山西省陽泉市第十五中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析

山西省陽泉市第十五中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若命題￢（p∨（￢q））為真命題，則p，q的真假情況為（）

A.p真，q真

B.p真，q假

C.p假，q真

D.p假，q假參考答案：C【解析】若命題￢（p∨（￢q））為真命題，則命題p∨（￢q）為假命題，則命題p和￢q為假命題，∴p假，q真，故選：C

2.函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：B3.已知向量a=(2，-1，3)，b=(-4，2，x)，且(a+b)⊥a，則x=(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A略4.已知為等比數(shù)列,,,則（）A．

B．

C．

D．參考答案：A略5.甲校有3600名學(xué)生。乙校有5400名學(xué)生，丙校有1800名學(xué)生，為統(tǒng)計(jì)三校學(xué)生身高方面的情況，計(jì)劃采用分層抽樣法，抽取一個(gè)樣本容量為90人的樣本，則應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生（

）

A．30人，30人，30人

B．30人，45人，15人

C．20人，30人，10人

D.30人，50人，10人參考答案：B6.若，，則P，Q的大小關(guān)系是（

）A．

B．

C.

D．由a的取值確定參考答案：C∵且，∴，又，∴，故選C.

7.已知點(diǎn)（x,y）在拋物線上，則

(

)

A.

2

B.3

C.4

D.0參考答案：B8.若雙曲線(a>0，b>0)的漸近線與拋物線y＝x2＋2相切，則此雙曲線的漸近線方程為參考答案：B雙曲線的漸近線為y＝±x，不妨取y＝x，代入拋物線得x＝x2＋2，即x2－x＋2＝0，要使?jié)u近線與拋物線y＝x2＋2相切，則Δ＝2－8＝0，即b2＝8a2，所以此雙曲線的漸近線方程是y＝±x＝±2x，選B.9.在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝44°，則此三角形解的情況為()A．無解

B．兩解

C．一解

D．解的個(gè)數(shù)不確定參考答案：B10.在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面積為，則BC＝()A．3

B．5

C．7

D．15參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線在變換作用下得到的直線方程是

。參考答案：12.用定積分的幾何意義，則= 參考答案：13.若復(fù)數(shù)()，則=_________。參考答案：i【分析】先由復(fù)數(shù)相等，求出的值，再由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)()，所以，解得，因此.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)相等與復(fù)數(shù)的除法，熟記復(fù)數(shù)相等的充要條件以及復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.14.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，是其前項(xiàng)的和，某同學(xué)計(jì)算得，后來該同學(xué)發(fā)現(xiàn)了其中一個(gè)數(shù)算錯(cuò)了，則該數(shù)為

參考答案：15.用數(shù)學(xué)歸納法證明“＜，＞1”時(shí)，由＞1不等式成立，推證時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是

▲．參考答案：

16.直線(t為參數(shù))和圓交于A，B兩點(diǎn)，則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為 。參考答案：略17.已知|2x﹣1|+（y+2）2=0，則（xy）2016=

．參考答案：1【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪的化簡求值．【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解答】解：∵|2x﹣1|+（y+2）2=0，∴x=，y=﹣2，∴xy=﹣1，∴（xy）2016=1，故答案為：1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知公差不為零的等差數(shù)列{an}滿足，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若，且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求證：.參考答案：(1).(2)見詳解.【分析】(1)設(shè)公差為，由已知條件列出方程組，解得，解得數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)得出，可由裂項(xiàng)相消法求出其前項(xiàng)和，進(jìn)而可證結(jié)論.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為().由題意得則化簡得解得所以.(2)證明：，所以.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量運(yùn)算、裂項(xiàng)相消法求和、不等式的證明.通項(xiàng)公式形如的數(shù)列，可由裂項(xiàng)相消法求和.19.如圖所示，拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線l與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，弦PQ的中點(diǎn)為N，經(jīng)過點(diǎn)N作y軸的垂線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)T．（Ⅰ）若直線l的斜率為1，且|PQ|=4，求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）證明：無論p為何值，以線段TN為直徑的圓總經(jīng)過點(diǎn)F．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）設(shè)直線l的方程為y=x﹣，與拋物線C的方程聯(lián)立，化簡得x2﹣3px+=0，根據(jù)|PQ|=4，求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）求出點(diǎn)N、點(diǎn)T的坐標(biāo)，證明?=﹣p2m2+p2m2=0，即可證明：無論p為何值，以線段TN為直徑的圓總經(jīng)過點(diǎn)F．【解答】（Ⅰ）解：由直線l的斜率為1，可設(shè)直線l的方程為y=x﹣，與拋物線C的方程聯(lián)立，化簡得x2﹣3px+=0，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），由韋達(dá)定理可知，x1+x2=3p，∴|PQ|=x1+x2+p=4p=4，p=1，∴拋物線C的方程為y2=2x．…（Ⅱ）證明：設(shè)直線l的方程為x=my+，與拋物線C的方程聯(lián)立，化簡得y2﹣2pmy﹣p2=0，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），由韋達(dá)定理可知，y1+y2=2pm，∴x1+x2=m（y1+y2）+p=2pm2+p，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（pm2+，pm），∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為（﹣，pm），∴=（﹣p，pm），=（pm2，pm），∴?=﹣p2m2+p2m2=0，∴無論p為何值，以線段TN為直徑的圓總經(jīng)過點(diǎn)F．…（12分）【點(diǎn)評】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，同時(shí)考查向量與解析幾何的交匯，綜合性強(qiáng)．20.△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asinAsinB＋＝a.(1)求；(2)若c2＝b2＋a2，求B.參考答案：(1)由正弦定理得，sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，---------2即sinB(sin2A＋cos2A)＝sinA.故sinB＝sinA，------------------4所以＝.----------------------6(2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，得cosB＝.-----------------8由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2.可得cos2B＝，又cosB＞0，-------------------10故cosB＝，所以B＝45°.-----------------1221.（10分）如圖，軸，點(diǎn)M在DP的延長線上，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（1）求：動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的方程；（2）若B(-2，0),C(1，0),A是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求：的取值范圍．參考答案：(1)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，

則即

①∵P在圓上

∴

②將①代入②得

∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為∴

∵點(diǎn)A在橢圓上

∴∴的取值范圍為(0,]

22.如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，BC⊥CF，，EF=2，BE=3，CF=4．（Ⅰ）求證：EF⊥平面DCE；（Ⅱ）當(dāng)AB的長為何值時(shí)，二面角A﹣EF﹣C的大小為60°．參考答案：【考點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的判定．【專題】計(jì)算題；證明題．【分析】（I）由已知中在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=，BE=3，由勾股定理，我們易得EF⊥CE，由矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，可得DC⊥平面EFCB，則DC⊥EF，進(jìn)而由線面垂直的判定定理得到答案．（II）方法一（幾何法）過點(diǎn)B作BH⊥EF交FE的延長線于H，連接AH，由三垂線定理及二面角的平面角的定義，易得∠AHB為二面角A﹣EF﹣C的平面角，解Rt△CEF，即可求出二面角A﹣EF﹣C的大小為60°時(shí)，AB的長．方法二（向量法）以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB，CF和CD分別作為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz，設(shè)AB=a，分別求出平面AEF的法向量和平面EFCB的法向量，代入向量夾角公式，由二面角A﹣EF﹣C的大小為60°，構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程求出a值．【解答】證明：（Ⅰ）在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=，BE=3，∴EC=，∵在△FCE中，CF2=EF2+CE2，∴EF⊥CE由已知條件知，DC⊥平面EFCB，∴DC⊥EF，又DC與EC相交于C，∴EF⊥平面DCE解：（Ⅱ）方法一：過點(diǎn)B作BH⊥EF交FE的延長線于H，連接AH．由平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC=BC，AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，從而AH⊥EF．所以∠AHB為二面角A﹣EF﹣C的平面角．在Rt△CEF中，因?yàn)镋F=2，CF=4．EC=∴∠CEF=90°，由CE∥BH，得∠BHE=90°，又在Rt△BHE中，BE=3，∴由二面角A﹣EF﹣C的平面角∠AHB=60°，在Rt△AHB中，解得，所以當(dāng)時(shí)，二面角A﹣EF﹣C的大小為60°方法二：如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB，CF和CD分別作為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz．設(shè)AB=a（a＞