山西省陽泉市實驗中學2022年高二數(shù)學理上學期摸底試題含解析

山西省陽泉市實驗中學2022年高二數(shù)學理上學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列說法正確的是（）A．集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，則“a∈M”是“a∈N”的充分不必要條件B．“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要不充分條件C．命題“若a∈M，則b?M”的否命題是“若a?M，則b∈M”D．命題“若a，b都是奇數(shù)，則a+b是偶數(shù)”的逆否命題是“若a+b不是偶數(shù)，則a，b都不是奇數(shù)”參考答案：C【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】A．根據(jù)集合關系以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可，B．根據(jù)不等式的關系，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷，C．根據(jù)否命題的定義進行判斷，D．根據(jù)逆否命題的定義進行判斷即可．【解答】解：A．∵M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，∴N?M，即“a∈M”是“a∈N”的必要不充分條件，故A錯誤，B．“|a|＞|b|”?“a2＞b2”，即“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的充要條件，故B錯誤，C．根據(jù)否命題的定義得命題“若a∈M，則b?M”的否命題是“若a?M，則b∈M”，故C正確，D．命題“若a，b都是奇數(shù)，則a+b是偶數(shù)”的逆否命題是“若a+b不是偶數(shù)，則a，b不都是奇數(shù)”，故D錯誤，故選：C．2.已知x1>0，x1≠1且(n＝1,2，…)，試證：“數(shù)列{xn}對任意的正整數(shù)n都滿足xn>xn＋1”，當此題用反證法否定結論時應為 (

)A．對任意的正整數(shù)n，有xn＝xn＋1 B．存在正整數(shù)n，使xn＝xn＋1C．存在正整數(shù)n，使xn≥xn＋1 D．存在正整數(shù)n，使xn≤xn＋1參考答案：D3.某公共汽車站，每隔15分鐘有一輛車出發(fā)，并且出發(fā)前在車站?？?分鐘，則某人隨機到達該站的候車時間不超過10分鐘的概率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】幾何概型．【分析】由乘客到達車站的時刻是任意的知這是一個幾何概型，公共汽車站，每隔15分鐘有一輛車出發(fā)，知事件總數(shù)包含的時間長度是15，滿足一個乘客候車時間不超過10分鐘的事件包含的時間長度是13，由幾何概型公式得到結果．【解答】解：由題意知這是一個幾何概型，∵公共汽車站每隔15分鐘有一輛汽車到達，∴事件總數(shù)包含的時間長度是15，滿足一個乘客候車時間不超過10分鐘的事件包含的時間長度是13，由幾何概型公式得到P=，故選C．4.函數(shù)f(x)＝2x＋3x的零點所在的一個區(qū)間是

()A．(－2，－1)

B．(－1,0)C．(0,1)

D．(1,2)參考答案：B略5.已知命題p：?x0∈R，2x0+1≤0，則命題p的否定是（）A．?x0∈R，2x0+1＞0 B．?x∈R，2x+1＞0C．?x0∈R，2x0+1≤0 D．?x∈R，2x+1≥0參考答案：B【考點】命題的否定．【分析】由特稱命題的否定方法可得．【解答】解：由特稱命題的否定可知：命題p的否定是“?x∈R，2x+1＞0，故選：B．6.執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出y的值是（）A．127 B．63 C．31 D．15參考答案：B【考點】EF：程序框圖．【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量y的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【解答】解：模擬程序的運行，可得x=0，y=1執(zhí)行循環(huán)體，x=1，y=3不滿足條件x＞4，執(zhí)行循環(huán)體，x=2，y=7不滿足條件x＞4，執(zhí)行循環(huán)體，x=3，y=15不滿足條件x＞4，執(zhí)行循環(huán)體，x=4，y=31不滿足條件x＞4，執(zhí)行循環(huán)體，x=5，y=63滿足條件x＞4，退出循環(huán)，輸出y的值為63．故選：B．【點評】本題考查了程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結論，屬于基礎題．7.設橢圓（a>b>0）的兩焦點為F1、F2，若橢圓上存在一點Q，使∠F1QF2=120o，橢圓離心率e的取值范圍為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A8.直線y＝k(x-2)＋4與曲線y＝1+有兩個不同的交點，則實數(shù)的k的取值范圍是（

）

A．

B．

C.

D．

參考答案：A略9.的展開式中的系數(shù)為（

）A.6 B.18 C.24 D.30參考答案：B【分析】分析中的系數(shù),再結合分析即可.【詳解】中含的項為,含的項為.故展開式中含的項為.故選：B【點睛】本題主要考查了二項式定理求解特定項的系數(shù),需要分情況討論求和.屬于基礎題.10.直線關于軸對稱的直線方程為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.的解集是______參考答案：【分析】根據(jù)絕對值不等式的解法，直接解出不等式的解集.【詳解】由得或，即或，故不等式的解集為.【點睛】本小題主要考查絕對值不等式的解法，考查運算求解能力，屬于基礎題.12.在矩形中，，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為

．參考答案：13.過點P(2,1)作直線l分別交x軸、y軸的正半軸于A、B兩點，則使|PA|·|PB|的值最小時直線l的方程為__________．參考答案：如圖所示：設，，，，∴，∴，即時，取最小值，時、直線的傾斜角為，斜率為，∴直線的方程為，即．14.一個容量為的樣本數(shù)據(jù)，分組后組距與頻數(shù)如下表：

組距頻數(shù)

2

3

4

5

4

2

則樣本在區(qū)間上的頻率為

▲

．參考答案：略15.如圖1，圓O上的一點C在直徑AB上的射影為D，CD=4，BD=8，則圓O的直徑為

．

參考答案：10略16.已知函數(shù)，若，則參考答案：17.在平面直角坐標系xOy中，以點（1，0）為圓心且與直線mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為．參考答案：（x﹣1）2+y2=2【考點】圓的標準方程；圓的切線方程．【分析】求出圓心到直線的距離d的最大值，即可求出所求圓的標準方程．【解答】解：圓心到直線的距離d==≤，∴m=1時，圓的半徑最大為，∴所求圓的標準方程為（x﹣1）2+y2=2．故答案為：（x﹣1）2+y2=2．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)．（1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°（4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos48°（5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos55°（Ⅰ）試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的計算結果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結論．參考答案：【考點】F9：分析法和綜合法；F1：歸納推理．【分析】（Ⅰ）選擇（2），由sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣sin30°=，可得這個常數(shù)的值．（Ⅱ）推廣，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=．證明方法一：直接利用兩角差的余弦公式代入等式的左邊，化簡可得結果．證明方法二：利用半角公式及兩角差的余弦公式把要求的式子化為+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα），即1﹣+cos2α+sin2α﹣sin2α﹣，化簡可得結果．【解答】解：選擇（2），計算如下：sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣sin30°=，故這個常數(shù)為．（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的計算結果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=．證明：（方法一）sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=sin2α+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=sin2α+cos2α+sin2α+sinαcosα﹣sinαcosα﹣sin2α=sin2α+cos2α=．（方法二）sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=1﹣+（cos60°cos2α+sin60°sin2α）﹣sin2α﹣sin2α=1﹣+cos2α+sin2α﹣sin2α﹣=1﹣﹣+=．【點評】本題主要考查兩角差的余弦公式，二倍角公式及半角公式的應用，考查歸納推理以及計算能力，屬于中檔題．19.對甲、乙兩名自行車賽手在相同條件下進行了6次測試，測得他們的最大速度（m/s）的數(shù)據(jù)如下表.甲273830373531乙332938342836（1）畫出莖葉圖（2）分別求出甲、乙兩名自行車賽手最大速度（m/s）數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、標準差，并判斷選誰參加比賽更合適.參考答案：解：（1）畫莖葉圖,中間數(shù)為數(shù)據(jù)的十位數(shù)（4分）（2）：=33，=33；=3.96，=3.56；甲的中位數(shù)是33，乙的中位數(shù)是35.綜合比較選乙參加比賽較為合適.（8分）20.在某次考試中，從甲、乙兩個班各抽取10名學生的數(shù)學成績進行統(tǒng)計分析，兩個班成績的莖葉圖如圖所示．（1）求甲班的平均分；（2）從甲班和乙班成績90～100的學生中抽取兩人，求至少含有甲班一名同學的概率．參考答案：【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【分析】（1）由莖葉圖能求出甲班的平均分．（2）甲班90﹣100的學生有2個，設為A，B；乙班90﹣100的學生有4個，設為a，b，c，d，從甲班和乙班90﹣100的學生中抽取兩人，利用列舉法能求出至少含有甲班一名同學的概率．【解答】解：（1）甲班的平均分為：；（2）甲班90﹣100的學生有2個，設為A，B；乙班90﹣100的學生有4個，設為a，b，c，d，從甲班和乙班90﹣100的學生中抽取兩人，共包含：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）15個基本事件，設事件M=“至少含有甲班一名同學”，則事件M包含：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），9個事件，所以事件M的概率為．【點評】本題考查莖葉圖的應用，考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．21.已知函數(shù)f（x）=﹣+2ax2﹣3a2x+1，0＜a＜1． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極大值； （Ⅱ）若x∈[1﹣a，1+a]時，恒有﹣a≤f′（x）≤a成立（其中f′（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)），試確定實數(shù)a的取值范圍． 參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)最值的應用． 【專題】計算題；綜合題． 【分析】（I）對函數(shù)求導，結合f′（x）＞0，f′（x）＜0，f′（x）=0可求解 （II）由題意可得﹣a≤﹣x2+4ax﹣3a2≤a在[1﹣a，1+a]恒成立，結合二次函數(shù)的對稱軸x=2a與區(qū)間[1﹣a，1+a]與的位置分類討論進行求解． 【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣x2+4ax﹣3a2，且0＜a＜1，（1分） 當f′（x）＞0時，得a＜x＜3a； 當f′（x）＜0時，得x＜a或x＞3a； ∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（a，3a）； f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，a）和（3a，+∞）．（5分） 故當x=3a時，f（x）有極大值，其極大值為f（3a）=1．（6分） （Ⅱ）f′（x）=﹣x2+4ax﹣3a2=﹣（x﹣2a）2+a2， ?。┊?a≤1﹣a時，即時，f′（x）在區(qū)間[1﹣a，1+a]內(nèi)單調(diào)遞減． ∴[f′（x）]max=f′（1﹣a）=﹣8a2+6a﹣1，[f′（x）]min=f′（1+a）=2a﹣1． ∵﹣a≤f′（x）≤a，∴∴∴． 此時，．（9分） ⅱ）當2a＞1﹣a，且2a＜a+1時，即，[f′（x）]max=f′（2a）=a2． ∵﹣a≤f′（x）≤a，∴即 ∴∴． 此時，．（12分） ⅲ）當2a≥1+a時，得a≥1與已知0＜a＜1矛盾．（13分） 綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為．（14分） 【點評】本題綜合考查了函數(shù)的導數(shù)的運用及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，（II）的求解的關