-bx--0.3.

1000

故y關(guān)于X的線性回歸方程為y=0.21x-0.3.

(2)將％=60代入y=0.2Lc—0.3,得至Uy=12.3，

則估計(jì)IOOO粒赤霉素含量為60ng∕g的種子中后天生長(zhǎng)茁壯的數(shù)量為IOoOX/=615.

19、答案：（1）證明見(jiàn)解析

⑵李

解析：（1）證明：記ACBD=O,連接OP,則。是B。，AC的中點(diǎn).

因?yàn)樗倪呅蜛BCo是菱形，所以BDj.AC.

因?yàn)镻A=PC,且。是AC的中點(diǎn)，所以O(shè)PLAC.

因?yàn)镺P,BDU平面PB。，且OPBD=O,所以AC_L平面PBD

⑵解：連接OE

l?

因?yàn)锽B=P。，且。是8。的中點(diǎn)，所以O(shè)P_LB￡>.

因?yàn)镺PLAC,AC,BDU平面ABCD,且ACBD=O,所以O(shè)PL平面ABCD

因?yàn)锳B=2,ZABC=60°,所以AC=2,OB=也,則。P=6.

故三棱錐P-AC。的體積/Ae=JXLX2X√5X>Λ=1?

32

29

因?yàn)?PO=3PE,所以VPYCE=

過(guò)點(diǎn)E作￡F_LB。，垂足為凡

由題中數(shù)據(jù)可得ER=JoP=立，OF=ZoD=巫,則OE=姮.

33333

因?yàn)镺EU平面PB。，且AC_L平面P8D,所以ACJ_OE,

則A4CE的面積5=&2乂巫=姮.

233

設(shè)點(diǎn)P到平面ACE的距離為d,則％TCE=2X坐d=：,解得d="5.

ACt3335

20、答案：(l)α的取值范圍是1-00,-|

(2)α的取值范圍是1-8,；

解析：(1)因?yàn)閺V(幻=4-五M=E±?≡≥,且/(x)在(3,+8)上不單調(diào)，

X2x2x

所以關(guān)于X的方程-Y+2χ-2"=0在(3,+8)上有根，

所以—32+2x3-2α>O,所以a<—g,即α的取值范圍是18,—

(2)因?yàn)?(尤)=InX——X+—≤O,所以Y-xInx.

2X2

?^(x)=-X2-x?nx,則g,(x)=x-?nx-l.

令〃(X)=X-Inx-I,貝(jM(X)-\--=——-,

XX

可知力(X)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(l,?w)上單調(diào)遞增,

,

所以Λ(x)min=∕z(l)=0,所以h(x)=g(x)≥0，

所以g(X)在［1,+OO)上單調(diào)遞增，所以gθ)min=<?⑴=:，

所以α≤L,即α的取值范圍是JO0」.

212」

r2V2

21、答案：⑴Tral

(2)直線M?iP,V3。的斜率之和是定值，且該定值為1

解析：(1)由橢圓的對(duì)稱性可知M∣(-2,-2),M,(2,2),M,(W,1)在橢圓C上?

44F-(2

KQ=

解m162

由題意可得1lb2=

10F-

—+

ar

22

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+J=1.

126

(2)當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線/的方程為％=-2,則不妨令P(-2,2),Q(-2,-2).

因?yàn)椤?(2,2),所以右述=0,?=1,故％P+%2=L

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為y=k(x+2)-4,P(X,y),Q(x2,y2)>

y-k(x+2)-4,

聯(lián)立?f丁2整理得(2^+i)f+8-AS一2)%+8%2_32女+20=0,

—I—=1,

〔126

貝U由A〉。，W4?2+8Zr-5>0,x+x=-^?^,8%2-32Z+20

2XM2=

1-2公+12-+1

X—2

因?yàn)閆aP

Xj—2‰=—工2-2

y-2+%-2kX[+2k-6+kx?+2k-6

所以+"%。

x∣—2%2—2Xj-2x1—2

(G+2?-6)(X2_2)+(AX2+2左一6)(玉一2)2kxix2-6(x1+X2)-8ZΓ+24

(x1-2)(X2-2)xlx2-2(x