2024年中考數(shù)學(xué)常見(jiàn)幾何模型全歸納（全國(guó)通用）專(zhuān)題31 圓中的重要模型之四點(diǎn)共圓模型（解析版）

專(zhuān)題31圓中的重要模型之四點(diǎn)共圓模型四點(diǎn)共圓是初中數(shù)學(xué)的?？贾R(shí)點(diǎn)，近年來(lái)，特別是四點(diǎn)共圓判定的題目出現(xiàn)頻率較高。相對(duì)四點(diǎn)共圓性質(zhì)的應(yīng)用，四點(diǎn)共圓的判定往往難度較大，往往是填空題或選擇題的壓軸題，而計(jì)算題或選擇中四點(diǎn)共圓模型的應(yīng)用（特別是最值問(wèn)題），通常能簡(jiǎn)化運(yùn)算或證明的步驟，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。本文主要介紹四點(diǎn)共圓的四種重要模型。四點(diǎn)共圓：若在同一平面內(nèi)，有四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則稱(chēng)這四個(gè)點(diǎn)共圓，一般簡(jiǎn)稱(chēng)為“四點(diǎn)共圓”。模型1、定點(diǎn)定長(zhǎng)共圓模型（圓的定義）【模型解讀】若四個(gè)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離相等，則這四個(gè)點(diǎn)共圓。這也是圓的基本定義，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)點(diǎn)的集合。條件：如圖，平面內(nèi)有五個(gè)點(diǎn)O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓（其中圓心為O）。例1．（2023春·廣東梅州·九年級(jí)校考期中）如圖，量角器的直徑與直角三角板ABC的斜邊重合（），其中量角器0刻度線的端點(diǎn)N與點(diǎn)A重合，射線從處出發(fā)沿順時(shí)針?lè)较蛞悦棵?度的速度旋轉(zhuǎn)，與量角器的半圓弧交于點(diǎn)E，第20秒時(shí)點(diǎn)E在量角器上運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是．

【答案】【分析】首先連接，由，易得點(diǎn)，，，C共圓，然后由圓周角定理，求得點(diǎn)E在量角器上對(duì)應(yīng)的讀數(shù)．【詳解】解：連接，

∵，∴A，B，C在以點(diǎn)O為圓心，AB為直徑的圓上，∴點(diǎn)E，A，B，C共圓，∵，∴．∴點(diǎn)E在量角器上運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)，故答案為：2π．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．例2．（2021·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，AB=AC=5，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)，G分別是BC，DE的中點(diǎn)，連接，，當(dāng)AG=FG時(shí)，線段長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】連接DF，EF，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AC，F(xiàn)M⊥AB，結(jié)合直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半求得點(diǎn)A，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，∠DFE=90°，然后根據(jù)勾股定理及正方形的判定和性質(zhì)求得AE的長(zhǎng)度，從而求解．【詳解】解：連接DF，EF，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AC，F(xiàn)M⊥AB∵在中，，點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)，∴AG=DG=EG又∵AG=FG∴點(diǎn)A，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，且DE是圓的直徑∴∠DFE=90°∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，∴CF=BF=，F(xiàn)N=FM=又∵FN⊥AC，F(xiàn)M⊥AB，∴四邊形NAMF是正方形∴AN=AM=FN=又∵，∴∴△NFD≌△MFE∴ME=DN=AN-AD=∴AE=AM+ME=3∴在Rt△DAE中，DE=故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查直徑所對(duì)的圓周角是90°，四點(diǎn)共圓及正方形的判定和性質(zhì)和用勾股定理解直角三角形，掌握相關(guān)性質(zhì)定理正確推理計(jì)算是解題關(guān)鍵．例3．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考三模）如圖，將矩形的邊繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，過(guò)點(diǎn)D作的垂線，垂足E在線段上，連接．若，，則的度數(shù)為．

【答案】【分析】連接與，與相交于點(diǎn)O，可知點(diǎn)五點(diǎn)共圓，從而得到，又易知在中，，，從而得到，從而得解．【詳解】解：連接與，與相交于點(diǎn)O，連接，

∵四邊形形是矩形，∴，，O是的中點(diǎn)，，又∵于E，即是直角三角形，∴，∴，∴點(diǎn)五點(diǎn)共圓，作出這個(gè)圓如圖所示：則有，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，又∵，，∴，在中，，，∴，∴．故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題考查隱圓問(wèn)題，根據(jù)題意找出這個(gè)隱圓，從而得到是解題的關(guān)鍵．例4．（2021·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，為的中點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，，分別與，交于點(diǎn)，，連接，，則的值為；若，則的值為．【答案】【分析】（1）根據(jù)條件，證明，從而推斷，進(jìn)一步通過(guò)角度等量，證明，代入推斷即可.（2）通過(guò)，可知四點(diǎn)共圓，通過(guò)角度轉(zhuǎn)化，證明，代入推斷即可.【詳解】解：（1）∵，為的中點(diǎn)∴又∵平分∴又∵∴∴∴∴在與中,∴（2∵∴四點(diǎn)共圓，如下圖：∵∴又∵∴∵∴∴∴∴即∵∴∵∴∵∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三角形的相似，三角形的全等以及圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)圖形找見(jiàn)相關(guān)的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．模型2、定邊對(duì)雙直角共圓模型同側(cè)型異側(cè)型1）定邊對(duì)雙直角模型（同側(cè)型）條件：若平面上A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足，結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓，其中AD為直徑。2）定邊對(duì)雙直角模型（異側(cè)型）條件：若平面上A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足，結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓，其中AC為直徑。例1．（2021·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形中，，，于點(diǎn)．若，，則線段的長(zhǎng)為．【答案】【分析】設(shè)交于點(diǎn)F，過(guò)C作，用求出，即求出BC的長(zhǎng)，又因?yàn)椋瑥亩蟮肁B．【詳解】如圖，設(shè)交于點(diǎn)F，過(guò)C作，在以為直徑的圓上，，在和中=，【點(diǎn)睛】本題考查了圓的直徑所對(duì)的圓周角為，同弧所對(duì)的圓周角相等，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，本題能找到是解題的關(guān)鍵．例2．（2022春·山東·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線和與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱(chēng)為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角．①若∠A＝40°，直接寫(xiě)出∠E的度數(shù)是；②求∠E與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，點(diǎn)E在BD的延長(zhǎng)線上，連CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，求證：DA＝DE．【答案】（1）①20°；②，理由見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）①根據(jù)題目定義推出∠E＝∠A，從而得出結(jié)論；②直接根據(jù)求解①過(guò)程證明即可；（2）首先根據(jù)題意推出A、B、C、D四點(diǎn)共圓，然后作四邊形ABCD的外接圓交CE于點(diǎn)F，連接AF，DF，再根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等推出∠AFD＝∠DFE，然后根據(jù)“遙望角”的定義推出∠E＝∠DAF，即可證△DAF≌△DEF，從而得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①∵∠E是△ABC中∠A的遙望角，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A，∵∠A＝40°，∴∠E＝20°．故答案為：20°；②，理由如下：∵∠E是△ABC中∠A的遙望角，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A；（2）證明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓，作四邊形ABCD的外接圓交CE于點(diǎn)F，連接AF，DF，∵四邊形FBCD內(nèi)接于⊙O，∴∠DFC+∠DBC＝180°，∵∠DFC+∠DFE＝180°，∴∠DFE＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠ABD＝∠AFD，∴∠AFD＝∠DFE，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，由（1）得∠E＝∠BAC，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠E＝∠BDC，∵∠E+∠DCE＝∠BAC，∴∠E＝∠DCE，∵∠DCE＝∠DAF，∴∠E＝∠DAF，∵DF＝DF，∠AFD＝∠DFE，∴△DAF≌△DEF（AAS），∴DA＝DE．【點(diǎn)睛】本題考查新定義問(wèn)題，涉及三角形角平分線的拓展運(yùn)用，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等，理解題目定義，靈活運(yùn)用“四點(diǎn)共圓”的證明方法是解題關(guān)鍵．例3．（2022·湖北武漢·?？级＃┤鐖D，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD．（1）如圖1，作BE⊥AD延長(zhǎng)線于E，連接CE，求證：∠AEC＝45°；（2）如圖2，P為AD上一點(diǎn)，且∠BPD＝45°，連接CP．若AP＝2，求△APC的面積；【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①△APC的面積＝1；②．【分析】（1）由題意可證點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)E，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，可得∠AEC＝∠ABC＝45°；（2）通過(guò)證明△APB∽△CEB，可求CE＝＝，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求CF＝1，即可求解；【詳解】證明：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∠ABC＝∠CAB＝45°，AB＝BC，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°＝∠ACB，∴點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)E，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，∴∠AEC＝∠ABC＝45°；（2）①如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD于F，∵∠BPD＝45°，BE⊥AD，∴∠PBE＝45°＝∠ABC，∴∠ABP＝∠CBE，∵∠AEB＝90°＝∠ACB，∴點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)E，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，∴∠BAE＝∠BCE，∠AEC＝∠ABC＝45°，∴△APB∽△CEB，∴CE＝＝，∵CF⊥AD，∠AEC＝45°，∴∠FCE＝∠CEF＝45°，∴CF＝EF＝CE＝1，∴△APC的面積＝×AP×CF＝1；【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了四點(diǎn)共圓，圓的有關(guān)知識(shí)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是本題的關(guān)鍵．例4．（2022秋·廣東梅州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，，，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，，根據(jù)且為中點(diǎn)，求證是等腰三角形，再利用等腰三角形的高，中線，角平分線三線合一的性質(zhì)得到，根據(jù)圓周角定理得到，求得，，于是得出結(jié)論．【詳解】連接，，如圖，

∵且為中點(diǎn)，∴，，∴，∵為中點(diǎn)，∴，∵∠，∴，，，四點(diǎn)共圓，∵，，∴，∴，∴，∴，在中，，，∴，∴，由勾股定理得：，∴，∴，故選：．【點(diǎn)睛】此題主要考查圓內(nèi)接四邊形，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解答此題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造特殊三角形，求出線段．模型3、定邊對(duì)定角共圓模型條件：如圖1，平面上A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足，結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓．條件：如圖2，AC、BD交于H，，結(jié)論：四點(diǎn)共圓.例1．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，將ABC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ADE，使D點(diǎn)落在BC邊上．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）求證：A、D、B、E四點(diǎn)共圓．【答案】（1）10°；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理和已知條件求得∠C的度數(shù)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AC＝AD，即可得出∠ADC＝∠C，最后由外角定理求得∠BAD的度數(shù)；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠ABC＝∠AED，由四點(diǎn)共圓的判定得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，∴∠C＝50°，∵將ABC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ADE，使D點(diǎn)落在BC邊上，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠C＝50°，∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝50°，∴∠BAD＝50°－40°＝10°證明（2）∵將ABC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ADE，∴∠ABC＝∠AED，∴A、D、B、E四點(diǎn)共圓．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、外角定理以及四點(diǎn)共圓的判定，解題的關(guān)鍵是理解旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．例2．（2023·浙江紹興·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6．如圖2，在底邊BC上取一點(diǎn)D，連結(jié)AD，使得∠DAC=∠ACD．如圖3，將△ACD沿著AD所在直線折疊，使得點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，連結(jié)BE，得到四邊形ABED．則BE的長(zhǎng)是（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】只要證明，得，求出、即可解決問(wèn)題．【詳解】解：，，，，，，，，，，，，，，即，，，，、、、四點(diǎn)共圓，，，，，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、等腰三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是充分利用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題，本題需要三次相似解決問(wèn)題，題目比較難，屬于中考選擇題中的壓軸題．例3．（2022·江蘇無(wú)錫·中考真題）△ABC是邊長(zhǎng)為5的等邊三角形，△DCE是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點(diǎn)F．如圖，若點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，∠DBC=20°，則∠BAF＝________°；現(xiàn)將△DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)1周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段AF長(zhǎng)度的最小值是________．【答案】

80

##【分析】利用SAS證明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，據(jù)此可求得∠BAF的度數(shù)；利用全等三角形的性質(zhì)可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，當(dāng)BF是圓C的切線時(shí)，即當(dāng)CD⊥BF時(shí)，∠FBC最大，則∠FBA最小，此時(shí)線段AF長(zhǎng)度有最小值，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，即∠DCB=∠ECA，在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠EAC=∠DBC，∵∠DBC=20°，∴∠EAC=20°，∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；設(shè)BF與AC相交于點(diǎn)H，如圖：∵△ACE≌△BCD∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC，∴∠AFB=∠ACB=60°，∴A、B、C、F四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，∵點(diǎn)D在以C為圓心，3為半徑的圓上，當(dāng)BF是圓C的切線時(shí)，即當(dāng)CD⊥BF時(shí)，∠FBC最大，則∠FBA最小，∴此時(shí)線段AF長(zhǎng)度有最小值，在Rt△BCD中，BC=5，CD=3，∴BD=4，即AE=4，∴∠FDE=180°-90°-60°=30°，∵∠AFB=60°，∴∠FDE=∠FED=30°，∴FD=FE，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥DE于點(diǎn)G，∴DG=GE=，∴FE=DF==，∴AF=AE-FE=4-，故答案為：80；4-．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)，解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．例4．（2022·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）探究與實(shí)踐：“善思”小組開(kāi)展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)，得出結(jié)論：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．提出問(wèn)題：如圖1，在線段同側(cè)有兩點(diǎn)，，連接，，，，如果，那么，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．探究展示：如圖2，作經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，的，在劣弧上取一點(diǎn)（不與，重合），連接，則（依據(jù)1）點(diǎn)，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上（對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓）點(diǎn)，在點(diǎn)，，所確定的上（依據(jù)2）點(diǎn)，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上(1)反思?xì)w納：上述探究過(guò)程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)1：__________；依據(jù)2：__________．(2)圖3，在四邊形中，，，則的度數(shù)為_(kāi)_________．(3)拓展探究：如圖4，已知是等腰三角形，，點(diǎn)在上（不與的中點(diǎn)重合），連接．作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連接，．①求證：，，，四點(diǎn)共圓；②若，的值是否會(huì)發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；同圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等(2)45°(3)①見(jiàn)解析；②不發(fā)生變化，值為8【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；同圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等作答即可；（2）根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等即可求解；（3）①根據(jù)（1）中的結(jié)論證明即可得證；②證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）如圖2，作經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，的，在劣弧上取一點(diǎn)（不與，重合），連接，則（圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)）點(diǎn)，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上（對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓）點(diǎn)，在點(diǎn)，，所確定的上（同圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等）點(diǎn)，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上故答案為：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；同圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等（2）在線段同側(cè)有兩點(diǎn)，，四點(diǎn)共圓，故答案為：（3）①∵，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，，，四點(diǎn)共圓；②，理由如下，如圖，四點(diǎn)共圓，，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，，，，，，，，又，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，同弧所對(duì)的圓周角相等，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．模型4、對(duì)角互補(bǔ)共圓模型條件：如圖1，平面上A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足，結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓．條件：如圖2，BA、CD的延長(zhǎng)線交于P，，結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓.1．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，以為腰作等腰直角三角形，頂點(diǎn)恰好落在邊上，若，則的長(zhǎng)是（

）

A． B． C．2 D．1【答案】A【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，，再判斷出點(diǎn)四點(diǎn)共圓，在以為直徑的圓上，連接，根據(jù)圓周角定理可得，，然后根據(jù)相似三角形的判定可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：是以為腰的等腰直角三角形，，，，，，，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，在以為直徑的圓上，如圖，連接，

由圓周角定理得：，，，，，在和中，，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確判斷出點(diǎn)四點(diǎn)共圓，在以為直徑的圓上是解題關(guān)鍵．例2．（2023·河南周口·?？既＃┰谥?，，M是外一動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足，若，，，則的長(zhǎng)度為．【答案】/【分析】過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F，點(diǎn)A,M,B,C四點(diǎn)共圓，得，解直角三角形，，面積法求解，，得．【詳解】解析：過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F，如圖所示：∵∴點(diǎn)A,M,B,C四點(diǎn)共圓∵∴∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查四點(diǎn)共圓，圓周角定理，解直角三角形，角平分線性質(zhì)定理，添加輔助構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，，，點(diǎn)、分別是線段、射線上的動(dòng)點(diǎn)，以為斜邊向上作等腰，，連接，則的最小值為．

【答案】【分析】連接并延長(zhǎng)，利用四點(diǎn)共圓的判定定理得到，，，四點(diǎn)共圓，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)和圓周角定理得到，得到點(diǎn)的軌跡，最后利用垂線段最短和等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接并延長(zhǎng)，如圖，

，，，，，，，四點(diǎn)共圓，為等腰直角三角形，，，，點(diǎn)的軌跡為的平分線上，垂線段最短，當(dāng)時(shí)，取最小值，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓的判定，圓周角定理，點(diǎn)的軌跡，垂線段的性質(zhì)，利用已知條件求得點(diǎn)D的軌跡是解題的關(guān)鍵．例4．（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）在探究“四點(diǎn)共圓的條件”的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小霞小組通過(guò)探究得出：在平面內(nèi)，一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．請(qǐng)應(yīng)用此結(jié)論．解決以下問(wèn)題：如圖1，中，（）．點(diǎn)D是邊上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），將線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到線段，連接．

(1)求證：A，E，B，D四點(diǎn)共圓；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，是四邊形的外接圓，求證：是的切線；(3)已知，點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，此時(shí)是四邊形的外接圓，直接寫(xiě)出圓心P與點(diǎn)M距離的最小值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，證明，進(jìn)而證明，可以得到，由，可得，即可證明A、B、D、E四點(diǎn)共圓；（2）如圖所示，連接，根據(jù)等邊對(duì)等角得到，由圓周角定理得到，再由，得到，利用三角形內(nèi)角和定理證明，即，由此即可證明是的切線；（3）如圖所示，作線段的垂直平分線，分別交于G、F，連接，先求出，再由三線合一定理得到，，解直角三角形求出，則，再解得到，則；由是四邊形的外接圓，可得點(diǎn)P一定在的垂直平分線上，故當(dāng)時(shí)，有最小值，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，∴，即，又∵，∴，∴，∵，∴，∴A、B、D、E四點(diǎn)共圓；（2）證明：如圖所示，連接，∵，∴，∵是四邊形的外接圓，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，又∵是的半徑，∴是的切線；

（3）解：如圖所示，作線段的垂直平分線，分別交于G、F，連接，∵，∴，∵點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，在中，，∴，∵是四邊形的外接圓，∴點(diǎn)P一定在的垂直平分線上，∴點(diǎn)P在直線上，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，∵，∴在中，，∴圓心P與點(diǎn)M距離的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，解直角三角形，圓周角定理，切線的判定，三角形外接圓的性質(zhì)，垂線段最短等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·河北張家口·九年級(jí)?？计谀┤鐖D①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜邊，則A、B、C、D在以BC為直徑的圓上，則叫它們“四點(diǎn)共圓”．如圖②，△ABC的三條高AD、BE、CF相交于點(diǎn)H，則圖②中“四點(diǎn)共圓”的組數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【分析】根據(jù)兩個(gè)直角三角形公共斜邊時(shí)，四個(gè)頂點(diǎn)共圓，結(jié)合圖形求解可得．【詳解】解：如圖，以AH為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（A、F、H、E），以BH為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（B、F、H、D），以CH為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（C、D、H、E），以AB為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（A、E、D、B），以BC為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（B、F、E、C），以AC為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（A、F、D、C），共6組．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查四點(diǎn)共圓的判斷方法．解題的關(guān)鍵是明確有公共斜邊的兩個(gè)直角三角形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．2．（2023·安徽合肥·校考一模）如圖，O是的中點(diǎn)，點(diǎn)B，C，D到點(diǎn)O的距離相等，連接．下列結(jié)論不一定成立的是（）A．B．C．D．平分【答案】D【分析】以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓．再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】如圖，以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓．由題意可知：．即點(diǎn)A、B、C、D都在圓O上．A．∵，∴，故A不符合題意；B．∵，∴，故B不符合題意；C．∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，故C不符合題意；D．∵和不一定相等，∴和不一定相等，∴不一定平分，故D符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理及其推論，充分理解圓周角定理是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇宿遷·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，，，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，且，過(guò)C作交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，則CQ的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得A、B、C、P四點(diǎn)共圓，由AA定理判定三角形相似，由此得到CQ的值與PC有關(guān)，當(dāng)PC最大時(shí)CQ即取最大值．【詳解】解：∵在中，，，，∴A、B、C、P四點(diǎn)共圓，AB為圓的直徑，AB=∵∴∴△ABC∽△PQC∴，，即∴當(dāng)PC取得最大值時(shí)，CQ即為最大值∴當(dāng)PC=AB=5時(shí)，CQ取得最大值為故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)以及四點(diǎn)共圓，掌握同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等確定四點(diǎn)共圓，利用相似三角形性質(zhì)得到線段間等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．4．（2023·北京海淀·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)B，C，D到點(diǎn)O的距離相等，連接，．請(qǐng)寫(xiě)出圖中任意一組互補(bǔ)的角為和（不添加輔助線，不添加數(shù)字角標(biāo)和字母）【答案】【分析】首先判斷出點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)共圓，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)得出答案．【詳解】解：∵點(diǎn)B，C，D到點(diǎn)O的距離相等，且，∴點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)共圓，∴，，∴圖中互補(bǔ)的角為和，和，故答案為：，（或，）．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·廣東·二模）如圖，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，若則的度數(shù)是【答案】130【分析】根據(jù)題意得到四邊形ABCD共圓，利用圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可求出所求角的度數(shù)．【詳解】解：由題意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圓O，如圖所示，∴四邊形ABCD為圓O的內(nèi)接四邊形，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，∵∠ABC＝50°，∴∠ADC＝130°，故答案為：130．【點(diǎn)睛】此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．6．（2023·浙江金華·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，，P是上一動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)E，于點(diǎn)D，則線段的最小值為（）

A． B．1 C． D．【答案】A【分析】當(dāng)時(shí)，線段的值最小，利用四點(diǎn)共圓的判定可得：A、E、P、D四點(diǎn)共圓，且直徑為，得出，有一公共角，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似得，則，設(shè)，表示出和的長(zhǎng)，求出和的比，代入比例式中，可求出的值．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，線段的值最小（因?yàn)锳、E、P、D四點(diǎn)共圓，是直徑，是定值，所以直徑最小時(shí)，所對(duì)的弦最小），如圖1，

∵于點(diǎn)E，于點(diǎn)D，∴，∴，∴A、E、P、D四點(diǎn)共圓，是直徑，在中，，∴是等腰直角三角形，，∴也是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，，如圖2，取的中點(diǎn)O，連接，則，∵，∴，過(guò)E作于M，則，，∴，∴，由勾股定理得：，∴，∴，則線段的最小值為，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了四點(diǎn)共圓的問(wèn)題，四點(diǎn)共圓的判定方法有：①將四點(diǎn)連成一個(gè)四邊形，若對(duì)角互補(bǔ)，那么這四點(diǎn)共圓；②連接對(duì)角線，若這個(gè)四邊形的一邊同側(cè)的兩個(gè)頂角相等，那么這四點(diǎn)共圓；通過(guò)四點(diǎn)共圓可以利用同弧所對(duì)的圓周角得出角相等，從而證得三角形相似，得比例式，使問(wèn)題得以解決．7．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，中，，中，，直線與交于，當(dāng)繞點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，到直線距離的最大值是．【答案】/【分析】數(shù)形結(jié)合，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況判斷點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，再根據(jù)角度以及勾股定理求解最大值．【詳解】解：如圖旋轉(zhuǎn)，連接以為直徑作，以為半徑作，過(guò)點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)在和中∴點(diǎn)共圓，點(diǎn)共圓，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，的半徑為∴又∵，∴當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，到直線距離的最大，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，，∴四邊形是矩形，

是圓心，設(shè)解得：（舍去）∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓動(dòng)點(diǎn)的最值問(wèn)題，熟練運(yùn)用四點(diǎn)共圓性質(zhì)以及勾股定理解直角三角形是解決本題關(guān)鍵．8．（2023春·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，，點(diǎn)E在線段上，，若，，則的最大值為．【答案】/【分析】將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，可得是為等邊三角形，則，可知、、、四點(diǎn)共圓，令其圓心為，連接、、過(guò)作，交于，交圓于，過(guò)、分別作圓的切線，交于，連接交于，連接、，利用的直角三角形求得，由，與圓相切，可得（SSS），利用其性質(zhì)證得，計(jì)算出，，由，知，可得四邊形為平行四邊形，則，由三角形三邊關(guān)系可知：（當(dāng)、、在同一直線上時(shí)去等號(hào)），即可求得的最大值．【詳解】解：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，可得是為等邊三角形，則，∵，，∴、、、四點(diǎn)共圓，令其圓心為，連接、、∴，則，過(guò)作，交于，交圓于，過(guò)、分別作圓得切線，交于，連接交于，連接、，∵，，∴，，∴，，∵，與圓相切，∴，∴（SSS）∴，∴，，，又∵，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，由三角形三邊關(guān)系可知：（當(dāng)、、在同一直線上時(shí)去等號(hào)）∴的最大值為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何綜合題，考查了四點(diǎn)共圓，垂徑定理，切線長(zhǎng)定理，解直角三角形，平行四邊形的判定及三角形的三邊關(guān)系，構(gòu)造輔助線，利用圓的相關(guān)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段長(zhǎng)度及角度，構(gòu)造三角形三邊關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于中考?jí)狠S題．9．（2023·廣東惠州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，其中點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)．(1)畫(huà)出．(2)直線與直線相交于點(diǎn)，證明：A，，，四點(diǎn)共圓．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)見(jiàn)詳解【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作，且，過(guò)點(diǎn)A作，且，連接即可得到；（2）根據(jù)題意可得，證明，推算出，得到，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)可得到A，，，四點(diǎn)共圓．【詳解】（1）解：如下圖所示，過(guò)點(diǎn)A作，且，過(guò)點(diǎn)A作，且，連接即可得到；（2）證明：如下圖所示由題意可知逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到邊，，則，，，，，，，，，四點(diǎn)共圓．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的旋轉(zhuǎn)和圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．10.（2023·湖北九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1，ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，過(guò)點(diǎn)C任作一條直線CD，將線段BC沿直線CD翻折得線段CE，直線AE交直線CD于點(diǎn)F．直線BE交直線CD于G點(diǎn)．(1)小智同學(xué)通過(guò)思考推得當(dāng)點(diǎn)E在AB上方時(shí)，∠AEB的角度是不變的，請(qǐng)按小智的思路幫助小智完成以下推理過(guò)程：∵AC＝BC＝EC，∴A、B、E三點(diǎn)在以C為圓心以AC為半徑的圓上，∴∠AEB＝∠ACB，（填寫(xiě)數(shù)量關(guān)系）∴∠AEB＝°．(2)如圖2，連接BF，求證A、B、F、C四點(diǎn)共圓；(3)線段AE最大值為，若取BC的中點(diǎn)M，則線段MF的最小值為．【答案】(1)，45；(2)見(jiàn)解析；(3)8，【分析】（1）根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半解答；（2）由題意知，CD垂直平分BE，連接BF，則BF=EF，求得∠EBF=∠AEB＝45°，利用外角的性質(zhì)得到∠AFB=∠EBF+∠AEB＝90°，即可得到結(jié)論；（3）當(dāng)點(diǎn)A、C、E在一條直線上時(shí)，線段AE最大，最大值為4+4=8，當(dāng)MF⊥BC時(shí)線段MF最小，根據(jù)BC的中點(diǎn)M，得到CF=BF，設(shè)BG=FG=x，則CF=BF=x，CG=(+1)x，由勾股定理得，求出，根據(jù)，即可求出．【詳解】（1）解：∵AC＝BC＝EC，∴A、B、E三點(diǎn)在以C為圓心以AC為半徑的圓上，∴∠AEB＝∠ACB，∴∠AEB＝45°．故答案為：，45；（2）解：由題意知，CD垂直平分BE，連接BF，則BF=EF，∴∠EBF=∠AEB＝45°．∴∠AFB=∠EBF+∠AEB＝90°．∵∠ACB＝90°，∴A、B、F、C在以AB為直徑的圓上，即A、B、F、C四點(diǎn)共圓；（3）解：當(dāng)點(diǎn)A、C、E在一條直線上時(shí)，線段AE最大，最大值為4+4=8，當(dāng)MF⊥BC時(shí)線段MF最小，∵BC的中點(diǎn)M，∴CF=BF，

設(shè)BG=FG=x，則CF=BF=x，CG=(+1)x，∵，∴，得，∵，∴，得，故答案為：8，．．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理，四點(diǎn)共圓的判定及性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記各知識(shí)點(diǎn)并熟練應(yīng)用解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．11．（2023春·重慶南岸·八年級(jí)?？计谀┮阎毫庑蔚膶?duì)角線交于點(diǎn)，以為斜邊構(gòu)造等腰，連接．

(1)如圖1，若，，求的面積．(2)如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且．求證：．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)菱形性質(zhì)，證明是等邊三角形，再利用全等三角形判定證明，得，求出及即可求的面積．（2）如同，連接，根據(jù)題意，菱形性質(zhì)及點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，證得，，進(jìn)而證得，得到，再由點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓證得，進(jìn)而證得，再證得是等腰直角三角形，進(jìn)而得到，根據(jù)與的關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：四邊形是菱形，，且，是等邊三角形，，且，，，，．（2）解：連接，

四邊形是菱形，，，，，，，且，，，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，，且，，，，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，，且，，，，且，，．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形判定及性質(zhì)，圓周角定理推論，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握菱形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用圓周角定理推論和勾股定理是解題關(guān)鍵．12．（2023春·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）問(wèn)題提出

如圖1，點(diǎn)E為等腰內(nèi)一點(diǎn)，，，將繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，求證：．嘗試應(yīng)用

如圖2，點(diǎn)D為等腰外一點(diǎn)，，，過(guò)點(diǎn)A的直線分別交的延長(zhǎng)線和的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，M，求證：．問(wèn)題拓展

如圖3，中，，點(diǎn)D，E分別在邊，上，，，交于點(diǎn)H．若，，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度（用含a，b的式子）．【答案】見(jiàn)解析【分析】問(wèn)題提出：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證得，，進(jìn)而得證，即可利用證明．嘗試應(yīng)用：延長(zhǎng)，使，連接，由題意可知、、、四點(diǎn)共圓，可得，進(jìn)而可得，利用SAS可證得，根據(jù)其性質(zhì)得，，，進(jìn)而可證得，，即可得證．問(wèn)題拓展：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則為等邊三角形，由，可知、、、、五點(diǎn)共圓，可得，，，根據(jù)，，可得，進(jìn)而得證，可得，則，作交于，則，可求得，，即可求得的長(zhǎng)度．【詳解】解：?jiǎn)栴}提出：證明：∵，，將繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，即：，在與中，，∴．嘗試應(yīng)用：延長(zhǎng)，使，連接，∵為等腰直角三角形，∴，，又∵，即：，∴、、、四點(diǎn)共圓，∴，∴，在與中，，∴．∴，，∴，即：，∴∵∴，∴即：．問(wèn)題拓展：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則為等邊三角形，∴，，∵，∴、、、、五點(diǎn)共圓，則：，，，，，又∵，∴，∴，∵，，，∴∴，∵，，，∴∴，∴，則，作交于，則，∵，∴，∴，則：．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何綜合，考查全等三角的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，解直角三角形，添加輔助線構(gòu)造全等三角形和利用圓周角定理轉(zhuǎn)化角是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于中考?jí)狠S題．13．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）綜合與實(shí)踐“善思”小組開(kāi)展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)，得出結(jié)論：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．提出問(wèn)題：如圖1，在線段AC同側(cè)有兩點(diǎn)B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．探究展示：如圖2，作經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一點(diǎn)E（不與A，C重合），連接AE，CE，則∠AEC+∠D＝180°（依據(jù)1）∵∠B＝∠D∴∠AEC+∠B＝180°∴點(diǎn)A，B，C，E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上（對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓）∴點(diǎn)B，D在點(diǎn)A，C，E所確定的⊙O上（依據(jù)2）∴點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上(1)上述探究過(guò)程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)1：；依據(jù)2：．(2)如圖3，在四邊形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，則∠4的度數(shù)為．拓展探究：(3)如圖4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，點(diǎn)D在BC上（不與BC的中點(diǎn)重合），連接AD．作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接EB并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于F，連接AE，DE．①求證：A，D，B，E四點(diǎn)共圓；②若AB＝2，AD?AF的值是否會(huì)發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(1)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓；(2)45°；(3)①見(jiàn)解析②8【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、過(guò)三點(diǎn)的圓解答即可；（2）根據(jù)四點(diǎn)共圓、圓周角定理解答；（3）①根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到，，，，進(jìn)而得到，證明結(jié)論；②連接，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．【詳解】（1）解：依據(jù)1：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；依據(jù)2：過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓，故答案為：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓；（2）解：∵，∴點(diǎn)四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，∴，∵，∴，故答案為：45°；（3）①證明：∵，∴，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)，∴，，∴＝，，∴，∴，∴A，D，B，E四點(diǎn)共圓；②解：的值不會(huì)發(fā)生變化，理由如下：如圖4，連接，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)，∴，∴，∴，∵A，D，B，E四點(diǎn)共圓，∴，∴，∴A，B，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是四點(diǎn)共圓、相似三角形的判定和性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，正確理解四點(diǎn)共圓的條件是解題的關(guān)鍵．14．（2022·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將一副斜邊相等的直角三角板按斜邊重合擺放在同一平面內(nèi)，其中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，連接CD交AB于點(diǎn)E．設(shè)AB＝1．（1）求證：A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心的同一個(gè)圓上；（2）分別求△ABC和△ABD的面積；（3）過(guò)點(diǎn)D作DF∥BC交AB于點(diǎn)F，求OE︰OF的比值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）△ABC的面積為，△ABD的面積為；（3）【分析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得0C=OA=OB=OD，即可得出答案．(2)根據(jù)已知條件可計(jì)算出AC、BC、AD、BD的長(zhǎng)度，根據(jù)三角形的面積公式即可得出答案．(3)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到,，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，解直角三角形得到，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】（1）證明：如圖，連接OD、OC，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴OC＝OA＝OB，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴OD＝OA＝OB，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心的同一個(gè)圓上；（2）解：△ABC的面積為；△ABD的面積為（3）解：是等腰直角三角形，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)∵DF∥BC∵∴△DEF∽△CEB，∴又得．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)(兩組對(duì)應(yīng)角分別相等的兩個(gè)三角形相似；相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例)，三角形的面積的計(jì)算(三角形面積=底底邊上的高)，解直角三角形，正確的識(shí)別圖形是解的關(guān)鍵．15．（2023·重慶九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線，垂足為，于點(diǎn)，直線與直線于點(diǎn)．（1）若點(diǎn)在內(nèi)，如圖1，求證：和關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；（2）連接，若，且與相切，如圖2，求的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）根據(jù)垂直及同弧所對(duì)圓周角相等性質(zhì)，可得，可證與全等，得到，進(jìn)一步即可證點(diǎn)和關(guān)于直線成軸對(duì)稱(chēng)；（2）作出相應(yīng)輔助線如解析圖，可得與全等，利用全等三角形的性質(zhì)及切線的性質(zhì)，可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和即可得出答案．【詳解】解：（1）證明：∵，，∴，∵，∴，又∵同弧所對(duì)圓周角相等，∴，∴，在與中，∴，∴，又，∴點(diǎn)和關(guān)于直線成軸對(duì)稱(chēng)；（2）如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，，，，∵，，∴、、、四點(diǎn)共圓，、、、四點(diǎn)共圓，∴，，在與中，，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，又，∴，∵與相切，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】題目主要考查圓的有關(guān)性質(zhì)、三角形全等、成軸對(duì)稱(chēng)、平行線性質(zhì)等，作出相應(yīng)輔助線及對(duì)各知識(shí)點(diǎn)的熟練運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．16．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）【問(wèn)題情境】如圖①，在四邊形中，，求證：A、B、C、D四點(diǎn)共圓．小吉同學(xué)的作法如下：連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)、，請(qǐng)你幫助小吉補(bǔ)全余下的證明過(guò)程；【問(wèn)題解決】如圖②，在正方形中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，，作于點(diǎn)P．（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P恰好落在正方形對(duì)角線上時(shí)，線段的長(zhǎng)度為；（2）如圖③，過(guò)點(diǎn)P分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連結(jié)，則的最小值為．【答案】問(wèn)題情境：見(jiàn)解析；問(wèn)題解決：（1）；（2）【分析】[問(wèn)題情境]連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)、，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得，以此即可證明；[問(wèn)題解決]（1）根據(jù)題意可得，由[問(wèn)題情境]結(jié)論可知、、、四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理以及正方形的性質(zhì)可得，則為等腰直角三角形，設(shè)長(zhǎng)為，則長(zhǎng)為，根據(jù)勾股定理列出方程，求解即可；（2）由[問(wèn)題情境]結(jié)論可知、、、四點(diǎn)共圓，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，根據(jù)題意可得四邊形為矩形，則要求的最小值，即求的最小值，根據(jù)平行線的性質(zhì)和中點(diǎn)的定義可得為的中位線，得，，同理可證四邊形為矩形，以此得到，，根據(jù)勾股定理得，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得，以此即可求出的最小值，從而求得的最小值．【詳解】[問(wèn)題情境]證明：如圖，連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)、，，為的中點(diǎn)，，、、、四點(diǎn)共圓；[問(wèn)題解決]（1）四邊形為正方形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，，，由[問(wèn)題情境]結(jié)論可知，、、、四點(diǎn)共圓，如圖，，為正方形的對(duì)角線，，，為等腰直角三角形，設(shè)長(zhǎng)為，則長(zhǎng)為，，即，解得：，（不合題意，舍去），線段的長(zhǎng)度為；故答案為：；（2）由