2023-2024學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市高二年級(jí)下冊(cè)4月月考數(shù)學(xué)模擬試題 二（含解析）

2023-2024學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.數(shù)列T,3,-7,15,…的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是()

1

A.αz,=(-1)”-(2"-1),n∈N*B.an=(-1)'?(2∕z-1),∏∈N*

,,+

C.an=(-l)^'?(2'-1),∏∈N*D.=(-l)"'?(2∕z-l),,j∈N*

【正確答案】A

【分析】利用數(shù)列正負(fù)交替及數(shù)的規(guī)律即可確定數(shù)列通項(xiàng)公式

【詳解】數(shù)列各項(xiàng)正、負(fù)交替，故可用(-1)"來(lái)調(diào)節(jié)，

4

又1=2∣-1,3=22-1，7=23-1,15=2-l,

所以通項(xiàng)公式為4=(-1)"-(2"-1),女用

故選：A

2.已知數(shù)列｛《,｝滿足％=3,an+lall=α,,-1,則見(jiàn)儂=()

A.—B.C.—D.3

232

【正確答案】D

【分析】根據(jù)已知的遞推關(guān)系式求出數(shù)列的前4項(xiàng)，即可發(fā)現(xiàn)循環(huán)，求出數(shù)列的周期，進(jìn)而求得結(jié)

果即可.

【詳解】解:因?yàn)閿?shù)列解」?jié)M足4=3,an+lan=aπ-?,

2

所以%q=q-ι,解得

由＜?%=∕-ι,解得的=-g,

由aia4=a,-l,解得a4=3=at,L,

故可得數(shù)列｛見(jiàn)｝是周期為3的數(shù)列，且前三項(xiàng)為：3,-?

因?yàn)?023=674x3+1,所以(?23=4=3.

故選：D

3.從分別標(biāo)有1,2,3,,9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張，則在抽取第1張為

偶數(shù)的前提條件下，抽到第2張卡片上的數(shù)也為偶數(shù)的概率為()

3111

C

A.8-B.-6D.一

1224

【正確答案】A

41

【分析】設(shè)事件A為第1張為偶數(shù)，事件3為第2張為偶數(shù)，則尸(A)=P(AB)=4,根據(jù)條件

96

概率公式得到答案.

【詳解】設(shè)事件A為第1張為偶數(shù)，事件8為第2張為偶數(shù)，

則尸⑷VP(AB)=IH，故尸(則=笑H?

故選：A

4.已知隨機(jī)變量*~汽(〃,θ2),且尸(以一”<1)+網(wǎng)必-2〃3)+/｝(〃+心*<2〃+1)=1,則〃=

()

A.-1B.OC.1D.2

【正確答案】B

【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性列方程，再解方程即可.

【詳解】P(IX-〃|<1)=尸(〃一l<x<4+l),P(IX-2"∣≥1)=P(X22"+1)+P(X≤24-1).

因?yàn)镻(IX-“<1)+P(IX-2*≥1)+P(∕∕+1≤X<2〃+I)=P(X>M-1)+P(x≤2"-1)=1,

所以〃-1=2"-1,解得〃=0.

故選：B.

5.已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列｛&,｝,所有項(xiàng)之和為所有奇數(shù)項(xiàng)之和的3倍，前4項(xiàng)之積為64,

則?1=()

A.1B,-IC.2D.1或-1

【正確答案】D

【分析［設(shè)數(shù)列共有2〃項(xiàng)，設(shè)所有奇數(shù)項(xiàng)之和為7,，由題意表求出邑,和利用第=3求出公比q,

1n

再結(jié)合4?%%S=64求出。I即可.

【詳解】設(shè)首項(xiàng)為4,公比為4,數(shù)列共有2〃項(xiàng)，則｛%-｝滿足首項(xiàng)為《，公比為g2,項(xiàng)數(shù)為〃項(xiàng),

設(shè)所有奇數(shù)項(xiàng)之和為7,，

因?yàn)樗许?xiàng)之和是奇數(shù)項(xiàng)之和的3倍，所以qxl,

所以T="+0+”=業(yè)皿，S2,,=^3,

tu2/,

n/十”3十2n-l12IC

1-4?-q

?(ι-?2")

S2”l-q,

故滿足丁"正而J'解得"2,

--

又4?出?4，4=q4，d=64,

所以q=±1.

故選:D

6.“康托爾塵埃”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其過(guò)程如下：在一個(gè)單位正方

形中，首先，將正方形等分成9個(gè)邊長(zhǎng)為g的小正方形，保留靠角的4個(gè)小正方形，記4個(gè)小正方

形面積之和為岳；然后，將剩余的4個(gè)小正方形分別繼續(xù)9等分，分別保留靠角的4個(gè)小正方形，

記16個(gè)小正方形面積之和為邑；…；操作過(guò)程不斷進(jìn)行下去，以至無(wú)窮，保留的圖形稱為康托爾塵

則操作次數(shù)"的最小值為()

C.3D.4

【正確答案】C

【分析】由已知得S,,=[t),再由等比數(shù)列的求和公式建立不等式，由函數(shù)/(x)=m的單調(diào)性

即可得答案.

114

【詳解】Sl是邊長(zhǎng)為3的4個(gè)正方形的面積之和，故Sl=丞x4=§；

邑是邊長(zhǎng)為(3的42個(gè)正方形的面積之和，故S?=悖；×42=IJ；

以此類推得:S

n=B×-≡

4_(4丫

從而s∣+s?+

9

所以錄W—，函數(shù)f(x)=1t)關(guān)于X單調(diào)遞減,

42_16343643

且〃=2時(shí),77=3時(shí).，—7=--<故"最小值取3.

7=i7>Ξ59372920

故選：C

7.在10個(gè)排球中有6個(gè)正品，4個(gè)次品，從中隨機(jī)抽取4個(gè)，則正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為()

A.?B,?C.2D.?

42354221

【正確答案】A

【分析】抽取的正品數(shù)比次品數(shù)少，有兩種情況：抽取到0個(gè)正品和4個(gè)次品；抽取到1個(gè)正品和

3個(gè)次品.分別求概率再相加即可.

【詳解】抽取的正品數(shù)比次品數(shù)少，有兩種情況：抽取到0個(gè)正品和4個(gè)次品；抽取到1個(gè)正品和

3個(gè)次品.

當(dāng)抽取到0個(gè)正品和4個(gè)次品時(shí),"6=擊;

C1C3244

當(dāng)抽取到1個(gè)正品和3個(gè)次品時(shí)，2=71=不6=正，

K-*IQ4(IVJ‰z?.z

145

所以抽取的正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為[+6=丘+玉=R.

故選：A.

8.已知5“是數(shù)列｛α,,｝的前"項(xiàng)和，$3=273,也,,一(〃一1"用=94("∈N*),當(dāng)數(shù)列｛。,4+4+2乂"€川)

的前〃項(xiàng)和取得最大值時(shí)，〃的值為()

A.30B.31C.32D.33

【正確答案】C

【分析】由遞推式得到2。e=。,,+。川，結(jié)合等差中項(xiàng)知｛為｝為等差數(shù)列，進(jìn)而寫出其通項(xiàng)公式并判

斷單調(diào)性，最后判斷｛α∕,*M,,+2｝("GN")上各項(xiàng)的符號(hào)，即可確定前〃項(xiàng)和取得最大值時(shí)n的值.

【詳解】%=(〃一1”,川+94①，則(〃+1)q+]=叫,+2+9^^,

②一①得：(〃+1”,用一〃q=w.+2—("T)a,,+∣,即2。,川=%+。川，

則數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，且4=94,

由q+%+%=273得：a2=9?,則公差d=%-勾=-3,

fl

所以4=97-3”,數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減，而為2=1，?3=-2,α34=-5............,

設(shè)2=可凡+A+2，當(dāng)〃430時(shí)，bn>Q,且4∣=-8,?=10,

當(dāng)w±33時(shí)，"<。恒成立，顯然凰+么2=2,?∣+?+?=θ?

即數(shù)列｛a/,川4+2｝("eN*)的前32項(xiàng)和最大.

故選：C

二、多選題

9.下列說(shuō)法正確的是()

A.兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)就越接近于1

B.對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)，/的觀測(cè)值越大，判定“兩變量有關(guān)系'’的把握越大

C.隨機(jī)變量J8(%p),若E?=30,0(9=20,則n=60

D.以y=c?*擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，經(jīng)Z=In)，代換后的線性回歸方程為z=o.3χ+4,則c=e3)t=0.3

【正確答案】BD

【分析】對(duì)于A：根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義進(jìn)行判斷；對(duì)于B：直接根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法進(jìn)行判斷：

對(duì)于C：由二項(xiàng)分布的期望和方差建立方程組，即可解得；對(duì)于D：直接求出C和％.

【詳解】對(duì)于A：兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值就越接近于1.故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法，*的觀測(cè)值越大，判定“兩變量有關(guān)系”的把握越大.故B正確；

對(duì)丁C隨機(jī)變量—(M),由霹U可得：仁漓心，解得［J

故C錯(cuò)誤.

對(duì)于D：對(duì)于y=ce"’,兩邊取對(duì)數(shù)，Iny=InCe"=fcc+lnc,令Z=Iny,可得Z=AX+lnc.

經(jīng)Z=Iny代換后的線性回歸方程為z=0,3x+4,所以InC=4,%=0.3,故。=/#=0.3.

故D正確.

故選：BD

10.有甲、乙兩臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，甲車床加工的優(yōu)質(zhì)品率為90%,乙車床加工的優(yōu)質(zhì)品

率為80%,加工出來(lái)的零件混放在一起.已知甲、乙兩臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的60%、

40%.任取一個(gè)零件，用事件A，4分別表示取到的零件來(lái)自甲、乙車床，事件B表示取到的零件

為優(yōu)質(zhì)品，則下列選項(xiàng)正確的有()

A.P(A)=O.86B.P(BIA)=0.9

C.P(β∣A)=0.32D.P(B)=0.86

【正確答案】BD

【分析】根據(jù)題意利用條件概率以及全概率公式即可求解.

【詳解】依題意得：用事件A表示取到的零件來(lái)自甲車床，則P(A)=O.6,

用事件A2表示取到的零件來(lái)自乙車床，則p(4)=θ.4,故A不正確；

.?.P(β∣A)=0.9,P(B∣A)=0.8,B正確，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,利用全概率公式得：

P(B)=P(A)?P(8∣A)+尸(4)?P(B∣4)=0?6X0.9+0.4X0.8=0.86,D正確.

故選：BD.

11.已知等差數(shù)列其前“項(xiàng)和為S”，若小>0,血<-1,則下列結(jié)論正確的是()

A.∣09∣>?

B.當(dāng)”=8時(shí)S,,最大

C.使S“>0的〃的最大值為16

D.數(shù)列中的最小項(xiàng)為第9項(xiàng)

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)性質(zhì)與前”項(xiàng)和性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】：等差數(shù)列{q},Sl5=y(?+?)=15?>0,Λ?>0,

又；發(fā)<τ,，?+?<0,.?.∣α9∣>?,A正確；

?.??>0,〃9<。，；?當(dāng)〃≤8,。〃>。，n≥9,。〃<0,所以當(dāng)〃=8時(shí)Szt最大，B正確；

?.??+α9<0,ΛSl6=y(al+αl6)=y(?+a,)<0,S15>0,使S,,>0的”的最大值為15,C錯(cuò)誤;

:當(dāng)"≤15時(shí)，S,,>0,“≥16時(shí)，S?<0；當(dāng)"≤8,α,,>0,n≥9,a,,<0

.?.當(dāng)1≤"V8時(shí)，》>0,當(dāng)9≤"≤15時(shí)，—<0,4,<0且遞減，S,,>0且遞減，

Cln4〃

???邑最小，故D正確.

%

故選：ABD.

12.數(shù)列{4}前"項(xiàng)和為S,,,若“.+(-I)"%=2",且&=68,則以下結(jié)論正確的有()

A.q=4

B.數(shù)歹U{%,τ}("eN*)為遞增數(shù)列

C.數(shù)列{%,}("€N")為等差數(shù)列

D.%管土%?N*)的最大值為,

【正確答案】BCD

【分析】對(duì)A：取特值，結(jié)合Sg=68,運(yùn)算求解即可：對(duì)B：根據(jù)題意可得%,+L%I=2(2"-1),

結(jié)合數(shù)列單調(diào)性分析判斷；對(duì)C：可得應(yīng),+%.2=8"-4,%T+%,T=8"-8,作差即可得結(jié)果；對(duì)

。2”+2+。2”_2

D：利用累加法求得=21+6,整理可得%用一丁，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性分析運(yùn)算.

n

【詳解】由7+2+(T)Z=2〃,可得：

對(duì)A：令〃=2,6可得：a4+a2=4,?÷?=12,則〃2+&+牝+/=16,

令〃=1,3,5可得：/一％=2,%-%=6,%-。5=1°，

即用=4+2,%=4+8,%=4+18,則q+q+G+07=q+(a1+2)+(q+8)+(q+18)=4q+28,

由S8=q+tz2π-----F/=(q+q+%+%)+(%+/+4+%)=44+28+16=68,解得q=6,A錯(cuò)誤;

對(duì)B：對(duì)V"∈N*,則％向+(-1)"1%1=%+∣-%ι=2(2"-l)>0,

故數(shù)列{%1τ}("cN')為遞增數(shù)列，B正確；

對(duì)C：當(dāng)〃N2時(shí)，可得40+%“_2=8〃-4,%“_2+4"-4=8"-8,則/“-41=4,

故數(shù)列{4,,}("wN")為等差數(shù)列，C正確；

-

對(duì)D：'.'?,+l?-ι?2(2n-l),

則%用=(%"+1一%”-1)+(生"-1一6"-3)+~+(%一4)+4

/、,n(2n-l+?}/,/

=2(2w-l+2∕7-3+???+l)+6=2×-i--——^+6=2H2+6,

且%,+2+(-1)"'%"=，“+2+。2,=4〃，

%,+2+%,j4w2

故?,,+∣2"+6zj+3

n

且/(χ)=χ+j在(0,G)上單調(diào)遞減，在(百,+8)上單調(diào)遞增，

7

且"1)=4J⑵=展

可得/(ι)>∕(2)<∕5),對(duì)?”≥3,"∈N恒成立，

故當(dāng)〃=2時(shí)，%取最大值g,D正確.

?∏÷ι7

故選：BCD.

關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決數(shù)列與函數(shù)綜合問(wèn)題的注意點(diǎn)

(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集，而不是某個(gè)區(qū)間上的連續(xù)實(shí)數(shù)，所以它的圖象是

一群孤立的點(diǎn).

(2)轉(zhuǎn)化以函數(shù)為背景的條件時(shí)，應(yīng)注意題中的限制條件，如函數(shù)的定義域，這往往是非常容易忽視

的問(wèn)題.

(3)利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中相關(guān)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，注意數(shù)列中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化.

三、填空題

13.已知數(shù)列｛4｝滿足a””-4=2,al=-5,則M+同+L+∣α7∣=.

【正確答案】25

【分析】先分析得到數(shù)列｛%｝是一個(gè)以-5為首項(xiàng)，以公差為2的等差數(shù)列，求出q=2"-7即得解.

【詳解】因?yàn)?,+1-4=2,α∣=-5,

所以數(shù)列｛%｝是一個(gè)以-5為首項(xiàng)，以公差為2的等差數(shù)列，

所以4=-5+("-l)x2=2"-7,

所以M+∣%∣+L+㈤=|—5|+|-3|+|—l∣+l+3+5+7=25

故25

14.兩個(gè)等差數(shù)列｛%｝,但｝的前〃項(xiàng)和分別為5“和7“，已知b=F>,則U=____.

Xfl?3t)->

【正確答案】?93

16

q—(tZ1+β13)—×2tZ7

【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)有U=^?---------=?——=F即可得到結(jié)果.

加丁+%)l∣x2b,&

%=萬(wàn)∣3（∕％??13?%=%

【詳解】由題意可知,

兀一勒+%）一5&-&

所以％_S=7X13+2_93

歷以4T1313+316-

故答案為：白93.

16

15.某設(shè)備的使用年數(shù)X與所支出的維修總費(fèi)用y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:

使用年數(shù)X(單位：年)23456

維修總費(fèi)用y(單位：萬(wàn)元)1.54.55.56.57.5

根據(jù)上表可得回歸直線方程為y=L3x+”.若該設(shè)備維修總費(fèi)用超過(guò)12萬(wàn)元就報(bào)廢，據(jù)此模型預(yù)測(cè)該

設(shè)備最多可使用年.

【正確答案】9

2+3+4+5+61.5+4.5+5.5+6.5+7.5

【詳解】因工==4,y=

55

故代入回歸方程可得a=5.1-1.3χ4=-0.1,

所以線性回歸方程為y=1.3x-0.1,

當(dāng)y=12時(shí)，解得Xa9.

故9.

16.已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S"，且W=”“，若"二S”]恒成立,則實(shí)數(shù)2的最大值為

【正確答案】I

【分析】由給定的遞推公式求出乙，由恒成立的不等式分離參數(shù)，構(gòu)造數(shù)列并判斷單調(diào)性求出最值

作答.

【詳解】數(shù)列｛q｝中，由WW=4,得S,,=26-",當(dāng)〃=1時(shí)，al=Sl=2at-l,解得q=l,

當(dāng)“22時(shí)，α,,=S,,-S,-=24,,-"-[2%-("-l)],即有α,,=2%+l,即+1=2(%+1),

而4+1=2,則數(shù)列｛q+D是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，?+l=2?即4=2"-l,

M+1w

SM=2-2-/1,ffiJ?≤≤l-no(2-iμ≤S÷n-√<z>2≤2一一—

nn2,,-l

22

依題意，V"∈N*,λ≤2——,令6“=2—5—

2π-l"2,1-l

__“2_("+If_("-2"-l)?2"+(2"+l)

bb顯然—,

,'+ln-2,'-12"M-I(2,,+l—1)(2,'-1)

當(dāng)〃≥2時(shí)，令C,,=(∕-2"-l)?2"+(2"+l),c2=1,

當(dāng)“23時(shí)，c,,N(3w-2"-l)?2"+(2"+l)=("-l)?2"+(2"+l)>0,

即當(dāng)〃22時(shí)，?+l-b,,>0,即b,,+∣>2,

則當(dāng)〃22時(shí)，數(shù)列也｝是遞增的，于是SQmM=H2=;,即有X≤2j,

所以實(shí)數(shù)4的最大值為

故W

四、解答題

17.已知等比數(shù)列｛q,｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且出+/+4=39,a5=2a4+3a3.

⑴求｛q,｝的通項(xiàng)公式;

n

⑵數(shù)列也｝滿足。=一,求他｝的前〃項(xiàng)和T,.

an

【正確答案】（l）αz,=3"T;

⑵T-篝

【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列基本量的運(yùn)算可得4，q,即可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）由題可得打，然后利用錯(cuò)位相減法求解即可；或利用裂項(xiàng)相消法求和即得.

【詳解】（1）設(shè)數(shù)列｛%｝的公比為〃（4>0），貝IJHV+''+?"3：,^>0,解得卜=1

所以%=3"i,即｛4｝的通項(xiàng)公式為αj,=3"T;

（2）方法一：由題可知々=言，

LlTl23H-In

則方=1+要+?++g∑5^+F'

1?_123n-?n

V="+于++Fr+F,

Cllll1nL"3(3)1

+n+,

所以升=1+b?十寸FΓ-F=7^-FZΞ2^12?

3

_96∕?+9

^4^4×3M

3/-939

、.v,?一(〃-I)H——nA—

方法二：b=.-3"#'424,

"a3M3n^,3H

?-1)9”

，。+2，1+?+

所以22、)424

T“=A+4++?=-4_24++

3°3'3”

39

+

924

-967T+9

43"44×3,1

18.已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S.,且有24+22+2%3+…+2"%="?2".

(1)求數(shù)列｛〃,｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)"=」一，為數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和，證明：T“<2.

ana∏+?

/7+1

【正確答案】(1)4=丁

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)遞推一項(xiàng)作差即可求解；

(2)根據(jù)題意求出2,利用裂項(xiàng)相消求和即可證明.

【詳解】(1)由題2q+2%+2&++2"an=n-2",

當(dāng)〃=1時(shí)，2al=2,/.α∣=1；

3

當(dāng)wN2時(shí)，?2αl+2'a2+2α3H-----1-2"an=n?2",

2

所以2al+2a2+2α+…+2"一&I=(〃-1)?2"',兩式相減,

ππ

可得2"all=n-2"-(π-l)2^'=(n+l)2^',：.4=等.

當(dāng)”=1時(shí)，6,=!?=1滿足，，鳳=卓士.

,14JlI)

(2)由題2=--------=~————=4-—?L

????+1("+1)("+2)l"+ln+2J

1+2」+_11

所以北=4仁一+

334n+]〃+2

44

〃∈N*>0,：.T=2----------<2.

〃+2n+2

19.某航運(yùn)公司用300萬(wàn)元買回客船一艘，此船投入營(yíng)運(yùn)后，每月需開支燃油費(fèi)、維修費(fèi)、員工工

資，已知每月燃油費(fèi)7000元，第"個(gè)月的維修費(fèi)和工資支出為6005-1)+3000元.

(I)設(shè)月平均消耗為y元，求y與〃(月)的函數(shù)關(guān)系；

(2)投入營(yíng)運(yùn)第幾個(gè)月，成本最低？(月平均消耗最小)

(3)若第一年純收入50萬(wàn)元(已扣除消耗)，以后每年純收入以5%遞減，則多少年后可收回成本？

【正確答案】(1)y=300"+9700+JUWUUU,Z7∈M；(2)投入第100個(gè)月，成本最低；

n

(3)7年后收回成本.

【分析】(1)先求出購(gòu)船費(fèi)和所有支出的和，然后把購(gòu)船費(fèi)和所有支出費(fèi)用平攤到每一個(gè)月，即可

求得平均消耗y與〃(月)的函數(shù)關(guān)系：

(2)利用基本不等式可得最值，從而求出此時(shí)〃的值，即可求解；

(3)假設(shè)X年后可收回成本，則收入是首項(xiàng)為50,公比為0.95的等比數(shù)列，然后建立收入大于成

本的不等式，即可求解.

【詳解】(1)購(gòu)船費(fèi)和所有支出費(fèi)為

3()()()()()()+7000〃+[3000+3(X)0×6∞+3(XX)×2×6(X)++3(XX)X6(XX)(M-1)]

=300(X)00+97(X)"+300"元，

所以月平均消耗y=300/?+9700÷^uυυυυυ,

n

即月平均消耗為y與"的函數(shù)關(guān)系y=300"+9700+------------,n≡N+.

n

(2)由(1)),=300〃+9700+3(Xx)(Kx)≥2∣300"?j299992+9700=69700,

nVn

當(dāng)且僅當(dāng)300〃=""竺？，即"=I(X)時(shí)等號(hào)成立，

n

所以當(dāng)投入營(yíng)運(yùn)100個(gè)月時(shí)，營(yíng)運(yùn)成本最低.

(3)假設(shè)X年后可收回成本，則收入為：

50+50(1-5%)+50(1-5%)2+.+50(1-5%)v^'=1000(1-0.95?>300,

解得X=7時(shí)滿足條件，X=6時(shí)不滿足條件，

故7年后可收回成本.

本題主要考查了等比數(shù)列的應(yīng)用，以及基本不等式求最值的應(yīng)用，著重分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力,

屬于中檔試題.

20.某中學(xué)為了豐富學(xué)生的課余生活,欲利用每周一下午的自主活動(dòng)時(shí)間,面向本校高二學(xué)生開設(shè)“廚

藝探秘”“盆景栽培”“家庭攝影”“名畫鑒賞”四門選修課,由學(xué)生自主申報(bào),每人只能報(bào)一門,也可以不

報(bào).該校高二有兩種班型一文科班和理科班(各有2個(gè)班)，據(jù)調(diào)查這4個(gè)班中有100人報(bào)名參加了

此次選修課,報(bào)名情況統(tǒng)計(jì)如下：

廚藝探秘盆景栽培家庭攝影名畫鑒賞

文科1班115146

文科2班127114

理科1班3193

理科2班5162

(1)若把“廚藝探秘”“盆景栽培”統(tǒng)稱為“勞育課程'',把“家庭攝影”“名畫鑒賞”統(tǒng)稱為“美育課程請(qǐng)根

據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的2x2列聯(lián)表：

課程

報(bào)名班型合計(jì)

“勞育課程”“美育課程”

文科班

理科班

合計(jì)

(2)根據(jù)(1)列聯(lián)表中所填數(shù)據(jù),判斷是否有99%的把握認(rèn)為課程的選擇與班型有關(guān).

n^ad-bey

(α+?)(c+<∕)(w+c)(?+J)

2

P(κ≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.01000.005

ko0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.63577.879

【正確答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析

(2)沒(méi)有99%的把握認(rèn)為“勞育課程”“美育課程”的選擇與文理科有關(guān).

【分析】補(bǔ)全列聯(lián)表,再算出K?的值與6.635進(jìn)行比較即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)由題意,列聯(lián)表如下：

課程

報(bào)名班型合計(jì)

“勞育課程”“美育課程”

文科班353570

理科班102030

合計(jì)4555100

(2)假設(shè)Ho:“勞育課程”“美育課程”的選擇與文理科無(wú)關(guān).

我2_IOOX(35x20-35x10)2

——≈2.357<6.635,

Λ45X55X70X30297

???根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),可以推斷H0不成立,即沒(méi)有99%的把握認(rèn)為“勞育課程”“美育

課程'’的選擇與文理科有關(guān).

21.某市為了更好的了解全體中小學(xué)生感染新冠感冒后的情況，以便及時(shí)補(bǔ)充醫(yī)療資源.從全市中小

學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名抗原檢測(cè)為陽(yáng)性的中小學(xué)生監(jiān)測(cè)其健康狀況，100名中小學(xué)生感染奧密克

戒后的疼痛指數(shù)為X,并以此為樣本得到了如下圖所示的表格：

疼痛指數(shù)XX≤1010<X<90X≥90

人數(shù)(人)10819

名稱無(wú)癥狀感染者輕癥感染者重癥感染者

其中輕癥感染者和重癥感染者統(tǒng)稱為有癥狀感染者.

(1)統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用L=吉關(guān)表示在事件A發(fā)生的條件下事件8發(fā)生的似然比.現(xiàn)從樣本中隨機(jī)抽取1

名學(xué)生，記事件A：該名學(xué)生為有癥狀感染者，事件8：該名學(xué)生為重癥感染者，求似然比乙的值;

(2)若該市所有抗原檢測(cè)為陽(yáng)性的中小學(xué)生的疼痛指數(shù)X近似的服從正態(tài)分布N(50,σ2),且

P(X≥90)=W.若從該市眾多抗原檢測(cè)為陽(yáng)性的中小學(xué)生中隨機(jī)抽取3名，設(shè)這3名學(xué)生中輕癥感

染者人數(shù)為y,求y的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【正確答案】(Iy

⑵分布列見(jiàn)解析，2.4

【分析】(1)應(yīng)用條件概率公式計(jì)算求解即可；

(2)應(yīng)用Y由二項(xiàng)分布分別寫出求分布列及計(jì)算數(shù)學(xué)期望.

81+999-91981

【詳解】⑴由題意得：P(A)=F=R,P(B)=痂,尸(8)=后,P(AB)=芯,P(AB)

1OuΓ10100100100100

9

?尸(BlA)-運(yùn)-血」

.(bP(A)_2-10'

10

81

P(AB)IQ59

哂A)==

P(A)-2-10

10

1

「(勺A)=m=I

P{B?A)-2-5,

K)

(2)P(X≤10)=P(X≥90)=-,

14

.?.P(10<X<90)=l-2×-=-,則y

y可能的取值為0,1,2,3,

^P(I)=c；x(JW=/P(I)=C

p(y=3)=c>

.?.y的分布列為:

Y0123

1124864

P

725125Y25Y25

4

數(shù)學(xué)期望E(y)=3xg=2.4.

22.己知數(shù)列｛q｝中，4=1,4=2,?t2-?=4(n∈N*),數(shù)列｛α,,｝的前〃項(xiàng)和為S”.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

%

（2）己知勿=S?.+5〃，%