第二章 數(shù)值變量的描述性統(tǒng)計教材

第二章數(shù)值變量的描述性統(tǒng)計

對于數(shù)值變量資料，一般從集中趨勢、離散趨勢兩個方面進行統(tǒng)計描述。而集中趨勢和離散趨勢又各有許多統(tǒng)計指標(biāo)。研究資料的頻數(shù)分布類型是選擇合適的統(tǒng)計指標(biāo)進行統(tǒng)計描述的基礎(chǔ)。第一節(jié)頻數(shù)分布一、頻數(shù)分布表對一個變量進行重復(fù)觀察，其中在某取值下出現(xiàn)的次數(shù)稱作頻數(shù)（frequency），頻數(shù)在總的觀察例數(shù)中所占的比例稱作相對頻數(shù)（relativefrequency）。若將頻數(shù)累積，得到累積頻數(shù)（cumulativefrequency），再計算它在總例數(shù)中的比例，即可得到相對累積頻數(shù)（relativecumulativefrequency）。

頻數(shù)分布表（frequencydistributiontable）常用來反映各變量取值及其相應(yīng)頻數(shù)之間的關(guān)系。下面以例2－1的數(shù)據(jù)說明頻數(shù)分布表的制作步驟和上述幾個頻數(shù)指標(biāo)的計算。例2-l測得130健康成年男子脈搏資料（次／分）如下，試編制頻數(shù)表和觀察頻數(shù)分布情況。75767269667257687172697273828082676973647458706460776677646776757571656276727160677575737966697978707270727872677280687061707372718170667571637774766865776977757964797376618064697073696865706966816364807478768466707360768273646573736380687670797764706669737876制作頻數(shù)表的步驟為：1．計算極差觀察值中的最大值和最小值之差稱為極差或全距（range），常用R表示。本例中最大值為84（次／分），最小值為57（次／分），極差R＝84－57＝27（次／分）。2．決定組數(shù)、組段和組距根據(jù)研究目的及觀察例數(shù)確定組段數(shù)。若為計算用，組數(shù)可適當(dāng)增多，以減少計算誤差；若為顯示分布特征，則組段數(shù)不宜太多或太少。相鄰兩組段下限值之差稱為組距（classinterval）。一般都用等距，且用“極差／組段數(shù)”之商最接近的整數(shù)值作為組距。本例若分10個組段，則組距=極差／組段數(shù)，即組距為27／10＝＝2.7（次／分），取整數(shù)為3，該樣本可分為10組。第一個組段的下限應(yīng)略小于最小值，即取56，最末組的上限要略大于最大值，即取85。3．列表劃記組段確定后，將原始數(shù)據(jù)用劃記法或計算機計算頻數(shù)，得到各個組段的頻數(shù)，見表2－l。通過對頻數(shù)分布表的觀察，可以看出頻數(shù)的分布有兩個重要的特征：其一為集中趨勢（centraltendency），脈搏的測量值雖然高低不等，但向中間集中，脈搏次數(shù)為中等的人數(shù)最多，所占的比例較大；其二為離散趨勢（tendencyofdispersion）或變異性（variability），即隨著脈搏次數(shù)逐漸變大或變小，人數(shù)越來越少，所占的比例越來越小。利用頻數(shù)分布表可以全面地了解所研究事物的分布情況。表2-1130名健康成年男子脈搏（次/分）的頻數(shù)分布表脈搏組段頻數(shù)相對頻數(shù)（％）累積頻數(shù)累積相對頻數(shù)（％）（1）（2）（3）=（2）/N（4）=（2）（5）＝（4）/N56～21.5421.5459～53.8575.3862～129.231914.6265～1511.543426.1568～2519.235945.3871～2620.008265.3874～1914.6210480.0077～1511.5411991.5480～107.6912999.2383～8510.77130100.00合計130二、頻數(shù)分布圖如果將表2-l的資料繪制成頻數(shù)分布圖（frequencydistributiondiagram）（圖2-1），可以看出，圖形中間的直條最高（高峰在中央），兩邊對稱（或基本對稱）地逐漸減少，統(tǒng)計學(xué)上稱之為正態(tài)分布或近似正態(tài)分布。若集中的位置偏向左側(cè)，則被稱為正偏態(tài)分布（skewedpositivelydistribution），如研究有害化學(xué)物質(zhì)在正常人體內(nèi)的分布，可以觀察到數(shù)值偏小的為多數(shù)；若集中的位置偏向右側(cè)，為負偏態(tài)分布（skewednegativelydistribution），如高血壓患者的年齡分布，年齡偏大者為多數(shù)。進行統(tǒng)計描述時，需要根據(jù)數(shù)值的分布形態(tài)選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計指標(biāo)。頻數(shù)分布類型對稱分布（大多為正態(tài)分布）偏態(tài)分布（正偏態(tài)、負偏態(tài)）其他分布第二節(jié)集中趨勢平均數(shù)（average）是一類用于描述數(shù)值變量資料集中趨勢的指標(biāo)。這類指標(biāo)不但能給人一個簡明概括的印象，而且還便于進行事物間的分析比較。統(tǒng)計上的平均數(shù)一般包括5種，即算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)以及調(diào)和均數(shù)。在醫(yī)學(xué)研究上較常用的一般為前3種。通常是根據(jù)資料的分布類型選擇某種指標(biāo)反映資料的集中趨勢。下面分別介紹常用的集中趨勢指標(biāo)、適用條件和計算方法。

一、算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)（arithmeticmean）一般簡稱為均數(shù)，它是一組已知性質(zhì)相同的數(shù)值之和除以數(shù)值個數(shù)所得的商?？傮w均數(shù)用希臘字母μ（讀作/mju:/）表示，樣本均數(shù)用表示。適用于呈正態(tài)或近似正態(tài)分布的資料。大多數(shù)正常人的生理、生化指標(biāo)，如身高、體重、胸圍、血紅蛋白、白細胞數(shù)等，都適宜用均數(shù)表達其集中趨勢。均數(shù)的計算方法有直接法、加權(quán)法和簡捷法三種。由于計算機的普及，多采用直接法計算。下面僅介紹前兩種方法。1．直接法當(dāng)觀察例數(shù)不多（如樣本含量n小于30）時，或觀察例數(shù)雖然很多，但有計算機及統(tǒng)計軟件，均可選擇直接法。公式為：式（2-1）中Σ（讀作sigma）為求和的符號，Xi為各觀察值，n為總例數(shù)。例2-2從例2-1數(shù)據(jù)中隨機抽取一行，計算均數(shù)。若抽取的數(shù)據(jù)為第6行，數(shù)值為：81706675716377747668657769，均數(shù)為：=(81+70+66+75+71+63+77+74+76+68+65+77+69)/13=932/13=71.69

2．加權(quán)法（weightedmethod）適用于頻數(shù)表資料。當(dāng)觀察例數(shù)很多又缺乏計算機及統(tǒng)計軟件時，若用直接法很容易出錯，可以用加權(quán)法處理。加權(quán)法計算均數(shù)的步驟是：首先將數(shù)據(jù)編制成頻數(shù)表，得出每組的頻數(shù)人，求出各組的組中值（classmid－value）Xi

，由每個組段的下限與相鄰較大組的下限之和除以2得到，然后將組中值Xi和頻數(shù)fi代入式（2-2），得到均數(shù)。公式為將表2-2中fiXi和fi數(shù)據(jù)代人式（2-2），得

用加權(quán)法計算的均數(shù)71.12（次／分），若用直接法計算，均數(shù)值為71.32（次／分），兩者非常接近?？梢?，加權(quán)法計算的均數(shù)是近似值。式（2－2）中各組段的頻數(shù)fi（又稱作權(quán)數(shù)）與組中值的積，近似地等于該組變量值的和；各組中值與相應(yīng)頻數(shù)乘積的總和，視為全部觀察值的總和；這個總和除以總頻數(shù)的商，就作為全部觀察值的均數(shù)。各組的頻數(shù)越大，頻數(shù)與組中值乘積越大，對均數(shù)的影響也越大；頻數(shù)小，影響越小，這就是該法被稱為加權(quán)法的衫礎(chǔ)均數(shù)容易理解，在醫(yī)學(xué)研究中使用頻率很高。若數(shù)據(jù)的分布服從正態(tài)分布，均數(shù)是分布曲線的最高處所對應(yīng)的橫軸上的數(shù)值。表2-2130名健康成年男子脈搏（次/分）的均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差計算表脈搏組段i組中值（Xi）頻數(shù)（fi）fiXifiXi256～572114649859～6053001800062～63127564762865～66159906534068～6925172511902571～7226187213478474～7519142510687577～781511709126080～81108106561083～85841847056合計1309246662076二、中位數(shù)中位數(shù)（median）用符號M表示。把一組變量值按大小順序排列，位置居中的那個數(shù)值（若n為奇數(shù)）被稱作中位數(shù)。中位數(shù)是一個位置指標(biāo)，以中位數(shù)為界，將變量值分為左右兩半。資料若呈明顯的偏態(tài)分布（正偏態(tài)或負偏態(tài)分布），或者資料的分布情況不明，采用中位數(shù)反映一群數(shù)值變量資料在位次上的集中趨勢或平均水平。例如，某些傳染病或食物中毒的潛伏期、人體的某些測定指標(biāo)（如發(fā)汞、尿鉛），其平均水平可用中位數(shù)來表示。中位數(shù)的計算方法有直接法和頻數(shù)表法兩種。

l．直接計算法當(dāng)樣本含量不大時使用。將觀察值按大小順序排列，當(dāng)樣本含量n為奇數(shù)時，位置居中的那個數(shù)值（X（n＋l）/2）就是M；當(dāng)n為偶數(shù)時，位置居中的兩個數(shù)值的平均數(shù)（（Xn/2＋X（n/2）+1）／2）就是M。例2-3有9名中學(xué)生甲型肝炎的潛伏期（天）：12，13，14，14，15，15，15，17，19，試求中位數(shù)。對數(shù)值進行從小到大排序，位置居中的數(shù)值X(9+1)/2=X5，第5個數(shù)值（15）為中位數(shù)，M＝15。若僅有前8名中學(xué)生的潛伏期，正中間有2個數(shù)據(jù)，二者的均數(shù)（X8／2＋X（8／2）+l）／2＝（X4＋X5）／2＝（14＋15）／2＝14.5為中位數(shù)，M＝14.5。2．頻數(shù)表計算法當(dāng)觀察例數(shù)較多時采用。計算中位數(shù)之前先將觀察值編制成頻數(shù)分布表，按所分組段由小到大計算累計頻數(shù)和累計相對頻數(shù)，找出中位數(shù)所在組（如表2-3中M所在組是累計相對頻數(shù)含50％的組段），將該組段的下限（L）。組距（i）、頻數(shù)（fM）和小于L的各組段累計頻數(shù)（ΣfL）代入式（2-3）即可求出中位數(shù)M。

例2-4測定了107例正常人的尿鉛含量，見表2-3，試根據(jù)分布計算集中趨勢指標(biāo)。從表2-3可以看出，該數(shù)據(jù)服從正偏態(tài)分布。因此選擇中位數(shù)作為反映集中趨勢的指標(biāo)。在表中求出累積頻數(shù)，累積相對頻數(shù)，找出中位數(shù)所在組（即累積相對頻數(shù)50％所在組，為第3組）。將中位數(shù)所在組的下限（L＝8）、組距（i＝4）、頻數(shù)（fM=29）、總例數(shù)（n＝107）和小于L的各組段累計頻數(shù)（∑fL=36）代入式（2-3），得

M=10.41（μg/L）

用頻數(shù)表法計算的中位數(shù)為10.41。表2-3107正常人的尿鉛含量（μg/L）的中位數(shù)計算表尿鉛含量（組段）頻數(shù)累積頻數(shù)↓

相對頻數(shù)(％)累積相對頻數(shù)(％)（j）（fj）Σfjfj/nΣfj/n0～141413.0813.084～（P25所在組）223620.5633.648～（M所在組）296527.1060.7512～（P75所在組）188316.8277.5716～159814.0291.5920～61045.6197.2024～11050.9398.1328～21071.87100.00合計107100.00對于偏態(tài)分布的資料，中位數(shù)代表性好，也相對穩(wěn)定，不受兩端其它數(shù)值的影響，只受居中的一個或兩個變量值的影響。對于分布的末端無確切數(shù)值的資料，只有計算中位數(shù)。對于正態(tài)分布或?qū)ΨQ分布的資料，理論上中位數(shù)等于均數(shù)。但中位數(shù)沒有充分利用觀察到的每個變量值的信息。三、幾何均數(shù)幾何均數(shù)（geometricmean）用C表示，是將n個觀察值X的乘積再開n次方所得的根。若對各觀察值X取對數(shù)，對數(shù)值均值的反對數(shù)即為G。其適用對象是：①當(dāng)一組觀察值不呈正態(tài)分布、且其差距較大時，若用均數(shù)表示其平均水平會受少數(shù)特大或特小值的影響；②數(shù)值按大小順序排列后，各觀察值呈倍數(shù)關(guān)系或近似倍數(shù)關(guān)系；③對數(shù)正態(tài)分布資料。如抗體的滴度、藥物的效價等。其計算方法有兩種：l．直接計算法當(dāng)觀察例數(shù)不多（如樣本含量n小于30）時采用，公式為

例2-5有8份血清的抗體效價分別為1:5，1:10，1:20，1:40，1:80，1:160，1:320，1:640，求平均抗體效價。將各抗體效價的倒數(shù)代入式（2-4），得

G=lg-1[(lg5+lg10+lg20+…+lg640)/8]=lg-1(1.752575)=56.57

血清的抗體平均效價為1:56.57。2．頻數(shù)表法當(dāng)觀察例數(shù)很多時采用，公式為：

例2-6有50人的血清抗體效價，分別為：5人1:10，9人1:20，20人1:40，10人1:80，6人1:160，求平均抗體效價。將抗體效價的倒數(shù)直接代入式（25），得

G＝14.7050人的血清平均抗體效價為1:41.70。因為無法對0和負數(shù)求對數(shù)，因此，計算幾何均數(shù)的觀察值不能小于或等于0。同一組數(shù)據(jù)若服從正態(tài)分布，均數(shù)與中位數(shù)幾乎相等，但幾何均數(shù)小于均數(shù)。四、眾數(shù)眾數(shù)（mode）是一組觀察值中出現(xiàn)頻率最高的那個觀察值；若為分組資料，眾數(shù)則是出現(xiàn)頻率最高的那個組段。例2-7有16例高血壓病人的發(fā)病年齡（歲）為：42，45，48，51，52，54，55，55，58，58，58，58，61，61，62，62，試求眾數(shù)。對這16例的發(fā)病年齡不分組，那么出現(xiàn)頻數(shù)最多的那個數(shù)值為58，則眾數(shù)為58。58歲是高血壓的高發(fā)年齡。另外，眾數(shù)也沒有充分利用樣本觀察值的全部信息。例2-8若采用例24中的數(shù)據(jù)（見表2-3），則出現(xiàn)頻率最高（27.10％）的組段為8~12，眾數(shù)組段則為8~12。眾數(shù)作為反映集中趨勢的指標(biāo)，從概念上容易理解，如反映疾病的高發(fā)年齡或年齡段。眾數(shù)的使用也有很好的普遍性，還可用于非連續(xù)性資料。缺點是若數(shù)據(jù)出現(xiàn)若干個相同的頻率的數(shù)據(jù)或組段，眾數(shù)難以確定。另外，眾數(shù)也沒有充分利用樣本觀察值的全部信息。第三節(jié)離散趨勢

平均數(shù)僅描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，可以作為總體的一個代表值。由于變異的客觀存在，需要一類指標(biāo)描述資料的離散趨勢。兩者結(jié)合使用才能對數(shù)據(jù)進行全面的統(tǒng)計學(xué)描述。兩組數(shù)據(jù)：甲組：98，99，100，101，102乙組：80，90，100，110，120兩組數(shù)據(jù)的均數(shù)相同，但兩組數(shù)據(jù)的離散（變異）度不同，顯然甲組數(shù)據(jù)較乙組更集中。甲：乙：準(zhǔn)確性相等，穩(wěn)定性不同一、全距全距（range）又稱為極差，是一組觀察值中最大值與最小值之差，用R表示。全距作為反映離散趨勢的指標(biāo)便于理解和計算，故被廣泛應(yīng)用。但全距有這樣幾個弱點：①一組觀察數(shù)據(jù)中從小到大排列后，全距僅利用兩端的數(shù)值，未利用全部觀察值的信息。增加或減少極端值時，全距也會相應(yīng)地發(fā)生改變，故其穩(wěn)定性差。若增加或減少中間水平的觀察值時，全距不會發(fā)生改變，不能靈敏地反映數(shù)值的變動。②若觀察的樣本含量越大，數(shù)值波動的范圍越大，全距就越大，故樣本含量相差懸殊時，不能通過比較全距來比較離散趨勢。③若一組觀察值的一端或兩端有不確切的數(shù)值（如大于或小于某數(shù)值），全距難以計算。鑒于全距的以上弱點,通常將全距和反映離散趨勢的其它指標(biāo)結(jié)合使用。二、百分位數(shù)百分位數(shù)（percentile）是把一組數(shù)據(jù)從小到大排列，分割成100等份，每等份含1％的觀察值，分割界限上的值就是百分位數(shù)，用符號Px表示。又將數(shù)據(jù)分成兩部分，有（100－x）％的數(shù)值大于Px，有x％的數(shù)值小于Px。中位數(shù)是第50百分位數(shù)，用P50表示。第5、第25、第75、第95百分位數(shù)分別記為P5、P25、P75、P95。這些百分位數(shù)也可以作為反映離散趨勢的指標(biāo)使用，如P5與P95之間的距離或P25與P75之間的距離。百分位數(shù)的計算通常采用頻數(shù)表法，其公式為：公式中符號的意義同中位數(shù)。例2-9利用表2-3中的數(shù)據(jù)，計算P25與P75。找出第25和第75百分位數(shù)所在組分別為第二組和第四組。P25所在組的L＝4，i＝4，fx＝22，∑fL＝14，代入式（2-6）得：

P25＝6.32（μg/L）P75所在組的L＝12，i＝4，fx＝18，∑fL＝65，代入公式（2-6）得：

P75＝15.39（μg/L）三、四分位數(shù)間距四分位數(shù)間距（quartileinterval）用Q表示，是上四分位數(shù)QU（P75）和下四分位數(shù)QL（P25）之差。其值越大，說明變異程度越大。常用于描述偏態(tài)分布資料的離散程度。該指標(biāo)比全距稍穩(wěn)定，但仍未考慮每個觀察值。

Q＝QU－QL＝P75－P25（2-7）

例2-10利用表2-3的資料計算四分位數(shù)間距Q。

在例2-9中已經(jīng)計算出P75與P25，故Q＝15.39－6.32＝9.07（μg/L）。四、方差若要克服極差和四分位數(shù)間距不能反映每個觀察值之間的離散情況的缺點，就必須全面考慮到每一個觀察值。先就總體而言，離散情況能否用總體中每個觀察值Xi與總體均數(shù)μ之差的總和（稱為離均差總和）反映資料的離散程度呢？可以明顯地看出若計算離均差平方和

結(jié)果則不為0，但又受觀察例數(shù)多少的影響，為了消除這一影響，可取離均差平方和的均數(shù)，簡稱方差（variance）或均方（meanofsquares）?？傮w方差用σ2表示，樣本方差用S2表示，公式分別為

方差的大小反映一組資料的離散趨勢大小。但由于其意義相當(dāng)于離均差平方和的均值，度量單位也是單位的平方，故難以解釋，在科技報道中很少使用。五、標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差（standarddeviation）是方差的平方根。由于每一個離均差都經(jīng)過平方，使原來觀察值的度量單位（如cm，mmHg等）也都變?yōu)槠椒絾挝涣耍瑢?dǎo)致計算結(jié)果難以解釋。為了還原成為原來的度量單位，將方差開平方，得到標(biāo)準(zhǔn)差?？傮w標(biāo)準(zhǔn)差用。，樣本標(biāo)準(zhǔn)差用S或SD表示，即

在此需要說明：式（2-11）中等式最右邊的式子是經(jīng)過推導(dǎo)出來的，以使運算方便；式（2-12）用于分組資料加權(quán)法計算標(biāo)準(zhǔn)差，其中Xi為各組的組中值。式（2-11）中的n-l和式（2-12）中的∑fi－1為自由度（degreeoffreedom）。由于用樣本資料計算的標(biāo)準(zhǔn)差常常小于總體標(biāo)準(zhǔn)差，英國統(tǒng)計學(xué)家W.S.Gosset提出用樣本例數(shù)減去1（n－l或∑fi－1）代替n，使得樣本標(biāo)準(zhǔn)差成為總體標(biāo)準(zhǔn)差的無偏估計值。例2-11從例2-1上抽出的10個數(shù)據(jù)：75，76，72，69，66，72，57，68，71，72，試用直接法計算標(biāo)準(zhǔn)差。n＝10，代入式（2-11），得：S＝5.41（次/分）例2-l2利用表2-2中的數(shù)據(jù)和頻數(shù)表法計算標(biāo)準(zhǔn)差。從表2-2計算得出：代入式（2-12）得：S＝5.89（次/分）標(biāo)準(zhǔn)差的意義和用途有四：其一是說明資料的離散趨勢（或變異程度），標(biāo)準(zhǔn)差的值越大，說明變異程度越大。由于標(biāo)準(zhǔn)差與原始數(shù)據(jù)的單位一致，在科技論文報告中，均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差經(jīng)常被同時用來描述資料的集中和離散趨勢。標(biāo)準(zhǔn)差愈小，說明觀察值的離散程度愈小，均數(shù)的代表性也就愈好。若比較的樣本單位相同，均數(shù)接近，標(biāo)準(zhǔn)差小的，說明離散趨勢??；其二是用于計算變異系數(shù)；其三是用于計算標(biāo)準(zhǔn)誤（見第四章）；其四是結(jié)合均值與正態(tài)分布的現(xiàn)律估計參考值的范圍（見第五節(jié)）。六、變異系數(shù)變異系數(shù)（coefficientOfvariation）用CV表示。CV實際上是標(biāo)準(zhǔn)差的另一種表示方式，即將標(biāo)準(zhǔn)差轉(zhuǎn)化為均數(shù)的倍數(shù)，以百分?jǐn)?shù)的形式表示。CV常常用于比較度量單位不同或均數(shù)相差懸殊的兩組（或多組）資料的變異程度。公式為

例如，對例2-l資料用加權(quán)法計算出脈搏＝71.12（次／分），S＝5.89（次／分），則其變異系數(shù)為：脈搏CV＝8.28％

另測得該人群的紅細胞數(shù)的＝4.7075（102／L），S＝0.5662（102／L），其變異系數(shù)為：紅細胞CV＝12.03％

可見該人群的紅細胞數(shù)的變異程度稍大于脈搏的變異程度。第四節(jié)正態(tài)分布一、正態(tài)分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概念正態(tài)分布（normaldistribution）是一種重要的連續(xù)型分布。我們從第一節(jié)圖2-l中可見頻數(shù)分布以均數(shù)為中心，左右兩側(cè)基本對稱，靠近均數(shù)兩側(cè)頻數(shù)較多，離均數(shù)愈遠，頻數(shù)愈少，形成一個中間多、兩側(cè)逐漸減少、基本對稱的分布。當(dāng)將樣本含量擴大，將組段分細，圖中直條將變窄，就會表現(xiàn)出中間高、兩側(cè)逐漸降低，并完全對稱的特點（如圖2-2（a）、（b）所示），將頻數(shù)分布圖各直條頂端的中點連線，就接近于一條光滑的曲線（如圖2-2（c）所示），這條曲線被稱作正態(tài)分布曲線，用N（μ，σ）表示，其位置與均數(shù)有關(guān)，形狀與標(biāo)準(zhǔn)差有關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)差大，離散程度大，正態(tài)分布曲線則“胖”，反之，則“瘦”。醫(yī)學(xué)研究中許多正常人生理、生化指標(biāo)的分布呈正態(tài)或近似正態(tài)分布。許多非正態(tài)分布的資料，當(dāng)觀察例數(shù)足夠多時，其均數(shù)也呈正態(tài)分布。正態(tài)分布是數(shù)理統(tǒng)計中最基礎(chǔ)的一種分布，很多統(tǒng)計推斷都是在正態(tài)分布條件下進行的。其概率密度函數(shù)（probabilitydensityfunction），為：式（2－14）中f（X）稱密度函數(shù)，是與X對應(yīng)的正態(tài)曲線的縱坐標(biāo)高度，μ與σ分別為總體均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，π為圓周率（π＝3.14159），e為自然對數(shù)的底，即2.71828。因此，已知μ、σ和變量值X，就能按式（2－14）繪出正態(tài)曲線的圖形，如圖2-3a所示。為了應(yīng)用方便，對于任何一個均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為μ與σ的正態(tài)分布，都可以通過變量的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變換（），使之成為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（standardizednormaldistribution），用N（0，1）表示，即均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1。也就是將圖2－3a的坐標(biāo)原點移到0的位置，并使新坐標(biāo)的橫軸尺度以σ為單位。N（0，l）的概率密度函數(shù)為：式中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)，即縱坐標(biāo)高度，根據(jù)u的不同取值，就可按式（2-15）繪出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形，如圖2-3b。二、正態(tài)分布的特征和曲線下面積分布規(guī)律正態(tài)分布有五個方面的特征：①正態(tài)曲線（normalcurve）在橫軸上方，且均數(shù)μ所在處曲線最高；②正態(tài)分布以均數(shù)為中心，左右對稱；③正態(tài)分布有兩個參數(shù)，即均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差（μ與σ），均數(shù)μ為位置參數(shù)，決定正態(tài)分布曲線所在的位置，標(biāo)準(zhǔn)差σ為形狀參數(shù)，決定正態(tài)分布曲線的“胖”和“瘦”，

σ大，曲線為“矮胖型”，反之，為“高瘦型”，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為0和1；④正態(tài)曲線在±1σ，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布在±l處各有一個拐點（見圖2-4）；⑤正態(tài)分布的面積分布有一定的規(guī)律性。正態(tài)分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的面積可借助高等數(shù)學(xué)中微積分的方法分別對式（2-14），（2-15）求積分而求得，從－∞到X或u的面積F（X）或Ф（u）見圖2-3。統(tǒng)計學(xué)家已經(jīng)根據(jù)式（2-15）求出了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布從一∞到Ф（-u）的面積（見附表2-l）。實際工作中經(jīng)常要用的面積分布規(guī)律見表2-4及圖2-4。三、對數(shù)正態(tài)分布有時也將一些非正態(tài)分布資料轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布資料來處理。若資料呈明顯的正偏態(tài)分布，可將各觀察值直接取自然對數(shù)（lnX）或取以10為底的對數(shù)（lgX）；若資料呈負偏態(tài)分布，需要通過嘗試找出一個合適的常數(shù)K（可用一個略大于最大值的數(shù)值），用常數(shù)K減去各觀察值，然后取對數(shù)（lg（K－X）或ln（K－X），若對數(shù)值經(jīng)觀察或假檢驗呈正態(tài)分布，該分布被稱作對數(shù)正態(tài)分布（logarithmicnormaldistribution）。對數(shù)正態(tài)分布曲線下橫軸上的面積規(guī)律同正態(tài)分布，該規(guī)律可用于醫(yī)學(xué)參考值的估計。第五節(jié)醫(yī)學(xué)參考值的估計醫(yī)學(xué)參考值是指正常人的各種生理、生化數(shù)據(jù)，組織或排泄物中各種成分的含量。同是一批正常人，由于個體差異的客觀存在，“某一生理或生化指標(biāo)的測定結(jié)果有大有小，即使是同一個體，其生理、生化測定數(shù)據(jù)也會隨著機體內(nèi)外環(huán)境的變化而相應(yīng)地波動。因此，需要估計正常人測定值的波動范圍，該范圍稱為參考值范圍（referenceranges），參考值范圍在診斷方面可用于劃分正常與異常。隨著新設(shè)備。儀器、試劑、測試方法的不斷推出及對不同時代正常人某些變量測定值的比較，都需要進行醫(yī)學(xué)參考值的研究。一、制定參考值的基本步驟1．從正常人總體中抽樣所謂正常人，不是一點小病都沒有的人，而是指排除了影響被研究指標(biāo)的疾病或因素的人。例如，研究某市成人血鉛的參考值范圍，是以留住該市一年以上。無明顯肝腎疾病、無鉛作業(yè)或接觸史的成人作為被研究的正常人總體。按隨機化方法進行抽樣研究。抽取樣本含量要足夠大，因參考值范圍是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計的，樣本分布愈接近總體分布，所得結(jié)果愈可靠。因此，樣本含量不能過少，一般認為，估計每個人群組參考值范圍（如男性或女性紅細胞參考值范圍）的樣本含量一般應(yīng)在100例以上。如果被研究指標(biāo)的影響因素較多，數(shù)據(jù)變異大，樣本含量應(yīng)該相對多些，以能取得一個分布較為穩(wěn)定的樣本為原則。2．控制測量誤差測量的方法、儀器、試劑、精密度、操作熟練程度都要統(tǒng)一，以便將測量誤差控制在一定的范圍內(nèi)。3．判定是否需要分組確定參考值范圍原則上，組與組之間差別明顯，且差別有實際意義則應(yīng)分開，否則應(yīng)當(dāng)合并確定。考察組間差別