山西省太原市2023-2024學(xué)年度高二年級(jí)上冊(cè)期中學(xué)業(yè)診斷數(shù)學(xué)試卷【解析版】

山西省太原市2023-2024學(xué)年度高二上學(xué)期期中學(xué)業(yè)診斷

數(shù)學(xué)試卷【解析版】

說(shuō)明：本試卷為閉卷筆答，答題時(shí)間90分鐘，滿分100分.

一、選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.直線y=的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

2.橢圓三+y2=l的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

3

A.(±72,0)B.(0,±A/2)C.(±2,0)D.(0,±2)

3.圓入2+）2一4工+2>=0的圓心坐標(biāo)為（）

A.(-4,2)B.(4,-2)C.(-2,1)D.(2,-1)

4.已知〃=（1,—1,一2）,。=（一1,八2）,且則實(shí)數(shù)爪=（）

A.-5B.5C.-1D.1

5.直線工-尸。與直線x-y+2=0之間的距離是（）

A.克B.1C.J2D.2

2

6.己知直線/:(l+/l)x+y—2=0(/lwR),圓C:/+y2=4,則直線/與圓C的位置關(guān)

系是（）

A.相交B.相切C.相離D.不確定

7.如圖，正方體ABC。-AgGA的棱長(zhǎng)為2,E是CG的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線的

A.-B.叵C.-D.還

2255

22

8.己知橢圓C:5+（=l的左、右焦點(diǎn)分別為耳與，點(diǎn)M在C上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3,君），

則|施V|+|MF；|的取值范圍為（）

A.[回,4+#]B.[730,6+76]C.[4+血,6+布]

D.[6+跖9+同

二、選擇題（本題共4小題，每小題3分，共12分.在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得3分，部分選對(duì)的得2分，有

選錯(cuò)的得0分）

9.已知圓&:/+,=4與圓。2：尤2+/+以-4〉+尸=0關(guān)于直線/對(duì)稱，則下列說(shuō)法

正確的是（）

A.F=8B.圓G與圓C?相交

C.直線C?2的方程為彳->=。D.直線/的方程為％->+2=0

22

10.已知點(diǎn)片,鳥(niǎo)分別是橢圓c：L+匕=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在C上，則下列說(shuō)法正確

45

的是（）

A.|尸制的最小值為石一1B.橢圓C的離心率e=；

4

C.△尸￡月面積的最大值為石D.tan/月尸入的最大值為]

11.已知直線4：x+y=04：2x-3y—6=。，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.直線4與4相交于點(diǎn)]與，-

B.直線k4和*軸圍成的三角形的面積為g

C.直線6關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱的直線方程為2x-3y+6=0

D.直線4關(guān)于直線4對(duì)稱的直線方程為3x-2y+6=0

12.已知點(diǎn)尸在圓C:d+y2=i上，點(diǎn)。在/:氐7+3=0上，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.|尸。的最小值為g

B.|尸。|的最大值為g

C.過(guò)。作圓。的切線，切點(diǎn)分別為",N,則的最小值為平

D.過(guò)P作直線r,使得直線r與直線/的夾角為30。，設(shè)直線r與直線/的交點(diǎn)為T,則

歸刀的最大值為5

三、填空題（本題共4小題，每小題3分，共12分）

13.直線x-y+l=。在無(wú)軸上的截距為.

14.已知a=（l,0,l）,b=（l,l,0）,則向量4與6的夾角為.

15.已知點(diǎn)/是直線x=4上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N在線段QW上（。是坐標(biāo)原點(diǎn)），且滿足

|OM|.|O^|=16,則動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程為.

16.已知橢圓C:土+y2=l的左，右頂點(diǎn)分別為4，4,動(dòng)點(diǎn)尸在C上（異于點(diǎn)4）,點(diǎn)

4

。是弦人尸的中點(diǎn)，貝Utan/QAA的最大值為.

四、解答題（本題共5小題，共52分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或

演算步驟）

17.已知ASC的三個(gè)頂點(diǎn)A（-2,0）,B（2,-2）,C（0,2）,分別是A氏的中點(diǎn).

（1）求直線DE的一般式方程；

⑵求邊A3的垂直平分線的斜截式方程.

18.如圖，四面體0ABe各棱的棱長(zhǎng)都是1,D是A8的中點(diǎn)，E是C￡>的中點(diǎn)，記

OA=a,OB=b,OC=c.

⑴用向量a,方,c表示向量OE;

（2）利用向量法證明：OELAB.

19.已知圓/的圓心在x軸上，且經(jīng)過(guò)4（0,1）和川3,2）兩點(diǎn).

（1）求圓M的一般方程；

⑵求圓M與圓三+尸-4丁+3=0的公共弦的長(zhǎng).

20.已知橢圓。：4+[=1（°>8>0）的離心率是也，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（0,1）.

(1)求橢圓C的方程;

⑵若過(guò)點(diǎn)p(2,l)的直線/與橢圓C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)民C,直線AB,AC分別與X軸

相交于點(diǎn)證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn).

21.如圖，在幾何體ABCG片中，△48C是邊長(zhǎng)為2的正三角形，D,E分別是AC”CB,

的中點(diǎn)，BB\HCG，CCJ平面ABC,CC1=2.

⑴若求證：CD，平面ABg；

(2)若平面ABG與平面ABC夾角的余弦值為寺,求直線OE與平面A4G所成角的正

弦值.

1.c

【分析】根據(jù)直線的斜率求得傾斜角.

【詳解】直線y=的斜率為-石，

所以直線的傾斜角為120。.

故選：c

2.A

【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求得J從而確定正確答案.

【詳解】橢圓二十寸=1的焦點(diǎn)在x軸上，

3

=3,Z?2=l,c=yja2—b2=y[2，

所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為

故選：A

3.D

【分析】將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求得圓心坐標(biāo).

【詳解】圓f+y2—4x+2y=0可化為(%—2)2+(y+l)2=5,

所以圓心坐標(biāo)為(2,-1).

故選：D

4.A

【分析】根據(jù)向量垂直列方程，化簡(jiǎn)求得加的值.

【詳解】由于“_L-所以〃?/?=—1一加一4=0,機(jī)=一5.

故選：A

5.C

【分析】根據(jù)兩平行直線間的距離公式求得正確答案.

【詳解】依題意，直線%-y=。與直線％->+2=0之間的距離是:

42-。|

二后.

JF+(T)

故選：C

6.A

【分析】求出直線所過(guò)定點(diǎn)，再根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷即可.

【詳解】已知直線，：（1+幾）無(wú)+y-4=0（XeR）,變形為（x+y）+X（x-l）=O,

\x+y=0fx=l,、

由即直線恒過(guò)定點(diǎn)（1,-1），

代入圓的方程的左端有廿+（-1『=2<4,即點(diǎn)在圓內(nèi)，

所以直線與圓相交，

故選：A

7.D

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得正確答案.

【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

ZA（o,0,2）,E（0,2,1）,A（2,0,0）,￡>^=（0,2,-1）,0^=（2,0,-2）,

所以點(diǎn)A到直線RE的距離為j（AA）2一爺彳邑J一周、哈

8.B

【分析】根據(jù)橢圓的定義轉(zhuǎn)化|肱v|+|g|,結(jié)合三點(diǎn)共線來(lái)求得|MN|+眼團(tuán)的取值范圍.

【詳解】依題意，a=3,b3c=2,4（-2,0）,乙（2,0）,N（3,如），

質(zhì)|=>+（肩=",|啊=，52+（肩=回,

所以|MN|+|M可>|N^|=730,當(dāng)M位于線段NF1與橢圓交點(diǎn)M2處時(shí)等號(hào)成立.

根據(jù)橢圓的定義可知|回+|嗎|=|肱V|+2a-|噂|=6+|肱V|-|此|,

如圖所示，設(shè)叫的延長(zhǎng)線與橢圓相交于

則當(dāng)M位于M時(shí)，6+|肱V|-|摩|取得最大值為6+|叫|=6+?,

綜上所述，WM+|阿|的取值范圍為[a,6+&].

【點(diǎn)睛】在橢圓中，求解橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)、定點(diǎn)的距離的和或差的最值，可以考慮通過(guò)橢

圓的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后結(jié)合三點(diǎn)共線來(lái)確定最值.在解題過(guò)程中，要畫出對(duì)應(yīng)的圖象，結(jié)

合圖象來(lái)進(jìn)行求解.

9.BD

【分析】根據(jù)對(duì)稱性求得/，然后根據(jù)兩個(gè)圓的位置關(guān)系對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答

案.

【詳解】圓&：/+產(chǎn)=4的圓心為《0，0），半徑4=2,

圓。2：X2+9+4無(wú)一4〉+尸=0即(*+2)2+(丫一2)2=8—/，

8-F>0

根據(jù)對(duì)稱性可知行了=2,解得尸=4,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

此時(shí)C2：(x+2y+(y-2)z=4,圓心為G(—2,2),半徑々=2.

么一R=0"+弓=4,

由于|GC?|=，2?+22=2及?0,4),所以兩圓相交，B選項(xiàng)正確.

2

直線的方程>=F%=-羽％+>=0,所以c選項(xiàng)錯(cuò)誤.

線段GG中點(diǎn)坐標(biāo)為(-U),直線GC?斜率為_(kāi)i,

所以直線/的方程為y—l=lx(x+l),x-y+2=。，所以D選項(xiàng)正確.

【分析】根據(jù)橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率、三角形面積、余弦定理、三角恒等變換等知

識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】橢圓C:?+'=1,a=y/5,b=2,c=l,2。=2點(diǎn),國(guó)鳥(niǎo)|=2°=2,

￡(0,-1)設(shè)尸?/),-75<J<75,則；=,

則|「周=卜+仃+了=,20；,+產(chǎn)+24+1=Jg『+2y+5,

函數(shù)/(y)=gV+2y+5在［一石，君］上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)y=一石時(shí)，戶周取得最小值也_國(guó)一2布+5=76-275==A/5-1,

所以A選項(xiàng)正確.

橢圓的離心率可弓=3所以B選項(xiàng)錯(cuò)諛

由于閨鳥(niǎo)1=2為定值，所以當(dāng)尸位于橢圓的左右頂點(diǎn)時(shí),

三角形尸耳工的面積取得最大值為gx2x2=2,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

=陷「+|P底-閨國(guó)2=(附㈤尸用丫-4一2附卜|尸引

設(shè)/與產(chǎn)工=0,

2附卜尸42附“即|

=(24一4一2尸胤.|尸引=8_］z8=8_1=3

一2|尸耳卜尸閶］|P周+|尸引］-5-5,

當(dāng)且僅當(dāng)|尸耳|=歸同=6時(shí)等號(hào)成立，即cos夕的最小值為|,

當(dāng)cos。取得最小值時(shí)，。取得最大值，此時(shí)。為銳角，sin6=Vl-cos20=-1,

4

c4

所以此時(shí)tan。也取得最大值，且tan。的最大值為母=￡,所以D選項(xiàng)正確.

5

故選：AD

11.AC

【分析】通過(guò)聯(lián)立方程組求得交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合三角形的面積、對(duì)稱性等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析,

從而確定正確答案.

【詳解】由八解得了=3=一?，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為信，-色，A選項(xiàng)正確.

[2x-3y-6=055<55J

直線/2：2苫-3尸6=。與喈由的交點(diǎn)為（3,0）,與，軸的交點(diǎn)為（0,-2）,

直線4過(guò)原點(diǎn)，由圖可知，直線4、4和x軸圍成的三角形的面積為/x3x1=：,

所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

由上述分析可知，直線4關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱的直線過(guò)點(diǎn)（-3,0）,（0,2）,

2-0

所以直線4關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱的直線方程為，-2=西行（x-0）,2x-3y+6=0,

所以C選項(xiàng)正確.

點(diǎn)（3,0）關(guān)于直線x+y=。的對(duì)稱點(diǎn)是（0,-3）；

點(diǎn)（0,-2）關(guān)于直線x+y=0的對(duì)稱點(diǎn)是（2,0）,

所以直線6關(guān)于直線4對(duì)稱的直線方程為|+=

即3元-2y-6=0,所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC

12.ACD

【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、圓與圓的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)等知識(shí)

對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】圓C:W+y2=i的圓心為（0,0）,半徑為1,

圓心（0,0）到直線/:瓜-、+3=0的距離為5>1,直線和圓相離，

所以|尸。|的最小值為:-1=；,A選項(xiàng)正確.

由于Q是直線/上任意一點(diǎn)，所以|尸。|沒(méi)有最大值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)于D選項(xiàng)，由于直線少與直線/的夾角為30。，

所以歸刀等于P到直線/的距離的2倍，

所以|「刀的最大值為g+l[x2=5,D選項(xiàng)正確.

對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)°卜,后+3）,OQ的中點(diǎn)為約],

|OQ|=Jt2+(?+3)2="〃+6疝+9,

所以以變］為圓心，㈣為半徑的圓的方程為

、22)2

整理得丁+丁―比一("+3)y=0,

由V+,2-1=0、%2+y2—tx—+3)y=0兩式相減并化簡(jiǎn)得tx+〈Mt+3)y—1=0,

即直線MV的方程為江+("+3)y—l=0,

1_1

(。,0)至值線及+(后+3)。-1=0的距離為“+("+3丫="入6e+9，

所以附叫=2/-7小

對(duì)于函數(shù)y=4/+6"+9,4=108—144=一36<0,

所以>=4〃+6后+9>0恒成立，^t=--=-—^,

.84

l915

所以,=4/+6月+97，所以1一步+6疝+9行

所以|削|22%=￥^

所以C選項(xiàng)正確.

故選：ACD

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線和圓的位置關(guān)系有關(guān)題目，主要的方法是數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想

方法，根據(jù)圖象以及圓的幾何性質(zhì)來(lái)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行研究.求解圓與圓相交所得弦長(zhǎng)，可利用兩

個(gè)圓的方程相減來(lái)求得相交弦所在直線方程.

13.-1

【分析】根據(jù)截距的知識(shí)求得正確答案.

【詳解】由x-y+l=O,令y=o,解得尸-1,

所以直線x-y+l=O在x軸上的截距為T.

故答案為：-1

【分析】根據(jù)向量的夾角公式求得正確答案.

/.\a-b11

【詳解】3《涉）=麗=后方二，

貝心可為銳角，所以$

故答案為：—

15.（X-2）2+/=4（0<x<4）

【分析】設(shè)出M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由|竊0|?|。網(wǎng)=16以及O,N,M三點(diǎn)共線求得正確答案.

【詳解】設(shè)M（4j）,reR,設(shè)N（x,y）,依題意可知0<xW4,

由于O,N,M三點(diǎn)共線，所以:=』,/="，則生］,

4xxVx）

由于=16,所以J16+鷺I(yè)xJ777=4.E2x歷丁="/+y）=肺,

V%Nxx

整理得x2+y2_4x=0,(x_2y+y2=4(0<x<4).

2

故答案為：(%-2)+/=4(0<X<4)

【分析】設(shè)出尸點(diǎn)坐標(biāo)，求得。坐標(biāo)，進(jìn)而求得tan/QA4的表達(dá)式，并利用三角恒等變換、

基本不等式等知識(shí)求得tan/QA4的最大值.

【詳解】依題意A（-2,0）,4（2,0）,設(shè)尸（2cosasin。）,

根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，以及題目所求“tan/Q44的最大值”，不妨設(shè)。€（0,兀）,

r,2+2cos6sin6)(sin8、

則Q［一Lgpell+cos6>,^-I,

?.eo.ee

sin。12sin—cos—1sin—cos—

l_____2__l_2__2

所以tan/QAA=21sin。=x=x

=—x---------23+2COS2--1212?

1+cos0+223+cos01+cos—

22

X------------7^-----------....—=—X----------聲——="X---------------------—

.2?S2。2,2no2,篤2

sin--Fzcos—tan—+2tan—H------

2222…

11,111V2

28

由于tang>0,所以由基本不等式可得2tang+:2|tan-x-

22.血5V9tan56

0202tan

當(dāng)且僅當(dāng)tan彳=--,tan彳=忘,tan6=-------%=-20時(shí)等號(hào)成立.

2tan221an"

22

【點(diǎn)睛】在橢圓中，求解最值有關(guān)問(wèn)題，如線段長(zhǎng)度、面積、角度等量的最值，可考慮先求

得其表達(dá)式，然后根據(jù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)選取合適的求最值的方法來(lái)進(jìn)行求解，如本題中，利用

三角換元，然后結(jié)合基本不等式來(lái)求.還可以考慮二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)來(lái)

進(jìn)行求解.

17.(l)A-y-l=0

⑵y=2尤一1

【分析】（1）求得的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線DE的方程并轉(zhuǎn)化為一般式方程.

（2）求得垂直平分線的斜率，進(jìn)而求得其斜截式方程.

【詳解】（1）由于，E分別是的中點(diǎn)，所以￡＞（0,—l）,E（l,0）,

所以磯=1，直線DE的方程為＞=xT,即x-y-l=0.

（2）k=_2＞所以邊AB的垂直平分線的斜率為2,

AB2_^_2p

所以邊AB的垂直平分線的斜截式方程為y=2尤-1.

⑵證明詳見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求得正確答案.

(2)通過(guò)證明OE.AB=0來(lái)證得結(jié)論成立.

【詳解】(1)連接0。，貝IJOE=LOC+LOD=4OC+LXLX(OA+OB

-171

=-OA+-OB+-OC=-a+—b+—c

442442

⑵AB^OB-OA=b-a，

所以O(shè)E.A8=L+L-

,144

1,1,-211211

=—a'b+—b+-b-c——(d—a?b—ci,c

442442

121-1-21

=—b+—b'C——a——a?c

4242

117111八

=—+—xcos-------xcc)s—71=0,

423423

所以

19.(l)x2+y2-4x-l=0

⑵0

【分析】（1）通過(guò)求圓心和半徑來(lái)求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再轉(zhuǎn)化為一般方程.

（2）先求得公共弦所在直線方程，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式以及勾股定理求得公共弦長(zhǎng).

【詳解】（1）設(shè)由|,「=忸回2得〃+12=（。-3）2+22,解得0=2,則“（2,0）,

|4〃「=儲(chǔ)+1=5,所以圓加的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）2+yJ5,半徑為百，

所以圓”的一般方程為/+12_?-1=0.

（2）圓d+/-4y+3=0即d+（y-2）2=l,圓心為（0,2）,半徑為1,

（2,0）,（0,2）兩點(diǎn)的距離為2a,而拜1<2瓜國(guó)1,所以兩圓相交，

由犬+9-4x-l=0、x?+y2-4y+3=0,

兩式相減并化簡(jiǎn)得x-y+i=o,

M（2,0）到直線X-y+1=0的距離為2%"=A,

所以公共弦長(zhǎng)為29萬(wàn)

20.(1)—+/=1

(2)證明詳見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)已知條件求得"c,從而求得橢圓C的方程.

（2）設(shè)出直線/的方程并與橢圓方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)直線A氏AC求得

兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算出線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn).

cA/3

a2

【詳解】（1）依題意，解得a=2/=l,c=石，

a2=b2+c2

所以橢圓。的方程為上+丁=1.

4

（2）依題意，過(guò)點(diǎn)P（2,l）的直線/與橢圓C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)

畫出圖象如下圖所示，由圖可知直線/的斜率上存在，且左＞0,

設(shè)直線/的方程為y_l=%（x_2）,y=笈（x_2）+l,

y=A:(x-2)+l

由X22?7肖去y并化簡(jiǎn)得（1+442）了2+（8左一1642）工+1642—16人=。

——+y=1

14'

A=(8左一16%2y_4(1+4Z?)(16/_16左)=64左>0,

設(shè)3（4另）,C（孫力），則占+々=塔泮，演馬=呼二腎,

1?4/C1?4/C

而4（0,1）,所以直線AB的方程為y="^x+l,令k0,解得與=占,

X]1%

同理可求得/=產(chǎn)，

1-%

則…告六=幣在時(shí)百啟洞

_xx+x2_1X"1+"2

左（2—%,）左（2—％）k（2—玉2—x2?

1%（2—%2）+%2（2—玉）2（玉+%2）—玉％2

k（2—%）（2—%）k4—2（%j+x2）+x1x2

f16k2-Sky_16——16%8k

2x、11+4公廠1+4公=2,二!^

I（16^-8^^16公-16k14

一11+4公廣1+4左2]+46

所以線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)（2,0）.

【點(diǎn)睛】要求橢