復(fù)習(xí)05求離心率和軌跡方程（八大考點）（原卷版）

復(fù)習(xí)05求離心率和軌跡方程一、求離心率的值或取值范圍1.利用圖形的幾何性質(zhì)（1）特殊三角形與離心率:一般有邊角相等、三角形相似、面積公式、正余弦定理、角平分線性質(zhì)、高的性質(zhì)、中線的性質(zhì)等,通常數(shù)形結(jié)合,用幾何法進(jìn)行運算（2）平行四邊形與離心率:可能存在四邊形也可能利用圓錐曲線的對稱性構(gòu)造四邊形,一般有:對邊平行相等;兩條對角線長度的平方和等于兩倍的兩個鄰邊的平方和等.（3）圓與離心率:一般利用弦的中點與圓心的連線與弦垂直,直徑所對的圓周角是,半徑相等,圓與圓的位置關(guān)系等.2.利用坐標(biāo)運算:如果從題目中的條件難以發(fā)掘幾何關(guān)系,那么可考慮將點的坐標(biāo)用進(jìn)行表示,再利用條件列出等式求解3.借助題目中給出的不等信息或者平面幾何圖形中的不等關(guān)系:（1）題目中某點的橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))是否有范圍要求:例如圓與雙曲線對橫坐標(biāo)的范圍有要求.（2）根據(jù)平面圖形的關(guān)系,如三角形兩邊之和大于第三邊、折線段大于或等于直線段、對稱的性質(zhì)中的最值等得到不等關(guān)系即可4.借助函數(shù)的值域求解范圍：若題目中有一個核心變量,則可以考慮將離心率表示為某個變量的函數(shù),從而求該函數(shù)的值域即可二、求軌跡方程1.直接法：如果動點運動的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡單明確，不需要特殊的技巧，易于表述成含的等式，就可得到軌跡方程，且要注意等量關(guān)系中的限制條件（三角形、斜率等）2.定義法：動點滿足的幾何條件符合基本軌跡（如圓、橢圓、拋物線和雙曲線）的定義條件時，我們可以根據(jù)基本軌跡的方程寫出軌跡方程，或設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，然后利用待定系數(shù)法求解3.相關(guān)點法：如果動點的運動是由另外某一點的運動引發(fā)的，而該點坐標(biāo)滿足某已知曲線方程，則可以設(shè)出，用表示出相關(guān)點的坐標(biāo)，然后把的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動點的軌跡方程。4.點差法：圓雉曲線中與弦的中點有關(guān)的軌跡問題可用點差法,其基本方法是把弦的兩端點的坐標(biāo)代入圓雉曲線方程,然而相減,利用平方差公式可得等關(guān)系式,由于弦的中點的坐標(biāo)滿足且直線的斜率為,由此可求得弦中點的軌跡方程.考點01利用幾何性質(zhì)求解離心率【例1】設(shè)橢圓的左、右焦點分別為、，P是C上的點，，，則C的離心率為（

）．A． B． C． D．【例2】已知，分別是雙曲線的左右焦點，A為雙曲線的右頂點，線段的垂直平分線交雙曲線于P，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【變式11】如圖所示，橢圓的左焦點為F，A，B兩點在橢圓上，且四邊形為菱形，則該橢圓的離心率為．【變式12】已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，點P是C上的一點，，的平分線與x軸交于點A，記，的面積分別為，，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．3【變式13】已知橢圓的左，右焦點分別為，，橢圓C在第一象限存在點M，使得，直線與y軸交于點A，且是的角平分線，則橢圓C的離心率為.考點02利用雙余弦定理求解離心率【例3】已知雙曲線E：1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與E交于A，B兩點（B在x軸的上方），且滿足．若直線的傾斜角為120°，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【例4】已知橢圓的左、右焦點分別為，直線過與橢圓交于兩點，若，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【變式21】已知為雙曲線的右焦點，點，在上，，為坐標(biāo)原點，，則的離心率為.【變式22】已知點，分別是雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上一點，為上一點．若平分，且，，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．【變式23】已知橢圓：（），、為橢圓的左右焦點，為橢圓上一點，連接并延長交橢圓于另一點，若，，則橢圓的離心率為.考點03與斜率乘積相關(guān)求解離心率【例5】已知雙曲線的左頂點為，點均在雙曲線上且關(guān)于軸對稱，若直線的斜率之積為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【例6】已知點是橢圓上一點，過點作橢圓的切線，則的方程為．若與（為坐標(biāo)原點）的斜率之積為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【變式31】雙曲線的右頂點為A，點M，N均在C上，且關(guān)于y軸對稱，若直線，的斜率之積為，則C的離心率為.【變式32】已知雙曲線的兩個頂點分別為，點P在雙曲線上且異于點，若直線的斜率之積為8，則雙曲線的率心率為.【變式33】橢圓：的左頂點為，點，是上的任意兩點，且關(guān)于軸對稱．若直線，的斜率之積為，則的離心率為（

）A． B． C． D．考點04利用坐標(biāo)法求解離心率【例7】已知A、F分別為橢圓的左頂點和左焦點，B、C是橢圓上關(guān)于原點對稱的點，若直線平分線段，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【例8】已知雙曲線的左焦點為F，過F作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為A，并與雙曲線C交于點B，且有，則雙曲線C的離心率為（

）A． B．2 C． D．【變式41】已知橢圓C：的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，過右焦點F2且斜率為1的直線與橢圓相交于A，B兩點，若滿足，則橢圓的離心率為．【變式42】已知過原點的直線與雙曲線交于兩點，點在第一象限且與點關(guān)于軸對稱，，直線與雙曲線的右支交于點，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【變式43】已知橢圓：的左?右焦點分別為，，是橢圓的上頂點，直線與直線交于點A，若，則橢圓的離心率為.考點05利用不等關(guān)系求解離心率范圍【例9】已知過點可作出雙曲線的兩條切線，切點都在雙曲線的同一支上，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【例10】點M是橢圓上的點，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的焦點F，圓M與y軸相交于P，Q，若是鈍角三角形，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式51】已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，傾斜角為的直線與雙曲線在第一象限交于點，若，則雙曲線的離心率的取值范圍為.【變式52】已知橢圓的兩個焦點為，，點，為上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點，，的面積記為，且，則的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【變式53】已知雙曲線的左?右焦點分別為.(1)該雙曲線虛軸的一個端點為，若直線與它的一條漸近線垂直，求雙曲線的離心率.(2)若右支上存在點，滿足，求雙曲線的離心率的取值范圍.考點06利用函數(shù)的值域求解離心率范圍【例11】設(shè)橢圓的左、右焦點分別為、，是橢圓上一點，，，則橢圓離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【例12】設(shè)，分別為橢圓與雙曲線的公共焦點，它們在第一象限內(nèi)交于點，，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式61】已知橢圓的左、右焦點分別為是橢圓上一點，是以為底邊的等腰三角形，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是．【變式62】設(shè)，分別為橢圓與雙曲線的公共焦點，它們在第一象限內(nèi)交于點，，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的取值范圍為【變式63】已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，P為雙曲線C的右支上一點，且，，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．考點07直接法求軌跡方程【例13】已知平面直角坐標(biāo)系中，動點到的距離比到軸的距離大2，則的軌跡方程是.【例14】動點與定點的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)，則動點M的軌跡方程是．【變式71】已知點與點，是動點，且直線與的斜率之積等于求動點的軌跡方程;【變式72】在平面內(nèi)，已知動點M到兩個定點，的距離的比值為2.(1)求動點M的軌跡方程，并說明其軌跡C的形狀；(2)直線與軌跡C交于兩點，求過該兩點且面積最小的圓的方程.【變式73】如圖，線段的兩個端點分別在軸、軸上滑動，，點是上一點，且，點隨線段的運動而變化.(1)求點的軌跡方程；(2)動點在曲線外，且點到曲線的兩條切線相互垂直，求證：點在定圓上.考點08定義法求軌跡方程【例15】的坐標(biāo)滿足方程：，則M的軌跡方程為.【例16】已知動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切；則動圓圓心的軌跡方程為.【變式81】已知圓：，圓：．(1)求經(jīng)過點以及圓與圓交點的圓的方程；(2)若動圓和圓、圓均外切，求點的軌跡方程.【變式82】已知圓：，圓：.若動圓與外切，且與圓內(nèi)切.(1)判斷圓和的位置關(guān)系；(2)求動圓的圓心的軌跡方程.【變式83】平面上動點到定點的距離比點到軸的距離大，則動點的軌跡方程為（

）A． B．C．或 D．或考點09相關(guān)點法求軌跡方程【例17】已知橢圓上有一點，是軸上的定點，若有一點滿足，則的軌跡方程為．【例18】△ABC的三個頂點坐標(biāo)是A（0，1），B（2，1），C（3，4）；(1)△ABC的外接圓方程；(2)若線段MN的端點N的坐標(biāo)為（6，2），端點M在△ABC的外接圓的圓上運動，求線段MN的中點P的軌跡方程．【變式91】已知圓．(1)直線l過點且與圓C交于A、B兩點，若，求直線l的方程；(2)過圓C上一動點M作平行于x軸的直線m，設(shè)m與y軸的交點為N，若向量，求動點Q的軌跡方程．【變式92】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點，離心率為．已知(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若P是橢圓上的動點，求線段PA中點M的軌跡方程．【變式93】已知圓和點，動圓M經(jīng)過點A且與圓C內(nèi)切，(1)求動圓圓心M的軌跡方程；(2)作軸于P，點Q滿足﹐求點Q的軌跡方程．考點10點差法求軌跡方程【例19】直線l與橢圓交于A，B兩點，已知直線的斜率為1，則弦AB中點的軌跡方程是．【例20】斜率為2的平行直線截雙曲線所得弦的中點的軌跡方程是．【變式101】已知曲線上一動點到兩定點，的距離之和為，過點的直線與曲線相交于點，．(1)求曲線的方程；(2)動弦滿足：，求點的軌跡方程；【變式102】求過定點的直線被雙曲線截得的弦AB的中點的軌跡方程.【變式103】已知拋物線，過點作一條直線交拋物線于，兩點，試求弦的中點軌跡方程.一、單選題1．在橢圓（）中，，分別是左，右焦點，為橢圓上一點（非頂點），為內(nèi)切圓圓心，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2．一個動圓與定圓：相內(nèi)切，且與定直線相切，則此動圓的圓心M的軌跡方程是（）A． B． C． D．3．雙曲線：（）的左、右焦點分別為，，焦距為，若直線與雙曲線的一個交點滿足，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．4．已知平面內(nèi)一動點P到兩定點，的距離之和為8，則動點P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．5．不與坐標(biāo)軸垂直的直線過點，，橢圓上存在兩點關(guān)于對稱，線段的中點的坐標(biāo)為．若，則的離心率為（

）A． B． C． D．6．若動點在上移動，則點與點連線的中點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．7．已知雙曲線的左?右焦點分別為，過點作直線與的漸近線在第一象限內(nèi)交于點，記點關(guān)于軸的對稱點為點，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．二、多選題8．過雙曲線（，）的右焦點作漸近線的垂線，垂足為，且該直線與軸的交點為，若（為坐標(biāo)原點），該雙曲線的離心率的可能取值是（

）A． B． C． D．9．已知雙曲線，點是直線上任意一點，若圓與雙曲線的左支沒有公共點，則雙曲線的離心率可能為（

）A． B． C．2 D．3三、填空題10．已知圓，定點為，M為圓C上一動點，點P是線段的中點，點N在上，點N不在x軸上，且滿足