2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)：外接球和內(nèi)切球問題（附答案解析）

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)：外接球和內(nèi)切球問題

一.選擇題（共12小題）

1.（2021秋?四川期中）兩個球的表面積之差為48n,它們的大圓周長之和為12n,這兩個

球的半徑之差為（）

A.4B.3C.2D.1

2.（2021秋?西青區(qū)期末）已知三棱柱/8C-/181。的6個頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB

=3,AC=4,ABLAC,AA↑=?2,則球。的表面積為（）

A.153πB.160πC.169πD.360π

3.（2021秋?海南州期中）長方體的三個相鄰面的面積分別是2,3,6,這個長方體的頂點(diǎn)

都在同一個球面上，則這個球的表面積為（）

A..l'1.π..B.56πC.14πD.16π

2

4.（2021秋?海南州期中）已知棱長為1的正四面體的四個頂點(diǎn)都在一個球面上，則這個球

的體積為（）

A.逅兀B.逅兀C.返兀D.返兀

8484

5.（2021秋?丹陽市期中）已知在三棱錐尸-4BC中，PA=PB=PC=AB=AC=BC

=百，則三棱錐尸-48C的外接球的表面積為（）

A.25n.B.1°0∣71LC.10πD.??）?..71-

297

6.（2021秋?江西期中）已知圓臺的上、下底面的半徑分別為3,4,母線長為5√],若該

圓臺的上、下底面圓周均在球。的球面上，則球。的表面積為（）

A.50πB.100πC.150πD.200π

7.（2021秋?順慶區(qū)校級期中）在三棱錐尸-/8C中，PA,PB,尸C兩兩垂直，PA=?,PB

=2,PC=3,則該三棱錐的外接球的表面積為（）

A.■兀B.56πC.芻殳Zll.兀D.14π

43

8.（2021秋?河南期中）已知三棱錐N-8C。的四個頂點(diǎn)都在球。的球面上，底面88是

邊長為2√5的正三角形,若三棱錐A-BCD體積的最大值為6,則球。的表面積為（）

A.16πB.18πC.D..θ?2∑.

33

9.（2021秋?河南期中）在三棱錐S-NBC中，∕SBA=NSCA=2L,底面48C是邊長為2

2

第1頁（共20頁）

的等邊三角形，若二面角S-BC-4的大小為"，則三棱錐S-48。的外接球表面積

3

大小為（）

171920

A167rB-TTC-TTD-TT

3333

10.（2021春?福建期中）已知在菱形/8CD中，AB=BD=2√3.將菱形/8Cr）沿對角線8。

折起，得到三棱錐z-BCD,且使得棱AC=3√a,則三棱錐Z-BCD的外接球的表面積

為（）

A.7πB.14πC.28πD.35π

11.（2021春?宜春期末）粽子古稱“角黍”，是中國傳統(tǒng)的節(jié)慶食品之一，由粽葉包裹糯米

等食材蒸制而成.因各地風(fēng)俗不同，粽子的形狀和味道也不同，某地流行的“五角粽子”,

其形狀可以看作所有棱長均為4cm的正四棱錐.現(xiàn)在需要在粽子內(nèi)部放入一顆咸蛋黃，

蛋黃的形狀近似地看成球，則當(dāng)這個蛋黃的體積最大時，蛋黃的半徑為（）

A.?/θ+√2B?Λ∕6-V2C.Λ∕3+1D.V3^l

12.（2021?新疆模擬）如圖，邊長為2的正方形月Bs中，點(diǎn)E、F分別是48、BC的中點(diǎn)，

將AEBF,AFCD分別沿DE,EF,尸。折起，使得/、B、C三點(diǎn)重合于點(diǎn),

若四面體，EFo的四個頂點(diǎn)在同一個球面上，則該球的表面積為（）

A.8πB.6πC.1lπD.5π

二.填空題（共6小題）

13.（2021春?西湖區(qū)校級期中）正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4,底面

邊長為2,則該球的體積為.

14.（2021秋?北林區(qū)校級期中）已知三棱錐S-NBC中，S/_L平面/8C,且S∕=4,AB=

AC=2,∕B∕C=120°,則三棱錐S-/8C的外接球的表面積為.

15.（2021秋?揚(yáng)州期中）在三棱錐OFBC中，/8=2,AC=2√3-BC=4,且側(cè)棱長均為

2√m則該三棱錐外接球的表面積為.

16.（2021秋?金安區(qū)校級期中）如圖，一個酒杯的內(nèi)壁的軸截面是拋物線的一部分，杯口

寬4c〃z,杯深8c加，稱為拋物線酒杯.

第2頁（共20頁）

①在杯□放一個半徑為451的玻璃球，則球面上的點(diǎn)到杯底的最小距離為cm；

②在杯內(nèi)放入?個小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑的取值范圍為

（單位：cm）.

17.（2021?玉林模擬）如圖，正四棱錐尸的每個頂點(diǎn)都在球"的球面上，側(cè)面Λ48

是等邊三角形.若半球。的球心為四棱錐的底面中心，且半球與四個側(cè)面均相切，則半

18.（2021春?市中區(qū)校級期中）球面幾何是幾何學(xué)的一個重要分支，在剛海、航空、衛(wèi)星

定位等方面都有廣泛的應(yīng)用.如圖，A,B,C是球面上不在同一大圓（大圓是過球心的

平面與球面的交線）上的三點(diǎn)，經(jīng)過這三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的大圓的劣弧分別為源,BC，CA，

由這三條劣弧組成的圖形稱為球面a∕8C.已知地球半徑為R,北極為點(diǎn)N,尸、。是地

球表面上的兩點(diǎn).

①若P,。在赤道上，且經(jīng)度分別為東經(jīng)40°和東經(jīng)100°,則球面的面積

為;

②若NP=NQ=PQ=織且R,則球面△%產(chǎn)0的面積為?

第3頁（共20頁）

第4頁（共20頁）

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)：外接球和內(nèi)切球問題

參考答案與試題解析

一.選擇題（共12小題）

I.（2021秋?四川期中）兩個球的表面積之差為48m它們的大圓周長之和為12π,這兩個

球的半徑之差為（）

A.4B.3C.2D.1

【考點(diǎn)】球的體積和表面積.

【專題】空間位置關(guān)系與距離.

【分析】根據(jù)球的表面積公式及大圓的面積公式，求出兩球的半徑即可.

【解答】解：V4πΛ2-4πr2=48π^Λ2-r2=12,①

：2nR+2τrr=12ττnr+R=6,（2）

由①②得R-r=2③，聯(lián)立②③解得R=4,廠=2

ΛR-r=2.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查球的表面積公式.S球=4π^?

2.（2021秋?西青區(qū)期末）已知三棱柱NBC-48∣Cj的6個頂點(diǎn)都在球。的球面上，若4B

=3,4C=4,ABA.AC,/出=12,則球。的表面積為（）

A.153πB.160πC.169πD.360π

【考點(diǎn)】球的體積和表面積.

【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離.

【分析】由于直三棱柱∕8C-∕ι8∣Cl的底面/8C為直角三角形，我們可以把直三棱柱

∕8C-∕∣8∣C∣補(bǔ)成四棱柱，則四棱柱的體對角線是其外接球的直徑，求出外接球的直徑

后，代入外接球的表面積公式，即可求出該三棱柱的外接球的表面積.

【解答】解：由題意，三棱柱NBC-NIBICI為直三棱柱NBC-∕ι8ιC∣,底面NBC為直

角三角形，把直三棱柱∕8C-∕∣8ιC∣補(bǔ)成四棱柱，

則四棱柱的體對角線是其外接球的直徑，

所以外接球半徑為?∣√∕7否??=號，

則三棱柱ABC-小8ιCI外接球的表面積是4πΛ2=169π.

第5頁（共20頁）

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查球的體積和表面積，球的內(nèi)接體問題，考查學(xué)生空間想象能力，是基

礎(chǔ)題.

3.（2021秋?海南州期中）長方體的三個相鄰面的面積分別是2,3,6,這個長方體的頂點(diǎn)

都在同一個球面上，則這個球的表面積為（）

A.12LB.56πC.14πD.16π

2

【考點(diǎn)】球的體積和表面積.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；球；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由題意長方體的外接球的直徑就是長方體的體對角線，求出長方體的體對角線

長，就是求出球的直徑，然后求出球的表面積.

【解答】解：因為一個長方體相鄰的三個面的面積分別是2,3,6,

長方體的一個頂點(diǎn)上的三條棱長分別是3,2,1,且它的8個頂點(diǎn)都在同一個球面上,

所以長方體的體對角線就是球的直徑，

長方體的體對角線的長是：√12+22+32=√14.

球的半徑是：叵，

2

這個球的表面積：4π?（Vjl）2=14π.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題是基礎(chǔ)題，考查球的表面積，注意球的直徑與長方體的體對角線之間的轉(zhuǎn)

化是本題的解答的關(guān)鍵，考查計算能力，空間想象能力.

4.（2021秋?海南州期中）已知棱長為1的正四面體的四個頂點(diǎn)都在一個球面上，則這個球

的體積為（）

第6頁（共20頁）

A.VlπB.?πC.返兀D.返兀

8484

【考點(diǎn)】球的體積和表面積.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離：邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】把四面體補(bǔ)成正方體，兩者的外接球是同一個，求出正方體的棱長，然后求出

正方體的對角線長，就是球的直徑，即可求出體積；

【解答】解：將四面體補(bǔ)成正方體，則正方體的棱長是返，正方體的對角線長為：后,

22

則此球的表面積為：lπ×（￡）3=逅兀.

348

故選：A.

【點(diǎn)評】本題是基礎(chǔ)題，考查空間想象能力，正四面體的外接球轉(zhuǎn)化為正方體外接球，

使得問題的難度得到降低，問題得到解決，注意正方體的對角線就是球的直徑，也是比

較重要的.

5.（2021秋?丹陽市期中）已知在三棱錐P-NBC中，PA=PB=PC={GAB=AC=BC

=√3.則三棱錐P-"8C的外接球的表面積為（）

A..25?.B.?θ??.C.10πD.100π

297

【考點(diǎn)】球的體積和表面積.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由外接球的球心在正棱錐的高上，求出外接球的半徑，由球的表面積公式求解

即可.

【解答】解：：PA=PB=PC=^AB=AC=BC=弧,

故三棱錐P-/8C是正三棱錐，

設(shè)PH為三棱錐P-ABC的高，

則其外接球的球心在PH上,

設(shè)外接球的半徑為R,

C"=返X√3=1，則PH=√2,2=3，

3PCCH

.?OC2=OH2+CH2,即夫2=（3-A）2+P,解得H="，

3

故三棱錐P-ABC外接球的表面積是S=4πW=4π?e）2=小匚

9

故選：B.

第7頁（共20頁）

【點(diǎn)評】本題考查了幾何體的外接球問題，解題的關(guān)鍵是確定外接球球心的位置，三棱

錐的外接球的球心在過各面外心且與此面垂直的直線上，由此結(jié)論可以找到外接球的球

心，考查了邏輯推理能力與空間想象能力，屬于中檔題.

6.（2021秋?江西期中）已知圓臺的上、下底面的半徑分別為3,4,母線長為5&,若該

圓臺的上、下底面圓周均在球。的球面上，則球。的表面積為（）

A.50πB.100πC.150πD.200π

【考點(diǎn)】球的體積和表面積.

【專題】計算題；整體思想；演繹法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理：直觀想象；數(shù)

學(xué)運(yùn)算.

【分析】由題中條件得到圓臺的高，再分圓臺的兩個底面在球心。異側(cè)與同側(cè)兩種情況

討論即可得到答案.

【解答】解：由題得圓臺的高為h=q2_（4.3）2=7,

設(shè)圓臺的上下底面圓心為。1，。2，OO1=X,球。的半徑為R,

當(dāng)圓臺的兩個底面在球心。異側(cè)時，OO2=7-X,

222

所以R2=X+32=（I-X）+4,

解得x=4,R=5；

當(dāng)圓臺的兩個底面在球心。同側(cè)時，OO2=X-7,

R2-^-+32-（X-7）2+42,

解得x=4,R—5,

此時4-7V0,不合題意，舍去，

故球O的表面積S=4πA2=100π,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了幾何體的外接球的表面積問題，屬于中檔題.

7.（2021秋?順慶區(qū)校級期中）在三棱錐P-48C中，PA,PB,PC兩兩垂直，PA=?,PB

第8頁（共20頁）

=2,PC=3,則該三棱錐的外接球的表面積為（）

A.■^冗B.56πC.冗D.14π

43

【考點(diǎn)】球的體積和表面積.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；分割補(bǔ)形法；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】把三棱錐P-48C放置在一個長方體中，求出長方體的外接球的表面積，即為

三棱錐P-ABC的外接球的表面積.

【解答】解：如圖，把三棱錐P-NBC放置在一個長方體中，

則三棱錐的外接球即長方體的外接球，半徑為燈否齊^二φ?,

.?.該三棱錐的外接球的表面積為4πX9魯）2=]4兀.

故選：D.

B

【點(diǎn)評】本題考查多面體外接球表面積的求法，訓(xùn)練了分割補(bǔ)形法，是基礎(chǔ)題.

8.（2021秋?河南期中）已知三棱錐力-BC。的四個頂點(diǎn)都在球。的球面上，底面8CZ）是

邊長為2√S的正三角形,若三棱錐A-BCD體積的最大值為6,則球。的表面積為（）

A.16πB.18πC.?l?D..θ12L

33

【考點(diǎn)】球的體積和表面積.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】設(shè)球的半徑為R,球心。到底面BC。的距離為d,ABS外接圓的半徑為r,

由已知求得廣，再由三棱錐Z-88體積的最大值為6可得R與d的關(guān)系式，結(jié)合勾股

定理求解R值，則球。的表面積可求.

【解答】解：設(shè)球的半徑為R,球心O到底面BCD的距離為d,

△8C。外接圓的半徑為八

?.?△88是邊長為2a的正三角形，.?.2r=2^=4,則廠=2,

SinoO√3

第9頁（共20頁）

2

SΔBCD=?×2√3×2√3×y-=3√3?

?.?∕+Γ2=R2,即/+4=欣①

三棱錐A-BCD體積的最大值為上X3√^×（R+d）=&即R+^=2√3>②

3

聯(lián)立①②，解得R=球。的表面積為S=4nR2=旦HL.

33

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)

算求解能力，是中檔題.

9.（2021秋?河南期中）在三棱錐S-NBC中，NSB/=NSd=生，底面/8C是邊長為2

2

的等邊三角形，若二面角S-BC-N的大小為竺，則三棱錐S-NBC的外接球表面積

3

大小為（）

A164b17_c19_d20_

3333

【考點(diǎn)】球的體積和表面積.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；球；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】首先利用三角形的全等和余弦定理的應(yīng)用求出三棱錐體的外接球的直徑，進(jìn)一

步利用球的表面積公式的應(yīng)用求出球的表面積.

【解答】解：如圖所示:

取8。的中點(diǎn)。，連接SO和Z。，

由于NSB/=NScZ=JL,BA=AC,"為公共邊,

2

所以as∕8絲Z?S4C,

貝IjS8=SC,

第10頁（共20頁）

所以S0_L8C,OALBC,

所以NSO，為二面角S-BC-/的平面角.故//OS=%：,

3

設(shè)SO=X,則58=4+],

由于NSBA=卷，

所以"=dχ2+5,

在aSQI中，由余弦定理：SA2=SO2+0A2-2?sθ'θ?"eos?'

即J+3W^X=X2+5，

解得X=,,

√3—

所以三棱錐S-ABC的外接球的直徑2R=S4={χ2+5=腭,

所以S球=4?兀?竽?=丹三

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：三角形的全等，二面角的定義，余弦定理，球的表面積

公式，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題.

10.（2021春?福建期中）已知在菱形NBC。中，AB=BD=2√3.將菱形/8CZ）沿對角線8。

折起，得到三棱錐/-88,且使得棱AC=3√W則三棱錐力-BC。的外接球的表面積

為（）

A.7πB.I4πC.28πD.35π

【考點(diǎn)】球的體積和表面積.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；空間位置關(guān)系與距離；球；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)

算.

【分析】直接利用折疊問題的應(yīng)用求出相關(guān)的線段的長，進(jìn)一步利用勾股定理和余弦定

理的應(yīng)用求出球的半徑，最后利用球的表面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果.

【解答】解：在菱形“88中，AB=BD=2√3.將菱形/88沿對角線8。折起，得到三

棱錐/-BCD,

如圖所示：

第11頁（共20頁）

等邊三角形的中心為O',球心為。，

利用AC—AB=2f?[^,

所以4/=CF=3,

利用余弦定理」CoSNAFC='''K等'等

故NAFC=等，

故NAFE=等，

e

o

AE=AF9^?n-=?'??,0，F(xiàn)=?R=I,EF=AFsMQ=3,

sιn322^2

設(shè)外接球的半徑為七

,,2,22

OO=x,OO+OB=OB9

所以/+22=火2,

利用（竽-X）2+（∣?+1）2=R2,

解得X=E，

所以R=?∣^j,

故：S^=4-π?（√7）2=28K?

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：折疊問題，勾股定理，余弦定理，球的半徑的求法，球

的表面積公式，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題.

11.（2021春?宜春期末）粽子古稱“角黍”，是中國傳統(tǒng)的節(jié)慶食品之一，由粽葉包裹糯米

等食材蒸制而成.因各地風(fēng)俗不同，粽子的形狀和味道也不同，某地流行的“五角粽子”,

其形狀可以看作所有棱長均為4cm的正四棱錐.現(xiàn)在需要在粽子內(nèi)部放入一顆咸蛋黃，

第12頁（共20頁）

蛋黃的形狀近似地看成球，則當(dāng)這個蛋黃的體積最大時，蛋黃的半徑為（）

A.?fξ）+?[2B?V6-V2c.Λ∕3+1D.??-l

【考點(diǎn)】球的體積和表面積；棱柱、棱錐、棱臺的體積.

【專題】數(shù)形結(jié)合；等體積法；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由三角形面積公式求出側(cè)面積，再由正方形面積公式求得底面積，則表面積可

求，求出正四棱錐的高，再由等體積法求內(nèi)切球的半徑.

【解答】解：由粽子的形狀是所有棱長均為4CM的正四棱錐，

得每個側(cè)面三角形的面積為上X4X4X返=4√5”/.

22

粽子的表面積為4X4√^÷4X4=（16√3÷16）COT2;

球的體積要達(dá)到最大，則需要球與四棱錐的五個面都相切，

正四棱錐的高為h-22CW,設(shè)球的半徑為八

A∕4-（2√2）=2√2

，四棱錐的體積H=工X（16√3M6）r≈Jl×16×2√2,解得，?=√^-√^cw.

33

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及相關(guān)計算，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

12.（2021?新疆模擬）如圖，邊長為2的正方形Z8C。中，點(diǎn)E、F分別是/B、8C的中點(diǎn),

將△/￡>￡∕?EBF,AFCD分別沿DE,EF,ED折起，使得/、B、C三點(diǎn)重合于點(diǎn)加，

若四面體HEEo的四個頂點(diǎn)在同一個球面上，則該球的表面積為（）

D.5π

【考點(diǎn)】球的體積和表面積.

第13頁（共20頁）

【專題】計算題；方程思想；綜合法；球.

【分析】把棱錐擴(kuò)展為正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半徑就是三棱錐的外接球的

半徑，從而可求球的表面積.

【解答】解：由題意可知△4'Ek是等腰直角三角形，且T。，平面HEF.

三棱錐的底面小EF擴(kuò)展為邊長為I的正方形，

然后擴(kuò)展為正四棱柱，三棱錐的外接球與正四棱柱的外接球是同一個球，

正四棱柱的對角線的長度就是外接球的直徑，直徑為：ViTw=√6?

球的半徑為返，

2_

球的表面積為4兀?2≈6π.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查幾何體的折疊問題，幾何體的外接球的半徑的求法，考查球的表面積,

考查空間想象能力.

二.填空題（共6小題）

13.（2021春?西湖區(qū)校級期中）正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4,底面

邊長為2,則該球的體積為—笙■兀

16

【考點(diǎn)】球的體積和表面積.

【專題】綜合題；方程思想；演繹法；空間位置關(guān)系與距離.

【分析】正四棱錐尸-NBCO的五個頂點(diǎn)在同一球面上，則其外接球的球心在它的高產(chǎn)Oi

上，記為。，如圖.求出/01，OO1，解出球的半徑，求出球的體積.

【解答】解：正四棱錐尸-ZBC。的外接球的球心在它的高Pol上，

記為0,PO=AO=R,POl=4,OOl=4-R,

在RtZUOiO中，J0ι=√2,由勾股定理#=2+（4-R）2得R=9,

4

...球的體積為理兀.

16

故答案為：243,π.

第14頁（共20頁）

P

【點(diǎn)評】本題考查球的表面積，球的內(nèi)接體問題，解答關(guān)鍵是確定出球心的位置，利用

直角三角形列方程式求解球的半徑.

14.（2021秋?北林區(qū)校級期中）已知三棱錐S-NBC中，SN_L平面Z5C,且％=4,AB=

NC=2,N歷IC=120°,則三棱錐S-/8C的外接球的表面積為32τr.

【考點(diǎn)】球的體積和表面積.

【專題】數(shù)形結(jié)合；分割補(bǔ)形法；空間位置關(guān)系與距離：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】將三棱錐S-NBC補(bǔ)形為直三棱柱，由已知求出三角形/8C外接圓的半徑，再

由勾股定理求解三棱錐S-ABC外接球的半徑，代入球的表面積公式得答案.

【解答】解：如圖，

將三棱錐S-/8C補(bǔ)形為直三棱柱，設(shè)上、下底面外接圓的圓心分別為02,Oi,

則外接球的球心。為OIo2的中點(diǎn)，由正弦定理得：201A=——十二OM=2,

?sin30

oax22,

又001卷SA=2，?'?=√001+01A=2√2=R

則三棱錐S-ABC的外接球的表面積為4π×（2√2）2=32π.

故答案為：32ττ.

【點(diǎn)評】本題考查多面體的外接球，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了分割補(bǔ)形法,

考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

15.（2021秋?揚(yáng)州期中）在三棱錐。-∕BC中，∕B=2,AC=2√9BC=4,且側(cè)棱長均為

第15頁（共20頁）

2√5,則該三棱錐外接球的表面積為25π.

【考點(diǎn)】球的體積和表面積.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由題意畫出圖形，證明。在底面的射影為8C的中點(diǎn)，再設(shè)三棱錐O-48C外

接球的球心為“，MQ=h,外接球的半徑為R,由題意列關(guān)于2?與人的方程組，求得K

值，代入球的表面積公式得答案.

【解答】解：如圖，

由/8=2,AC=2√3-BC=4,得Z82+∕C2=8C2,

則4/8C是以BC為斜邊的直角三角形，則的外心。在8C的中點(diǎn)上，

連接OQ,XOA=OB=OC=2√5,可得△。勿g∕?0Q8絲△（?℃,

則OQJ_平面/8C,且求得00=4,

設(shè)三棱錐O-C外接球的球心為M,MQ=h,外接球的半徑為R,

fR+h=4R=T

則__，解得＜:

2

U=h÷4∣hJ-

.?.該三棱錐外接球的表面積為4πX（?∣）2=25兀.

故答案為：25π.

【點(diǎn)評】本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)

算求解能力，是中檔題.

16.（2021秋?金安區(qū)校級期中）如圖，一個酒杯的內(nèi)壁的軸截面是拋物線的一部分，杯口

寬4cm,杯深8c小，稱為拋物線酒杯.

①在杯□放一個半徑為4。”的玻璃球，則球面上的點(diǎn)到杯底的最小距離為」+2?

cm；

②在杯內(nèi)放入?個小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑的取值范圍為

（0,/（單位：cm）.

4

第16頁（共20頁）

【考點(diǎn)】球的體積和表面積.

【專題】方程思想；數(shù)形結(jié)合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】①以杯子的底部為坐標(biāo)原點(diǎn)。，建立平面直角坐標(biāo)系，求得4B的坐標(biāo)，設(shè)

拋物線的方程，把4點(diǎn)代入方程，解得p,可得拋物線的方程，由已知球的半徑，結(jié)合

圖形，利用勾股定理可得所求最小值；

②球C2的橫截面的圓的方程為χ2+(y-r)2=戶，，>0,聯(lián)立拋物線的方程，解得N=O

或y=2r-上，由題意可得方程組只有一解y=0,則2,一工W0,即可求得廠的范圍.

22

【解答】解：①以杯子的底部為坐標(biāo)原點(diǎn)O,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

貝IJZ(-2,8),B(2,8),

設(shè)拋物線的方程為/=2々(p>0),

可得22=2∕>X8,解得P=_L,

4

所以拋物線的方程為X2=L,

2'

己知球的半徑R=4,

在直角三角形QBCi中，Cι8=4,DB=2,

可得CiD-y∣^2_22=2Λ∕3,

所以球面上的點(diǎn)到杯底的最小距離為8+2√3-4=4+2√3;

②球Q的橫截面的圓的方程為X2+(y-r)2=r2,r>0,

(21

聯(lián)立.2,可得y=0或y=2r-工，

X2+(y-r)2=r22

要使球觸及酒杯底部，則只需拋物線與圓相切于頂點(diǎn)(0,0),

聯(lián)立拋物線和圓的方程只能有I解y=0,另一個解為負(fù)數(shù)或零，

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所以y=2r-工WO,得OVrW工，

24

所以玻璃球的半徑的范圍為（0,-?.].

4

故答案為：4+2√3,（0,?].

【點(diǎn)評】本題考查拋物線和圓的方程的求法，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

17.（2021?玉林模擬）如圖，正四棱錐尸的每個頂點(diǎn)都在球M的球面上，側(cè)面刃8

是等邊三角形.若半球。的球心為四棱錐的底面中心，且半球與四個側(cè)面均相切，則半

球0的體積與球M的體積的比值為—返

【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；直

觀想象；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】連接PO,BD,取