高中數學培優(yōu)講義練習（人教A版2019選擇性必修三）專題6.5二項式定理（重難點題型精講）

專題6.5二項式定理（重難點題型精講）1．二項式定理一般地，對于任意正整數n，都有

=++++++.(*)

公式(*)叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式，其中各項的系數(k∈{0,1,2,,n})叫做二項式系數，叫做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第k+1項：=.(2)二項展開式的規(guī)律

①二項展開式一共有(n+1)項.

②(n+1)項按a的降冪b的升冪排列.

③每一項中a和b的冪指數之和為n.2．二項式系數的性質(1)楊輝三角——二項式系數表

當n依次取1,2,3,時，觀察的展開式的二項式系數：從中我們可以看出，左側三角是根據二項式定理得到的，右側三角是算出對應的組合數的值后所得結果，由此我們可以發(fā)現以下性質：

①每一行中的二項式系數是對稱的，如第一項與最后一項的二項式系數相等，第二項與倒數第二項的二項式系數相等.

②每一行兩端都是1，而且從第二行起，除1以外的每一個數都等于它“肩上”兩個數的和.

③從第二行起，每一行的二項式系數從兩端向中間逐漸增大.

④第一行的兩個數之和為2=，第二行的三個數之和為4=，，第六行的各數之和為，，第n行的(n+1)個數之和為.(2)二項式系數的性質【題型1求展開式的特定項或特定項的系數】【方法點撥】二項展開式的通項的主要作用是求展開式中的特定項，常見的題型有：①求第k項；②求含(或)的項；③求常數項；④求有理項.其中求有理項時，一般根據通項，找出未知數的指數，令其為整數，再根據整數的整除性求解.另外，若通項中含有根式，一般把根式化為分數指數冪，以簡化運算.【例1】（2023·北京·高三專題練習）二項式x?23A．80 B．?80 C．?40 D．40【解題思路】求出展開式的通項，再令x的指數等于0，即可得出答案.【解答過程】解：二項式x?23令15?5k6=0，則所以常數項為?23故選：B.【變式11】（2023·廣西桂林·一模）x?25的展開式中x3的系數為（A．40 B．?40 C．80 D．?80【解題思路】首先寫出展開式的通項，再代入計算可得；【解答過程】x?25的展開式的通項T令5?r=3，解得r=2，所以T3=C52故選：A.【變式12】（2022春·湖南邵陽·高二期末）2x?ax6的展開式中的常數項為160，則aA．1 B．1 C．2 D．2【解題思路】由已知，根據二項式列出其展開式的通項，根據要計算的常數項，先計算出r，然后根據其常數項的系數列出關于a的方程，解方程即可完成求解.【解答過程】由已知，2x?ax6所以其展開式的常數項即6?2r=0，r=3，所以常數項為C63·故選：A.【變式13】（2022·全國·模擬預測）x?2x10A．C104 B．C10424【解題思路】區(qū)分二項式系數和項的系數的區(qū)別，并求出展開式中項對應的系數，即可求解【解答過程】x?2x10故選：B.【題型2用賦值法求系數和問題】【方法點撥】賦值法是解決二項展開式中項的系數和問題的常用方法.根據題目要求，靈活賦值是解題的關鍵.【例2】（2022秋·廣西梧州·高三期中）1+x4=a0+A．1 B．3 C．0 D．?3【解題思路】根據展開式，利用賦值法取x=【解答過程】因為1+x4令x=?1故選：C.【變式21】若x+y6=a0yA．0 B．32 C．64 D．128【解題思路】先利用賦值法求得a0?a1+【解答過程】x=1，y=?1時，0=ax=1，y=1時，64=aa=a故選：A.【變式22】（2022春·陜西延安·高二階段練習）若(3x?1)7=aA．?1 B．127 C．128 D．129【解題思路】利用賦值法計算可得.【解答過程】解：因為(3x?1)7令x=0，可得a0令x=1，可得a7所以a7故選：D.【變式23】（2022·全國·高三專題練習）已知Cn3=Cn6，設A．?1 B．0 C．1 D．2【解題思路】利用組合數的性質可求得n的值，再利用賦值法可求得a0和a【解答過程】因為Cn3=所以2x?39令x=2，得2×2?39=a令x=1，得2×1?39所以a1故選：D.【題型3多項式積的展開式中的特定項問題】【方法點撥】對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題，一般可以根據因式連乘的規(guī)律，結合組合思想求解，但要注意適當地運用分類方法，以免重復或遺漏.【例3】（2023·湖南長沙·統考一模）1x?21?2xA．?4 B．?6C．?8 D．【解題思路】先求出1?2x4【解答過程】1?2x4展開式的通項公式為T所以1xC4故選：D.【變式31】（2022·四川綿陽·?？级＃?+1x(1+x)4的展開式中含A．10 B．12 C．4 D．5【解題思路】利用二項式定理的通項公式進行分類討論即可求解.【解答過程】(1+x)4的二項展開式的通項為C當r=2時，(1+1x)(1+x)4當r=3時，(1+1x)(1+x)4所以(1+1x)(1+x)4故選：A.【變式32】（2023·四川成都·統考二模）二項式(1+x+x2)(1?x)10A．120 B．135 C．140 D．100【解題思路】利用二項式定理得到(1?x)10的展開式通項公式，求出T3=45x2，T4=?120【解答過程】(1?x)10的展開式通項公式為T其中T3=C102故二項式(1+x+x2)(1?x)10即展開式中x4的系數為135故選：B.【變式33】（2022秋·廣西柳州·高三階段練習）若2?ax1+x4展開式中x3的系數為2，則a=A．1 B．?1 C．?13 【解題思路】展開式中x3項的產生一部分來源于2與1+x4中x3項相乘，另一部分來源于?ax與1+x4中【解答過程】1+x4=1+4x+6x2+4x所以8－6a=2，解得故選：A.【題型4求展開式中系數最大的項的方法】【方法點撥】由于展開式中各項的系數是離散型變量，因此，(1)在系數符號相同的前提下，求系數的最大(小)值，只需比較兩組相鄰兩項系數的大小，根據通項正確地列出不等式組即可.(2)當各項系數正負相間時，求系數的最大值應在系數都為正的各項系數間構造不等式組；求系數的最小值應在系數都為負的各項系數間構造不等式組.【例4】（2022春·江蘇常州·高二期中）在3x?2y20的展開式中，系數絕對值最大項是（

A．第10項 B．第9項 C．第11項 D．第8項【解題思路】根據二項式的通項公式進行求解即可.【解答過程】二項式3x?2y20的通項公式為：T設第r+1項的系數絕對值最大，所以有C20因為r∈N?，所以故選：B.【變式41】（2022·全國·高二假期作業(yè)）若2+axna≠0的展開式中各項的二項式系數之和為512，且第6項的系數最大，則a的取值范圍為（A．?∞,0∪2,3 C．2,3 D．1【解題思路】計算n=9，計算T6=C9524ax【解答過程】2n=512，n=9，T6=C∵第6項的系數最大，∴C95故選：C.【變式42】（2023·全國·高二專題練習）已知x-2xA．-448 B．-1024 C．-1792 D．-5376【解題思路】先根據二項式系數的性質可得n=8，再結合二項展開式的通項求各項系數ar=-2r【解答過程】∵展開式中只有第5項是二項式系數最大，則n=8∴展開式的通項為Tr則該展開式中各項系數a若求系數的最小值，則r為奇數且ar-ar+2∴系數的最小值為a故選：C.【變式43】（2022春·山東菏澤·高二階段練習）已知2x+1xnA．二項展開式中各項系數之和為37 B．二項展開式中二項式系數最大的項為C．二項展開式中無常數項 D．二項展開式中系數最大的項為240【解題思路】由二項式系數之和為64，可得2n=64，得n=6，所以二項式為2x+1x6【解答過程】因為2x+1所以2n=64，得n=6，所以二項式為則二項式展開式的通式公式Tr+1對于A，令x=1，可得二項展開式中各項系數之和為36對于B，第4項的二項式系數最大，此時r=3，則二項展開式中二項式系數最大的項為T4對于C，令6?32r=0，則r=4對于D，令第r項的系數最大，則C6r2因為r∈N?，所以則二項展開式中系數最大的項為T3故選：D．【題型5利用二項式定理證明整除問題或求余數】【方法點撥】(1)利用二項式定理證明整除問題，關鍵是要巧妙地構造二項式，其基本做法：要證明一個式子能被另一個式子整除，只要證明這個式子按二項式定理展開后的各項均能被另一個式子整除即可.(2)用二項式定理處理整除問題時，通常把底數寫成除數(或與除數密切相關的數)與某數的和或差的形式，再用二項式定理展開，只考慮后面(或者是前面)一兩項就可以了，要注意余數的范圍.【例5】（2023·全國·高三專題練習）250?1除以7的余數是（A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】把250轉化成4×【解答過程】250=4×=4×C則250又4×C故余數為3.故選：D.【變式51】（2023·全國·高三專題練習）設a∈Z，且0≤a<13，若512021+a能被13整除，則aA．0 B．1 C．11 D．12【解題思路】由512021=(52?1)2021且52可以被13整除，即其展開式中不含【解答過程】由512021展開式通項為Tr+1又52可以被13整除，所以展開式(52)2021?r中2021?r≠0的項均可被13整除，余項為T要使512021+a能被13整除，且0≤a<13，則故選：B.【變式52】（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·高二期中）設a∈Z，且0≤a≤13，若512021+a能被13整除，則a=（A．0 B．1 C．11 D．12【解題思路】轉化為512021【解答過程】因為a∈Z，且0≤a≤13，所以51=C因為512021所以?C所以a=1，故選：B.【變式53】（2022·高二課時練習）設n為正奇數，則5n+CA．?2 B．0 C．3 D．5【解題思路】按照二項式定理將原式改寫成7的倍數的形式，剩余的部分即為余數.【解答過程】5====7C∵Cn故5n故選：D．【題型6楊輝三角問題】【方法點撥】解決與楊輝三角有關的問題的一般思路：(1)觀察：對數據要橫看、豎看、隔行看、連續(xù)看，多角度觀察；(2)規(guī)律：通過觀察找出每一行的數據之間、行與行的數據之間的規(guī)律；(3)表達：將發(fā)現的規(guī)律用數學式子表達出來；(4)結論：用數學表達式寫出結論.【例6】（2022·全國·高三專題練習）“楊輝三角”揭示了二項式系數在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，早在中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現.如圖，在由二項式系數所構成的“楊輝三角”中，若第n行中從左至右只有第12個數為該行中的最大值，則n=（

）A．21 B．22 C．23 D．24【解題思路】由題意可知，第n行的數就是二項式a+bn【解答過程】由題意可知，第n行的數就是二項式a+bn因為只有第12項的二項式系數Cn所以n為偶數，故n2=11，解得故選：B.【變式61】（2022·全國·高三專題練習）如圖，楊輝三角出現于我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》中，它揭示了(a+b)n（n為非負整數）展開式的項數及各項系數的有關規(guī)律．由此可得圖中第10行排在偶數位置的所有數字之和為（

A．256 B．512 C．1024 D．1023【解題思路】由圖形以及二項式系數和的有關性質可得.【解答過程】由圖知，第10行的所有數字之和為C10由二項式系數和的性質知，第10行排在偶數位置的所有數字之和為12故選：B.【變式62】（2022·江蘇·高三專題練習）我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》就給出了著名的楊輝三角，由此可見我國古代數學的成就是非常值得中華民族自豪的.以下關于楊輝三角的猜想中錯誤的是（

）A．由“與首末兩端‘等距離’的兩個二項式系數相等”猜想：Cnm＝Cnn－mB．由“在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數都等于它‘肩上’兩個數的和”猜想：CC．由“第n行所有數之和為2n”猜想：Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2nD．由“111＝11，112＝121，113＝1331”猜想：115＝15101051【解題思路】由組合數及二項式系數的性質可判斷A、B、C，由二項式定理運算可判斷D.【解答過程】對于A，由組合數的互補性質可得Cn對于B，由組合數的性質可得Cn對于C，由二項式系數和的