重慶巫溪縣天寶中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析

重慶巫溪縣天寶中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知雙曲線C：=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），直線l過不同的兩點(diǎn)（a，0），（，），若坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l的距離為，則雙曲線C的離心率為（）A．2 B． C． D．2或參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】求出直線的斜率，原點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化求解雙曲線的離心率即可．【解答】解：因?yàn)?，所以l的方程bx+ay﹣ab=0原點(diǎn)到直線距離，整理得：，即所以或因a＞b＞0故（舍去）所以=，故選：C．2.a、b∈R下列命題正確的是()A．若a＞b，則a2＞b2 B．若|a|＞b，則a2＞b2C．若a＞|b|，則a2＞b2

D．若a≠|(zhì)b|，則a2≠b2參考答案：C3.設(shè)變量滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最小值為__________．參考答案：-44.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若，，則△ABC的面積為（

）A.3 B. C. D.參考答案：C【分析】通過余弦定理可得C角，再通過面積公式即得答案.【詳解】根據(jù)余弦定理，對(duì)比，可知，于是，根據(jù)面積公式得，故答案為C.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理和面積公式的運(yùn)用，比較基礎(chǔ).5.正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BB1＝4，長為1的線段PQ在棱AA1上移動(dòng)，長為3的線段MN在棱CC1上移動(dòng)，點(diǎn)R在棱BB1上移動(dòng)，則四棱錐R－PQMN的體積是()A．6

B．10C．12

D．不確定參考答案：A略6.已知函數(shù)=，若,則實(shí)數(shù)的值等于（

）A．1

B．3

C．－3

D．－1

參考答案：C7.某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用與銷售額的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用（萬元）

4

2

3

5銷售額（萬元）

44

25

37

54根據(jù)上表可得回歸方程中的為9．4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為A．61．5萬元

B．62．5萬元

C．63．5萬元

D．65．0萬元參考答案：C略8.直線(a＋1)x－(2a＋5)y－6＝0被圓(x＋4)2＋(y＋2)2＝9所截得弦長為A．2

B．3

C．6

D．與a有關(guān)參考答案：C9.若上是減函數(shù)，則的取值范圍是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C略10.已知直線y=x+k與曲線y=ex相切，則k的值為（）A．e B．2 C．1 D．0參考答案：C【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），求出切線斜率，利用切點(diǎn)在直線上，代入方程，即可得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），則y0=ex0，∵y′=（ex）′=ex，∴切線斜率k=ex0，又點(diǎn)（x0，y0）在直線上，代入方程得y0=k+x0，即ex0=ex0+x0，解得x0=0，k=1，故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2作橢圓長軸的垂線與橢圓相交，其中的一個(gè)交點(diǎn)為P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是____．參考答案：

12.一矩形鐵皮的長為8cm，寬為5cm，在四個(gè)角上截去四個(gè)相同的小正方形，制成一個(gè)無蓋的小盒子，問小正方形的邊長為多少時(shí)，盒子容積最大？

參考答案：.解：設(shè)小正方形的邊長為cm，則盒子底面長為（）cm，寬為（）cm,,

……………4分，在定義域內(nèi)僅有一個(gè)極大值，

……………10分

即小正方形邊長為1cm時(shí)，盒子容積最大為

…………12分

13.已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，體積為，底面是邊長為的正三角形.若為底面的中心，則與平面所成的角的大小為 .參考答案：14.不等式對(duì)一切R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

參考答案：15.如圖,在長方體中，，點(diǎn)D在平面上的射影為H，則的面積是

．參考答案：

16.已知關(guān)于關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集為（﹣∞，﹣2）∪（﹣，+∞），則不等式ax2﹣bx+c＞0的解集為．參考答案：（，2）【考點(diǎn)】一元二次不等式的解法．【分析】由已知得ax2+bx+c=0的兩個(gè)根為﹣2和﹣，利用根與系數(shù)關(guān)系得到系數(shù)的比，由此化簡不等式ax2﹣bx+c＞0，求出解集即可．【解答】解：關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集為（﹣∞，﹣2）∪（﹣，+∞），∴a＜0，且﹣，﹣2為方程ax2+bx+c=0的兩根，∴﹣+（﹣2）=﹣，且﹣×（﹣2）=；∴b=a，c=a，∴不等式ax2﹣bx+c＞0可化為ax2﹣ax+a＞0，∴2x2﹣5x+2＜0，即（2x﹣1）（x﹣2）＜0，解得＜x＜2，∴不等式ax2﹣bx+c＞0的解集為（，2）．故答案為：（，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次不等式的解法以及一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用問題，是出錯(cuò)題．17.已知a為常數(shù)，函數(shù)，若關(guān)于x的方程有且只有四個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)a的取值所構(gòu)成的集合為

▲

．參考答案：關(guān)于的方程有且只有四個(gè)不同的解，等價(jià)于直線與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，直線過定點(diǎn)，斜率為，當(dāng)直線與相切時(shí)，由，令可得斜率；當(dāng)直線相切時(shí)，，由可得斜率；同理，當(dāng)直線相切時(shí)，斜率，畫出與的圖象，如圖，由圖知，或時(shí)，與有四個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)關(guān)于的方程有且只有四個(gè)不同的解，故答案為.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知平面直角坐標(biāo)系xOy，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l過點(diǎn)，且傾斜角為，圓C的極坐標(biāo)方程為.（1）求圓C的普通方程和直線l的參數(shù)方程；（2）設(shè)直線l與圓C交于M、N兩點(diǎn)，求的值.參考答案：（1）圓C的方程：，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）（2）【分析】（1）利用極坐標(biāo)公式和直線的參數(shù)方程直接可得圓C的普通方程和直線的參數(shù)方程；（2）將直線的參數(shù)方程代入圓的普通方程，化簡可得關(guān)于t的一元二次方程，轉(zhuǎn)化為，利用韋達(dá)定理可得結(jié)果.【詳解】（1）圓的方程：，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）（2）將直線的參數(shù)方程代入圓的方程，得：【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)與參數(shù)方程，熟悉直線與曲線相交的問題解決方法是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.19.（本小題滿分14分）已知函數(shù)．

（Ⅰ）若曲線過點(diǎn)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；

（Ⅲ）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：．參考答案：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，解得．因?yàn)?，所以切線的斜率為，所以切線方程為．

…4分（Ⅱ）因?yàn)椋佼?dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則．②當(dāng)，即時(shí)，，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則．

③當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則．

……7分④當(dāng)，即時(shí)，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則．

………9分綜上，①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，．

…………10分（3）不妨設(shè)．因?yàn)?，所以，，可得，．要證明，即證明，也就是．因?yàn)?，所以即證明，即．

…………12分令，則，于是．令（），則．故函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，即成立．所以原不等式成立．

…14分20.（本小題滿分12分）

某小型餐館一天中要購買兩種蔬菜，蔬菜每公斤的單價(jià)分別為2元和3元，根據(jù)需要，蔬菜至少要買6公斤，蔬菜至少要買4公斤，而且一天中購買這兩種蔬菜的總費(fèi)用不能超過60元。（1）寫出一天中購買蔬菜的公斤數(shù)和購買蔬菜的公斤數(shù)之間的滿足的不等式組；并在給定的坐標(biāo)系中畫出不等式組表示的平面區(qū)域（用陰影表示）；（2）如果這兩種蔬菜加工后全部賣出，兩種蔬菜加工后沒公斤的利潤分別為2元和1元，餐館如何采購這兩種蔬菜使得利潤最大，利潤最大為多少元？參考答案：（1）依題意，蔬菜購買的公斤數(shù)和蔬菜購買的公斤數(shù)之間的滿足的不等式組如下：

………………3分畫出的平面區(qū)域如右圖.

………………6分(2)設(shè)餐館加工這兩種蔬菜利潤為元，則目標(biāo)函數(shù)為

……………7分

表示過可行域內(nèi)點(diǎn)斜率為的一組平行線在軸上的截距.

聯(lián)立解得即

………………9分當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，在軸上的截距最大，即

………………11分答：餐館應(yīng)購買蔬菜公斤，蔬菜公斤，加工后利潤最大為52元.…………12分21.(本小題滿分10分)

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為

（a＞b＞0，為參數(shù)），以Ο為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線是圓心在極軸上且經(jīng)過極點(diǎn)的圓，已知曲線上的點(diǎn)M，對(duì)應(yīng)的參數(shù)，與曲線交于點(diǎn)D（I）求曲線，的普通方程；（II），是曲線上的兩點(diǎn)，求的值。參考答案：（1）的方程為，

的方程為

--------5分（2）

--------10分22.如圖，已知平面QBC與直線PA均垂直于Rt△ABC所在平面，且PA=AB=AC．（Ⅰ）求證：PA∥平面QBC；（Ⅱ）PQ⊥平面QBC，求二面角Q﹣PB﹣A的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）利用線面垂直的性質(zhì)定理及線面平行的判定定理即可證明；（Ⅱ）方法一：利用三角形的中位線定理及二面角的平面角的定義即可求出．方法二：通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量所成的夾角來求兩平面的二面角的平面角．【解答】解：（I）證明：過點(diǎn)Q作QD⊥BC于點(diǎn)D，∵平面QBC⊥平面ABC，∴QD⊥平面ABC，又∵PA⊥平面ABC，∴QD∥PA，又∵QD?平面QBC，PA?平面QBC，∴PA∥平面QBC．（Ⅱ）方法一：∵PQ⊥平面QBC，∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．∴點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，連接AD，則AD⊥BC，∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD，∴四邊形PADQ是矩形．設(shè)PA=2a，∴，PB=2a，∴．過Q作QR⊥PB于點(diǎn)R，∴QR==，==，取PB中點(diǎn)M，連接AM，取PA的中點(diǎn)N，連接RN，∵PR=，，∴MA∥RN．∵PA=AB，∴AM⊥PB，∴RN⊥PB．∴∠QRN為二面角Q﹣PB﹣A的平面角．連接QN，則QN===．又，∴cos∠QRN===．即二面角Q﹣PB﹣A的余弦值為．（Ⅱ）方法二：∵PQ⊥平面QBC，∴∠PQB=∠PQC=90°，又