2014-2023年北京高考真題和模擬題：平面解析幾何解答題（解析版）

大數(shù)據(jù)之十年高考真題(2014-2023)與優(yōu)質(zhì)模擬題(北京卷)

專題12平面解析幾何(解答題)

真題匯總J

1.[2023年北京卷19】己知橢圓E:^+《=l(a>b>0)的離心率為孚，A、C分別是E的上、下頂點,B,

。分別是E的左、右頂點，|4C|=4.

(1)求E的方程；

(2)設(shè)P為第一象限內(nèi)E上的動點，直線PD與直線BC交于點M,直線P4與直線y=-2交于點N.求證:MN〃CD.

【答案】(1)9+?=1

(2)證明見解析

(1)依題意，得e=￡=在，則c=^a，

a33

又4c分別為橢圓上下頂點，MCI=4,所以2b=4,即b=2,

2222

所以Q2—c=h=4,即a?--a=-a=4,則M=9,

99

所以橢圓E的方程為次+g=1.

94

(2)因為橢圓E的方程為次+竺=1,所以4(0,2),C(0,-2),B(-3,0),0(3,0),

94

因為P為第一象限E上的動點，設(shè)P(m,n)(0<zn<3,0<n<2)，則”T

9

易得心C=%=則直線BC的方程為y=—Jx-2,

—3—033

%=照=日，則直線口的方程為，=3(-3),

/__2_(_3(3九-2m+6)

聯(lián)立,一『,解得「一3嚅^6,即“(等浮萼-12n

1T(一GI:二一…3n+2m-6

而kpa=E=M，則直線P4的方程為y=T%+2,

令y=-2,則一2=臂工+2,解得x=言，即N(言,一2),

又三+°=1,則m2=9—竺，8m*2=72—18n2,

944

-12n,分

0斤以k=3篦+2m-6_2_______(-6n+4m-12)(n-2)________

MN-3(熱-2>6)_R—(9n-6m+18)(n-2)+47n(3n+2?n-6)

3n+2m-6n-2

—6n2+4mn—8m+24-6n2+4mn-8m+24

9n2+8m2+677m—12m—369n2+72—18n2+6mn—12m—36

_-6n2+4mn-8m+24_2(-3n2+2mn-4m+12)_2

-9n2+67nn-12m+363(-3n2+2mn-4m+12)3’

乂七口—^7^=即k“N=七口>

顯然，MN與CD不重合，所以MN〃CD.

2.【2022年北京卷19】已知橢圓：E』+3=l(a>b>0)的一個頂點為4(0,1),焦距為2收

⑴求橢圓E的方程；

(2)過點P(-2,1)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B,C,直線AB,AC分別與x軸交于點M,N,

當|MN|=2時，求k的值.

【答案】⑴？+y2=1

(2)k=-4

【解析】

⑴解：依題意可得b=l,2c=2V3-又，2=。2-/，

2

2

所以Q=2,所以橢圓方程為9+y=1：

(2)解：依題意過點P(-2,l)的直線為y-1=k(x+2),設(shè)以卬力)、。(3兒)，不妨令一2W/V次42,

y—1=k(x+2)

由,消去y整理得(1+4/)%2+(161+8k)x+16k2+16k=0,

—4-yz=1

I4J

所以A=(16k2+8k尸一4(1+4k2)(161+16k)>0,解得k<0,

KI.16k2+8/c16k2+16k

}>)]^xl+x2=_--r,X1,X2=_

直線AB的方程為y-l=^x,令y=0,解得%”=言，

直線4c的方程為y-1=令y=0,解得

所以m/7|=%一如|=|言一言|

=I_______X2__________________Xl________

11-[fc(%2+2)+1]1—[k(x1+2)+1]

=——+二—

-k(%2+2)k(%i+2)lI

_(%2+2)%1-％2(%l+2)

k(x2+2)(%+2)

_2%一必|_2

""|k|(x2+2)(x1+2)-'

所以|%i—x2|=|k|(x2+2)Cq+2),

即+r)2-4X62=|/<|[x2^l+2(%2+xj+4]

即《；2Tx岑菱二岡[端評+2(_黑詈)+4]

即五條J(2H+k)2-(1+4k2)(H+k)=[161+16/c-2(16—+8k)+4(1+4k2)]

整理得8/^=4族|,解得k=-4

3.[2021年北京20】已知橢圓E:捺+'=l(a>b>0)過點4(0,-2),以四個頂點圍成的四邊形面積為4年

(1)求橢圓E的標準方程；

(2)過點P(0,-3)的直線/斜率為火,交橢圓E于不同的兩點B,C,直線A8,4c交)=-3于點M、N,直

線AC交產(chǎn)-3于點N,若『M+IPMW15,求上的取值范圍.

【答案】(1)9+?=1:(2)[-3,-1)U(1,3].

(1)因為橢圓過4(0,—2),故1=2,

因為四個頂點圍成的四邊形的面積為4花，故：x2ax2b=4V5,即a=V5-

故橢圓的標準方程為：-+^=1.

54

設(shè)8。"1)(。2，兆)，

因為直線BC的斜率存在，故與右于。，

故直線4B:y=與型x—2,令y=-3,則=一;同理苫可=一番3

v-kx*-*3

直線BC:y=kx-3,由｛軌2+5y2_20可得的+5k2)/—30kx+25=0,

故4=900k2_100(4+5k2)>0,解得k<一1或k>1.

又“1+x2=3條，=潦7，故》1芯2>0，所以如功>0

又|PM|+|PN|=|XM+》N|=|含+含|

50k30k

.%iX2=.2kxi&-(％i+-2),=4+5—2—4+5—2

=222

kxx—1kx2—1kx-lx2—k(x1+x2)+125k30k1

故51kl<15即因<3,

綜上，-3<fc<-1或1</c<3.

4.【2020年北京卷20】已知橢圓C:^+，=1過點力(-2,-1),且a=2b.

(I)求橢圓C的方程:

(II)過點B(-4,0)的直線/交橢圓C于點M,N,直線M4M4分別交直線x一4于點P,Q.求黑的值.

2QI

【答案】(I)1+==1;(II)I.

o2

【解析】

(1)設(shè)橢圓方程為：g+g=l(a>6>0),由題意可得:

"+得=1,解得：償=.

(a=2b(爐=2

故橢圓方程為：1+<=L

82

(2)設(shè)M(xi，yj,N(x2,y2)<直線MN的方程為：y=k(x+4),

與橢圓方程?+?=1聯(lián)立可得：x2+4k2(x+4)2=8,

2

即：(4k2+l)x2+32k2x+(64fc-8)=0,

-32k264k2-8

則：X+X?

12—4k2—+1',X1iX/2=-4k2-+-1--

直線MA的方程為：丫+1=空0+2),

%1+2

令x=-4可得：yp=—2X盜_]=_2X稔1+4)+1_--(2—+4),

Xi+2Xi+2%1+2

同理可得：yQ=T2k+i）3+4）

很明顯ypyQ<0,且：窯|=甥,注意到:

(3+4)(。2+2)+(0+4)(必+2)

%+y(?=T2k+1)(盜+盜)=-(2/c+1)x

(X1+2)(X2+2)

而：Cq+4)(x2+2)+(x2+4)(%i+2)=2[%1%2+3(%i+x2)+8]

64k2-8

=2+3x(闔+可

.4fc2+l

0(64fc2-8)+3X(-32k2)+8(4k2+l)八

-----------=0,

=ZX------------------4-A2+1

故抄+y<?=o,yp=一如

從而鵠="=i.

IPQIVQ

x2y2

5.【2019年北京文科19]已知橢圓C三+七=1的右焦點為(1,0),且經(jīng)過點A(0,1).

a2b2

(I)求橢圓C的方程；

（JI）設(shè)。為原點，直線/：y=kx+t（^±1）與橢圓C交于兩個不同點P、Q,直線AP與無軸交于點",

直線AQ與1軸交于點N.若|OMHON1=2,求證：直線/經(jīng)過定點.

%?y2

【答案】解：（I）橢圓C—+77=1的右焦點為（1，0），且經(jīng)過點A（0,1）.

a1bz

可得b=c=l,a=yjb2+c2=V2,

x2

則橢圓方程為3+）2=1；

（II）證明：與橢圓方程/+2y2=2聯(lián)立，可得（1+2F）/+4如什2?-2=0,

設(shè)戶(XHyi),Q(X2?"),

△=163「-4(1+2/?)(2戶-2)>0,xi+x2=——

1+2《1+2-

y「i

AP的方程為y=-x+\,令y=0,可得y=F—,即例（士一，0）；

X1■ifi-yi

及一1

A。的方程為3=-x+\,令y=0,可得產(chǎn)/一.即N(二一,0).

x

2/i~y2i-y2

(1-yi)(1-y2)=l+yi”-(yi+y2)=1+(fcn+r)(te+r)-(fcri+fcc2+2r)

02t2-24ktCt-1}2

=(l+?0-2z)+k2------+(kt-k)?(--^)=^4，

22

l+2fc1+2/i+2k

QM』ON|=2,即為I/2——|=2,

i-yiI-”

即有/-"=(Li)?,由#±1,解得f=0,滿足△>(),

即有直線/方程為y=履，恒過原點（0,0）.

6.【2019年北京理科18】已知拋物線C：/=-2py經(jīng)過點(2,-1).

(I)求拋物線C的方程及其準線方程；

(II)設(shè)。為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線/交拋物線C于兩點N,直線)，=-1分別

交直線OM,ON于點A和點艮求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點.

【答案】解：(I)拋物線C/=-2py經(jīng)過點(2,-1).可得4=2p,即p=2,

可得拋物線C的方程為/=-4y,準線方程為y=l；

(II)證明：拋物線/=-4y的焦點為尸(0,-I),

設(shè)直線方程為聯(lián)立拋物線方程，可得?+4h-4=0,

設(shè)M(xi,yi),N(%2?”)，

可得xi+x2=-4Z,x\xi=-4,

直線OM的方程為y=含羽即y=—

直線ON的方程為y=得x,即y=—

44

可得A(一,-1),B(一,-1),

巧刀2

11-4k

可得A8的中點的橫坐標為2(一+—)=2-----=2我,

X2-4

即有A8為直徑的圓心為(2k,-I),

半徑為J―L=-I———1=2----------=26由，

22%24

可得圓的方程為(x-2k>2+(>'+1)2=4(1+F),

化為/-4依+(y+1)2=4,

由x=0,可得y=l或-3.

則以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點(0,1),(0,-3).

7.【2018年北京理科19】已知拋物線C：產(chǎn)=2度經(jīng)過點尸(1,2),過點Q(0,1)的直線/與拋物線C

有兩個不同的交點A，B,且直線必交y軸于M,直線尸8交y軸于N.

(I)求直線/的斜率的取值范圍；

—>—>—>—>]]

(II)設(shè)。為原點，QM=地0,QN=HQO,求證：二+一為定值.

【答案】解：(I)???拋物線C：丁=21經(jīng)過點

P(\,2),.*.4=2/7,解得p=2,

設(shè)過點(0,1)的直線方程為y=匕+l,

設(shè)A(xi,yi),B(X2,J2)

聯(lián)立方程組可得[V=J>

(,y=/ex+1

消y可得/(2k-4)x+1=0,

，△=(2&-4)2-4d>0,且原0解得AVI,

口?2k—41

且原0,X\+X2=----2~~rXIX2=F，

kk

又,以、P8要與y軸相交，，直線/不能經(jīng)過點(I,-2),即厚-3,

故直線/的斜率的取值范圍(-8,-3)U(-3,0)U(0,1)；

(II)證明：設(shè)點M(0,丁加，N(0,訓)，

則通=(0,yw-I),QO=(0,-1)

因為QM=XQ。，所以yw-1=-yM-1,故入=l-yw,同理口=1-川，

直線PA的方程為y-2=:(x-1)=2(x-1)=(x-1),

,1一4/竽2二+yi

令x=0,得yM=莖上，同理可得yN=莖朱，

11112+yi2+y8—2yy28—CIC

因為一+―=-----+-----=-----+-----2=--------l-----=---2--(/--%--+-1--)(-/-%--2-+-1-)-

22

a〃1一PMI-'N-yi2一尸2(2—yD(2—為)l-k(x1+x2')^kx1x2

28-2(1+^+1)4-2X寵

8-[kx1x2+k(x1+X2)+l]

?4-2k4-2k

1一比(％1+%2)+k2%1*21一丁+12-IT

11

???元+^為正值，

x2y2V6-

8.【2018年北京文科20］已知橢圓M：_+_=1(.>/?>0)的離心率為三，焦距為2a斜率為4的

直線/與橢圓M有兩個不同的交點A,B.

(I)求橢圓”的方程；

(II)若&=1,求|AB|的最大值;

（Ill）設(shè)尸（-2,0）,直線鞏與橢圓M的另一個交點為C,直線PB與橢圓〃的另一個交點為D若C,

71

。和點Q（-4-）共線，求上

44

【答案】解：（1）由題意可知：2c=2或，則。=&,橢圓的離心率6=：=等，則。=6，

b2=a2-c2=l,

x2

工橢圓的標準方程：—4-y2=1；

（II）設(shè)直線A8的方程為：y=x+mfA（xi,yi）,B（X2,”），

y=%4-m

聯(lián)立",整理得：4』+6〃優(yōu)+3加2-3=o,△=(6m)2-4x4x3Cm2-1)>0,整理得：w2<4,

br+y2=i

3m3(m2-1)

Xl+X2=--2",X\X2=-.

/.\AB\="+k2yl(X、+型)2—4%62—竽V4—m2,

??.當加=0時，|A用取最大值，最大值為遙；

（III）設(shè)直線外的斜率加4=舟，直線心的方程為：）=號（X+2）,

(%+2)

聯(lián)立,消去y整理得：(xJ+4xi+4+3yi2)/+i2yi%+(12yJ-3x12-12x1-12)=0,

1

2

%1代入上式得，整理得：(4x1+7)/+(12-4AI2)x-(7xi+12xi)=0,

(7x?+12xi)7x1+12y-i/7xi4-120、當

XI，XC=__4X[+7，■，則Rhl彳(-^+7-+2)=4^+7'

7冷+12及

則。（-答學，同理可得:

4犯+7'4X2+7

71—14%—4%]—714y2-4%2-7

由Q（一五，—），則QC=（),QD=(),

444(4久1+7)'4(4X1+7)4(4工2+7)'4(4冷+7)

?—八、14y-4x-71471-4X1-7

由QC與QD共線，則一;-------x—-2----2--=-------x------—,

4(4X1+7)4(4X2+7)4(4工2+7)4(4力+7)

整理得“』，則直線A8的斜率上建=1,

的值為1.

1

9.【2017年北京理科18】已知拋物線C：/=2px過點p（1,1）.過點（0,-）作直線/與拋物線C交于

不同的兩點M,N,過點M作x軸的垂線分別與直線。尸、ON交于點A,B,其中。為原點.

（1）求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；

（2）求證：A為線段B例的中點.

【答案】解：(1)?.12=2內(nèi)過點P(1,1),

,l=2p,

解得

".y1=x,

，焦點坐標為(工，0),準線為x=-J,

44

(2)證明：設(shè)過點(0,-)的直線方程為

2

M(xi,yi),N(X2,”)，

工直線OP為y=x,直線ON為：y=/r,

由題意知A(xi,xi),B(xi,-1")>

%2

由可得必，+a-1)l+J=o,

y2=x4

?*.Xl+X2=-X1X2=-7

kl4/

］］一攵

.??yi+"y2=凌日+1+&2土2)=2點］+。；4二2fcriT----—=2fca+(1-4)92xi=2x\

f

)X22x22X22x—J—

4k'i

??.A為線段8M的中點.

10.【2017年北京文科19】已知橢圓。的兩個頂點分別為A(-2,0),B(2,0),焦點在x軸上，離心率

,V3

為萬.

(I)求橢圓C的方程；

(II)點。為x軸上一點，過。作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M,N,過。作AM的垂線交BN于

點、E.求證：△8DE與△BCW的面積之比為4：5.

x2y2

【答案】解：(I)由橢圓的焦點在X軸上，設(shè)橢圓方程：—+77=1(a>b>0),

QN

則4=2,e=工=卓，則c=百，

a2

b2=a2-c2=l,

2

，橢圓C的方程x二+y2=1；

4

(II)證明：設(shè)D(AO,0)?(-2<xo<2),M(xo,yo),N(xo?-yo),yo>O,

則直線AM的斜率kAM=直線DE的斜率&DE=-鄴2，

%0十，%0十z70

直線DE的方程：y=-若(x-xo),

直線BN的斜率kBN=三結(jié)，直線BN的方程v=三當(X-2),

(K-3

，解得:

(x-2)

過E做E〃_Lx軸，4BHEs/\BDN,

則|陽=等

|EH|_4

則

\ND\―5'

；.：△BOE與A8QN的面積之比為4：5.

%2y2-4/3

11.【2016年北京理科19】已知橢圓C：—+77=1(a>b>0｝的離心率為一，A(a,0),B(0,b),0

a2b22

(0,0),△OAB的面積為1.

(I)求橢圓C的方程；

(II)設(shè)P是橢圓C上一點，直線以與y軸交于點M,直線PB與X軸交于點N.求證：為定值.

【答案】解：（I）由題意可得e=5=空,

又40AB的面積為1,可得去力=1,

且/_Z?2=c2,

解得。=2,b=l,c=V3,

可得橢圓C的方程為了+夕=1；

4

（II）證法一：設(shè)橢圓上點P（X0,W）,

可得X()2+4)X)2=4,

若尸（0,-1）,可得%與y軸交于點M（0,-1）,直線PB與X軸交于點N（0,0）,

可得|AN|?|8M=4；

直線P4：y=-^5（X-2）,令x=0,可得）=一

勺一Z

則|BM=|1+

直線PB：y=為二x+1,令y=0,可得x=--

xo-y（）T

則14vl=|2+譚川.

可得=12++

y0_±

(x+2y-2)2,x2+4y2+4+4xy-4x-8y

=Ii----0--------0------1=I----0---------0------------0----0-------0-------01i

(x0-2)(y0-l)2+x0y0-x0-2y0

8+4x0y0-4x0-8y0i

=I---------------------------1=4,

2+x0y0-x0-2y0

即有|AN?|8M為定值4.

證法二：設(shè)P(2cos0,sinO),(0<0<27t),

直線小尸五%?2）,令x=0,可得k一品,

sin0+cos0-l

則一皿。卜'

直線尸B：尸鬻急+1,令產(chǎn)可得'=一耦,

m2sin0+2cos0-2

則HNT—：-7-I.

1-sinO

art.2sinO+2cos0-2sin9+cos0-l

即有網(wǎng)?即曰J_s皿M-cos。

sin20+cos2d+l+2sin0cos6-2sin0-2cos0

=2|-

1+sinOcosO-sinO-cosd

2+2sin0cos0-2sin0-2cosd

l+sindcosO-sin0-cos0

則|ANH8M為定值4.

x2y2

12.【2016年北京文科19］已知橢圓C：=+三=1過點A(2,0),B(0,1)兩點.

a2-t>z

(1)求橢圓C的方程及離心率；

(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點且在橢圓C上，直線以與y軸交于點例，直線PB與x軸交于點M求證:

四邊形ABNM的面積為定值.

x2y2

【答案】(1)解：???橢圓C：—4-^-=1過點A(2,0),8(0,1)兩點,

.*.<7=2,b=I.則c=Va2—b2=V4—1=V3,

...橢圓C的方程為丁+J=1,離心率為e=*；

4/

(2)證明：如圖,

設(shè)P(刈，jo),貝味PH=以所在直線方程為y=一2)，

取4=0,得如=_Y"2；

%o一/

kpB=*，PB所在直線方程為、=好％+1,

x0x0

取y=0,得%N=.

1-7o

x

9o_22丫0一4

；?|A/V|=2—xN

1-y0-Io，

1I2yo:xo+2y()-2

x0-2-x0-2

xo+2y()-2

'?S=^\AN\-\BM\=1-2一稼x。

ABNMxo-2

22

1(均+2%-2)2=1(xo+2yo)2-4(x()+2yo)+4=1x0+4x0y0+4y0-4x0-8y0+4

-

2(l-y0)(x0-2)-2xoy()+2ro-2yo2&丫0+2一打一2%

14(x0y0+2-x0-2y0)=1

2xoyo+2-xo-2yo2

???四邊形ABNM的面積為定值2.

*2y2^2

13.【2015年北京理科19】已知橢圓C：—+77=1(a>b>0)的離心率為一，點P(0,1)和點A(m,

a2b22

〃)(〃苗))都在橢圓。上，直線以交x軸于點M.

(I)求橢圓C的方程，并求點M的坐標(用〃?，n表示);

(II)設(shè)。為原點，點8與點4關(guān)于X軸對稱，直線PB交X軸于點M問：y軸上是否存在點。，使得N

OQM=NONQ?若存在，求點Q的坐標，若不存在，說明理由.

力=1

【答案】解：(I)由題意得出.￡-^2

a~2

、。2=b2+c2

解得：a=V2,b=1,c=I

2

x9

『『I，

VP(0,I)和點A(w,n),-l<n<l

的方程為…1=黑心產(chǎn)0時，X“昌

m

/.A/(---,0)

1-n

(〃)???點8與點A關(guān)于x軸對稱，點A(m,n)(，存0)

...點B(加，-n)(/n和)

?.?直線P8交x軸于點N,

m

:?N(---，0),

:存在點Q,使得NOQM=NONQ,Q(0,yQ),

tanZOQM=tanZONQ,

.yo__包

，即yQ2=WXM+/=1

XMyQ

m2

yo2==2,

?*.yC=±V2,

故y軸上存在點Q,使得NOQM=/ON。，Q(0,&)或。(0,一企)

14.[2015年北京文科20]已知橢圓C：7+3y2=3,過點D(1,0)且不過點E(2,的直線與橢圓C

交于4,B兩點,直線AE與直線x=3交于點M.

(1)求橢圓C的離心率；

(2)若A8垂直于x軸，求直線8W的斜率；

(3)試判斷直線與直線。E的位置關(guān)系，并說明理由.

【答案】解：(1)???橢圓C：/+3y2=3,

...橢圓C的標準方程為：—+)2=1,

3

a—V3,b=\,c=>J2,

...橢圓C的離心率e=^=~

(2)過點。(1,0)且垂直于x軸，

二可設(shè)4(1,yi),8(1,-yi),

VE(2,1),二直線AE的方程為：y-1=(1-yi)(x-2),

令x=3,得M(3,2-yi),

二直線BM的斜率kBM=2歲？1=1；

(3)結(jié)論：直線BM與直線QE平行.

證明如下：

當直線AB的斜率不存在時，由(2)知品用=1,

又直線DE的斜率kDE=界=I,，BM//DE；

Z-1

當直線AB的斜率存在時，設(shè)其方程為y=A(X-I)(^1),

設(shè)4(xi,yi),B(mV2)?

則直線AE的方程為廠1=得(廠2),

令x=3,則點M(3,%1+yi-3),

Xi-2

■[+?]_3y

...直線BM的斜率kBM=2,

3T2

聯(lián)立得(1+3/)x2-6^+3^-3=0,

由韋達定理，得Xl+X2=6kJIX2=—―

l+3fc1+3*

-l)+i「3-—2)-(3-％2)(%「2)

kBM

(3-%2)(勺一2)

二/一1)[一/％2+2(01+%2)-3]

(3-X2)(X1-2)

(fc-l)(z3^+J24-3)

________l+3k/l+3k”

一(3一金)(巧一2)

=0,

:.kBM=1=kDE,即BM//DE；

綜上所述，直線8例與直線QE平行.

15.【2014年北京理科19】已知橢圓C：x2+2y2=4,

(1)求橢圓C的離心率

(2)設(shè)。為原點，若點A在橢圓C上，點B在直線y=2上，且OALOB,求直線AB與圓/+y2=2的位

置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

22

【答案】解：(1)由/+2y2=4,得橢圓C的標準方程為1+1=L

.'.a2—4,序=2,從而c2=/-/=2.

因此”=2,<?=V2.

故橢圓C的離心率e=：=孝；

(2)直線AB與圓/+，=2相切.

證明如下：

設(shè)點A,B的坐標分別為(刈，jo),(32),其中xorO.

9：OA±OB,

：.OAOB=0,即tvo+2yo=0,解得t=一也.

x0

當刈=f時，y0=-2-?代入橢圓。的方程，得t=±四.

故直線AB的方程為x=±V2,圓心O到直線AB的距離d=V2.

此時直線AB與圓/+/=2相切.

當次聲時，宜線A8的方程為y-2=(%-t),

即(W-2)x-(xo-/)y+2xo-tyo=O.

圓心O到直線AB的距離d=1[2xo「yol

J(y0-2)+(^o-t)

又%。2+2%2=4,仁_等.

XQ

此時直線AB與圓/+y2=2相切.

16.【2014年北京文科19］已知橢圓C：7+29=4.

(I)求橢圓C的離心率；

(II)設(shè)。為原點，若點A在直線y=2上，點8在橢圓C上，且OALOB,求線段AB長度的最小值.

【答案】解：(I)橢圓Cf+2y2=4化為標準方程為h+?=1,

42

，。=2,h=V2,c=V2,

?二橢圓C的離心率e=~=孝：

(II)設(shè)A(f,2),B(xo,yo),xo￥O,則

???04_L08,

：.OAOB=0,

**?Zxo+2vo=0,t~——,

XQ

2

Vx0+2y()2=4,

/.|/4B|2=(XO-r)2+(>x)-2)2=(xo+馬與2+(yo-2)2=xo2+yo2+4-4=xo2+4-4-4=

x22

o-x02x0

￥+3+4(O<XO2<4),

因為'-+義24(0〈元o?"),當且僅當包》=義，即x()2=4時等號成立，所以依陽2次.

222

x02x0

二線段AB長度的最小值為2vL

膜擬好題

1.【北京市第八十中學2023屆高三熱身考試】已知橢圓C:\+\=l(a>b>0)經(jīng)過4(—2,0)和B(0,-佟)

兩點，點必為橢圓C的右頂點，點P為橢圓C上位于第一象限的點，直線P①與y軸交于點直線PB與

x軸交于點N.

(1)求橢圓C的方程及離心率；

(2)比較△MN4的面積與aM4zB的面積的大小，并說明理由.

【答案】(1)9+?=1,離心率e=；=；；

（2）相等，理由見解析

【詳解】（1）由題意可知，a=2,b=>/3,C=Va2—b2-1,

所以橢圓方程為式+藝=1，離心率e=￡=?

43a2

（2）設(shè)P（xo，yo）

直線尸公，=券0+2）,令％=0,得y“=答，

直線PB:y=也氈刀-百，令y=0,得XN=*^,

XQy（）+v3

所以SAMNA=|（急+2）x普

一屆o%?2yo

（x0+2）（y0+V3）x0+2

=舊々）%+2乂）（北+四）

一（x0+2）（y0+V3）-，

S—t（2一島）.鳳鳳而言商

2V3（y0+V3）—3x0

2（y°+^

4Xo'o+2yo(yo+呵2我(丫0+百)一3尤0

S&MNA1~^NBA2

(x0+2)(y0+V3)2(y0+V3)

二4%+3境-12

2(x0+2)(y0+V3)

所以SAMNA=^NBA2

2.【北京市通州區(qū)2023屆高三考前查漏補缺】已知橢圓C:捺+、=19>6>0）的離心率為弓，橢圓C截

直線x=魚所得線段的長度為2.

（1）求橢圓C的方程

（2）動直線，:y=kx+7n（m羊0）交橢圓C于A,B兩點,交），軸于點M,。為線段AB的中點，點N是M關(guān)

于。的對稱點，以N點為圓心的圓過原點O,直線。尸與。N相切于點凡求解的最大值

\NF\

【答案】（1）9+?=1

（2）2

【詳解】（1）由橢圓的離心率為叱，

2

得=2（Q2—ft2）.

又當％=應(yīng)時，y2=b2—警

,a2

所以Q2=4,b2=2

因此橢圓方程為蘭+乃=1.

設(shè)A(%］，)，B(%2，y2).

y=fcx4-m

2c?”得(2/c%2+i)x2+4kmx+2m2-4=0

{xL+2y/=4,

由A>0得m2<4k2+2(*)

且4-x4km

22k2+1

2m

因此%+y

22k2+1

所以_2I!_

71V2k2+1,2k2+1.

又N(0,-/n),

4m2(1+31+/)

整理得：\ND\2

(2k2+l)2

因為|NF|=|m|

J聽以WDy_4(d+3k2+l)_8k2+3

71以|NF|2-(27+1產(chǎn)一,十(2，+1)2

令t=8k2+3t>3故2k2+1=—

4

而|、|此E-1.16t-1116

所以|N尸|2-+(i+t)2_+t+l+2

因為y=t+：上單調(diào)遞增，

因此y=t+1>y

等號當且僅當t=3時成立，

此時黑<1+3=4,

|/VF|Z

鑒^最大值為2.

|JVF

3.【北京大興精華學校2023屆高三高考適應(yīng)性測試】已知橢圓C$+'=l(a>b>0)過點N(0,l),且離

心率為也.

2

(1)求橢圓C的方程：

(2)直線，分別交橢圓C于4、B兩點，若線段4B的中點M在直線y=：上，求△04B面積的最大值.

【答案】(「片+y?=1

⑵當

【詳解】(1)y=五[號=[a2=2b2.

2a22

又N(0,1)在橢圓上???b2=l：.a2=2.

所以，橢圓方程為9+y2=i.

(2)由己知直線2的斜率存在.

設(shè)直線，方程為丫=依+m,4(*1，%)，B(x2,y2)?

由｛I：2'得(2/+l)x2+4kmx+2m2-2=0.

22

由/=8(2k-m+1)>0,得小2<1+2/.①

.4km2m2-2

1+%/2=一二2k丁2+1：，%11%n2=2-k72^+—i?

22

x±+x22km.t-2km+m+2kmm

"丁=一許yM=kxM+m=———=亞

又中點在直線y=：上，.??島=：即旭=等，

將之代入①得(2『+1尸<21+1,所以142k2+1<4.

4

I----------I~2I--------1.6k27n2—8(m2—l)(2fc24-1)

|AB|=，l+k2yl(%+x2)-4x^2=+1----------------(2：+if-------

y/2k2+l-m2

=2V2V1+/C2

2k2+l

點。到直繳的距須=懸,

1?|?2yf2.：j2以2+1—m2my[2

??Sc.=-\A4BD\d=—VI+k2———--------7===—2k2+1-(&+叱

△0U