2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國版）第04講 二次根式（講義）（原卷版）

第04講二次根式目錄一、考情分析二、知識建構(gòu)考點一二次根式的相關(guān)概念題型01二次根式有意義的條件題型02判斷最簡二次根式題型03判斷同類二次根式考點二二次根式的性質(zhì)與化簡題型01利用二次根式的性質(zhì)化簡 題型02常見二次根式化簡的10種技巧技巧一數(shù)形結(jié)合法技巧二估值法技巧三公式法技巧四換元法技巧五拆項法技巧六整體代入法技巧七因式分解法技巧八配方法技巧九輔元法技巧十先判斷后化解考點三二次根式的運算題型01二次根式的乘除運算題型02二次根式的加減運算題型03二次根式的混合運算題型04二次根式的化簡求值題型05二次根式的應(yīng)用

考點要求新課標要求命題預(yù)測二次根式的相關(guān)概念了解二次根式、最簡二次根式的概念中考中，對二次根式的考察主要集中在對其取值范圍、化簡計算等方面，其中取值范圍類考點多出選擇題、填空題形式出現(xiàn)，而化簡計算則多以解答題形式考察.此外，二次根式還常和銳角三角函數(shù)、實數(shù)、其他幾何圖形等結(jié)合出題，難度不大，但是也多屬于中考必考題.二次根式的性質(zhì)與化簡掌握二次根式的性質(zhì)，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡二次根式的運算了解二次根式（根號下僅限于數(shù)）加、減、乘、除運算法則，會用它們進行簡單的四則運算考點一二次根式的相關(guān)概念二次根式的概念：一般地，我們把形如a（??≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號，二次根號下的數(shù)叫做被開方數(shù)．最簡二次根式：開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式．同類二次根式的概念：二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數(shù)相同，則這幾個二次根式就是同類二次根1.二次根式定義中規(guī)定，任何非負數(shù)的算術(shù)平方根都是二次根式，不需要看化簡后的結(jié)果1.二次根式定義中規(guī)定，任何非負數(shù)的算術(shù)平方根都是二次根式，不需要看化簡后的結(jié)果，如：4-9都是二次根式2.二次根式有意義的條件：當(dāng)a≧0時，即被開方數(shù)大于或等于0，二次根式a有意義.3.在關(guān)于代數(shù)式有意義的問題中，要注意二次根式（被開方數(shù)大于或等于0）、分式（分母不等于0）等有意義的綜合運用．4.最簡二次根式必須同時滿足以下兩個條件：①開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式（分母中不應(yīng)含有根號）；②不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，即被開方數(shù)的因數(shù)或因式的指數(shù)都為1.[補充]含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等.5.幾個同類二次根式在沒有化簡前，被開方數(shù)可以完全互不相同，如：2、8、12是同類二次根式題型01二次根式有意義的條件【例1】（2023·黑龍江綏化·中考真題）若式子x+5x有意義，則x的取值范圍是【變式1-1】（（2023·江西·中考真題）若a-4有意義，則a的值可以是（A．-1 B．0 C．2 D．【變式1-2】（2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）二次根式1-x在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（

）A．

B．

C．

D．

【變式1-3】（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）在函數(shù)y=1x-1解決二次根式有無意義的關(guān)鍵：1．如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負數(shù)．2．如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負數(shù)外，還必須保證分母不為零．題型02判斷最簡二次根式【例2】（2023·上海青浦·二模）下列二次根式中，最簡二次根式的是（

）A．0.2 B．8 C．6 D．1【變式2-1】（2022·河南南陽·二模）寫出一個實數(shù)x，使x-3是最簡二次根式，則x可以是題型03判斷同類二次根式【例3】（2023·山東煙臺·中考真題）下列二次根式中，與2是同類二次根式的是（

）A．4 B．6 C．8 D．12【變式3-1】（2021·江蘇泰州·中考真題）下列各組二次根式中，化簡后是同類二次根式的是（）A．8與3 B．2與12 C．5與15 D．75與27【變式3-2】下列各式中，能與2合并的是（

）A．4 B．24 C．12 D．8判斷同類二次根式的方法：先把所有的二次根式化成最簡二次根式，再根據(jù)被開方數(shù)是否相同來加以判斷，要注意同類二次根式與根號外的因式無關(guān)．【變式3-3】若最簡根式-2m+9與判斷同類二次根式的方法：先把所有的二次根式化成最簡二次根式，再根據(jù)被開方數(shù)是否相同來加以判斷，要注意同類二次根式與根號外的因式無關(guān)．考點二二次根式的性質(zhì)與化簡二次根式的化簡方法：1）利用二次根式的基本性質(zhì)進行化簡；2）利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進行化簡．a(chǎn)b=a?b（a≥0，b≥0化簡二次根式的步驟：1）把被開方數(shù)分解因式；2）利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把各因式（或因數(shù)）積的算術(shù)平方根化為每個因式（或因數(shù)）的算術(shù)平方根的積；1.根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡時，a前無“1.根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡時，a前無“-”,a化簡出來就不可能是一個負數(shù).2.利用二次根式性質(zhì)時，如果題目中對根號內(nèi)的字母給出了取值范圍，那么應(yīng)在這個范圍內(nèi)對根式進行化簡，如果題目中沒有給出明確的取值范圍，那么應(yīng)注意對題目條件的挖掘，把隱含在題目條件中所限定的取值范圍顯現(xiàn)出來，在允許的取值范圍內(nèi)進行化簡．3.化簡后的最后結(jié)果應(yīng)為最簡二次根式，并且分母中不含二次根式．題型01利用二次根式的性質(zhì)化簡【例1】（2023·江蘇泰州·中考真題）計算(-2)2等于（

A．±2 B．2 C．4 D．2【變式1-1】（2022·廣西桂林·中考真題）化簡12的結(jié)果是（

）A．23 B．3 C．22 D．2【變式1-2】（2023·湖北黃岡·中考真題）請寫出一個正整數(shù)m的值使得8m是整數(shù)；m=【變式1-3】（2022·四川南充·中考真題）若8-x為整數(shù)，x為正整數(shù)，則x的值是題型02常見二次根式化簡的10種技巧技巧一數(shù)形結(jié)合法方法簡介：利用數(shù)軸和數(shù)學(xué)表達式相結(jié)合，達到快速化簡的目標.【例2】（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）實數(shù)a在數(shù)軸上的對應(yīng)位置如圖所示，則a2+1+|aA．1 B．2 C．2a D．1﹣2a【變式2-1】實數(shù)m在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，化簡：(m-【變式2-2】（2022遂寧中考真題）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡a+1-技巧二估值法方法簡介：先運用二次根式的運算法則化簡，再將最后的化簡結(jié)果化成根式再確定取值范圍.【例3】（2023·重慶·中考真題）估計28+10A．7和8之間 B．8和9之間C．9和10之間 D．10和11之間【變式3-1】（2023·山東臨沂·中考真題）設(shè)m=515-45A．m<-5 B．-5<m<-4 C．【變式3-2】若將三個數(shù)-3，7，11表示在數(shù)軸上，其中一個數(shù)被墨跡覆蓋（如圖所示），則這個被覆蓋的數(shù)是技巧三公式法方法簡介：根據(jù)題目已知條件，通過變形、湊元等方法，湊成可用乘法公式，快速求解.【例4】（2022·天津紅橋·三模）計算23+32【變式4-1】（2023·河北保定·校考一模）已知：2+32=5+2【變式4-2】計算：3+1【變式4-3】計算：(5+6【變式4-4】10032技巧四換元法方法簡介：根據(jù)已知條件，利用未知變量替換有規(guī)律表達式，尋找規(guī)律，快速求解.【例5】已知n＝2＋1，求n+2+n2-技巧五拆項法方法簡介：分子為多項式的和，分母為多項式的積，將分子拆出與分母相同或相似的項.【例6】計算：6+43+326+33+2.[提示：6＋43＋32＝(技巧六整體代入法方法簡介：由已知條件，通過加減乘除運算，得到與求解表達式相關(guān)的表達數(shù)值，整體代入.【例7】已知x=15+2，y【變式7-1】已知x=15-2【變式7-2】已知：x=110(1)x(2)x【變式7-3】已知a=5+35技巧七因式分解法方法簡介：與分式的化簡相同，代數(shù)式的化簡也要“變肥為瘦”.此題分母較為復(fù)雜，結(jié)合分子可將分母進行因式分解，約去公因式從而達到“瘦身”的效果.【例8】計算：2+技巧八配方法【例9】若a，b為實數(shù)，且b＝3-5a＋5a-3＋【變式9-1】可以用配方法化簡二重根式，例如：4-23請化簡式子：5-26+技巧九輔元法方法簡介：所謂輔元法，就是引入一個新的未知數(shù)把其他未知數(shù)表示出新的未知數(shù)的代數(shù)式，然后再代入求值.【例10】已知x∶y∶z＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求x+【變式10-1】《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊a、b、c求面積的公式，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即為S=14c2a2技巧十先判斷后化解【例11】已知a＋b＝－6，ab＝5，求bba＋aa【變式11-1】先化簡再求值(1)已知：y>3x(2)已知a=12+1.二次根式化簡的結(jié)果一定是被開方數(shù)不含分母，被開方數(shù)中的每一個因式或因數(shù)都開不盡.2.如果被開方數(shù)是分式或分數(shù)(包括小數(shù))，先利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)把它寫成分式或分數(shù)的形式，然后利用分母有理化化簡.3.如果被開方數(shù)是整式或整數(shù)，先將它分解因式或分解因數(shù)，然后把開方開得盡的因式或因數(shù)開方，從而將式子化簡.考點三二次根式的運算乘法法則:兩個二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.即：ab=a?b（除法法則：兩個二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.即：ab=ab（a≥0，b加減法法則：先把各個二次根式化為最簡二次根式后，再將被開方數(shù)相同的二次根式合并.【口訣】一化、二找、三合并.分母有理化：通過分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號去掉的過程.【分母有理化方法】1）分母為單項式時，分母的有理化因式是分母本身帶根號的部分.即：12）分母為多項式時，分母的有理化因式是與分母相乘構(gòu)成平方差的另一部分.即：1a混合運算順序：先乘方、再乘除，最后加減，有括號的先算括號里的(或先去掉括號)．1.1.在使用ab=a?b（a2.在使用ab=ab（a≥0，b＞3.合并被開方數(shù)相同的二次根式與合并同類項類似，將被開方數(shù)相同的二次根式的“系數(shù)”相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變．4.二次根式加減混合運算的實質(zhì)就是合并被開方數(shù)相同的二次根式，被開方數(shù)不同的二次根式不能合并．5二次根式進行加減運算時，根號外的系數(shù)因式必須為假分數(shù)形式．6.在二次根式的混合運算中，乘方公式和實數(shù)的運算律仍然適用。而且運算結(jié)果應(yīng)寫成最簡二次根式的形式.題型01二次根式的乘除運算【例1】（2023·湖南·中考真題）對于二次根式的乘法運算，一般地，有a?b=A．a(chǎn)>0,b>0 B．a(chǎn)<0,b<0【變式1-1】（2023·青海西寧·中考真題）下列運算正確的是（

）A．2+3=5C．(3-2)2【變式1-2】（2023·河北·中考真題）若a=2，b=A．2 B．4 C．7 D．2【變式1-3】（2022·廣東廣州·廣東番禺中學(xué)?？既＃┯嬎悖篴bA．1|a|b2ab B．1【變式1-4】（2023益陽市中考）計算：20×5二次根式乘除混合運算的方法與整式乘除混合運算的方法相同，整式乘除法的一些法則、公式在二次根式乘除法中仍然適用.在運算時要明確運算符號和運算順序.若被開方數(shù)是帶分數(shù),則要先將其化為假分數(shù).題型02二次根式的加減運算【例2】（2023·遼寧盤錦·中考真題）計算：9-4=【變式2-1】（2022·黑龍江哈爾濱·中考真題）計算3+313【變式2-2】（2023·廣西玉林·一模）下列運算正確的是（）A．2+5=C．5-3=【變式2-3】（2023淄博市一模）已知實數(shù)m、n滿足m-3+n-二次根式的加減與整式的加減相比，可將被開方數(shù)相同的二次根式看作整式加減中的同類項進行合并.另外有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律,都適用于二次根式的運算.【變式2-4】二次根式的加減與整式的加減相比，可將被開方數(shù)相同的二次根式看作整式加減中的同類項進行合并.另外有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律,都適用于二次根式的運算.題型03二次根式的混合運算【例3】（2023·山東聊城·中考真題）計算：48-3【變式3-1】（2022·湖北荊州·中考真題）若3-2的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則代數(shù)式2+2a【變式3-2】（2023·湖北荊州·中考真題）已知k=25A．2 B．3 C．4 D．5【變式3-3】（2023·甘肅武威·中考真題）計算：27÷題型04二次根式的化簡求值【例4】（2023·湖南湘西·中考真題）先化簡，再求值：1+1a-【變式4-1】（2022·湖北襄陽·中考真題）先化簡，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝3-2，b＝3+2．【變式4-2】（2021·北京·一模）已知m+2n=【變式4-3】（2021·江蘇蘇州·蘇州市景范中學(xué)校校考二模）先化簡，再求值：x2+x【變式4-4】（2022淄博市一模）已知：m＝2+1，n＝2﹣1，則m2A．±3 B．﹣3 C．3 D．5題型05二次根式的應(yīng)用【例5】（2023·黑龍江綏化·模擬預(yù)測）古希臘幾何學(xué)家海倫和我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶都曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，稱為海倫﹣秦九韶公式：如果一個三角形的三邊長分別是a，b，c，記p=a+b+c2，那么三角形的面積為S=pp-ap-bp-c，【變式5-1】（2022·江蘇無錫·校聯(lián)考一模）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：3，82，153，244，……其中第5個數(shù)為，第n個數(shù)為【變式5-2】（2022·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）觀察下列各式：①1+13=