高數(shù)極限的定義與性質(zhì)

關(guān)于高數(shù)極限的定義與性質(zhì)1.2.1、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限例1.2.1

考察函數(shù)在當(dāng)x趨向于1時(shí)函數(shù)值的變化。解如圖，該函數(shù)定義域?yàn)椤鹂疾靫從x=1的左側(cè)及右側(cè)接近1時(shí)，其函數(shù)值的變化情況。列表如下第2頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天○結(jié)論：當(dāng)x充分接近1（但不等于1）,

y的值接近于常數(shù)2.2.0000011.0000011.9999990.9999992.0011.0011.9990.9992.011.011.990.992.11.11.90.9一般地，我們有第3頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義1.2.1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義,或反之，若不存在這樣的常數(shù)

A，則稱當(dāng)時(shí)沒有極限或極限不存在。則例1.2.1可表示為的值任意地接近常數(shù)A,函數(shù)如果當(dāng)x充分接近時(shí)，則稱當(dāng)?shù)臉O限為A,記作時(shí)函數(shù)第4頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1.2.2

設(shè)函數(shù)求解如圖，○.觀察其函數(shù)圖象，得結(jié)論：函數(shù)在某點(diǎn)的極限的存在與否與函數(shù)在該點(diǎn)是否有定義或等于什么并無(wú)關(guān)系.第5頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1.2.3

求解如圖，觀察其函數(shù)圖象，得解如圖，觀察其函數(shù)圖象，得例1.2.4

求第6頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1.2.5

求不存在.解如圖，觀察其函數(shù)圖象，得第7頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.2.2.單側(cè)極限定義1.2.2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)右（或左）鄰域內(nèi)有定義,（或函數(shù)如果當(dāng)x從的右側(cè)（左側(cè)）充分接近時(shí)，的值任意地接近常數(shù)A,則稱在處的右（或左）函數(shù)記作極限為A,有時(shí)記為（或第8頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1.2.6.

設(shè)函數(shù)討論時(shí)的左右極限是否存在.解:如圖第9頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1.2.7

設(shè)函數(shù)求解如圖，○和由這兩個(gè)例子，得一般地定理1.2.1.第10頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1.2.3、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限例1.1.8第11頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天一般地，定義1.2.3設(shè)函數(shù)對(duì)大于（或小于）某個(gè)數(shù)X的x都（或記作的極限為A,函數(shù)有定義，如果當(dāng)x無(wú)限地趨向時(shí)，（或的值任意地接近常數(shù)A,則稱當(dāng)（或時(shí)函數(shù)第12頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天又設(shè)函數(shù)對(duì)絕對(duì)值大于某個(gè)正數(shù)X的x都有定義，記作的極限為A,函數(shù)如果當(dāng)|x|無(wú)限地趨向時(shí)，的值任意地接近常數(shù)A,則稱當(dāng)時(shí)函數(shù)于是在例1.1.8中第13頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理1.2.2.例1.1.9設(shè)求解如圖所以不存在。第14頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天有一類特別地、重要的極限定義1.2.4.

若時(shí),函數(shù)則稱函數(shù)為時(shí)的無(wú)窮小

.例1.1.10因?yàn)?/p>

故當(dāng)時(shí)函數(shù)為無(wú)窮小

.例1.1.11因?yàn)?/p>

故當(dāng)時(shí)函數(shù)為無(wú)窮小

.第15頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1.1.12如圖

故當(dāng)時(shí)函數(shù)為無(wú)窮小

.當(dāng)時(shí)函數(shù)接近于0，所以但當(dāng)時(shí)函數(shù)不是無(wú)窮小

.注1:無(wú)窮小與很小的數(shù)。注2:無(wú)窮小是與x的變化過(guò)程有關(guān)。第16頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1.2.4、無(wú)窮極限例1.1.13y值不斷增大，且有一種趨勢(shì)，趨向正無(wú)窮大。此時(shí)極限并不存在，記為y值不斷減小，且有一種趨勢(shì)，趨向負(fù)無(wú)窮大。此時(shí)極限并不存在，記為第17頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義1.2.5

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義,或記作則稱當(dāng)趨向于正無(wú)窮大（或負(fù)無(wú)窮大）時(shí)函數(shù)變得任意大，函數(shù)如果當(dāng)x充分接近時(shí)，如果上述定義中將(或敘述成則稱當(dāng)x趨近時(shí)函數(shù)趨向于無(wú)窮大，記作第18頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天注1:上述中的極限稱為無(wú)窮極限.注2:無(wú)窮大是與x的變化過(guò)程有關(guān)。無(wú)窮極限并不代表極限存在。注3:和無(wú)窮小類似，不要把無(wú)窮大與很大的數(shù)(如一億)混淆.注4:無(wú)窮大一定無(wú)界,反之不然.第19頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.1.14求解如圖所以第20頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.1.14求解如圖所以不存在。第21頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理1.2.4(局部有界性）

若則存在1.2.5極限的性質(zhì)最后無(wú)窮大與無(wú)窮小有如下的關(guān)系定理1.2.3

在自變量的同一極限變化過(guò)程中,如果函數(shù)為無(wú)窮大，則為無(wú)窮??；反之如果為無(wú)窮小，則為無(wú)窮大。的一個(gè)鄰域，使得函數(shù)在