江西省多校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第一次階段性考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

—2024學(xué)年高一年級(jí)第二學(xué)期第一次階段性考試數(shù)學(xué)試卷試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5．分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．與角終邊相同的角是（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的（）A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件 D．必要不充分條件3．已知，則（）A． B． C． D．4．，則（）A． B． C． D．5．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．7．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．8．魯洛克斯三角形又稱(chēng)“勒洛三角形”（如圖1），是一種特殊三角形，指分別以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，以其邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形．魯洛克斯三角形的特點(diǎn)是：在任何方向上都有相同的寬度，機(jī)械加工業(yè)上利用這個(gè)性質(zhì)，把鉆頭的橫截面做成魯洛克斯三角形的形狀，就能在零件上鉆出正方形的孔．今有一個(gè)半徑為的圓（如圖2），分別為圓周上的點(diǎn)，其中，現(xiàn)將扇形分別剪下來(lái)，又在扇形中裁剪下兩個(gè)弓形分別補(bǔ)到扇形的兩條直邊上，將扇形補(bǔ)成魯洛克斯三角形，設(shè)此魯洛克斯三角形的面積為，扇形剩余部分的面積為，若不計(jì)損耗，則（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．如圖，若角的終邊落在陰影部分，則角的終邊可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且滿足，則稱(chēng)是的點(diǎn)．下列選項(xiàng)中的是函數(shù)的點(diǎn)的是（）A． B．C． D．11．已知定義域均為的奇函數(shù)和偶函數(shù)，滿足，則（）A．在上單調(diào)遞減B．C．當(dāng)時(shí)，的最大值為D．函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得到函數(shù)的圖象三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．2024年3月1日，某蛋糕店共有10位顧客預(yù)訂生日蛋糕，他們的年齡按預(yù)訂的順序依次是6，12，54，30，8，10，18，24，30，32，則這10位顧客年齡的中位數(shù)是________．13．已知函數(shù)具有下列性質(zhì)：①值域?yàn)?；②其圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線，則的一個(gè)解析式為_(kāi)_______．（寫(xiě)出滿足條件的一個(gè)解析式即可）14．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，若存在整?shù)，且，則為函數(shù)的“子母數(shù)”．已知集合，函數(shù)（）示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的所有“子母數(shù)”之和為_(kāi)_______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）在某單位元旦聯(lián)歡會(huì)上，為了活躍氣氛，設(shè)計(jì)了一個(gè)游戲環(huán)節(jié)：在三個(gè)不透明的盒子中均裝有3個(gè)黑球和2個(gè)白球，這些球形狀大小完全相同，每個(gè)職工均摸球兩次，第一次從盒子中隨機(jī)摸出兩個(gè)球，如果摸出的均是白球，則得獎(jiǎng)金100元，否則獎(jiǎng)金為0元；第二次從兩個(gè)盒子中各摸一個(gè)球，若兩球的顏色相同，則得獎(jiǎng)金50元，否則獎(jiǎng)金為0元，小明參與了此次游戲．（1）求小明在第一次摸球中得獎(jiǎng)金100元的概率；（2）求小明在兩次摸球中得獎(jiǎng)金150元的概率．16．（15分）定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，且．（1）當(dāng)時(shí)，畫(huà)出函數(shù)的圖象，并求其單調(diào)區(qū)間、零點(diǎn)；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的解析式．17．（15分）函數(shù)的部分圖象如圖．（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)上的每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，再將所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象．已知函數(shù)若函數(shù)的零點(diǎn)從左到右依次為，求的值，并求的值．18．（17分）為弘揚(yáng)中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，春節(jié)前后，各地積極開(kāi)展各種非遺展演、文化廟會(huì)活動(dòng)．某地廟會(huì)每天8點(diǎn)開(kāi)始，17點(diǎn)結(jié)束．通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，游客數(shù)量（單位：人）與時(shí)間之間，可以近似地用函數(shù)來(lái)刻畫(huà)，其中，8點(diǎn)開(kāi)始后，游客逐漸增多，10點(diǎn)時(shí)大約為350人，14點(diǎn)時(shí)游客最多，大約為1250人，之后游客逐漸減少．（1）求出函數(shù)的解析式；（2）臘月二十九，為了營(yíng)造幸福祥和的氛圍，該廟會(huì)籌辦方邀請(qǐng)本地書(shū)法家書(shū)寫(xiě)了950幅福字，計(jì)劃選一時(shí)段分發(fā)給每位游客，為了保證在場(chǎng)的游客都能得到福字，應(yīng)選擇在什么時(shí)間段贈(zèng)送福字？19．（17分）對(duì)于分別定義在上的函數(shù)以及實(shí)數(shù)，若任取，存在，使得，則稱(chēng)函數(shù)與具有關(guān)系．其中稱(chēng)為的像．（1）若，判斷與是否具有關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若，且與具有關(guān)系，求的像；（3）若，且與具有關(guān)系，求實(shí)數(shù)的取值范圍．2023—2024學(xué)年高一年級(jí)第二學(xué)期第一次階段性考試數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分細(xì)則1．【答案D】【解析】，與角終邊相同的角為，故角的終邊與角的終邊相同．故選D．2．【答案】D【解析】取，則滿足，但，故在上不單調(diào)，所以充分性不成立；當(dāng)在上單調(diào)遞增時(shí)，成立，故必要性成立．故選D．3．【答案】B【解析】．故選B．4．【答案】A【解析】，故．故選A．5．【答案】B【解析】由得為第四象限角，故解得．故選B．6．【答案】C【解析】由，得，所以函數(shù)的值域?yàn)椋蔬xC．7．【答案】C【解析】由題意知得．故選C．8．【答案】B【解析】正三角形的面積為，以點(diǎn)為圓心的弧所對(duì)的圓心角為，則有，所以扇形的面積為，弧與弦間的弓形的面積為，扇形的面積為，現(xiàn)從扇形中剪兩塊與相同的弓形補(bǔ)到扇形中，做成魯洛克斯三角形，所以，，所以．故選B．9．【答案】AC（每選對(duì)1個(gè)得3分）【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)為偶數(shù)時(shí)，的終邊在第一象限；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，的終邊在第三象限．故選AC．10．【答案】AC（每選對(duì)1個(gè)得3分）【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，，故A滿足；對(duì)于選項(xiàng)B，，，故B不滿足；對(duì)于選項(xiàng)C，，此時(shí)，所以，故C滿足；對(duì)于選項(xiàng)D，，，故D不滿足．故選AC．11．【答案】ABD（每選對(duì)1個(gè)得2分）【解析】因?yàn)?，則，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，所以，所以，聯(lián)立可得，對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，易判斷函數(shù)單調(diào)遞增，故單調(diào)遞減，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，，，得，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，但，故等號(hào)不成立，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)為，故選項(xiàng)D正確．故選ABD．12．【答案】21【解析】將年齡由小到大排列依次為6，8，10，12，18，24，30，30，32，54，所以中位數(shù)是．13．【答案】（形如（且）都正確，其他形式若符合條件也給分）【解析】或或等．14．【答案】【解析】由得，整理得，因?yàn)?，所以，故，所以，得，故，即，又，故，在集合中滿足的實(shí)數(shù)，首先，且，因?yàn)闀r(shí)，所以滿足的整數(shù)為2，3，4，8，9，10，此時(shí)所有“子母數(shù)”為，其和為．15．解：（1）盒子中的3個(gè)黑球和2個(gè)白球分別記為：黑1，黑2，黑3，白1，白2，第一次從盒子中隨機(jī)摸出兩個(gè)球，（黑3，白1），（黑3，白2），（白1，白2），共10個(gè)，（4分）均為白球的只有（白1，白2）1個(gè)，所以概率，即小明在第一次摸球中得獎(jiǎng)金100元的概率為．（2）小明從盒子中摸到白球的概率均為，摸到黑球的概率均為，所以第二次得50元的概率，兩次摸球得150元的概率．【評(píng)分細(xì)則】第一問(wèn)，若樣本點(diǎn)只寫(xiě)出一部分，可根據(jù)寫(xiě)的多少，適當(dāng)給分；第二問(wèn)，如用其他解法，若正確，也給滿分．16．解：（1）因?yàn)?，所以，所以，即時(shí)，，又為奇函數(shù)，所以，且其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故可得時(shí)的圖象如下：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間，零點(diǎn)為．（2），則，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，【評(píng)分細(xì)則】1．第一問(wèn)，單調(diào)遞增區(qū)間為，也正確；若寫(xiě)成，或，則錯(cuò)誤；單調(diào)遞增區(qū)間用“或”“”連接，則錯(cuò)誤，均扣1分，不說(shuō)明無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間扣1分．零點(diǎn)只寫(xiě)0的扣1分；2．第二問(wèn)答案寫(xiě)成不扣分；若沒(méi)有時(shí)的情況，扣1分；3．如用其他解法，若正確，也給滿分．17．解：（1）由題意知，由得，又在單調(diào)遞減區(qū)間內(nèi)，，所以，所以，又，所以，由得所以，所以，所以．（2）由題意得，求函數(shù)的零點(diǎn)，即求曲線與直線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，畫(huà)出的圖象與直線如下圖，共有6個(gè)交點(diǎn)，從左向右第一和第二個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，第三個(gè)和第四個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，第五個(gè)和第六個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以共有6個(gè)零點(diǎn)，即的值為6，且，故．【評(píng)分細(xì)則】1．第一問(wèn)，結(jié)果寫(xiě)成不扣分；2．第二問(wèn)，不畫(huà)圖象，結(jié)果正確，也給滿分；3．如用其他解法，若正確，也給滿分．18．解：（1）由14點(diǎn)時(shí)最多，大約為1250人，得，得，且，①由時(shí)，，得；因?yàn)?點(diǎn)開(kāi)始后，游客逐漸增多，14點(diǎn)時(shí)最多，得在單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，故，②（①-②），得，由已知得，所以，所以．所以．（2）由，即，所以，解得，又，所以，故該景區(qū)可在8點(diǎn)到12點(diǎn)或16點(diǎn)到17點(diǎn)任一時(shí)段贈(zèng)送福字．【評(píng)分細(xì)則】1．第二問(wèn)，不寫(xiě)，扣1分；8點(diǎn)到12點(diǎn)或16點(diǎn)到17點(diǎn)，只寫(xiě)一種情況，扣1分；2．如用其他解法，若正確，也給滿分．19．解：（1）的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，由得，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，故不存在，使，即與不具有關(guān)系．（3分）（2），由，得，即，所以或，得或，又，得，所以的像為．（3）當(dāng)時(shí)，，所以，由任取，始終存在，使，得