18.2.1 矩形 人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)素養(yǎng)提升練習(xí)(含解析)

第十八章平行四邊形18.2特殊的平行四邊形18.2.1矩形基礎(chǔ)過關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1矩形的定義1.在四邊形ABCD中,AB∥DC,AD∥BC,如果添加一個(gè)條件,即可推出該四邊形是矩形,那么這個(gè)條件可以是.

知識(shí)點(diǎn)2矩形的性質(zhì)2.【教材變式·P53例1】如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,∠AOB=60°,AC+AB=12,則邊AB的長(zhǎng)為()A.3B.4C.23D.423.圖1是一種矩形時(shí)鐘,圖2是時(shí)鐘示意圖,時(shí)鐘數(shù)字2的刻度在矩形ABCD的對(duì)角線BD上,時(shí)鐘中心在矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)O處.若AB=30cm,則BC的長(zhǎng)為cm(結(jié)果保留根號(hào)).

圖1圖24.在矩形ABCD中,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,AE⊥BD,垂足為E,且AE平分∠BAO.(1)求∠AOB的度數(shù);(2)若AB=2cm,求矩形ABCD的面積.知識(shí)點(diǎn)3直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)5.(2023江蘇南通期中)如圖,在Rt△ABC中,CD是斜邊AB上的中線.若∠A=50°,則∠BCD的度數(shù)為()A.40°B.30°C.25°D.20°6.如圖,點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn),OM∥AB交AD于點(diǎn)M,若OM=3,BC=10,則OB的長(zhǎng)為()A.5B.4C.342D.7.(2023湖南郴州中考)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)M是AB的中點(diǎn),則CM=.

8.【構(gòu)造斜邊中線】(2022云南昆明八中期中)如圖,在△ABC中,AD是高,CE是中線,點(diǎn)G是CE的中點(diǎn),DG⊥CE于點(diǎn)G.(1)求證:DC=BE;(2)若∠AEC=66°,求∠BCE的度數(shù).知識(shí)點(diǎn)4矩形的判定9.(2023河南新鄉(xiāng)期末)四邊形ABCD中,AC、BD相交于點(diǎn)O,且OA=OC,OB=OD,若要使四邊形ABCD成為矩形,則可添加的條件是()A.∠AOB=90°B.AC=BDC.AC⊥BDD.AB=BC10.如圖,在四邊形ABCD中,兩條對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,已知AB∥CD,且AB=CD,點(diǎn)E是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接EC,若EC=CA,且CD平分∠ECA.求證:四邊形ABCD是矩形.11.(2023河北石家莊四十中期末)如圖,在平行四邊形ABCD中,過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,點(diǎn)F在CD邊上,CF=AE,連接AF,BF.(1)求證:四邊形BFDE是矩形;(2)若AF平分∠DAB,CF=3,DF=5,求四邊形BFDE的面積.12.【新素材】【新獨(dú)家原創(chuàng)】2023年4月16日,第九屆全國(guó)青年科普創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)暨作品大賽(江西賽區(qū))復(fù)賽在江西省科技館舉行.如圖,矩形ABCD的兩邊AB、CD是未來太空車的兩條賽道,AB=240cm,BC=80cm,未來太空車P從A開始沿AB邊以40cm/s的速度移動(dòng),未來太空車Q從C開始沿CD邊以20cm/s的速度移動(dòng),如果未來太空車P,Q分別從A,C同時(shí)出發(fā),當(dāng)其中一車到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.當(dāng)t為何值時(shí),四邊形QPBC為矩形?13.如圖,在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D,E為AB的中點(diǎn),過點(diǎn)A作AF∥BD,交DE延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接BF.(1)求證:AF=BD.(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí),四邊形AFBD是矩形?請(qǐng)證明你的結(jié)論.能力提升全練14.(2023上海中考,5,★★☆)在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=CD.下列說法能使四邊形ABCD為矩形的是()A.AB∥CDB.AD=BCC.∠A=∠BD.∠A=∠D15.(2023遼寧大連期中,10,★★☆)如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,過對(duì)角線的交點(diǎn)O作EF⊥BD,交AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,則AE的長(zhǎng)是()A.12B.78C.116.【社會(huì)主義先進(jìn)文化】(2022湖北十堰中考,13,★☆☆)“美麗鄉(xiāng)村”建設(shè)使我市農(nóng)村住宅舊貌變新顏,一農(nóng)村民居側(cè)面截圖如圖所示,屋坡AF,AG分別架在墻體的點(diǎn)B,C處,且AB=AC,四邊形BDEC為矩形.若測(cè)得∠FBD=55°,則∠A=°.

17.(2023湖北荊州中考,12,★☆☆)如圖,CD為Rt△ABC斜邊AB上的中線,E為AC的中點(diǎn).若AC=8,CD=5,則DE=.

18.(2022吉林中考,13,★★☆)如圖,在矩形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn),點(diǎn)F在對(duì)角線AC上,且AF=14AC,連接EF.若AC=10,則EF=19.【數(shù)學(xué)文化】(2023四川內(nèi)江中考,16,★★☆)出入相補(bǔ)原理是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要成就之一,最早是由三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)建的.“將一個(gè)幾何圖形任意切成多塊小圖形,幾何圖形的總面積保持不變,等于所分割成的小圖形的面積之和”是該原理的重要內(nèi)容之一.如圖,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),EF⊥AC,EG⊥BD,垂足分別為點(diǎn)F,G,則EF+EG=.

20.(2020云南中考,6,★★☆)已知四邊形ABCD是矩形,點(diǎn)E是矩形ABCD邊上的點(diǎn),且EA=EC.若AB=6,AC=210,則DE的長(zhǎng)是.

21.(2023湖南岳陽中考,21,★☆☆)如圖,點(diǎn)M在?ABCD的邊AD上,BM=CM,請(qǐng)從以下三個(gè)選項(xiàng):①∠1=∠2;②AM=DM;③∠3=∠4中,選擇一個(gè)合適的選項(xiàng)作為已知條件,使?ABCD為矩形.(1)你添加的條件是(填序號(hào));

(2)添加條件后,請(qǐng)證明?ABCD為矩形.22.【新考向·尺規(guī)作圖】(2022山西中考,17,★★☆)如圖,在矩形ABCD中,AC是對(duì)角線.(1)實(shí)踐與操作:利用尺規(guī)作線段AC的垂直平分線,垂足為點(diǎn)O,交邊AD于點(diǎn)E,交邊BC于點(diǎn)F(要求:尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡,不寫作法,標(biāo)明字母);(2)猜想與證明:試猜想線段AE與CF的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.素養(yǎng)探究全練23.【推理能力】長(zhǎng)與寬之比為2∶1的矩形紙片被稱為標(biāo)準(zhǔn)紙,請(qǐng)思考并解答下列問題:(1)將一張標(biāo)準(zhǔn)紙ABCD(AB<BC)對(duì)開,如圖所示,所得的矩形紙片ABEF是標(biāo)準(zhǔn)紙,請(qǐng)給予證明.(2)在一次綜合實(shí)踐課上,小明嘗試著將矩形紙片ABCD(AB<BC)進(jìn)行如下操作:第一步:沿過A點(diǎn)的直線折疊,使B點(diǎn)落在AD邊上的點(diǎn)F處,折痕為AE(如圖甲);第二步:沿過D點(diǎn)的直線折疊,使C點(diǎn)落在AD邊上的點(diǎn)N處,折痕為DG(如圖乙),此時(shí)E點(diǎn)恰好落在AE邊上的點(diǎn)M處;第三步:沿直線DM折疊(如圖丙),此時(shí)G點(diǎn)恰好與點(diǎn)N重合.請(qǐng)你探究:矩形紙片ABCD是不是標(biāo)準(zhǔn)紙?并說明理由.(3)不難發(fā)現(xiàn),將一張標(biāo)準(zhǔn)紙按如圖所示的方式一次又一次對(duì)開后,所得的矩形紙片都是標(biāo)準(zhǔn)紙.現(xiàn)有一張標(biāo)準(zhǔn)紙ABCD,AB=1,BC=2,問:第5次對(duì)開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長(zhǎng)是多少?探索并直接寫出第2020次對(duì)開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長(zhǎng).

答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.答案∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°)解析∵AB∥DC,AD∥BC,∴四邊形ABCD是平行四邊形,根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形,需要加一個(gè)直角,即∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°.(任選一個(gè)即可)2.B∵四邊形ABCD是矩形,∴AC=BD,OA=OC,OD=OB,∴OA=OB,∵∠AOB=60°,∴△AOB是等邊三角形,∴AO=AB,∴AC=2AO=2AB,∵AC+AB=2AB+AB=12,∴AB=4,故選B.3.答案303解析過O點(diǎn)作OE⊥CD,OF⊥AD,垂足分別為E,F,由題意知∠FOD=2∠DOE,∵∠FOD+∠DOE=90°,∴∠DOE=30°,∠FOD=60°,在矩形ABCD中,∠C=90°,∴OE∥BC,∴∠DBC=∠DOE=30°,∵CD=AB=30cm,∴BD=2CD=60cm,∴BC=602-34.解析(1)∵四邊形ABCD是矩形,∴AO=BO=12BD,由AE⊥BD,AE平分∠BAO,易證△AOE≌△∴△AOB是等邊三角形,∴∠AOB=60°.(2)由(1)知△AOB是等邊三角形,∴∠BAO=60°,∴∠ACB=30°,∴AB=12∴AC=2AB=4cm,∴BC=42-2∴矩形ABCD的面積=2×23=43(cm2).5.A在Rt△ABC中,CD是斜邊AB上的中線,∴CD=DA=12AB,∴∠ACD=∠∵∠ACB=90°,∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=40°,故選A.6.D連接OD(圖略),∵四邊形ABCD為矩形,∴OA=OD,∠ADC=∠BAD=∠ABC=90°,∵OM∥AB,∴OM⊥AD,∴AM=DM,∵O是AC的中點(diǎn),∴OM是△ABD的中位線,∴AB=2OM=6,∵BC=10,∴AC=AB2+∵∠ABC=90°,O為AC的中點(diǎn),∴BO=12AC=34,故選7.答案5解析連接CM(圖略),在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,∴AB=AC∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn),∴CM=128.解析(1)證明:連接DE.∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∵AE=EB,∴DE=EB=EA,∵DG⊥EC,EG=GC,∴DE=CD,∴DC=BE.(2)設(shè)∠BCE=x.∵EB=DE=DC,∴∠DEC=∠DCE=x,∴∠EBD=∠BDE=∠DEC+∠DCE=2x,∵∠AEC=∠EBD+∠ECD,∴66°=3x,∴x=22°,∴∠BCE=22°.9.B∵OA=OC,OB=OD,∴四邊形ABCD是平行四邊形,∵AC=BD,∴四邊形ABCD是矩形.故選B.10.證明∵AB∥CD,且AB=CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形.∵EC=CA,且CD平分∠ECA,∴CD⊥AE,即∠ADC=90°,∴四邊形ABCD是矩形.11.解析(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴DF∥EB,AB=CD,又∵CF=AE,∴DF=BE,∴四邊形BFDE是平行四邊形,∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°,∴四邊形BFDE是矩形.(2)∵AF平分∠DAB,DC∥AB,∴∠DAF=∠FAB,∠DFA=∠FAB,∴∠DAF=∠DFA,∴AD=DF=5,∵AE=CF=3,DE⊥AB,∴DE=AD2-AE2=4,∴12.解析根據(jù)題意得CQ=20tcm,AP=40tcm,則BP=(240-40t)cm,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠B=∠C=90°,CD∥AB,∴只有CQ=BP時(shí),四邊形QPBC是矩形,即20t=240-40t,解得t=4,故當(dāng)t=4時(shí),四邊形QPBC是矩形.13.解析(1)證明:∵AF∥BD,∴∠FAE=∠DBE,∵E為AB的中點(diǎn),∴EA=EB,在△AEF和△BED中,∠∴△AEF≌△BED(ASA),∴AF=BD.(2)當(dāng)△ABC滿足AB=CB時(shí),四邊形AFBD是矩形.證明:由(1)可知AF=BD,∵AF∥BD,∴四邊形AFBD是平行四邊形,∵AB=CB,BD平分∠ABC,∴BD⊥AC,∴∠BDA=90°,∴平行四邊形AFBD是矩形.能力提升全練14.C∵AB∥CD,AD∥BC,∴四邊形ABCD是平行四邊形,由AB=CD不能判定四邊形ABCD為矩形,故選項(xiàng)A不符合題意;∵AD=BC,AD∥BC,∴四邊形ABCD是平行四邊形,由AB=CD不能判定四邊形ABCD為矩形,故選項(xiàng)B不符合題意;∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∵∠A=∠B,∴∠A=∠B=90°,∴AB⊥AD,AB⊥BC,∴AB的長(zhǎng)為AD與BC之間的距離,∵AB=CD,∴CD⊥AD,CD⊥BC,∴∠C=∠D=90°,∴四邊形ABCD是矩形,故選項(xiàng)C符合題意;∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∵∠A=∠D,∴∠B=∠C,∵AB=CD,∴四邊形ABCD可能是等腰梯形,故選項(xiàng)D不符合題意.故選C.15.B連接BE,如圖,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠BAE=90°,AD=BC=4,OB=OD,∵EF⊥BD,∴DE=BE,設(shè)AE=x,則BE=DE=4-x,在Rt△ABE中,由勾股定理得x2+32=(4-x)2,解得x=78,即AE=78.16.答案110解析∵四邊形BDEC為矩形,∴∠DBC=90°,∵∠FBD=55°,∴∠ABC=180°-∠DBC-∠FBD=35°,∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC=35°,∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=110°.17.答案3解析∵CD為Rt△ABC斜邊AB上的中線,CD=5,∴AB=2CD=10,∵∠ACB=90°,AC=8,∴BC=AB∵E為AC的中點(diǎn),∴AE=CE,∴DE是△ABC的中位線,∴DE=1218.答案5解析在矩形ABCD中,AO=OC=12∵AF=14AC,∴點(diǎn)F為AO的中點(diǎn)∵點(diǎn)E為邊AD的中點(diǎn),∴EF為△AOD的中位線,∴EF=12OD=14BD=19.答案60解析連接OE,如圖,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,BC=AD=12,AO=CO=BO=DO,∵AB=5,∴AC=AB2+BC2=13,∴OB=OC=132,∴S△BOC=S△BOE+S△COE=12OB·EG+12OC·EF=12S△ABC=12×12×5×12=15,∴1220.答案83或解析如圖,∵四邊形ABCD是矩形,∴CD=AB=6,AD=BC,∠ABC=∠ADC=90°,∴BC=AC2-當(dāng)點(diǎn)E在CD上時(shí),∵AE2=DE2+AD2=EC2,∴DE2+4=(6-DE)2,∴DE=83當(dāng)點(diǎn)E'在AB上時(shí),∵CE'2=BE'2+BC2=E'A2,∴(6-AE')2+4=AE'2,∴AE'=103∴DE'=AD2+AE'綜上所述,DE=83或221.解析(1)