2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)練35　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)

微專題35導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)

高考定位導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)問題是高考的熱點(diǎn)題型.常見題型：⑴判斷、證明或

討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)已知零點(diǎn)存在情況求參數(shù)范圍；(3)函數(shù)零點(diǎn)性質(zhì)研究.

真題研析類題突破研真題析類題

［高考真題］(2022?全國乙卷節(jié)選)已知函數(shù)|光)=Or-}-(α+l)ln乂若/(x)恰有一個(gè)

零點(diǎn)，求。的取值范圍.

解由j(x)=aχ-~-(a+I)InX(X>0),得］=("~~1］~~

(x>0).

?--X

當(dāng)α=0時(shí)，f(.x)=~y~,

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，/(x)>0,當(dāng)九∈(1,+8)時(shí)，/(χ)<o,

所以7U)max=y∏)=—1<o,

所以yu)不存在零點(diǎn)；

a(?-?)(%—1)

,a

當(dāng)lα<0時(shí)，/(%)=-------丁-------,

若x∈(0,1)時(shí)，/(x)>0,/)單調(diào)遞增，

若x∈(l,+8)時(shí)，F(xiàn)(χ)VO,貝x)單調(diào)遞減,

所以yζx)max=∕U)=α-1<0,

所以40不存在零點(diǎn)；

當(dāng)α>0時(shí)，/(%)=-------M-------,

當(dāng)a=1時(shí)，/(x)20,./(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，因?yàn)槿耍?=a—1=0,

所以函數(shù)7(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)α>ι時(shí)，o<5vι,故7U)在(O,?),(1,+8)上單調(diào)遞增，在《，1)上單調(diào)遞

減.

因?yàn)榱xl)=α-l>O,

所以∕?)>∕U)>o,

當(dāng)Xfo'時(shí)，./(x)f—8,

由零點(diǎn)存在定理可知7U)在(0,；)上必有一個(gè)零點(diǎn)，

所以滿足條件；

當(dāng)OVaVI時(shí)，5>1,故段)在(0,1),(?+8)上單調(diào)遞增，在(1,%上單調(diào)遞

減.

因?yàn)閥o)=a—1V0,所以y?)PU)V0,

當(dāng)Xf+8時(shí)，y(χ)f+oo,

由零點(diǎn)存在定理可知人X)在(1,+8)上必有一個(gè)零點(diǎn)，

即OVaVl滿足條件；

綜上，若火x)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則”的取值范圍為(O,+∞).

樣題1(2022?合肥質(zhì)檢改編)證明：函數(shù)式x)=d—2sinχ-l在區(qū)間(0,兀)上有且僅

有一個(gè)零點(diǎn).

證明?.?∕(x)=x2-2SinX—1,x∈(0,兀)，

.*.∕(x)=2χ-2cosX,

??.∕(x)在區(qū)間(0,%)上單調(diào)遞增.

,?詞=2『郛0,

咯)=2傳—0)>0,

,.(Tl兀、，一口

.?.存在XO∈g,2)'使得/(龍。)=0?

當(dāng)x∈(0,祀)時(shí)，/(x)<0,人龍)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(xo,兀)時(shí)，/(x)>0,7U)單調(diào)遞增.

注意到式0)=—IVO,Λπ)=π2-l>O,

二函數(shù)T(X)在區(qū)間(0,兀)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

樣題2(2022?青島模擬改編)設(shè)函數(shù)TU)=InX+2f-5x,若關(guān)于X的方程/(x)=2f

十(加-6)尤在區(qū)間口，e2］上有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

解由/(x)=2Λ2+(m-6)X得InX=("2-l)x,

InY

又x>0,所以一：=〃?一1,

要使方程?x)=2^+(/77-6)X在區(qū)間［1,上有唯一實(shí)數(shù)解，

InY

只需"2=1+丁在區(qū)間［1,e?］上有唯一實(shí)數(shù)解.

Inγ

令g(x)=l+嗔-(尤>0),

-1—?nX

則g'(x)=F5—，

由g{x)20,得l≤x≤e;

由g<x)WO,得e≤x≤e2,

.?.g(x)在區(qū)間［1,e］上單調(diào)遞增，在區(qū)間［e,e4上單調(diào)遞減,

.?.當(dāng)x=e時(shí)函數(shù)g(x)有最大值，且最大值為g(e)=l+1.

2

又g(l)=l,g(e2)=l+/

二當(dāng)，”=1+￡或1W”?Vl+1時(shí)，，”=1+?在區(qū)間［1,e2］上有唯一實(shí)數(shù)解，

二實(shí)數(shù)m的取值范圍為，詞lWm<l+∣或加=1+：］.

...........................2

樣題3(2022?湖北七市聯(lián)考)已知函數(shù)#x)=InX+1-2,^(Λ)=Λ1Πχ-ajσ~x+?.

(1)證明：函數(shù)7U)在(1,+8)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

⑵假設(shè)存在常數(shù)2>1,且滿足7U)=0,試討論函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

12Y—2

(1)證明./0)的定義域?yàn)?0,+∞),求導(dǎo)，得了(X)=F—9=：一,

令1(X)=。，則x=2,

所以，當(dāng)x∈(0,2)時(shí),F(x)V0,丸力單調(diào)遞減,

當(dāng)x∈(2,十8)時(shí)，/(χ)>o,y(χ)單調(diào)遞增，

因?yàn)?1)=0,X2)=ln2-l<θ,

∕e2)=2+?-2>0,

結(jié)合單調(diào)性，./U)在(1,+8)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

(2)解令g(x)=0,即JdnX—ox2—x+1=0,

從而有0x=lnχ-1+二

X

令φ(x)=?nX—1÷^x>0),

?

從而g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于y=cιx與9(元)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),

/11元一1

Sa)=Im=丫，

令d(X)=0,得X=1,

所以9(x)在(O,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增,且磯χ)min=e(D=0,

當(dāng)。=0時(shí)，直線y=αr與S(X)圖象有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)“V0時(shí)，直線y=0x經(jīng)過二、四象限，與夕(X)圖象無交點(diǎn)，

當(dāng)α>0時(shí)，直線y=0x經(jīng)過一、三象限，與s(x)圖象至少有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)直線y=ax與磯X)圖象相切時(shí)，

設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為XO,

1=…)=~?,

則1I

ax。=InXo—1+—,

IXO

2

即有Inx+—-2=0,從而Xo=九

0?o

...11λ~1

此時(shí)a=y-^2=^2->0,

χ一?

所以，當(dāng)a=jh時(shí)，直線y=0r與磯x)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

χ-?

當(dāng)OVaV二P一時(shí)，直線y=0x與S(X)圖象有三個(gè)交點(diǎn)，

χ一j

當(dāng)a>——時(shí)，直線y=0x與SQ)圖象有一個(gè)交點(diǎn)，

綜上所述，當(dāng)qV0時(shí)，g(x)沒有零點(diǎn)，

χ-j

當(dāng)OVaV丁時(shí)，g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，

χ一］

當(dāng)時(shí)，g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，

2—1

當(dāng)或。=O時(shí)，g(x)有一個(gè)零點(diǎn).

規(guī)律方法1.三步求解函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的個(gè)數(shù)問題.

第一步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與X軸(或直線y

=Z)在該區(qū)間上的交點(diǎn)問題；

第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性、極值(最值)、端點(diǎn)值等性質(zhì)；

第三步：結(jié)合圖象求解.

2.已知零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍：(1)結(jié)合圖象與單調(diào)性，分析函數(shù)的極值點(diǎn)；(2)依

據(jù)零點(diǎn)確定極值的范圍；(3)對于參數(shù)選擇恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)進(jìn)行討論.

訓(xùn)練1已知函數(shù)/U)=a(x—2)ev+(X-I)2,a>Q,α∈R,證明：函數(shù)y=∕(x)有兩

個(gè)不同的零點(diǎn)?

證明由題知f(x)=a(x-l)e'+2(x—I)=(X-I)(aev÷2),

當(dāng)”>0時(shí)，tzeA+2>0,

由/(x)<0得x<l,

所以?x)在(-8,1)上為減函數(shù)，

由/(x)>O得x>l,

所以/U)在(1,+8)上為增函數(shù)，

而y∏)=-αe<O,Λ2)=l>0,

所以在(1,+8)上有唯一零點(diǎn)，

且該零點(diǎn)在(1,2)上.

取b<Q,且XIn

則型尸處-2W+S-1)2*S-2)+(-1)2=6-|b0,

所以HX)在(-8,1)上有唯一零點(diǎn)，

且該零點(diǎn)在屹，1)上，

所以當(dāng)">o時(shí)，yu)恰好有兩個(gè)零點(diǎn).

訓(xùn)練2(2021?全國甲卷節(jié)選)已知?！?且αWl,函數(shù)火X)=*(x>0),若曲線y=√(x)

與直線y=l有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求。的取值范圍.

4力zv/VInXlna

解∕χ)=-=1=∕=fQxlna=a?nX=-T-

InY

設(shè)函數(shù)g(x)=q-(x>0),

I-Inx

則g'(X)=--，

令g<x)=O,得x=e,

在(0,e)±,g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增；

在(e,+∞)±,g'(x)<O,g(x)單調(diào)遞減,

???g0)max=g(e)=(,

又g(l)=0,當(dāng)Xf+8時(shí)，g(χ)-*O,

曲線y=∕ζχ)與直線y=l有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，

即曲線y=g(x)與直線y=乎有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是0<?β<7,

ClClC

即是O<g(α)<g(e),

.?.α的取值范圍是(1,e)U(e,+∞).

高分訓(xùn)練對接高考重落實(shí)迎高考

一、基本技能練

1.已知函數(shù)y(x)=x3-依十斤.

(1)討論大χ)的單調(diào)性；

(2)若7U)有三個(gè)零點(diǎn)，求Z的取值范圍.

解(l)∕(x)=x3-?x+?2,/(X)=3Λ2-左，

當(dāng)ZWO時(shí)，/(x)≥0,犬尤)在R上單調(diào)遞增，

當(dāng)%>0時(shí)，令『(九)>0,

解得XV-^?y∣或χ>?g,

令了(X)V0,解得一^?j∣<χ<^?y∣,

綜上，當(dāng)ZWO時(shí)，.*X)在R上單調(diào)遞增j

當(dāng)上>o時(shí),凡。在(一8,-?∕D和+8)上單調(diào)遞增，在(一?"J∣,y∣j上

單調(diào)遞減.

(2)由(1)得當(dāng)k>0時(shí)，兀D極小僮=/(\電，./U)技大值=d一"

若/(χ)有三個(gè)零點(diǎn)，

p>o,

/A但l<rn4

解得女<，

"0<2/

F羽>?！?/p>

故Z的取值范圍為(o,?).

2.(2022?石豕莊模擬改編)若函數(shù)fix)—Cix^—Inx—x有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)α的取值

范圍.

解由題可得，若函數(shù)人力有兩個(gè)零點(diǎn)，

則方程lnx+χ-0r2=0有兩個(gè)不等實(shí)根，

x+InX

即a=-h^(?r>°)有兩個(gè)不等實(shí)根?(*)

x+lnx

令am(x)=-p—

1—九一2InX

則mr(x)—

令Z(X)=I—x—2InX,

2

則kf(x)=—1—-<0對Vx>0恒成立,

.?.?(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

又網(wǎng)D=O,，當(dāng)尤￡(0,D時(shí),MX)>0；

當(dāng)x∈α,+8)時(shí)，Za)<o,

，相⑴在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減,

??加(X)max=m(I)=L

當(dāng)x>l時(shí)，InX>0,m(x)>0,

若(*)成立，則4G(0,1).

1,1-1

--Hn-ee-1

-戌-7<0，

2,2m22

-÷ln-

aαaaaq

卜---∏<∏a,

022聯(lián)W

.?.當(dāng)α∈(0,D時(shí),∕n(x)=α在(0,1),(1,+8)上各有一個(gè)根.

綜上，實(shí)數(shù)α的取值范圍是(0,1).

3.(2022?廣州模擬)已知函數(shù).*》)=爐+$血1χ-cosx,/(x)為式x)的導(dǎo)數(shù).

(1)證明：當(dāng)XNo時(shí)，/(九)22；

(2)設(shè)gθ)=/U)—2》一1,證明：g(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

證明(1)由/(x)=e'+cosx+sin》,

設(shè)//(%)=e'+cosx+sinx,

貝!]Λ,(x)=ev-sinx+cosx,

當(dāng)x20時(shí)，設(shè)Pa)=e*-χ-1,q(x)=九一sinx,

?.?p'(x)=e*-120,q'(x)=1—cosXe0,

.?.p(χ)和g(χ)在[0,+8)上單調(diào)遞增，

.?.p(x)2p(0)=0,q(x)2q(0)=0,

當(dāng)x20時(shí)，e*2x+l,XeSinx,

貝!］h'(x)=ev-sinx÷cosx>x+1—sinx+cosX=(無一sinX)+(1+cosX)20,

函數(shù)Λ(x)=ev÷cosx÷sinx在［0,+8)上單調(diào)遞增，

Zz(X)NZz(O)=2,

即當(dāng)XBO時(shí)，/(x)22.

(2)由已知得^(x)=ev÷sin%—cosx~2x~1,

①當(dāng)x20時(shí)，

???g'(x)=e"+cosΛ÷sinχ-2=∕(Λ)-2≥0,

.?.g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增,

又?.?g(0)=-l<0,g(π)=eπ-2π>0,

.?.由零點(diǎn)存在定理可知g(x)在［0,+8)上僅有一個(gè)零點(diǎn)，

,2-sinx-cosx

②當(dāng)x<0時(shí)，設(shè)〃?(X)=-------晟------，

2(sinx—1)一

貝Im'(x)-最≤θ>

.,.根(%)在(一8,0)上單調(diào)遞減，

.*.m{x}>m(G)—1,

.".e'+cosx+sinx-2<0,

.?.g'(x)=e*+cosx+sin?-2<0,

.?.g(x)在(一8,0)上單調(diào)遞減，

又Yg(O)=—1<0,^(-π)=eπ+2τι>0,

.?.由零點(diǎn)存在定理可知g(x)在(-8,0)上僅有一個(gè)零點(diǎn)，

綜上所述，g(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

二'創(chuàng)新拓展練

4.(2022?成都二診改編)已知函數(shù)√(x)=x+2-(α-I)InX—2,其中α∈R,討論?r)

在區(qū)間［1,e4上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

5(x÷l)(χ-<z)

解Λχ)=p(χ>0)?

(1)當(dāng)αWl時(shí)，/(x)20在口，e"上恒成立，Tu)在［1,e?］上單調(diào)遞增.

VΛD=a-l≤0,Λe2)=e2+4-2α,

①當(dāng)α≤0時(shí)，/(e2)=e2+^—2?

=e2+^^-2^j>0;

②當(dāng)0<αWl時(shí)，Λe2)=e2+^-2α>2√o-2Λ=2√