2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國版）第8講 拋物線與幾何綜合題（考點(diǎn)精析+真題精講）（原卷版）

備戰(zhàn)2024中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第9講拋物線與幾何綜合第三章函數(shù)第8講拋物線與幾何綜合備戰(zhàn)2024中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第9講拋物線與幾何綜合第三章函數(shù)→?考點(diǎn)精析←→?真題精講←考向一拋物線與三角形有關(guān)問題考向二拋物線與線段有關(guān)問題考向三拋物線與角度有關(guān)問題考向四拋物線與四邊形有關(guān)問題考向五拋物線與圓有關(guān)問題考向六拋物線與面積有關(guān)問題第9講拋物線與幾何綜合二次函數(shù)是非常重要的函數(shù),年年都會(huì)考查,總分值為18~20分，預(yù)計(jì)2024年各地中考還會(huì)考,它經(jīng)常以一個(gè)壓軸題獨(dú)立出現(xiàn)，有的地區(qū)也會(huì)考察二次函數(shù)的應(yīng)用題，小題的考察主要是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及或與幾何圖形結(jié)合來考查.→?考點(diǎn)精析←1、函數(shù)存在性問題解決二次函數(shù)存在點(diǎn)問題，一般先假設(shè)該點(diǎn)存在，根據(jù)該點(diǎn)所在的直線或拋物線的表達(dá)式，設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo)；然后用該點(diǎn)的坐標(biāo)表示出與該點(diǎn)有關(guān)的線段長或其他點(diǎn)的坐標(biāo)等；最后結(jié)合題干中其他條件列出等式，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，然后判別該點(diǎn)坐標(biāo)是否符合題意，若符合題意，則該點(diǎn)存在，否則該點(diǎn)不存在．2、函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題（1）函數(shù)壓軸題主要分為兩大類：一是動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象問題；二是與動(dòng)點(diǎn)、存在點(diǎn)、相似等有關(guān)的二次函數(shù)綜合題．（2）解答動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象問題，要把問題拆分，分清動(dòng)點(diǎn)在不同位置運(yùn)動(dòng)或不同時(shí)間段運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而確定函數(shù)圖象；解答二次函數(shù)綜合題，要把大題拆分，做到大題小做，逐步分析求解，最后匯總成最終答案．（3）解決二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題，首先要明確動(dòng)點(diǎn)在哪條直線或拋物線上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度是多少，結(jié)合直線或拋物線的表達(dá)式設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或表示出與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的線段長度，最后結(jié)合題干中與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的條件進(jìn)行計(jì)算．→?真題精講←考向一拋物線與三角形有關(guān)問題1．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)在直線上，與軸的交點(diǎn)為，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為．直線與直線相交于點(diǎn)．

(1)如圖2，若拋物線經(jīng)過原點(diǎn)．①求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；②求的值．(2)連接與能否相等？若能，求符合條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不能，試說明理由．2．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)．

(1)求這條拋物線的函數(shù)解析式；(2)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B，C重合），作軸，垂足為D，連接．①如圖，若點(diǎn)P在第三象限，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②直線交直線于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)E關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)落在y軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫出四邊形的周長．3．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，其中，．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，將該拋物線向右平移個(gè)單位，點(diǎn)為點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與軸交于點(diǎn)，為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)．寫出所有使得以為腰的是等腰三角形的點(diǎn)的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的過程寫出來．4．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，和，連接，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)直接寫出拋物線和直線的解析式；(2)如圖2，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值；(3)當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，在軸上是否存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與以，，為頂點(diǎn)的三角形相似（其中點(diǎn)與點(diǎn)相對(duì)應(yīng)），若存在，直接寫出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．考向二拋物線與線段有關(guān)問題5．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段方向勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D1中過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，連接，，判斷四邊形的形狀，并說明理由．(3)如圖2，點(diǎn)從點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以與點(diǎn)相同的速度沿軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．連接，，求的最小值．6．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）已知是拋物（b為常數(shù)）上的兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，總有(1)求b的值；(2)將拋物線平移后得到拋物線．探究下列問題：①若拋物線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍；②設(shè)拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)E，外接圓的圓心為點(diǎn)F，如果對(duì)拋物線上的任意一點(diǎn)P，在拋物線上總存在一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo)相等．求長的取值范圍．考向三拋物線與角度有關(guān)問題7．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與軸交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)請(qǐng)求出拋物線的表達(dá)式．(2)如圖1，在軸上有一點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使得四邊形為正方形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)如圖2，將拋物線向右平移2個(gè)單位，得到拋物線，拋物線的頂點(diǎn)為，與軸正半軸交于點(diǎn)，拋物線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．考向四拋物線與四邊形有關(guān)問題8．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，求出的最大面積及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以為邊，點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．9．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，對(duì)稱軸為的拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，交軸負(fù)半軸于點(diǎn)．為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)，作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)若，當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是平行四邊形？(3)若，設(shè)直線交直線于點(diǎn)，是否存在這樣的值，使？若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．10．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線（）與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，拋物線頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)的直線（直線除外）與拋物線交于G，H兩點(diǎn)，直線，分別交x軸于點(diǎn)M，N．試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由．考向五拋物線與圓有關(guān)問題11．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與軸分別交于點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)的左側(cè)），直線是對(duì)稱軸．點(diǎn)在函數(shù)圖像上，其橫坐標(biāo)大于4，連接，過點(diǎn)作，垂足為，以點(diǎn)為圓心，作半徑為的圓，與相切，切點(diǎn)為．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若以的切線長為邊長的正方形的面積與的面積相等，且不經(jīng)過點(diǎn)，求長的取值范圍．12．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．拋物線的對(duì)稱軸與經(jīng)過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求直線及拋物線的表達(dá)式；(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)以點(diǎn)為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出的最小值．考向六拋物線與面積有關(guān)問題13．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)求四邊形的面積；(3)P是拋物線上的一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，若，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．14．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線．(1)求的值；(2)已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)．（ⅰ）當(dāng)時(shí)，求與的面積之和；（ⅱ）在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)，是否存在點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形的面積為？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．15．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）已