2024年長沙市寧鄉(xiāng)實(shí)驗(yàn)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)總結(jié)性考試卷附答案解析

年長沙市寧鄉(xiāng)實(shí)驗(yàn)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)總結(jié)性考試卷（試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求．1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知圓錐的底面面積為，其側(cè)面展開圖的圓心角為，則過該圓錐頂點(diǎn)做截面，截面三角形面積最大值為（

）A． B． C．2 D．3．設(shè)數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，，則（

）A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列4．設(shè)函數(shù)，將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長度，再橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，所得的圖象與圖象重合，則（

）A．，B．，C．，D．，5．某學(xué)校高一年級學(xué)生有人，其中男生500人，女姓400人，為了獲得該校高一全體學(xué)生的身高信息，現(xiàn)采用樣本量按比例分配的分層抽樣方法抽取了容量為90的樣本，經(jīng)計(jì)算得男生樣本的均值為170，方差為19，女生樣本的均值為161，方差為28，則下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．男生樣本容量為50 B．抽樣時(shí)某女生甲被抽到的概率為C．抽取的樣本的均值為166 D．抽取的樣本的方差為436．如圖，設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，延長與橢圓交于點(diǎn)Q，若，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．7．設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且也是奇函數(shù)，當(dāng)，，若，則（

）A． B． C．1 D．8．已知，是圓上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知為復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．B．C．若，則D．若，則或10．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，，是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．拋物線的準(zhǔn)線方程為B．若，則線段AB的中點(diǎn)P到x軸的距離為1C．若直線AB經(jīng)過焦點(diǎn)F，則D．若，則直線AB過焦點(diǎn)F11．如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)P在線段運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段運(yùn)動(dòng)，則（

）

A．對任意的點(diǎn)P，有B．存在直線PQ，使C．PQ的最小值為D．過點(diǎn)P可以作4條直線與，均成角三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知向量，，若，則的值為．13．將5名大學(xué)生安排到3個(gè)不同的公司實(shí)習(xí)，要求每個(gè)公司至少有一名大學(xué)生，則不同的安排方式共有種．14．已知數(shù)列，，對任意正整數(shù)k，，，成等差數(shù)列，公差為k，則．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，∠A的平分線交BC于點(diǎn)D，且．(1)求A：(2)若，的周長為15，求AD的長．16．如圖，在四棱錐中，已知平面，直線與平面所成的角是，底面ABCD是菱形，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，PD的中點(diǎn)，Q是直線PC與平面AEF的交點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；(2)求三棱錐體積．17．某同學(xué)進(jìn)行定點(diǎn)投籃訓(xùn)練，設(shè)該同學(xué)每次投中的概率均為，且每次投籃互不影響．(1)若，該同學(xué)共進(jìn)行三次投籃，規(guī)定：第一-次投中得2分，第二次投中得2分，第三次投中得3分．記X為三次總得分，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)若該同學(xué)共進(jìn)行了次投籃，其中投中k次的概率為，記，請比較Q與的大小．18．已知函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且極大值點(diǎn)為．(1)求a的取值范圍；(2)若函數(shù)最大的零點(diǎn)為，求證：．19．已知雙曲線的離心率為，其頂點(diǎn)到雙曲線C的一條漸近線的距離為．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)設(shè)，，D為AB的中點(diǎn)，作AB的平行線l交雙曲線C于不同兩點(diǎn)P，Q，直線和分別與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，求證：M，N，D三點(diǎn)共線．1．C【分析】化簡集合A和集合B,再利用交補(bǔ)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，故選:C．2．C【分析】先求出圓錐母線長及半徑，再利用截面三角形為等腰直角三角形時(shí)面積最大求解.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為h，由題意，，，，，可得軸截面頂角大于90°，過該圓錐頂點(diǎn)做截面，當(dāng)截面三角形頂角為90°，即截面三角形為等腰直角三角形時(shí)面積最大，所以截面最大面積為，故選：C．3．D【分析】，兩邊取對數(shù)可得，進(jìn)而判斷是等比數(shù)列,列出數(shù)列前三項(xiàng)判斷AB.【詳解】由題意可知，，，兩邊取對數(shù)可得，即，且，故數(shù)列是首項(xiàng)是1，公比為2的等比數(shù)列，C錯(cuò)D對．易知，故既不是等差也不是等比數(shù)列，故AB錯(cuò).故選：D．4．A【分析】利用逆向變換，將函數(shù)的圖象先橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位長度，得到，即可求解.【詳解】可以先將函數(shù)的圖象先橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，函數(shù)解析式變?yōu)椋傧蜃笃揭苽€(gè)單位長度，得到的圖象，又，所以，，故選：．5．B【分析】根據(jù)分層抽樣計(jì)算規(guī)則氣促男生、女生樣本容量，再根據(jù)平均數(shù)、方差公式計(jì)算可得.【詳解】男生樣本容量為，則女生樣本容量為，故A正確；每個(gè)女生抽到的概率為，故B錯(cuò)誤；抽取的樣本的均值為，故C正確；抽取的樣本的方差為，故D正確.故選：B．6．D【分析】連接，，利用圓的性質(zhì)、橢圓的定義，結(jié)合勾股定理列式求解即得.【詳解】連接，，由P在以為直徑的圓上，得，設(shè)，則，由P、Q在橢圓上，得，，，在中，，解得，于是，，所以直線的斜率.故選：D7．B【分析】由是奇函數(shù)推導(dǎo)的圖象關(guān)于軸對稱，進(jìn)而推出函數(shù)的周期為4，進(jìn)一步求出a值即可求解.【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以，，．因?yàn)楫?dāng)，，所以，從而．因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，則則，令，則，得，即，故的圖象關(guān)于軸對稱，因此有，且，從而有，所以，故是周期為4的周期函數(shù)，又因?yàn)椋?，所以，故選：B．8．A【分析】先確定MN中點(diǎn)的軌跡為圓，再利用圓上的點(diǎn)到直線的最值求解.【詳解】由題設(shè)知，圓C的圓心坐標(biāo)，半徑為1，因?yàn)椋裕O(shè)P為MN的中點(diǎn)，所以．所以點(diǎn)P的軌跡方程為．其軌跡是以為圓心，半徑為的圓．設(shè)點(diǎn)M，N，p到直線的距離分別為，d，所以，，，所以．因?yàn)辄c(diǎn)C到直線的距離為，所以，即，所以．所以的取值范圍為．

故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查圓的軌跡方程，解決問題的關(guān)鍵是找到動(dòng)弦MN的中點(diǎn)軌跡為圓.9．ABD【分析】利用復(fù)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)判斷ABD,舉反例判斷C.【詳解】設(shè)，，因?yàn)椋?，所以，故A正確；又，，，所以，故B正確；取，，可得，故C錯(cuò)誤；若，由B選項(xiàng)知，所以或，可得或，故D正確；故選：ABD．10．BC【分析】由準(zhǔn)線方程判斷A,由焦半徑公式得進(jìn)而判斷B，聯(lián)立直線結(jié)合韋達(dá)定理判斷CD.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，故A錯(cuò)誤；由，根據(jù)拋物線定義得，則，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，即為點(diǎn)P到x軸的距離為1，故B正確；因?yàn)橹本€l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，顯然l的斜率存在，設(shè)l的方程為，與聯(lián)立消去y,整理得，所以，所以．若直線AB經(jīng)過焦點(diǎn)F，則，，故C正確；若，則，當(dāng)時(shí)，則直線AB過焦點(diǎn)F；當(dāng)時(shí)，則直線AB過點(diǎn)，故D錯(cuò)誤，故選：BC．11．AB【分析】對于A：根據(jù)題意分析可得平面，即可得結(jié)果；對于B：當(dāng)點(diǎn)P，Q分別是，的中點(diǎn)時(shí)，即可得；對于C：根據(jù)題意分析可知：PQ的最小值即為點(diǎn)到平面的距離，利用等體積法求點(diǎn)到面的距離；對于D：根據(jù)題意分析可知構(gòu)建正四面體分析判斷.【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)闉檎叫?，則，因?yàn)槠矫?，平面，則，且，平面，所以平面，由平面，所以，故A正確；

對于選項(xiàng)B：當(dāng)點(diǎn)P，Q分別是，的中點(diǎn)時(shí)，可知Q是的中點(diǎn)，所以，故B正確；

對于選項(xiàng)C：PQ的最小值即為異面直線，的距離，此時(shí)，，由正方形的性質(zhì)可知：，可得，且，平面，可得平面，PQ的最小值即為點(diǎn)到平面的距離，且，平面，平面，可得平面，可知點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，設(shè)為，因?yàn)椋?，解得，所以PQ的最小值為，故C錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)D：因?yàn)闉檎切?，以為底面?gòu)建正四面體，如圖所示：

可得正四面體為或（點(diǎn)關(guān)于平面對稱），在所得正四面體中僅有、，均與，成角，即空間中與，成角的直線一定與、，其中之一平行或重合，所以過點(diǎn)P可以作3條直線與，均成角，故D錯(cuò)誤；故選：AB．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對于D：根據(jù)夾角以及正方體的性質(zhì)，可以構(gòu)建正四面體，以正四面體為依托分析判斷.12．1【分析】將兩邊平方化簡可得，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】由，兩邊平方可得：，化簡可得得，所以，則．故答案為：113．【分析】先利用部分平均分組法將5名大學(xué)生分好組，再進(jìn)行分配即可得解.【詳解】依題意，5名大學(xué)生有兩類分組方法，即1，1，3和1，2，2兩種分法，若分成1人，1人，3人，則共有分組方法；若分成1人，2人，2人，則共有分組方法；將分好的三組安排到三個(gè)公司中共有種排法，所以所有的安排方法共有種方法．故答案為：.14．2501【分析】由累加法得到的表達(dá)式，再利用賦值法求解.【詳解】因?yàn)?，對任意正整?shù)k，，成等差數(shù)列，公差為k，所以．當(dāng)時(shí)，可得當(dāng)，時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，．故答案為：2501.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式求解及等差數(shù)列求和，關(guān)鍵是利用累加法求出的表達(dá)式，并正確賦值進(jìn)而求解.(1)(2)【分析】（1）正弦定理邊化角結(jié)合兩角和的正弦公式求解即可；（2）由余弦定理得，再利用等面積結(jié)合角分線性質(zhì)得.【詳解】（1）因?yàn)?，利用正弦定理可得：，即．因?yàn)?，所以，即，又，可得．?）因?yàn)?，，所以．在中，由余弦定理可得：，所以．又因?yàn)闉榻茿的平分線，所以，所以，即，所以．16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明平面PAD，得，再證明平面AEQF，結(jié)合面面垂直判定即可證明.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用得Q位置，再利用等體積求解即可.【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫矫?，所以，且為直線PC與平面所成的角，所以，因?yàn)槭橇庑?，，，故．所以，因?yàn)辄c(diǎn)F分別為的中點(diǎn)，，所以．因?yàn)辄c(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，，所以，又，所以，又平面，所以平面，又平面，所以．又平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）分別以所在直線為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，則，，設(shè)，則，設(shè)平面AEQF的一個(gè)法向量為，則，所以，?。?，得，解得，此時(shí)．因此點(diǎn)Q到平面的距離等于點(diǎn)C到平面的距離的，而點(diǎn)Q到平面的距離等于，又．于是．故所求三棱錐體積為．17．(1)分布列見解析，(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)題意可知，分別求出對應(yīng)的概率，列出其分布列，由數(shù)學(xué)期望的公式得出答案.（2）依題意，該同學(xué)2n投籃共投中X次，則,構(gòu)造與的二項(xiàng)式展開式，求出，從而得出答案.【詳解】（1）設(shè)事件分別表示第一次投中，第二次投中，第三次投中．根據(jù)題意可知．且，，，，．X的分布列為：X023457PX的數(shù)學(xué)期望．（2）依題意，該同學(xué)2n投籃共投中X次，則，且，．因?yàn)?，，兩式相加得：，所以．?dāng)時(shí)，；當(dāng)，且時(shí)，．18．(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合韋達(dá)定理分類討論進(jìn)行求解；（2）利用零點(diǎn)存在定理得出最大零點(diǎn)的大致區(qū)域，利用單調(diào)性證明大小關(guān)系.【詳解】（1）定義域?yàn)椋遥?dāng)或，即時(shí)，恒成立，此時(shí)在單調(diào)遞減，不存在極值，不合題意．當(dāng)時(shí)，在有兩個(gè)不等實(shí)根，即方程在有兩個(gè)不等實(shí)根，由韋達(dá)定理知，兩根之積為1，較大根即為，則較小根為，此時(shí)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是．（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，又因?yàn)?，且，令，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，故，從而在有唯一零點(diǎn)，即為函數(shù)的最大的零點(diǎn)為，所以．由（1）可知，，所以．令，則，所以在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即．由（1）可知，在上單調(diào)遞減，且，，因此，故．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的極值時(shí)，往往要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判定；函數(shù)的零點(diǎn)、不等式的證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問題處理，注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.19．(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式和雙曲線離心率定義及的數(shù)量關(guān)系式聯(lián)立方程組求解即得；（2）通過設(shè)出直線PA的方程與雙曲線方程聯(lián)立，消元后利用韋達(dá)定理求得點(diǎn)的坐標(biāo)，求得直線MD的斜率，利用將斜率式化簡為；接著同法求得點(diǎn)的坐標(biāo)和直線ND的斜率，簡化后得即可.【詳解】（1）設(shè)C的半焦距為，不妨設(shè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，C的一條漸近線方程為，即，所以．又，，解得，，，所以雙曲線C的標(biāo)