考點(diǎn)09 數(shù)列（選填題8種考法）（解析版）

專題09數(shù)列（選填題8種考法）考法一等差等比的基本量運(yùn)算【例1-1】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則（

）A．25 B．22 C．20 D．15【答案】C【解析】方法一：設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，依題意可得，，即,又，解得：，所以．故選：C.方法二：，，所以，，從而，于是，所以．故選：C.【例1-2】．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和，若，，則（

）A． B． C．15 D．40【答案】C【解析】由題知,即,即,即.由題知,所以.所以.故選:C.【變式】1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．【答案】C【解析】方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，若，則，與題意不符，所以；若，則，與題意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故選：C．方法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，否則，從而，成等比數(shù)列，所以有，，解得：或，當(dāng)時(shí)，，即為，易知，，即；當(dāng)時(shí)，，與矛盾，舍去．故選：C．2．（2023·四川綿陽·綿陽中學(xué)?？家荒＃┕畈粸?的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，，成等比數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由條件得即則故.故選：A.3（2023·四川南充·四川省南充高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的求和公式可得，所以，，所以，，解得，因此，.故選：D.考法二等差等比數(shù)列性質(zhì)【例2-1】（2023·四川成都·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列中，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在等差數(shù)列中，，可得，因此，.故選：A.【例2-2】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)可得：，，也成等差數(shù)列，，，解得．故選：C.【例2-3】（2023·遼寧沈陽·沈陽鐵路實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┰O(shè)，分別是兩個(gè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和．若對(duì)一切正整數(shù)n，恒成立，（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得.故選：B【例2-4】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？级＃┰O(shè)等比數(shù)列，，是方程的兩根，則的值是（

）A．或 B．2或 C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，是方程的兩根，所以，，且，都是?fù)數(shù)，又因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，所以，且，所以.故選：C【例2-5】（2023·陜西榆林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．41 B．45 C．36 D．43【答案】D【解析】設(shè)，則，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得仍成等比數(shù)列.因?yàn)?，所以，所以，?故選：D.【變式】1．（2023·四川綿陽·綿陽中學(xué)校考一模）等差數(shù)列?中，?，則（

）A．60 B．30 C．10 D．0【答案】B【解析】等差數(shù)列?中，,即,.故選：B.2．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（

）A．9 B． C．12 D．【答案】A【解析】由已知，，，即3，，成等差數(shù)列，所以，所以，故選：A．3．（2023·海南·?？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】即，又等差數(shù)列的前項(xiàng)和形式滿足，故.則，故.故選：A4．（2023·重慶·校聯(lián)考三模）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，故，則，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，故，則，所以.故選：A5．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則為（

）A．40或 B． C．40 D．32【答案】C【解析】由題意知：，，成等比數(shù)列，∴，解得：或，∵，∴．故選：C考法三通項(xiàng)【例3-1】（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)校考三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，，得，當(dāng)時(shí)，，，，，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，.故選：C【例3-2】（2023·江西鷹潭·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的各項(xiàng)均不為零，且滿足，（，），則的通項(xiàng)公式．【答案】【解析】，則，設(shè)，，則，，而也符合該式，故，故.故答案為：【例3-3】（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，，且有，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，顯然若，則，則，，與題意矛盾，所以，，兩邊同時(shí)取倒數(shù)，得：，設(shè)，，，，因?yàn)?，故，故，所以為等比?shù)列，所以，故，所以，故，故選：D.【變式】1．（2023·河南·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則數(shù)列的通項(xiàng)．【答案】【解析】由，而，故是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，則，又且，顯然也滿足上式，所以.故答案為：2．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）數(shù)列滿足，，寫出一個(gè)符合上述條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（答案不唯一）【解析】由得：，則當(dāng)時(shí)，，，故滿足遞推關(guān)系，又，滿足，滿足條件的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為：.故答案為：（答案不唯一）.3．（2023·廣西南寧·南寧三中?？家荒＃┮阎獢?shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【答案】【解析】，兩邊同除得：，所以，即，化簡得，∵，∴．故答案為：.考法四求和方法【例4-1】（2023·寧夏石嘴山·平羅中學(xué)?？寄M預(yù)測）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，數(shù)列的前n項(xiàng)和

【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以，所以，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為.故答案為：【例4-2】（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前30項(xiàng)和為.【答案】465【解析】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列；故答案為：465【例4-3】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，則.【答案】【解析】由可得當(dāng)時(shí)，，所以，滿足，故，.令，則，兩式相減得：，所以.故答案為：【變式】1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，則.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，∴，又，滿足，∴，，即，∴.故答案為：.2．（2023·江西鷹潭·二模）已知等差數(shù)列滿足：，，數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，則數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)?，所以，兩式相減可得，，即，又，可得，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故，令，，，兩式相減得：.故答案為：3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，其前n項(xiàng)和為，則．【答案】【解析】因?yàn)椋?，所?故答案為：.4．（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，其中，數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，①，當(dāng)時(shí)，②，兩式相減得，即，所以，且對(duì)也適合，綜上，，故，.故答案為：考法五數(shù)列在實(shí)際生活中應(yīng)用【例5-1】（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測）中國古代著作《張丘建算經(jīng)》有這樣一個(gè)問題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半疾，七日行七百里”，意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，則該馬第五天走的里程數(shù)約為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)該馬第天行走的里程數(shù)為，由題意可知，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以，該馬七天所走的里程為，解得.故該馬第五天行走的里程數(shù)為.故選：D.【變式】1．（2023·貴州遵義·校考模擬預(yù)測）公元前1650年的埃及萊因德紙草書上載有如下問題：“十人分十斗玉米，從第二人開始，各人所得依次比前人少八分之一，問每人各得玉米多少斗？”在上述問題中，前五人得到的玉米總量為（

）A．斗 B．斗C．斗 D．斗【答案】A【解析】由題意記10人每人所得玉米時(shí)依次為，則時(shí)，，，即是等比數(shù)列，由已知，，（斗）．故選：A．2．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考三模）現(xiàn)有17匹善于奔馳的馬，它們從同一個(gè)起點(diǎn)出發(fā)，測試它們一日可行的路程．已知第i（）匹馬的日行路程是第匹馬日行路程的1.05倍，且第16匹馬的日行路程為315里，則這17匹馬的日行路程之和約為（取）（

）A．7750里 B．7752里C．7754里 D．7756里【答案】B【解析】，依題意可得，第17匹馬、第16匹馬、……、第1匹馬的日行路程里數(shù)依次成等比數(shù)列，且首項(xiàng)為300，公比為1.05，故這17匹馬的日行路程之和為（里）．故選：B.3（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【解析】設(shè)，則，依題意，有，且，所以，故，故選：D考法六數(shù)列的單調(diào)性與最值【例6-1】（2023·四川自貢·統(tǒng)考三模）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為d，若，，則下列四個(gè)命題正確個(gè)數(shù)為（

）①為的最小值

②

③，

④為的最小值A(chǔ)．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】等差數(shù)列中，，則，故②正確；又，所以，故，則，故③正確；于是可得等差數(shù)列滿足，其為遞增數(shù)列，則，又，所以為的最小值，故①正確，④不正確；則四個(gè)命題正確個(gè)數(shù)為.故選：C.【例6-2】（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）若等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并且，則下列正確的是（

）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為【答案】D【解析】由可知公比，所以A錯(cuò)誤；又，且可得，即B錯(cuò)誤；由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可知，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得為單調(diào)遞增，即無最大值，所以C錯(cuò)誤；設(shè)為數(shù)列前項(xiàng)積的最大值，則需滿足，可得，又可得，即的最大值為，所以D正確.故選：D【變式】1．（2023·山東煙臺(tái)·?？寄M預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知是方程的兩根，則能使成立的n的最大值為（

）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】A【解析】因?yàn)槭欠匠痰母?，又，公差，由等差中?xiàng)知：

，

，，，即使得的成立的最大；故選：A.2．（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)校考一模）設(shè)等差數(shù)列的公差為，共前項(xiàng)和為，已知，，則下列結(jié)論不正確的是（

）.A．， B．與均為的最大值C． D．【答案】B【解析】依題意，因?yàn)?，，所以，所以CD正確；由，易得，所以，即，由，得，所以，所以A正確；對(duì)于B：因?yàn)椋?，因此，與不可能同為的最大值.故選：B.3．（2023·江蘇鹽城·鹽城市伍佑中學(xué)?？寄M預(yù)測）（多選）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并且滿足條件，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．1C．的最大值為 D．的最大值為【答案】BD【解析】若，則，，所以，與矛盾；若，則因?yàn)?，所以，，則，與矛盾，因此，所以A不正確．因?yàn)椋?，因此，故B正確．因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，即的最大值不為，故C錯(cuò)誤．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為，即D正確．故選：BD.考法七數(shù)列與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用【例7-1】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測）若為虛數(shù)單位，則計(jì)算．【答案】【解析】】設(shè)，，上面兩式相減可得，，則．故答案為：．【例7-2】（2023·山西陽泉·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，則．【答案】/【解析】因?yàn)椋?故答案為：.【變式】1．（2023·河北滄州·?？既＃┳匀唤缰心承┥锏幕蛐褪怯纱菩叟渥拥幕蚪M合而成，這種生物在生育下一代時(shí)，成對(duì)的基因相互分離形成配子，配子隨機(jī)結(jié)合形成下一代.若某生物群體的基因型為，在該生物個(gè)體的隨機(jī)交配過程中，基因型為的子代因無法適應(yīng)自然環(huán)境，會(huì)被自然界淘汰.例如，當(dāng)親代只有基因型個(gè)體時(shí)，其子1代的基因型如下表所示：雌雄×由上表可知，子1代中，子1代產(chǎn)生的配子中占，占.以此類推，則子10代中個(gè)體所占比例為.【答案】【解析】由題，設(shè)子代中占比為，則占比為.所以，則子代的基因型如下表所示，雌雄×由表可得，表格中總份數(shù)為（其中淘汰了份），因此子代中占比為，化簡得，即，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，，因此.故答案為：.2．（2023·全國·模擬預(yù)測）離子是指原子由于自身或外界的作用而失去或得到一個(gè)或幾個(gè)電子后達(dá)到的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)，得到電子為陰離子，失去電子為陽離子，在外界作用下陰離子與陽離子之間可以相互轉(zhuǎn)化．科學(xué)家們?cè)谠囼?yàn)過程中發(fā)現(xiàn)，在特定外界作用下，1個(gè)陰離子可以轉(zhuǎn)化為1個(gè)陽離子和1個(gè)陰離子，1個(gè)陽離子可以轉(zhuǎn)化為1個(gè)陰離子，如果再次施加同樣的外界作用，又能產(chǎn)生同樣的轉(zhuǎn)化．若一開始有1個(gè)陰離子和1個(gè)陽離子，則在9次該作用下，陰離子的個(gè)數(shù)為（

）A．87 B．89 C．91 D．93【答案】B【解析】由題目知，作用后的陽離子個(gè)數(shù)是作用前陰離子個(gè)數(shù)，作用后的陰離子個(gè)數(shù)是作用前陰陽離子個(gè)數(shù)之和?，F(xiàn)在有1個(gè)陰離子和1個(gè)陽離子，經(jīng)過逐次作用后：作用次數(shù)陽離子個(gè)數(shù)陰離子個(gè)數(shù)011112223335458581361321721348345595589則在9次該作用下，陰離子的個(gè)數(shù)為.故選：B.考法八新定義數(shù)列【例8-1】（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）（多選）意大利著名數(shù)學(xué)家萊昂納多．斐波那契（LeonardoFibonacci）在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，該數(shù)列的特點(diǎn)是：前兩個(gè)數(shù)都是1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它的前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)稱為“斐波那契數(shù)列”．同時(shí)，隨著趨于無窮大，其前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的比值越來越逼近黃金分割，因此又稱“黃金分割數(shù)列”，記斐波那契數(shù)列為，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】因?yàn)?，所以，所以故A正確；因?yàn)椋?，即，所以，而，故B錯(cuò)誤；，所以故C正確；，故D正確答案：ACD.【例8-2】（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選）定義：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫作該數(shù)列的一次“美好成長”．將數(shù)列、進(jìn)行“美好成長”，第一次得到數(shù)列、、；第二次得到數(shù)列、、、、；；設(shè)第次“美好成長”后得到的數(shù)列為、、、、、，并記，則（

）A． B．C． D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)第次“美好成長”后共插入項(xiàng)，即，共有個(gè)間隔，且，則第次“美好成長”后再插入項(xiàng)，則，可得，且，故數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，故，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，由題意可知：，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，且，所以，，且，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，，故，所以，，所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為，D對(duì).故選：ACD.【變式】1．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考三模）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中，研究了二階等差數(shù)列．若是公差不為零的等差數(shù)列，則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有一個(gè)“三角垛”，共有40層，各層小球個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)二階等差數(shù)列，第一層放1個(gè)小球，第二層放3個(gè)小球，第三層放6個(gè)小球，第四層放10個(gè)小球，，則第40層放小球的個(gè)數(shù)為（

）A．1640 B．1560 C．820 D．780【答案】C【解析】設(shè)第層放小球的個(gè)數(shù)為，由題意，，……，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，所以．故，故．故選：C．2．（2023·河南·河南省內(nèi)鄉(xiāng)縣高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測）“角谷猜想”首先流傳于美國，不久便傳到歐洲，后來一位名叫角谷靜夫的日本人又把它帶到亞洲，因而人們就順勢(shì)把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一個(gè)正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，這樣經(jīng)過若干次運(yùn)算，最終回到1.對(duì)任意正整數(shù)，按照上述規(guī)則實(shí)施第次運(yùn)算的結(jié)果為，若，且均不為1，則（

）A．5或16 B．5或32C．5或16或4 D．5或32或4【答案】B【解析】由題知，因?yàn)椋瑒t有：若為奇數(shù)，則，得，不合題意，所以為偶數(shù)，則；若為奇數(shù)，則，得，不合題意，所以為偶數(shù)，；若為奇數(shù)，則，得，不合題意，所以為偶數(shù)，且；若為奇數(shù)，則，得，不合題意，所以為偶數(shù)，且；若為奇數(shù)，則，可得；若為偶數(shù)，則.綜上所述：或32.故選：B3．（2023·河南安陽·統(tǒng)考二模）如果有窮數(shù)列，，，…，（m為正整數(shù)）滿足條件，，…，，即（t為常數(shù)），則稱其為“倒序等積數(shù)列”．例如，數(shù)列8，4，2，，，是“倒序等積數(shù)列”．已知是80項(xiàng)的“倒序等積數(shù)列”，，且，，…，是公比為2，的等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）．A．210 B．445 C．780 D．1225【答案】B【解析】由題可知當(dāng)時(shí)，.根據(jù)定義，當(dāng)時(shí)，.則.故.故選：B4．（2023·廣西南寧·南寧三中?？寄M預(yù)測）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖數(shù)量為例,引入數(shù)列:,該數(shù)列從第三項(xiàng)起,每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)的和,即遞推關(guān)系式為,故此數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列,又稱“兔子數(shù)列”.已知滿足上述遞推關(guān)系式的數(shù)列的通項(xiàng)公式為,其中的值可由和得到,比如兔子數(shù)列中代入解得.利用以上信息計(jì)算表示不超過的最大整數(shù)（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【解析】由題意可令,所以將數(shù)列逐個(gè)列舉可得:,,,,,故,因?yàn)?所以,故.故選:B一、單選題1．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的值為（

）A．3 B．18 C．54 D．152【答案】C【解析】由題意可得：當(dāng)時(shí)，，即，

①當(dāng)時(shí)，，即，

②聯(lián)立①②可得，則.故選：C.2．（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，解得，，故選：C.3．（2023·四川南充·模擬預(yù)測）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最大值為（

）A．60 B．50 C． D．30【答案】D【解析】由和，由于為等差數(shù)列，且，所以當(dāng)時(shí)，,故的最大值為，故選：D4．（2023·河南開封·校考模擬預(yù)測）已知為等比數(shù)列，是它的前項(xiàng)和．若，且與的等差中項(xiàng)為，則等于（

）A．37 B．35 C．31 D．29【答案】C【解析】，，解得，與的等差中項(xiàng)為，解得，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，，，故選：C．5．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考一模）設(shè)數(shù)列滿足且是前項(xiàng)和，且，則（

）A．2024 B．2023 C．1012 D．1011【答案】C【解析】由題意，，，則數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，，即，則，則，則所以，（常數(shù)），則也為等差數(shù)列.則數(shù)列的公差為.所以所以.故選：C6．（2023·河北唐山·開灤第二中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列（）的前n項(xiàng)和為，公差，，則使得的最大整數(shù)n為（

）A．9 B．10 C．17 D．18【答案】C【解析】因?yàn)椋援愄?hào)，因?yàn)?，所以，又有，所以，即，因?yàn)?，，所以的最大整?shù)n為17.故選：C7．（2023·吉林·統(tǒng)考一模）在等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．11【答案】A【解析】設(shè)，則，所以.故選：A8．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.故選：D.9．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）已知等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，故.故選：A.10．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）在數(shù)列中，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，.故選：D.11．（2023·海南?？凇ば？寄M預(yù)測）在中，角、、所對(duì)的邊長分別為，若成等比數(shù)列，則角的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，可得，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），由于在三角形中，且在上為減函數(shù)，所以角的取值范圍是：.故選：B.12．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·文昌中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知正項(xiàng)等比數(shù)列，若，則（

）A．16 B．32 C．48 D．64【答案】B【解析】根據(jù)等比中項(xiàng)，，又是正項(xiàng)數(shù)列，故（負(fù)值舍去）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，即，解得（正項(xiàng)等比數(shù)列公比不可是負(fù)數(shù)，負(fù)值舍去），故故選：B13．（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最小值為（

）A．8 B． C． D．10【答案】B【解析】由正項(xiàng)等比數(shù)列可知，，成等比數(shù)列，則，又，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.故選：B.14．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為（），則，解得：，又，所以，故選：C.15．（2023·寧夏銀川·?？寄M預(yù)測）設(shè)等比數(shù)列中，前n項(xiàng)和為，已知，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，且也成等比?shù)列，因?yàn)椋?，所以，所?，-1，S9-S6成等比數(shù)列，所以8(S9-S6)=1，即，所以.故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.16．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（

）A． B． C．0 D．【答案】B【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差為，所以，所以，所以數(shù)列是周期為3的數(shù)列，又，所以或或，則符合題意，此時(shí)，所以，所以，排除,只有符合,故選：.17．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（

）A．－1 B． C．0 D．【答案】B【解析】依題意，等差數(shù)列中，，顯然函數(shù)的周期為3，而，即最多3個(gè)不同取值，又，則在中，或，于是有，即有，解得，所以，.故選：B18．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【解析】方法1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，則，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，即，則，有，兩式相減得：，即，對(duì)也成立，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，即，則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即，即，，當(dāng)時(shí)，上兩式相減得：，當(dāng)時(shí)，上式成立，于是，又為常數(shù)，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C19．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，易得，依次類推可得由題意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；綜上：．故選：B．20．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】[方法一]:常規(guī)解法因?yàn)?，所以，，得到，同理，可得，又因?yàn)?，故，；以此類推，可得，，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，得，故C錯(cuò)誤；，得，故D正確.[方法二]：特值法不妨設(shè)則故D正確.21．（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測）某人從2023年起，每年1月1日到銀行新存入2萬元（一年定期），若年利率為2%保持不變，且每年到期存款均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，到2033年1月1日將之前所有存款及利息全部取回，他可取回的線數(shù)約為（

）（單位：萬元）參考數(shù)據(jù)：A．2.438 B．19.9 C．22.3 D．24.3【答案】C【解析】由題意，2023年存的2萬元共存了10年，本息和為萬元，2024年存的2萬元共存了9年，本息和為萬元，2032年存的2萬元共存了1年，本息和為萬元，所以到2033年1月1日將之前所有存款及利息全部取回，他可取回的錢數(shù)約為萬元，故選：C.22．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考一模）核電站只需消耗很少的核燃料，就可以產(chǎn)生大量的電能，每千瓦時(shí)電能的成本比火電站要低20%以上.核電無污染，幾乎是零排放，對(duì)于環(huán)境壓力較大的中國來說，符合能源產(chǎn)業(yè)的發(fā)展方向，2021年10月26日，國務(wù)院發(fā)布《2030年前碳達(dá)峰行動(dòng)方案》，提出要積極安全有序發(fā)展核電.但核電造福人類時(shí)，核電站的核泄漏核污染也時(shí)時(shí)威脅著人類，如2011年，日本大地震導(dǎo)致福島第一核電站發(fā)生爆炸，核泄漏導(dǎo)致事故所在地被嚴(yán)重污染，主要的核污染物是鍶90，它每年的衰減率為2.47%.專家估計(jì)，要基本消除這次核事故對(duì)自然環(huán)境的影響至少需要800年，到那時(shí)，原有的鍶90大約剩（

）（參考數(shù)據(jù)）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，設(shè)一開始鍶90質(zhì)量為1，則每年的剩余量構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，則經(jīng)過800年鍶90剩余質(zhì)量為，兩邊取常用對(duì)數(shù)可得：，所以，故選：B23．（2023·廣東東莞·校聯(lián)考模擬預(yù)測）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有人持金出五關(guān)，前關(guān)二稅一，次關(guān)三而稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一，次關(guān)六而稅一，并五關(guān)所稅，適重一斤．問本持金幾何？”其意思為“今有人持金出五關(guān)，第1關(guān)收稅金為持金的，第2關(guān)收稅金為剩余金的，第3關(guān)收稅金為剩余金的，第4關(guān)收稅金為剩余金的，第5關(guān)收稅金為剩余金的，5關(guān)所收稅金之和恰好重1斤．問原來持金多少？”．記這個(gè)人原來持金為斤，設(shè)，則（

）A． B．7 C．13 D．26【答案】C【解析】由題意知：這個(gè)人原來持金為斤，第1關(guān)收稅金為：斤；第2關(guān)收稅金為斤；第3關(guān)收稅金為斤，以此類推可得的，第4關(guān)收稅金為斤，第5關(guān)收稅金為斤，所以，即，解得，又由，所以.故選：C.24．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過的最大整數(shù).若為單調(diào)遞增數(shù)列，則，若，則當(dāng)時(shí)，；若，則，由可得，取，則當(dāng)時(shí)，，所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”；若存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，取且，，假設(shè)，令可得，且，當(dāng)時(shí)，，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列.所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”.所以，“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的充分必要條件.故選：C.25．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且三個(gè)根從小到大依次成等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，設(shè)方程的三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根從小到大依次為，，則，解得，所以.故選：A.26．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若數(shù)列是等比數(shù)列；，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若是等比數(shù)列，設(shè)公比為k，則，，于是，即成立；若，取，顯然不是等比數(shù)列，故是的充分不必要條件．答案：A27．（2023·新疆·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列中，，若（），則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．（） D．【答案】D【解析】對(duì)于A項(xiàng)，由（）得，所以，，又因?yàn)?，所以，所以，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，由A項(xiàng)可知，，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)?，所以，假設(shè)當(dāng)，，成立，則，令，則，當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以，即，所以，所以有，所以對(duì)于任意，，成立，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，由A項(xiàng)知，不滿足，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.28．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測）養(yǎng)過蜂的人都知道，蜂后產(chǎn)的卵若能受精則孵化為雌蜂，若不能受精則孵化為雄蜂，即雄蜂是有母無父，雌蜂是有父有母的，因此一只雄蜂的第代祖先數(shù)目如下圖所示：

若用表示一只雄蜂第代祖先的個(gè)數(shù)，給出下列結(jié)論，其中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意得，當(dāng)時(shí)，，A選項(xiàng)，，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，B正確；C選項(xiàng)，，故，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，故，D錯(cuò)誤.故選：B二、多選題29．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若正項(xiàng)數(shù)列是等差數(shù)列，且，則（

）A．當(dāng)時(shí)， B．的取值范圍是C．當(dāng)為整數(shù)時(shí)，的最大值為29 D．公差d的取值范圍是【答案】ABC【解析】當(dāng)時(shí)，公差，，A正確．因?yàn)槭钦?xiàng)等差數(shù)列，所以，即，且，所以公差的取值范圍是，D錯(cuò)誤．因?yàn)?，所以的取值范圍是，B正確．，當(dāng)為整數(shù)時(shí)，的最大值為29，C正確．故選：30．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則下列結(jié)論正確的是(

)A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列【答案】ABC【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，∴．對(duì)于A選項(xiàng)，，∴為等差數(shù)列，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，令，∴，故數(shù)列是等差數(shù)列，B正確；設(shè)等比數(shù)列的公比為，對(duì)于C選項(xiàng)，令，則，故數(shù)列是等比數(shù)列，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，∵不一定為常數(shù)，故數(shù)列不一定是等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤；故選：ABC．31．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則下列說法正確的是（

）A．是遞增數(shù)列 B．是數(shù)列中的項(xiàng)C．?dāng)?shù)列中的最小項(xiàng)為 D．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列【答案】ACD【解析】由已知，，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，.對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，是遞增數(shù)列，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，令，可得，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，令可得，所以，數(shù)列中的最小項(xiàng)為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，則，所以，，故數(shù)列為等差數(shù)列，D對(duì).故選：ACD.32．（2023·湖南長沙·周南中學(xué)?？既＃┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和是，則下列說法正確的是（

）A．若，則是等差數(shù)列B．若，，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列D．若是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列【答案】ABC【解析】對(duì)于A，，時(shí)，，解得，因此，，是等差數(shù)列，A正確；對(duì)于B，，，則，而，是等比數(shù)列，B正確；對(duì)于C，設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)是，，，因此，則，成等差數(shù)列，C正確；對(duì)于D，若等比數(shù)列的公比，則不成等比數(shù)列，D錯(cuò)誤.故選：ABC33．（2023·湖北省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，，B為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在圓上，若對(duì)于，存在數(shù)列，，使得，則下列說法正確的是（

）A．為公差為2的等差數(shù)列 B．為公比為的等比數(shù)列C． D．前n項(xiàng)和【答案】CD【解析】對(duì)AB，由點(diǎn)P在圓上，則由參數(shù)方程得，則，∴.對(duì)于，存在數(shù)列，，使得，即①，②，②①得，令，則，則是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.則，AB錯(cuò)；對(duì)C，，C對(duì)；對(duì)D，，，兩式相減得，.∴，D對(duì).故選：CD.34（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足為的前項(xiàng)和．則下列說法正確的是（

）A．取最大值時(shí)， B．當(dāng)取最小值時(shí)，C．當(dāng)取最大值時(shí)， D．的最大值為【答案】AD【解析】由題意知，則，因?yàn)?，所以，令，所以，所以，所以，即或，又，故．?dāng)取最大值時(shí)，，此時(shí)，則，，故，故A正確；當(dāng)取最小值時(shí)，，此時(shí)，則，，故，故B不正確；由，知，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故當(dāng)取最大值時(shí)，，此時(shí)，故C不正確，D正確．故選：AD35．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．B．若，則的最小值為C．取最小值時(shí)D．設(shè)，則【答案】AC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得：，解得，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若，則，即，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，但，所以的最小值不為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：令，解得，又因?yàn)?，可得的最后一個(gè)負(fù)項(xiàng)為第5項(xiàng)，且無零項(xiàng)，所以取最小值時(shí)，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，則，可得，兩式相減得：，所以，故D錯(cuò)誤；故選：AC.36．（2023·重慶·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列滿足，，的前項(xiàng)和為，則（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】由，，得，而，因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，，所以，B正確；由，A正確；，則有2，兩式相減得，D錯(cuò)誤；由，C錯(cuò)誤.故選：AB37．（2023·河南信陽·信陽高中?？寄M預(yù)測）若數(shù)列滿足（為正整數(shù)），為數(shù)列的前項(xiàng)和則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】，故A正確；由知，，兩式相減得，故，故當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列，故，故，故，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故，故D正確.故選：ABD.38．（2023·江蘇揚(yáng)州·儀征中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列滿足，則下列說法正確的是（

）A． B．C．的最小值為 D．【答案】ABD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，即，所以?shù)列為遞增數(shù)列，可得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋瑒t，兩邊平方整理得，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列且，則為遞減數(shù)列，所以為遞減數(shù)列，不存在最小值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，整理得，兩邊平方得，即，可得，所以，即，所以，故D正確；故選：A