2023年中考數(shù)學(xué)幾何模型-單中點(diǎn)與雙中點(diǎn)模型（講+練）原卷版

專題02單中點(diǎn)與雙中點(diǎn)模型

有關(guān)中點(diǎn)的知識(shí)點(diǎn)歸納：①三角形中線平分三角形面積；②直角三角形斜邊上的中線等于斜

邊的一半；

③等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)；④三角形中位線平行且等于第

三邊的一半.

在題干中，出現(xiàn)一個(gè)中點(diǎn)時(shí)，我們通常想到中線；兩個(gè)中點(diǎn)時(shí)，想到中位線。

模型一、雙中點(diǎn)-中位線模型

如圖，D、E、F分別為4ABC三邊中點(diǎn)，連接DE、DF、EF,則。尸叫BC,DE^^AC,

EF^^AB.

例.如圖，在RffiMBC中，EMCB=90°,AC=BC,過點(diǎn)C作CDB48,垂足為D,點(diǎn)E為8C的中

點(diǎn)，AE與CD交于點(diǎn)F,若DF的長(zhǎng)為也，則AE的長(zhǎng)為（）

3

C.y/5D.2石

【變式訓(xùn)練1】如圖，在△ABC的兩邊AB、AC向形外作正方形A8OE和4CFG,取BE、

BC、CG的中點(diǎn)M、Q、N.求證：MQ=QN.

BOC

【變式訓(xùn)練2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，-OAB的頂點(diǎn)B在x軸正半軸上，頂點(diǎn)A和邊A8

9

的中點(diǎn)C均在函數(shù)y=*(x>0)的圖象上，則一OAB的面積為()

A.2B.3C.4D.6

【變式訓(xùn)練3】如圖，在AABC中，ZACB=60°，AC=1,D是AB的中點(diǎn)，E是BC上

一點(diǎn)，若DE平分AABC的周長(zhǎng)，則DE的長(zhǎng)為_

C

匚

ADB

模型二、單中點(diǎn)-倍長(zhǎng)中線模型

EA

'/A<、、

E、D

D

例.如圖，CE、CB分別是」ABC與_AOC的中線，且NAC8=NABC,AC=AB.求證：

CD=2CE.

C

AEBD

【變式訓(xùn)練1】已知，在RtAABC中，ABAC=90°,點(diǎn)。為邊A3的中點(diǎn)，AELCD分別

交CD,BC于點(diǎn)F,E.

(1)如圖1,①若4?=AC,請(qǐng)直接寫出NE4C-N3CZ)=；

②連接OE,若AE=2DE,求證：ZDEB=ZAEC；

(2)如圖2,連接網(wǎng)，若FB=AC,試探究線段CF和0P之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【變式訓(xùn)練2】如圖①，點(diǎn)。為線段MN的中點(diǎn)，P。與MN相交于點(diǎn)。，KPM//NQ,可

證△PMO絲△QNO.根據(jù)上述結(jié)論完成下列探究活動(dòng)：

探究一：如圖②，在四邊形ABC。中，AB//DC,E為BC邊的中點(diǎn)，NBAE=NEAF,AF

與。C的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.試探究線段A8與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

探究二：如圖③，DE、BC相交于點(diǎn)E,BA交。E于點(diǎn)A,且8E：EC=1：2,NBAE=N

EDF,CF//AB.若A8=4,CF=2,求。尸的長(zhǎng)度.

圖①

【變式訓(xùn)練3】如圖，過邊長(zhǎng)為3的等邊AABC的邊AB上一點(diǎn)尸，作尸ELAC于E,Q為

BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，當(dāng)網(wǎng)=C。時(shí)，連PQ交AC邊于力，則。E的長(zhǎng)為.

A

模型二、單中點(diǎn)-“三線合一”模型

如圖，在AABC中，AB=AC,D為BC的中點(diǎn)，連接AD,則AD平分NBAC,AD是邊

BC上的高，AD是BC邊上的中線（AD是角平分線、中線、垂線）.

例.如圖，在矩形ABCD中，E為CB延長(zhǎng)線一點(diǎn)且AC=CE,F為AE的中點(diǎn)，求證：BF

±FD.

【變式訓(xùn)練1】如圖所示，在aABC中，AB=AC=5,BC=6,M為BC的中點(diǎn)，MN1AC

于點(diǎn)N,則MN等于（）

16

D.

【變式訓(xùn)練2】半徑為1的半圓形紙片，按如圖方式沿AB折疊，使折疊后半圓弧的中點(diǎn)M

與圓心O重合，求圖中陰影部分面積？

課后訓(xùn)練

1.如圖所示，M是AABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分NBAC,BNLAN于點(diǎn)、N,且AB=8,

MN=3,則AC的長(zhǎng)是（）

2.如圖，。0的半徑為5,AB為弦，點(diǎn)C為43的中點(diǎn)，若NABC=30°,則弦AB的長(zhǎng)

為（）

15\/3匕rz

A."B.5C.———D.5y3

3.如圖，正方形ABCD和正方形EFCG的邊長(zhǎng)分別為3和1,點(diǎn)F,G分別在邊BC,CDk,

于點(diǎn)G,若DG=GE,說明：0ABC為等腰三角形.

A

4

求nA

5.如圖所示，已知在A8C中，。是AB的中點(diǎn)，DC^AC,cosZDCB5-si

6.如圖，在四邊形ABCD中，E為AB上的一點(diǎn)，4ADE和4BCE都是等邊三角形，AB、

BC、CD、DA的中點(diǎn)分別為P、Q、M、N,試判斷四邊形PQMN的形狀.

7.如圖，在4ABC中，BC=22,BD1AC于點(diǎn)D,CE1AB于E,F、G分別是BC、DE

的中點(diǎn)，若ED=10,求FG的長(zhǎng).

D

8.己知,在Rt/\A3C中,/84C=90。，點(diǎn)。為邊AB的中點(diǎn)，AELCO分別交CO,