2023年山東各地數(shù)學(xué)中考一模試題匯編含詳解16 幾何綜合壓軸

專題16幾何綜合壓軸

一.解答題（共20小題）

1.（2023?墾利區(qū)一模）如圖1,在ΔABC中，NABC=45。，AZ）I.BC于點O,在AM上取點E,使DE=Z）C,連

接BE、CE.

（1）直接寫出CE與AB的位置關(guān)系；

（2）如圖2,將ABED繞點。旋轉(zhuǎn)，得到48ET）（點9、￡分別與點8、E對應(yīng)），連接C￡、AB',在MED

旋轉(zhuǎn)的過程中CE與AB，的位置關(guān)系與（1）中的CE與/W的位置關(guān)系是否一致？請說明理由；

（3）如圖3,當(dāng)ΔβE。繞點。順時針旋轉(zhuǎn)30。時，射線CE與4）、A方分別交于點G、F,若CG=FG,DC=B

求A9的長.

2.（2023?利津縣一模）（1）如圖1,已知：在AABC中，Zβ4C=90o,45=AC,直線機經(jīng)過點A,3￡＞_L直線機，

CEI.直線機，垂足分別為點。、E.證明：DE=BD+CE.

（2）如圖2,將（1）中的條件改為：在ΔABC中，AB=AC,D、A＞E三點都在直線機上，并且有

NBDA=NAEC=NBAC=a,其中α為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論DE=8D+CE是否成立？如成立，請你給出證

明；若不成立，請說明理由.

（3）拓展與應(yīng)用：如圖3,D、E是￡＞、A、E三點所在直線，"上的兩動點（￡＞、A、E三點互不重合），點F為

N84C平分線上的一點，且AAB尸和AAC尸均為等邊三角形，連接班＞、CE,若NBD4=NAEC=NS4C,試判斷

ΔDEF的形狀并說明理由.

3.（2023?寧陽縣校級一模）已知，ΔABC為等邊三角形，點。在邊BC上.

【基本圖形】如圖1,以AD為一邊作等邊三角形ΔADE,連結(jié)CE.可得CE+CZ）=AC（不需證明）.

【遷移運用】如圖2,點尸是AC邊上一點，以。尸為一邊作等邊三角ΔDEF.求證：CE+CD=CF.

【類比探究】如圖3,點F是AC邊的延長線上一點，以上為一邊作等邊三角AD￡7L試探究線段CE,CD,CF

三條線段之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的結(jié)論并說明理由.

圖1圖2圖3

4.(2023?博山區(qū)一模)在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，同學(xué)們對菱形的折疊問題進行了探究.如圖(1),在菱形A88中，

NB為銳角，E為BC中點,連接OE,將菱形ABS沿DE折疊，得到四邊形ABZED,點A的對應(yīng)點為點4,點

3的對應(yīng)點為點".

(1)【觀察發(fā)現(xiàn)】A。與是什么位置關(guān)系？

(2)【思考表達】連接夕C,判斷“EC與NB(CE是否相等，并說明理由；

(3)如圖(2),延長DC交H9于點G,連接EG,請?zhí)骄?。EG的度數(shù)，并說明理由；

(4)【綜合運用】如圖(3),當(dāng)NB=60。時，連接方C,延長QC交A夕于點G,連接EG,請寫出BT,EG,

OG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

5.(2023?天橋區(qū)一模)如圖，ΔABC和Δ∕ME的頂點3重合，ZABC=ZDBE=90。,NS4C=NBDE=30。，BC=3,

BE=2.

(1)如圖1,當(dāng)點。，E分別在ΛB,BC上時，可以得出結(jié)論：絲=；直線49與直線EC的位置關(guān)系是；

CE

(2)如圖2,將圖1中的ΔD8E繞點5順時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，連接4)、EC,其所在直線相交于點F,

①(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

②當(dāng)。尸的長度最大時，求線段EC的長度.

A

A?A

6.(2023?梁山縣一模)在ΔABC中，。為BC中點，BE、C尸與射線AE分別相交于點E、F(射線ΛE不經(jīng)過

點D).

(1)如圖①，當(dāng)8E〃CF時，連接即并延長交b于點，.求證：四邊形BEC”是平行四邊形；

(2)如圖②，當(dāng)BELAE于點E,BJ_AE于點F時，分別取A8、AC的中點M、N,連接ME、MD、NF、

ND.求證：AEMD=AFND.

線，垂足分別為點C和點。，我們定義垂足與中點之間的距離為“足中距”.

(1)［猜想驗證］如圖1,當(dāng)點P與點O重合時,請你猜想、驗證后直接寫出“足中距”O(jiān)C和8的數(shù)量關(guān)系是—.

(2)［探究證明］如圖2,當(dāng)點P是線段43上的任意一點時，“足中距"OC和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若

成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

(3)［拓展延伸］如圖3,①當(dāng)點P是線段BA延長線上的任意一點時，“足中距”O(jiān)C和8的數(shù)量關(guān)系是否依然

成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由;

②若NC8=60°,求證：AC+BD=感C.

8.(2023?鄲城縣一模)實踐與探究

操作一：如圖①，將矩形紙片ABCD對折并展開，折痕P。與對角線AC交于點E,連結(jié)3E,則3E與AC的數(shù)量

關(guān)系為.

操作二：如圖②，擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGk,使8、C、G三點在一條直線上，CE在邊CO上，連

結(jié)AF,何為AF的中點，連結(jié)。M、ME.求證：DM=ME.

拓展延伸：如圖③，擺放正方形紙片438與正方形紙片ECGF,使點尸在邊CD上，連結(jié)ΛF,M為ΛF的中點，

連結(jié)DM、ME、DE.已知正方形紙片ABcD的邊長為5,正方形紙片ECGF的邊長為2立，則ADME的面積為

圖③

9.（2023?長清區(qū)一模）在學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)知識后，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們又進一步對圖形旋轉(zhuǎn)前后的線段之間、

角之間的關(guān)系進行了探究.

（一）嘗試探究

如圖1,在四邊形ASCD中，AB=AD,NBAL>=60。，NABC=NAz）C=90。，點E、尸分別在線段BC、Cr）上,

ZEAF=30°,連接EF.

（1）如圖2,將AABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。后得到AABE（A斤與4）重合），請直接寫出NEAF=度,線

段BE、EF、包>之間的數(shù)量關(guān)系為.

（2）如圖3,當(dāng)點E、尸分別在線段BC、CD的延長線上時，其他條件不變，請?zhí)骄烤€段BE、EF、FD之間的

數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（二）拓展延伸

如圖4,在等邊ΔABC中，E、尸是邊8C上的兩點，ZE4F=30o,BE=L將AABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到

△A夕E（AE與AC重合），連接EE,AF與EE交于點N,過點A作AM_LBC于點M,連接MN,求線段MN

的長度.

10?（2023?成武縣校級一模）在習(xí)題課上，老師讓同學(xué)們以課本一道習(xí)題“如圖1,A,B,C,。四家工廠分別

坐落在正方形城鎮(zhèn)的四個角上.倉庫E和Q分別位于Ar)和Z)C上，且ED=QC.證明兩條直路BE=AQ且

BErAQ."為背景開展數(shù)學(xué)探究.

(1)獨立思考：將上題條件中的=QC去掉，將結(jié)論中的BE_LAQ變?yōu)闂l件，其他條件不變，那么BE=AQ還

成立嗎？請寫出答案并說明理由；

(2)合作交流:“祖沖之”小組的同學(xué)受此問題的啟發(fā)提出：如圖2,在正方形ABa)內(nèi)有一點P,過點P作EFLG”，

點￡、尸分別在正方形的對邊4)、BCk,點G、H分別在正方形的對邊Aβ、CD上，那么E/與G//相等嗎？

并說明理由.

(3)拓展應(yīng)用：“楊輝”小組的同學(xué)受“祖沖之”小組的啟發(fā)，想到了利用圖2的結(jié)論解決以下問題：

如圖3,將邊長為IOem的正方形紙片ABeo折疊，使點A落在QC的中點E處，折痕為MN,點N在BC邊上，點

M在4)邊上.請你畫出折痕，則折痕MN的長是—；線段Z)M的長是—.

(圖1)(圖2)(圖3)

11.(2023?荷澤一模)如圖①，在RtΔABC中，ZB=90o,AB=5,BC=I2,CD=S,DEHAB.將A￡Z)C繞點

C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為a?

(1)①當(dāng)a=0。時，—=；②當(dāng)α=180。時，—=

BDBD

(2)試判斷：當(dāng)噴h360。時，空的大小有無變化？請僅就圖②的情形給出證明.

BD

(3)當(dāng)ΔSZ)C旋轉(zhuǎn)到A,D,E三點共線時，直接寫出線段處的長.

備用圖

12.(2023?泰山區(qū)校級一模)已知A4BC為等腰三角形，AB=AC,點￡＞為直線BC上一動點(點。不與點3、點

C重合).以AD為邊作AADE,且AZ)=AE,連接CE,NBAC=NDAE.

(1)如圖1,當(dāng)點。在邊BC上時，試說明：?ΔABD=ΛACE;②BC=DC+CE；

(2)如圖2,當(dāng)點。在邊3C的延長線上時，其他條件不變，探究線段3C、DC、CE之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說

明理由.

E

BCD

圖

圖12

13.(2023?東明縣一模)已知ΔABC是等腰三角形，AB=AC,將ΔABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A'BC',點A、

點C的對應(yīng)點分別是點A'、點C'.

感知：如圖①，當(dāng)BC落在43邊上時，/4'AB與NCCB之間的數(shù)量關(guān)系是(不需要證明)；

探究：如圖②，當(dāng)8C不落在4?邊上時，N4'4?與NCC3是否相等？如果不相等，請說明理由.

14.(2023?河口區(qū)校級一模)如圖1所示，邊長為4的正方形A88與邊長為α(0<α<4)的正方形C尸EG的頂點C

重合，點E在對角線AC上.

(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1所示，/場與防的數(shù)量關(guān)系為一；

(2)【類比探究】如圖2所示，將正方形CFEG繞點C旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為α(0<α<3()θ),請問此時上述結(jié)論是否還成

立？若成立，寫出推理過程，若不成立，說明理由；

(3)【拓展延伸】當(dāng)時，正方形CFEG若按圖1所示位置開始旋轉(zhuǎn)，在正方形CFEG的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點A、

F、C在一條直線上時，請直接寫出此時線段他的長

圖1圖2圖3

15.(2023?歷下區(qū)一模)【特例感知】

(1)如圖1,已知ΔAO8和ACOD是等邊三角形,直接寫出線段AC與的數(shù)量關(guān)系是

【類比遷移】

(2)如圖2,AAOB和ACOZJ是等腰直角三角形,ZBAO=ZDCO=90°,請寫出線段AC與3。的數(shù)量關(guān)系，并說

明理由?

【方法運用】

如圖3,若Λfi=6,點C是線段4?外一動點，AC=2√3,連接3C.若將CB繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到CO,連

接AD,求出AD的最大值.

圖1圖2

16.（2023?泰山區(qū)校級一模）如圖，在正方形AfiC。中，M、N分別是射線CB和射線DC上的動點，且始終

ZMAN=45°.

（1）如圖1,當(dāng)點M、N分別在線段8C、DC上時，請直接寫出線段創(chuàng)7、MN、ON之間的數(shù)量關(guān)系;

（2）如圖2,當(dāng)點〃、N分別在C8、OC的延長線上時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，給予證明，若不

成立，寫出正確的結(jié)論，并證明;

（3）如圖3,當(dāng)點M、N分別在CB、ZX7的延長線上時，若CN=CD=6,設(shè)必與AM的延長線交于點P,交/VV

于Q,直接寫出AQ、AP的長.

17.(2023?岱岳區(qū)校級一模)如圖，ΛBAD=ZCAE=9Qo,AB=AD,AE=AC,AFLCB,垂足為

(1)求證：AABC≥AADEi

(2)求NME的度數(shù)；

(3)求證：CD=2BF+DE.

E

18.（2023?泰山區(qū)校級一模）在ΔABC中，Zfi4C=90o,AB=AC,A￡>>L8C于點Q.

(1)如圖1所示，點〃，N分別在線段AD,AS上，且NBMN=90。，當(dāng)NAMV=30。，AB="時，求線段AM

的長；

(2)如圖2所示，點K,F分別在ΛB,AC上，S,BE=AF,求證：ADE廠是等腰直角三角形；

(3)如圖3所示，點M在AD的延長線上，點N在AC上，且ZBMN=900,求證：

19.(2023?東營區(qū)校級一模)如圖1,在RtΔABC中，ZB=90o,AB=4,BC=2,點、D、E分別是邊8C、AC

的中點，連接OE.將ACDE繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為ɑ.

(1)問題發(fā)現(xiàn)

①當(dāng)&=0。時，—=;

BD

②當(dāng)&=180。時，—=.

BD

(2)拓展探究

試判斷：當(dāng)0。,,。＜360。時，Ag的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明.

BD

(3)問題解決

20.(2023?泰山區(qū)校級一模)在AABC中，AB=BC,點O是AC的中點，點P是AC上的一個動點(點P不與點A,

O,C重合).過點A,點C作直線BP的垂線，垂足分別為點E和點F,連接OE,OF.

(1)如圖1,請直接寫出線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,當(dāng)NABC=90。時，請判斷線段。E與OF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由

(3)^?CF-AE?=2,EF=2√3,當(dāng)ΔPO尸為等腰三角形時，請直接寫出線段。P的長.

專題16幾何綜合壓軸

一.解答題（共20小題）

1.（2023?墾利區(qū)一模）如圖1,在ΔABC中，NABC=45。，AZ）I.BC于點O,在AM上取點E,使DE=Z）C,連

接BE、CE.

（1）直接寫出CE與AB的位置關(guān)系；

（2）如圖2,將ABED繞點。旋轉(zhuǎn)，得到48ET）（點9、￡分別與點8、E對應(yīng)），連接C￡、AB',在MED

旋轉(zhuǎn)的過程中CE與AB，的位置關(guān)系與（1）中的CE與/W的位置關(guān)系是否一致？請說明理由；

（3）如圖3,當(dāng)ΔβE。繞點。順時針旋轉(zhuǎn)30。時，射線CE與4）、A方分別交于點G、F,若CG=FG,DC=B

求A9的長.

【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，ZABC=ADAB=ASO,ZDCE=ZDEC=ZAEH=45。,可得結(jié)論;

（2）通過證明ΔAT>βZSAaE,可得NZMB'=NOCE',由余角的性質(zhì)可得結(jié)論；

（3）由等腰直角的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得A9=6AO,即可求解.

【詳解】解：（1）如圖1,延長CE交AB于”,

圖1

ZABC=45o,ADrBC,

:.ZADC=ZADB=90°,ZABC=ADAB=ASo,

DE=CD,

ZDCE=ZDEC=ZAEH=45°,

.?.ZBHC=ZBAD+ZAEH=90。,

,?CE±AB↑

（2）在ABED旋轉(zhuǎn)的過程中CE與A8的位置關(guān)系與（1）中的CE與Ae的位置關(guān)系是一致,

理由如下：如圖2,延長CE交于〃，

ZADC=ZADB=90。,

,NCDE=ZADBf,

PCDAD

.乂=-----=1t,

DE'DB'

:.AADB'sACDE',

ZDAB,=ZDCE',

ADCE+ZDGC=90°,

.?.ZZMB,+ZAGH=90°,

.-.ZAHC=90°,

二.CELABl：

(3)如圖3,過點。作Z)"J"A?于點，,

MED繞點、。順時針旋轉(zhuǎn)30°,

.?.ZBDB'=30o,B1D=BD=AD,

.?.ZADB,=↑20o,ZDAB'=ZAB'D=3>0°,

DHYAS,

.?AD=2DH,AH=y∕3DH=B1H,

:.AB'=y∣3AD,

由（2）可知：ΔAL>B,^ΔCDΓ,

..ZOCE=ZZMB'=30°,

ADLBC,CD=√3,

:.DG=\,CG=2DG=2,

.?.CG=FG=2,

ZDAB'=30°,CEYAS,

.?.AG=2GF=4,

.-.AD=AG+DG=4+l=5,

.?.AB,=√3AD=5√3.

2.（2023?利津縣一模）（1）如圖1,已知：在ΔA8C中，Zβ4C=90o,AB=AC,直線機經(jīng)過點A,BDJ"直線"，

CE_L直線機，垂足分別為點。、E.證明：DE=BD+CE.

（2）如圖2,將（1）中的條件改為：在ΔABC中，AB=AC,D、A>E三點都在直線m上，并且有

NBDA=ZAEC=ZBAC=a,其中C為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論DE=BE>+CE是否成立？如成立，請你給出證

明；若不成立，請說明理由.

（3）拓展與應(yīng)用：如圖3,。、E是D、A、E三點所在直線機上的兩動點（。、A、E三點互不重合），點F為

ZfiAC平分線上的一點，且ΔA5f和ΔAb均為等邊三角形，連接6￡>、CE,若ZBDA=ZAEC=ZBAC,試判斷

AD所的形狀并說明理由.

【分析】（1）根據(jù)BoJ_直線加，CE_1_直線機得N8D4=NCE4=90。，而N84C=90。，根據(jù)等角的余角相等得

NeAE=NAB￡>,然后根據(jù)“AAS”可判斷ΔADB=ACEA,AE=BD,AD=CE,于是DE=AE+AD=BD+CE；

（2）由NBZM=NAEC=Nβ4C,就可以求出NBAD=NACE,進而由A4S就可以得出ΔβAf>=AACE,就可以得

出比>=AE,DA=CE,即可得出結(jié)論；

（3）由等邊三角形的性質(zhì)，可以求出NBAC=120。，就可以得出ΔB">=ΔACE,就有BD=AE,進而得出

MDFMAAEF,得出ZJR=EF,ZBFD=ZAFE,而得出NQpE=60。，就有ΔDEb為等邊三角形.

【詳解】解：（1）如圖1,雙），直線，"，CE,直線機，

:.ZBDA=ZCEA=90°,

NBAC=90°,

.?ABAD+ZCAE=9QP

Zβ4D+ZABD=90o,

.?.ZC4E=ZABD,

在ΔΛDB和ACEA中，

ZBDA=ZCEA

,ZCAE=ZABD,

AB=AC

.?ΔADBACEA(AAS)9

AE=BD,AD=CEf

.,.DE=AE+AD=BD+CE;

(2)如圖2,ZBDA=∕BAC=a,

:,ZDBA^-ΛBAD=ZBAD+ZCAE=?SO0-a,

.?.ZDBA=NCAE,

在ΔΛDB和ACEA中，

ZBDA=ZCEA

,ZCAE=ZABD,

AB=AC

.?ΔADBACEA(AAS)9

AE=BD,AD=CEf

.,.DE=AE+AD=BD+CE;

(3)如圖3,由(2)可知，ΛADB^ACEA,

..BD=AE9ZDBA=ZCAE,

ΔΛBF和AACF均為等邊三角形，

o

..ZABF=ZCAF=60fBF=AF,

：.ZDBA+ZABF=ZCAE+ZCAF,

.?ZDBF=ZFAE,

在/SDBF和AE4F中，

BD=AE

,NDBF=EAF,

BF=AF

:.ADBF=AEAF(SAS),

DF=EF,ZBFD=ZAFE,

ZDFE=ZDFA+ZAFE=ZDFA+ZBFD=ωo，

.?.ΔDE〃為等邊三角形.

圖2

圖1

3.（2023?寧陽縣校級一模）已知，ΔABC為等邊三角形，點。在邊BC上.

【基本圖形】如圖1,以4）為一邊作等邊三角形AADE,連結(jié)CE?可得CE+CD=AC（不需證明）.

【遷移運用】如圖2,點尸是AC邊上一點，以DF為一邊作等邊三角ADEF.求證：CE+CD=CF.

【類比探究】如圖3,點尸是AC邊的延長線上一點，以。尸為一邊作等邊三角ADEF.試探究線段CE,CD,CF

三條線段之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的結(jié)論并說明理由.

圖1圖2圖3

【分析】【基本圖形】證明AC魚三ΔBAD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CE=9，證明結(jié)論；

【遷移運用】過點。作DG//A8,交AC于點G,證明=得到CE=GF,證明結(jié)論;

【類比探究】過點。作QG//AC,交ΛB于點G,仿照【遷移運用】的證明方法證明即可.

【詳解】【基本圖形】證明：AABC與AAOE都是等邊三角形，

.-.AB=AC=BC,ZBAC=60o,AD^AE,ZQAE=60°,

.?.NDAE-ZCAD=NBAC-ZCAD,即NCAE=ZBAD,

在z?C4E與ABAD中，

AB=AC

<ZCAE=NBAD,

AE=AD

.'.ACAEABAD(SAS),

.*.CE=BD，

CE+CD=BD+CD=BC，

AC=BC,

,?CE+CD=AC;

【遷移運用】證明：如圖2,過點。作DG//A8,交AC于點G,

圖2

ΔABC是等邊三角形，

o

.?.ZACB=ZA=ZB=60f

DGHAB9

.?.ZCGD=ZA=60o,NeDG=ZB=60。，

「.△CDG為等邊三角形，

..CD=DG=CG,

ΔDEF為等邊三角形，

.?.DE=DF,ZED尸=60。，

/CDG-/EDG=/EDF-NEDG,即NeDE=NFDG,

在ACOE與AGO/中，

DC=DG

<ZCDE=ZGDF,

DE=DF

??.ACDE"GDF(SAS),

JCE=GF,

??.CE+CD=GF+CG=CF；

【類比探究】CD+CF=CE,

理由如下：如圖3,過點。作Z)G//AB,交AC于點G,

G

E

圖3

ΔABC是等邊三角形，

??.ZAcB=ZA=ZB=60。，

DGHAB,

.?.NCGO=ZA=60。，ZCDG=ZB=60o,

「.△8G為等邊三角形，

.,CD=DG=CG,

ΔDEF為等邊三角形，

.?DE=DF,ZFDE=GOo,

.ZGDC+ZCDF=ZEDF+ZCDF9即NGDF=NCDE,

在ACDE與AGD/中，

DC=DG

,NCDE=NGDF,

DE=DF

.?.ACDE=AGDF(SAS),

CE=GF,

GF=CF+CG=CF+CD,

:.CD+CF=CE?

4.(2023?博山區(qū)一模)在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，同學(xué)們對菱形的折疊問題進行了探究.如圖(1),在菱形ABCo中，

NB為銳角，E為8C中點，連接DE,將菱形ABcD沿DE折疊，得到四邊形ABZED,點A的對應(yīng)點為點4,點

3的對應(yīng)點為點夕.

(1)【觀察發(fā)現(xiàn)】AD與是什么位置關(guān)系？

(2)【思考表達】連接夕C,判斷NDEC與"CE是否相等，并說明理由；

(3)如圖(2),延長Z)C交A用于點G,連接EG,請?zhí)骄縉z5EG的度數(shù)，并說明理由；

(4)【綜合運用】如圖(3),當(dāng)NB=60。時，連接夕C,延長少C交左片于點G,連接EG,請寫出用C,EG,

OG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【分析】(1)利用翻折變換的性質(zhì)判斷即可；

(2)結(jié)論：ZDEC=ZB'CE.證明∕)E∕∕CQ即可；

(3)證明GC=G9，推出召G_LCB/,即可解決問題.

(4)結(jié)論：DG2=EG2+-B,C2-如圖(3)中，延長OG交所的延長線于點T,過點。作。R_LGA交GA的延

16

長線于點R.想辦法證明OE=NC夕，可得結(jié)論.

4

【詳解】解：(1)如圖(1)中，由翻折的性質(zhì)可知，ADHBE.

故答案為：ND/IBE.,

(2)結(jié)論：ZDEC=/BCE.

理由：如圖(2)中，連接明.

EB=EC=EBr,

.?.ZBBzC=90°,

??.BB上BC,

由翻折變換的性質(zhì)可知BBfLDE,

,

.?DE∕∕CBf

..ZDEC=/BCE;

(3)結(jié)論：NDEG=90。.

理由：如圖(2)中，連接DB,DB'

由翻折的性質(zhì)可知ZBDE=ZBfDE,

設(shè)ZBDE=∕BDE=x,ZA=ZA,=y,

四邊形A88是菱形，

.?.ZADB=ZCDB=ZBfDA,

：.ZADG=ZBDB=2x,

o

ZDGA!=↑80-2x-yf

ZBEB=ZEBD+NEBfD+ZBDB,

:.ZBE^=180o-γ÷2x,

EC=EB,

,,o

.?.ZEBC=/ECB'=?ZBEB=90--y+x9

22

,,,,ooo

.?.ZGBC=ZABE-ZEBC=?S0-y-(90-^y+x)=90-^y-χf

.λZCGA=2ZGB,C,

ZCGA=NGBC+ZGCBf，

:./GBC=/GCB,

:.GC=GB，

EB=EC,

.?EGYCB,

DE/ICB,

:.DE工EG,

.?.ZDEG=90o;

(4)結(jié)論：DG2=EG2+-BfC2?

16

理由：如圖(3)中，延長。G交房的延長線于點T,過點。作。RJ_GA交G4,的延長線于點/?.

設(shè)GC=GB=X,CD=A!D=AB^=2a,

/3=60。，

??.NA=NQA以=120。，

.?.NZMR=600,

.?.A^=A,Dcos60o=tz,DR=島,

在RtADGR中，JJ1∣JW(2a+x)2=(√3tz)2+(3a-x)2,

4

.?x=-a，

5

46

.?.GB'=-a,A,G=-a,

55

TBIlDN,

.TB,GB,

~DA~~GA,

4

TB,5a

/.——=-7—，

2a6

—a

5

4

.?.TB,=-a,

3

CRUDE,

4

CB'TB，3''_4

,^DE~1T~J-7

a+-a

3

7

.?.DE=-CB',

4

ZJDEG=驕，

222

.?DG=EG+DEf

圖(2)

5?（2023?天橋區(qū)一模）如圖，AABC和ΔEW3E的頂點B重合，ZABC=NDBE=90。,ABAC=ZBDE=30。,BC=3,

BE=2.

（1）如圖1,當(dāng)點。，E分別在AS,BC上時，可以得出結(jié)論：絲=；直線"）與直線EC的位置關(guān)系是；

CE

（2）如圖2,將圖1中的ΔD3E繞點5順時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，連接4）、EC,其所在直線相交于點F,

①（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

②當(dāng)DF的長度最大時，求線段EC的長度.

A

A?A

【分析】(1)解直角三角形求出EC,AD,可得結(jié)論;

(2)結(jié)論不變，證明ΔAB8ACBE,推出四=四=百，ZADB=ZBEC,可得結(jié)論;

ECBC

(3)因為ADJ.CE,推出“在：=90。，推出。尸,,DE=4,推出當(dāng)?！概cJDE重合時，。尸的值最大，分兩種情形

分別求解即可.

【詳解】解：(1)在RtΔABC中，ZB=90°,BC=3,ZA=30°,

.?.AB=KBC=36,

在RtΔBDE中，ZBDE=30°,BE=2,

.?.BD=√3βE=2√3,

..EC=?,AD=B

?n-

——=√3r,此時4)"LEC,

EC

故答案為：√3,垂直；

(2)結(jié)論成立.

理由：?,ZABC=NDBE=90。,

.?.ZABD=NCBE,

AB=yβBC,BD=^BE,

.ABDB

~BC~~EB'

.?.ΔΛBD^ΛCBE，

ΛΓ)ΛUR-

：.—=—=√3,ZADB=ZBEC,

ECBC

ZADB+NCDB=180。,

:.ZCDB+ZBEC=180°,

.?.ZDBE+ZDCE=180。，

ZDBE=90。,

.?.ZDCE=90。,

.?AD±EC;

o

(3)如圖2中，ZDBE=90fBE=2,NBDE=30。，

.?.DE=2BE=4,

ADLCE,

:.ZDFE=90°,

.?.DF,,DE=4,

??.當(dāng)分與QE重合時，。產(chǎn)的值最大,

o

ZABC=90。，BC=3,ZBAC=309

AC=2BC=6，

AC2=AE2+EC2,

.?.62=(4+>∕3x)2+X2,

解得X=2√Σ-6(負根已經(jīng)舍去)，

.?.FC=2√2-√3

如圖4中，設(shè)EC=y,≡AD=y∕3y,則6?=丁+(島-4)2,

解得y=C+2V2，

.?.EC=y∣3+2y∕2.

綜上所述，EC的值為G+2√5或2√5-√5.

6.(2023?梁山縣一模)在ΔΛBC中，。為BC中點，BE、C尸與射線AE分別相交于點E、F(射線ΛE不經(jīng)過

點D).

(1)如圖①，當(dāng)3E//C產(chǎn)時，連接ED并延長交B于點求證：四邊形BEeH是平行四邊形；

(2)如圖②，當(dāng)LAE'于點E,C產(chǎn)_LAE于點F時，分別取A3、AC的中點M、N,連接ME、MD、NF、

ND.求證：AEMD=AFND.

［分析］(?)根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等求得ZDBE=ZJDCH,然后依據(jù)AAS求得ΔBDE≡ACDH得出Eo=，

最后根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形求得.

(2)連接FD、ED,延長ED交C尸于點H,根據(jù)直角三角形斜邊的中線定理和三角形的中位線定理求得ME=DN,

MD=NF,進而根據(jù)SSS即可證明ΔMED=ΔΛW,最后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等求得NEMz)=NRvD.

【詳解】證明：(1)如圖①，。為BC的中點，

.*.BD—CD,

BE//CF,

:.ZDBE=ZDCH,

在ΔβQE與AcD”中,

NDBE=NDCH

ZBDE=ZCDH,

BD=CD

??.MDE=ACDH(AAS),

ED=HD,

.?.四邊形BECH是平行四邊形；

(2)如圖②連接/T＞、ED,延長田交C產(chǎn)于點”，

BELAE,CFLAE,

..BEI/CF,

由(1)可知Er)=HD,又.CF.LAE,

,ED=FD(直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半),

在0ΓΔAEβ中，M是鉆的中點，

：,ME=-AB,

2

在ΔABC中，D、N分別是5C、AC的中點，

:.DN=-AB

2f

：.ME=DN,

同理，MD=NF,

在AMED與AND尸中，

ED=FD

ME=DN,

MD=NF

..AMED=ANDF(SSS)f

,/EMD=/FND.

圖②

A

H

B?C

圖①

7.(2023?新泰市一模)已知點O是線段ΛB的中點，點P是直線/上的任意一點，分別過點A和點8作直線/的垂

線，垂足分別為點C和點。，我們定義垂足與中點之間的距離為“足中距”.

(1)［猜想驗證］如圖1,當(dāng)點P與點O重合時，請你猜想、驗證后直接寫出“足中距”O(jiān)C和8的數(shù)量關(guān)系

是.

(2)［探究證明］如圖2,當(dāng)點尸是線段AB上的任意一點時，“足中距"OC和QD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若

成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

(3)［拓展延伸］如圖3,①當(dāng)點P是線段3A延長線上的任意一點時，“足中距"OC和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然

成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；

②若NCa)=60。，求證：AC+BD=MOC.

【分析】(1)猜想：OC=OD.證明RtAAOC=ABOD(AAS),可得結(jié)論.

(2)結(jié)論成立.過點。作直線防/∕cr>,交AC的延長線點E,證明AeoE=。OF(5AS),可得結(jié)論.

(3)①結(jié)論成立.如圖3中，延長Co交比>于點E,證明Co=OE,再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)解決問題

即可.

②利用等邊三角形的判定和性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)證明即可.

【詳解】(1)解：猜想：OC=OD.

理由：如圖1中，ACYCD,BDYCD,

:.ZACO=-ZBDO=90°,

,點O是線段ΛB的中點，

.-.OA=OB,

在AAOC與ABOD中,

NACo=ZBDo

<ZAOC=ZDOB,

OA=OB

.?.ΔAOC≡Δβ∞(AAS),

.?.OC=OD，

故答案為：OC-OD；

（2）解：“足中距"OC和OD數(shù)量關(guān)系依然成立.

理由：如圖，過點O作直線EF//CD,交AC的延長線于點石，交BD于F,

E

EFHCD,

:.ZDCE=ZE=ZCDF=90°，

.?.四邊形C￡7X>為矩形，

.?.ZOFD=90o,CE=DF,

由(1)同理得，OE=OF,

在ACoE與NDOF中，

CE=DF

<ZCEO=ZDFO,

OE=OF

:.ACoE合DOF(SAS),

.?OC=OD；

（3）①解：“足中距"OC和Or）的數(shù)量關(guān)系依然成立.

理由：如圖3中，延長CO交03的延長線于點石，

圖3

AC上CD,BDtCD,

.?AC1∕BD,

.?.ZACO=ZE,

，點O為AB的中點，

.,.AO=BOf

又ZAOC=ZBOEF

.?.ΔAOC≡ΔB（9E（A45）,

CO=OE，

/CDE=90。,

：.OD=LcE=OC;

2

②證明：如圖3中，NCOD=60。，OD=OC9

:.ACOD是等邊三角形，

:.CD=OC,NoeO=60。，

NCDE=90。,

“cDE

.’.tan60=，

CD

DE=?J3CD,

ΛAOC=ΛBOE,

AC=BE，

.?.AC+BD=BD+BE=DE=辰D,

：.AC+BD=同C.

8.（2023?鄲城縣一模）實踐與探究

操作一：如圖①，將矩形紙片ASCr）對折并展開，折痕PQ與對角線AC交于點E,連結(jié)3E,則座與AC的數(shù)量

關(guān)系為.

操作二：如圖②，擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF,使8、C、G三點在一條直線上，CE在功Ce）上，連

結(jié)ΛF,”為AF的中點，連結(jié)。W、ME.求證：DM=ME.

拓展延伸：如圖③，擺放正方形紙片A88與正方形紙片ECG尸，使點F在邊C/）上，連結(jié)AF,M為AF的中點，

連結(jié)DM、ME、DE.已知正方形紙片ABCO的邊長為5,正方形紙片ECGF的邊長為2√Σ,則ΔDME'的面積為

【分析】操作一：由折疊可知M=BE,AE=EC,則可得BE=EC=AE,即可求得BE」AC；

2

操作二：延長EM與4)交于點N,通過證明ΔAMN=AFME(AAS),推導(dǎo)出DW=ME：

拓展延伸：連接AC,利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半,推導(dǎo)出AfiME是等腰直角三角形,求出ME=叵,

2

即可求面積.

【詳解】操作一：解：由折疊可知，AE=BE,

P是Cf)的中點，PEHAD,

.?.E是AC的中點，

.*.AE=EC，

.'.BE=EC=AEf

'.BE=-AC

2f

故答案為：BE=-AC；

2

操作二：證明：延長EM與AD交于點N,

四邊形ABeD是矩形，

.-.ZADE=90°,

四邊形ECG尸是正方形，

.?.∕FEC=90°,

.?.ZDEF=90o,

.?ZADE=ZDEF,

..AD//EF,

..ZDAM=ZMFE,ZANM=ZFENf

M是AF的中點，

:.AM=MF,

.?.ΔAMN≡AFME(AAS),

.?.MN=ME,

/NDE=90°,

.?.DM=LNE=MN=ME,

2

:.DM=ME；

拓展延伸：解：連接AC,

.?.ZDC4=45o,

NECF=45。,

.?.E點在AC上,

.?.NFE4=90°,

在RtAADF中，M是AF的中點，

..AM=MF=DM,

.?ZDAM=ZADM,

.?ZDMF=2ZDAM,

在RtAAEF中，M是AF的中點，

..AM=FM=ME,

:.DM=ME,

ZMAE=ZMEAf

.?.ZFME=2ZMAE,

：./DME=2ZDAM+2ZMAE=90°,

.?.ΔDME是等腰直角三角形，

AD=5，

:.AC=5y∕2,

EC=2y∣2,

.?.AE=3√2,

22

在RtAAEF中，AF=λ∕(3√2)+(2√2)=√26,

2

1a

.?.ΔΩWE的面積為上，

4

故答案為：

4

G

圖②

9.（2023?長清區(qū)一模）在學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)知識后，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們又進一步對圖形旋轉(zhuǎn)前后的線段之間、

角之間的關(guān)系進行了探究.

（一）嘗試探究

如圖1,在四邊形ABCL）中，AB^AD,44￡>=60。，NABC=NAz）C=90。，點、E、尸分別在線段BC、CDl.,

ZEAF=30°,連接所.

（1）如圖2,將A4BE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。后得到△AλTE（∕V8，與AD重合），請直接寫出NEyAF=度,線

段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系為.

（2）如圖3,當(dāng)點E、尸分別在線段8C、8的延長線上時，其他條件不變，請?zhí)骄烤€段破、EF、尸D之間的

數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（二）拓展延伸

如圖4,在等邊ΔABC中，E、尸是邊BC上的兩點，ZE4F=30o,BE=L將AABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到

△4夕E（AE與AC重合），連接EELAF與EE交于點、N,過點A作AW_L8C于點M,連接MV,求線段MN

的長度.

【分析】（一）（1）根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等，判定AAE/三AAEF,進而根據(jù)線段的和差關(guān)系

得出結(jié)論；

（2）先在BE上截取BG=OF,連接AG,構(gòu)造A4BG三ΔAQF,進而利用全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等,

判定AG4E=M4E,最后根據(jù)線段的和差關(guān)系得出結(jié)論；

（二）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)判定A4EE是等邊三角形，進而利用等邊AAfiC、等