解三角形之三角形的角平分線和中線問題（典型例題+練習(xí)）-2023年高考數(shù)學(xué)（新高考通用）解析版

【解答題搶分專題】備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)解答題典型例題+跟蹤訓(xùn)練（新高考通用）

專題05解三角形之三角形中線和角平分線問題

目錄一覽

一、梳理必備知識

二、基礎(chǔ)知識過關(guān)

三、典型例題講解

四、解題技巧實(shí)戰(zhàn)

五、跟蹤訓(xùn)練達(dá)標(biāo)

、梳理必備知識

1.正弦定理

（其中R為ΔABC外接圓的半徑）

=SinA=——,sinB=——,sinC二二上；（角化邊）

2R2R2R

2.余弦定理：

[“b2+c2-a2

COSA=-------------,,

2bca2=∕√+0?一2∕?CCOSA

a-+c-b-I

<cosBn=---------------,=>?Ao2=cr-?-c~-2。CCOSB,

2ac

222

222c=a+h-2ahcosC.

「a+Z?-CI

cosC=--------------.

2ah

3?三角形面積公式：

:LaCSinB」（a+b+c）r（r為三角形ABC的內(nèi)切圓半徑）

SAABC=^absinC=gbcsinA二

22

4.三角形內(nèi)角和定理:

在^ABC中，WA+B+C=Ti<=>C=7Γ-（A+B）O%—?=2ɑ=2萬一2（A+5）.

5.三角形中線問題

如圖在ΔABC中，。為CB的中點(diǎn)，2AO=AC+A8,然后再兩邊平方，轉(zhuǎn)A

化成數(shù)量關(guān)系求解?。ǔＳ茫?/p>

6.角平分線

如圖，在AABC中，AD平分乙BAC,角A,B,C所對的邊分別為。，b,C

①等面積法

^ΛABC=SMBD+SΔADC

IIA1A

—AB×AC×sinA=-AB×AD×sin——?--AC×AD×sin-（常用）

22222

②內(nèi)角平分線定理：

ABACTABBD

----=------SZ-----=------

BDDCACDC

aAq

③邊與面積的比值：

?ADC

【常用結(jié)論】

①在ΔABC中，tz>∕?osinA>sinB<≠>A>B;

②Sin24=41128,則4=8毗+3=工.

2

③在三曲申數(shù)中，SinA>sinB=A>8不成立。但在二曲形中，SinA>sinBoA>B成立

二、基礎(chǔ)知識過關(guān)

1.A。是ΛBC的邊BC上的中線，若AD=g,BC=4,ZβQA=f,貝ILABC的面積為（）

6

A.√3B.2C.2√3D.4

【答案】A

【分析】根據(jù)△詼以及三角形面積公式即可求出.

S=2Sa<ro

【詳解】Sλnc=2S.nn=2×-DB-DA-SinZBDA=2×-×2×y∕3×-=>β.

222

故選：A.

若的三個(gè)內(nèi)角B,成等差數(shù)列，且邊上的中線。=又則

2.ΔABCA,CBCA√7,AB=2,SAABC=

A.6B.3√3C.2√3D.3

【答案】B

【分析】三角形內(nèi)角成等差數(shù)列，可求得B=60,利用余弦定理列方程可求得8。的長，由此得到BC的長,

利用三角形的面積公式可求得三角形面積.

【詳解】因?yàn)锳48C的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列，則8=60。，在AABC中，由余弦定理得:

AD-=AB-+BD2-2AB-BD-cosB,即7=4+Bb-2B。，所以80=3或-1（舍去），

可得BC=6,所以SiMBC=〈AbBC?sinB=Jχ2χ6χ等=3√L故選B.

【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差中項(xiàng)的性質(zhì)，考查利用余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，屬于基

礎(chǔ)題.

3.在AABC中，8C邊上的中線Af)長為3,且cos8=巫，COSNAOC=-L則AC邊長為

84

A.4B.16C.√WD.√6

【答案】A

【詳解】試題分析：COS8=把。sin8=^cosZADC=-?.,.sinZADB=?

8844

邛曲黑=焉?3232

.,.sinZBAD=Sin(Z)-JB)

ΔAE>C中，由余弦定理的χ=4

考點(diǎn)：1.三角函數(shù)基本公式；2.正余弦定理

4.在ΔASC中，3=120。，AB=g,角A的角平分線AO=G,貝IJAC=（）

A.√2B.氈C.√3D.√6

3

【答案】D

【分析】本題首先可根據(jù)正弦定理以及8=120。、AB=母、AD=G計(jì)算出ZAZ）B=45,然后根據(jù)AD是

角A的角平分線計(jì)算得出NBAC=30以及NC=3（）,最后利用正弦定理即可得出結(jié)果.

【詳解】

如圖所示，因?yàn)?=120。，AB=√2,AD=B

bhIADAB72

所以./解得SinNAD8=、一,∕ΛDB=45,

smBs?nZADB2

因?yàn)锳E＞是角A的角平分線，?BAD180-120-45=15,

所以N8AC=3(),?C兀-120-30=30,

AoAR

所以嗯解得AC=灰,故選D.

smπSinDC

【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理解三角形，考查正弦定理公式的靈活使用，正弦定理公式為

Cl_b_C

2R,考查計(jì)算能力，是簡單題.

sinAsinBsinC

5.已知ABC中，AB=6,AC=2,A3為/84C的角平分線，AD=B則ABC的面積為（）

A.2√2B.4√2C.3√2D.3√3

【答案】B

【分析】根據(jù)SABC=SAM>+Sg5利用三角形面積公式、倍角公式化簡整理可得CoSe=立，再求sin。，代

3

入面積公式運(yùn)算求解.

【詳解】ΛBADΛCAD=θ

,：SABC=SABD+Sλcd,貝UJAB?AC?sinZBAC=∣AB?AD?sinZBAD+∣AD?AC?sinZCAD

即gx6x2xsin2O=gx6x√5xsin（9+gx2x百XSin6,∏I^√3sin2∕9=2sin∕9=2√3sin6>cos6*

Vsinι9≠0,貝IJCOSe=也

3

2

sin0=Vl-cosθ=,貝（jSAM=SARΓ,+SAm=-×6×j3×-^-+-×2×y∕3×^-=4夜

3ΛoCΛBLfACiz2323

故選：B.

6.在△ABC中，AB=4,AC=3,BC=5,則NA的角平分線AZJ的長為（）

A.3√2B.2C.D.—

74

【答案】C

【分析】由已知判斷出一"C是直角三角形，求出CoSB,再利用余弦定理計(jì)算可得答案.

【詳解】因?yàn)锳B=4,4C=3,8C=5,所以A8?+AC?=,所以NBAC=伙），

4/?4ARAC

由已知得CoSB=黑=?,因?yàn)锳o是-A的角平分線，所以第=痣,

DC?BDL/C

即---=---9所以---=------

BDDCBD5-BDBD吟

在AABD中，由余弦定理得

222

AD=AB+BD-2AB×BDcosZB=16+--2×4×-×-=-t

497549

所以正苧

故選：C.

二、填空題

7.在ΔABC中，已知CB=7,AC=8,43=9,則AC邊上的中線長為

【答案】7

【分析】先利用余弦定理求得CoSA的值,再設(shè)中線,利用余弦定理求出中線的值.

4B2+AC2-8C292+82-72_2

【詳解】由條件知:COSA=

2-AB-AC-2×9×8^3,

第AB2-2.^-.ABcosA

設(shè)中線長為X,由余弦定理知：X2=+

?

=42+92-2×4×9×-=49

3

所以x=7.所以AC邊上的中線長為7.

故答案為：7.

【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.

8.已知ΔABC的三個(gè)內(nèi)角4,8,(:滿足28=4+(7,且?guī)?1,8。=4,則8(7邊上的中線4。的長為.

【答案】√3

【解析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得B=60。,在MBD中根據(jù)余弦定理可得答案.

t詳解】Y28=A+C,...A+B+C=3B=?Sd,：.B=60.

?：βC=4,ΛBD=2.

:?在AABD中,A。=y]AB2+BD2-2AB?BDcos600=√12+22-2×l×2cos60°=√3?

故答案為:百

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理,考查了余弦定理解三角形,屬于基礎(chǔ)題.

9.已知AABC中，AC=2,AB=3,NBAC=60。，AD是AABe的角平分線，則AD=.

【答案】巫

5

【分析】由SMJC=SMW+SΛΛQ,利用三角形面積公式可得關(guān)于AO的方程，從而可得結(jié)果.

.?-×3×2sin60=-×3ADsin30+-×2AD×sin30,

222

.?.AO=述，故答案為還.

55

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形面積公式的應(yīng)用，以及特殊角的三角函數(shù)，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識解答

問題的能力，屬于簡答題.

10.在ABC中，ZA=60,NA的角平分線與BC邊相交于O.AD=—,BC=√7.則AB邊的長度為

5

【答案】2或3

【分析】分別求得4ΛBO?ACD和；ABC的面積，利用等面積法可得A8+AC=0ABχ4C,利用余弦定

O

理，可得48χAC=6,聯(lián)立即可得答案.

【詳解】由題意得Sabd=—AB×AD×sin30=LAB=AB,

24510

Sacd=-AC×AD×sin30=lχc×^=-AC,

24510

Sλlic=-AB×AC×sin60=BABXAC,

'24

由S.C=SAw+SAS，RΓ?????(AB+AC]=AB×AC,

104

所以AB+AC=9ABXAC,

6

又由余弦定理，AB*12+AC2-ABxAC=I,可得(43+AC)?-3ABχ4C=7,

25O

所以一(ABXAe)--34BXAC=7,解得ABXAC=6,

36

[AB=2]A3=3

又由ΛB+AC=5,可得&或“?.

[AC=3[AC=2

故答案為：2或3

四、解題技巧實(shí)戰(zhàn)

?.4?C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,.ABC的面積S=tanA,BC邊上的中線長為√3.

⑴求。；

(2)求,A8C外接圓面積的最小值.

4

【答案】(l)α=2;(2)-.

【分析】(1)利用三角形面積結(jié)合已知求出根8SA,再借助向量數(shù)量積運(yùn)算律、余弦定理求解作答.

(2)利用正弦定理及(1)中信息，結(jié)合均值不等式求出KBC外接圓半徑最小值即可計(jì)算作答.

11qinA

LWMl(I)ABC的面積S=二人CSinA,又S=tanA,于是得不歷SinA=^——,而OVAV乃，即SinA>0,

22cosA

因此hccoSA=2,

令邊BC的中點(diǎn)為。，則線段AD是ABC的中線，有A￡>=；(A8+4C),

因此4AD?=AB。+2Aδ?AC+AC?，即有12=?2+c2÷2?ccosA,解得〃?÷c2=8,

由余弦定理得/=6+廿-2?'cosA,BPa2=8-4=4,解得。=2,

所以〃=2.

(2)設(shè)ΛBC外接圓半徑為R,由正弦定理得W^=2R,即有R=J7,

SInASinA

241

由(1)知COSA=丁≥~~=-,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)取等號，

betbξ+cr2

而OVA〈4，于是得O<A≤f,?0<sinA≤—,

32

1I2y∕3r-

因此而一耳=丁，當(dāng)且僅當(dāng)SinA=業(yè)，即A=W時(shí)取等號，

—2J

2

所以ABC外接圓面積最小值為%X(手)2=g-

2.△ABC中，角A8,C所對的邊分別是α,0,c,2αcos8=2c+A,b=L

(1)求角A；

(2)若BC邊的中線AZ)=且，求4ASC面積.

2

【答案】⑴A=?⑵3

【分析】(1)用正弦定理進(jìn)行邊化角得2sinAcos8=2sinC+sinB,再用三角恒等變換處理;

(2)利用向量AD=；(A8+AC),兩邊平方展開即可得出結(jié)果.

⑴由題意2qCOSB=2r+Z?與正弦定理可得2sinAcosB=2sinC+sinB,

由A+8+C=τr,可得sinC=sin[π-(A+β)J=Sin(A+B)=SinAcosB+CosAsinB.

代入整理得：2cosAsinB+SinB=0.

故CoSA=-g,可得A=等.

(2)VAD=∣(AB+AC),貝!∣AO?=：(AB+AC)，=-(/?2+c2+2?ccosA)

可得：c2-c—2=0,故c=2或C=-I(舍去)

1C

貝()△ABC5=-bcs?nA=——?

22

3.在三角形ABC中，∕A,NB,NC的對邊分別為〃，b,C.己知〃=歷，b=3,NA=I20。.

(1)求一A5C的面積;

(2)/A的角平分線交邊BC于點(diǎn)。，求Ao的長.

1?

【答案】⑴3百；⑵y?

【分析】(1)利用面積公式進(jìn)行計(jì)算即可得解；

(2)將ΛBC由AD分成兩個(gè)三角形，分別計(jì)算即可，或者利用三角形角平分線性質(zhì)，再結(jié)合余弦定理即

可得解.

【詳解】(1)a2=b2+c2-2?ccos?A,37=9+c2+3c,

2

C+3C-28=0,C=4(負(fù)值舍)，Sabc=^bcsinA=3y∕3.

(2)法1：由SAABC=Jx3x4SinI2(Γ=gχ3x4f)sin60t5+Jχ4χA￡)sin60。

得AD=苗12.

法2：由三角形內(nèi)角平分線定理，黑=若=：，BD=W后,

在三角形ASD中，根據(jù)余弦定理得(生篝)=AD2+42-2×AD×4COS600,

AD2-4AD+-^0,解得3葭或牛(舍去).

4.在.ABC中，A3=3,8C=4,線段5。是/3的角平分線，且S,皿=6.

(1)求SABCD-

(2)若ABAC=-,ZABD=α(α<二),求sin(2a+工)的值.

3126

【答案】(1)8；(2)紀(jì)亙.

16

SAB

【分析】(1)根據(jù)面積公式得到I=評,即可得解;

?BCD力C

(2)過點(diǎn)A作交83于點(diǎn)E,并延長AE交BC于點(diǎn)F,即可求出C尸，在AACR中，由正弦定理

得缶=煞，求出疝＞+。再根據(jù)三角恒等變換求出SiWa+專

【詳解】解(1)QBD平分/A8C

.?.ZΛBD=ZDBC

c?AB?BDsinZABDλπq

.SABD_2_AB3

SBCD工BD?BCsinNDBCBC4

2

_4_

?SBCD=個(gè)SABD=8

(2)如圖，過點(diǎn)A作AEj交8。于點(diǎn)E,并延長AE交3C于點(diǎn)尸,

TT

在..ABE中，NBAE=-^--α,AE=3Sina

TTTT

:.ZEAD=--NBAE=--,AF=2AE=6sin1

36a

??.在中'由正弦定理得總正AF

sinC

I6sina

--------------=----------------4jζ

即.乃.C、兀、,所以sin(2]+)=6SinaSin(α一7)

s?n(ɑ——)sm(2a+-)3τr6

63

所以sin(2a+?-)=6sinezfsinacos?一cosαsin看]

所以sin(2ez+—)=3&sin2a-3sincrcosa=-cos2a--sin2a

3222

所以sin(20+馬=3sin(20+Q

32I3J

..π3?∣3

..Sin(26ZHι—)=-----

38

71、TtTl,?π.y/37

乂τ7Ct<—,..20H—<一,二.cos(2tzH—)=-----

123238

.,.Sin(21+?)=sin(2α+?--)=sin(2α÷?)cos?-cos(2α+—)sin?=-~~

636363616

五、跟蹤訓(xùn)練達(dá)標(biāo)

1.（2023春?四川成都?高三校聯(lián)考期末）在斜三角形A8C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿

足“sinA+4?sinCcos2A=?sinB+CSinC.

（1）求角A的大小；

（2）若α=2,且BC上的中線Ao長為√5,求斜三角形ABC的面積.

【答案】⑴Aq

⑵囪

【分析】（1）根據(jù)正弦定理將已知式子進(jìn)行化簡，再利用余弦定理即可求出角A的大小；

（2）根據(jù)為AZ）為BC上的中線得AO=；（AB+AC）,結(jié)合余弦定理求出從?=4,進(jìn)而求出面積.

【詳解】（1）因?yàn)?114+4加拓。（：0024=加由8+與11。，

所以由正弦定理可得：a2÷4?ccos2A=lτ÷c2,

即4Z?CCoS2A=b2+c2-a2,

所以2COS2A=6+C2-"=COSA,又Aw?J,所以COSA=1,所以4

Ibc223

（2）因?yàn)锳0為BC上的中線，所以AO=g（A8+AC）,

即Ao=；（AB+AC）,所以4AZ∕i=ABOZTW?AC+AC。，即］2=c?+2bccosA+/，

所以12=/+歷+°2①，由余弦定理可得：cr=b2+c2-IhccosA,

所以4=∕+∕-6c②

①-②得：bc=4,所以S“阮.=；歷SinA=G.

2.（2022春?河南周口?高一扶溝縣第二高中?？茧A段練習(xí)）設(shè)，ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為α,b,c,

且cos8=逅,c=垃.

63

（1）若MBC的面積為與，求公

（2）若AC邊上的中線8。=石，求SinA的值.

【答案】⑴括

⑵普

【分析】（1）由三角形的面積公式可求解;

(2)由B。為AC邊上的中線，則有3D=；(3A+3C),可得。=2,再根據(jù)余弦定理及正弦定理可求解.

(1)因?yàn)镃oSB=揖~,Bw(0,4)所以SinB=趙,

66

因?yàn)镾ABC=/，所以;。CSin3==，所以。=6.

(2)因?yàn)锽Z)為AC邊上的中線，所以BO=；(3A+8C),

貝!∣8爐=i(BA+BC)2=^BA2+2BΛBC+BC2)

因此IBr)H(C2+2CaCoSB+α2),Bβ5=-Iy+-α+α2I

化簡得3α2+84-28=0,(α-2)(3a+14)=0,α>0,所以α=2,

-2cαcosB，解得"=空〃=酒，

由余弦定理6="+C2

33

2√ΣT

由-=~~7=~~^n~,解得SinA=

SinAsinBsinA√3014

^6^^

3.(2023春?廣東廣州?廣東番禺中學(xué)?？茧A段練習(xí))45C的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

GaSinC-CCoSA=C?

⑴求A；

(2)若6=2c,點(diǎn)。為邊BC的中點(diǎn)，且AO=√7,求.?A3C的面積.

【答案M嗚

(2)2√3

【分析】(D利用正弦定理邊化角，再由三角恒等變換化簡求出A；

(2)因?yàn)锳D為二ABC的中線，所以2AC=AB+AC,兩邊平方后利用向量的數(shù)量積公式進(jìn)行求解，再代

入b=2c可解得c=2,)=4,再代入面積公式求解即可.

【詳解】(1)由正弦定理，原式可化為GSinASinC-SineCoSA=SinC,

因?yàn)镺eC<π,所以SinCW0,

化簡得λΛsinA-COSA=1,即2sin(A-1)=1,sin(A-

662

XVA∈(0,π),：.--<A--<—；.A=~.

6663

(2)由點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)可知，AD=^(AB+AC),

.?.AD2=^AB2+AC2+2AB-AC^,BP7=^-(c2+?2+26c?cosA).

由題及(1)知，b=2c9A=p解得。=4,c=2.

?φ?,ABC的面積S=LXABXACXSinA=LX2X4X^^=26.

222

4.(2023春?福建三明?三明一中校考階段練習(xí))在ABC中，角A,B,C所對的邊分別是m仇c,且

(b—C)(Sin5+sinC)=(?-a)sinA.

⑴求C；

2

(2)若α=l,b=2,。在線段A8上，且滿足Ao=WA8,求線段CD的長.

【答案】(l)C=g;

⑵迎

5

【分析】(1)根據(jù)正弦定理邊角互化結(jié)合余弦定理即得；

(2)利用余弦定理可得AB=G，進(jìn)而可得ZABC=然后根據(jù)勾股定理結(jié)合條件即得；或由題可得

CD=-CA^CB然后利用向量的模長公式結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即得.

?+?9

【詳解】(1)因?yàn)?A-C)(Sin8+sinC)=僅一α)sin4,

由正弦定理得，伍一c)僅+c)=(。一ɑ)ɑ,^a2+b2-c2=ab,

又由余弦定理得COSC==L且Ce(O,π),所以C=?；

(2)解法一：結(jié)合(1)由余弦定理得482=/=儲+b2-2"cosC=3,即AB=?/?，

則^=∕+c2,所以NABC=

又AD=24B,即Ao=ZAB=氈，則BD=邁，

5555

則在Rt△(:即中，CD2=BC2+BD2=I2+=||,所以CD=2√13

-------;

5

232

解法二：因?yàn)锳O=1A8,所以CO=gC4+gC8,

所以ICoI2=C02=[-CA+-CB↑=-CAL+—CACB+—CB2

11(55J252525

即3個(gè)

所以卜4=季?

5.（2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測）在ABC中，a,4c分別是ABC的內(nèi)角A,B,。所對的邊，且

h_a-c

sinA÷sinCsinB-SinC

(1)求角A的大??；

（2）記√1BC的面積為S,若BM=（MC,求包L的最小值.

2S

【答案】（I）Aq（2）∣√3

【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理先將邊角化統(tǒng)一，然后由余弦定理即可得到結(jié)果;

（2）根據(jù)題意可得，AM=^AC+^AB,然后得到再由三角形的面積公式可得S,最后結(jié)合基本

不等式即可得到結(jié)果.

【詳解】（D因?yàn)?--------=——,即"O二任￡=佇￡

sinA+sinCSinB-SinCsinA+sinCb

由正弦定理可得，"￡=￡￡,化簡可得a?="+。?—秘，

a+cb

且由余弦定理可得，a12=b2+c2-2bccosA,所以cos4=；,且A∈（θ,兀），所以A=（

所叫時(shí)=CAC+|呵盟AClTACI.網(wǎng)COSA+aA田山2+如2+/

∣21,2422/4.21

AM-b+—c-+—be-be+—be

1CI=999>99

且S=—?csinΛ=-z-bc,即

S

24——瓦be-——瓦be

44

λm

當(dāng)且僅當(dāng)?1=21，即8=2c時(shí)，等號成立.所以l?-l?=《86Γ

I)min

6.(2023春?全國?專題練習(xí))銳角.?ΛBC中，角4、B、C所對的邊分別為a、b、c,且‘一=tanB+tanC.

ccosB

⑴求角C的大?。?/p>

(2)若邊￠=2,邊AB的中點(diǎn)為O,求中線Co長的取值范圍.

【答案】⑴E

4

(2)(√5,l+√2].

【分析】(I)結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系以及正弦定理化簡求解IanC=1,因?yàn)镃e(0,乃)，所以C=:；

(2)由余弦定理與正弦定理。^=；(4+2缶4=1+#?，然后結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求解其取值范圍即可.

■、乂AT/＜、E、ta八sinAsinβsinC

【詳解】(1)因?yàn)?----=tanB+tanC,所以一一-=--+--,

CCOSJDSinCcθSΠCOSBCOSC

即sinA_SinBcosC+SinCcosB_sin(B+C)_SirLA

SinCcosBcosθcosCCOSBCOSCCoSBcosC

又因AB∈(0,?),所以SinAW0,

又由題意可知COSBW0,

所以tanC=l,因?yàn)镃e(0,萬)，所以C=?.

(2)由余弦定理可^c2=*4a2+h2-IabcosC=a2+b2-√2α?=4,

XCD=∣(CA+CB),

2122

貝!∣CZ∕=-(CA+CB)2-?CA+CB'+2CACB

44

=；(/+〃+展勸=14+2√2α?)=1+避血

2

ab

由正弦定理可得=25/2,所以“=2及SinA>

sinAsinBsinC

b=2λ∕2sinβ=2?∕2sin學(xué)-A)=2cosA+2sinΛ,

所以C浴=4√2sin2A÷4√2sinAcosA=4√2?i；s2A+2^sin2λ

0<Λ<-

=4Sin(2A-0+2√Σ,由題意得<2M相π.π

2，解得:<A<7,

八3nAπ42

0<------A<—

42

則2A-?π3π?

了彳),

所以Sinl2A-π(1e-y?>l,所以"∈k√∑,4+2√f∣,

4

所以。戶45,3+2近],所以中線CD長的取值范圍為("1+√Γ∣?

7.(2023?山東淄博?統(tǒng)考一模)在ABC中，角A,B,C的對邊分別是。，b,c,滿足(α+b+c)(α+b-c)=α∕>

(1)求角C；

(2)若角C的平分線交AB于點(diǎn)￡>,且CD=2,求2α+6的最小值.

【答案】⑴5

⑵6+40

【分析】(1)結(jié)合已知條件，利用余弦定理即可求解；

⑵利用正弦定理得到"=2(1+*方=2(當(dāng)+1],然后利用基本不等式即可求解.

Isιnθ)ISlnA)

222

【詳解】(D由(ɑ+6+c)(α+b—c)=αb可得：a+b-c=-ab,

由余弦定理知，COSC=)+從-，2=-處=」,又C∈(0,π)因此C==.

2ab2ab2'’3

CDADQ

(2)在AeD中，由SinA=.兀，得/1￡)=〃-,

SmMSinA

CDBDI—∣-r—

在438中，由SinB一.兀，可得BO=所以C=A。+=*-+*-;

sin§sinBSinASinB

在ABC中，由W=號=，不，得_、=_勺=全白區(qū)，

sinAs?nBsinCsinAsinB√3

~2

.<sinAA,JsinB八,..2sinASinB)

解ττ得xα。=21+—^,ft=2--+1,所以2。+〃=23+—+,

?sine√ISmAJIsinBsmA)

因?yàn)镾inA>O,sinB>O,

所以2α+f3+2用X瞿>2(3+20)=6+40,當(dāng)且僅當(dāng)2—"時(shí)取等號,

因此為+6的最小值為6+4夜.

8.(2023春?福建三明?三明一中?？茧A段練習(xí))已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊為α,b,c,且

3(sinA-sinB)_3c-Ih

sinCa+b

⑴求SinA；

⑵若..ABC的面積為g夜，求內(nèi)角A的角平分線Ao長的最大值.

【答案】⑴平

⑵孚

【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到cosA=g,進(jìn)而求出sinA；

（2）由面積公式求出灰?=4,由正弦定理得到當(dāng)=黑，不妨設(shè)**=k,AC=m,得到加=4.

An

延長至點(diǎn)E,使得京廠二七連接CE,構(gòu)造相似三角形，在"CE中，由余弦定理得到AO2,由基本不

DE

Q

等式求出AD2≤號，得到角平分線A。長的最大值.

3(a-b)3c-2b,即C?+〃一/=?∣%C,

【詳解】（1）由正弦定理，得

a+b

2,

故=上L

2bc2bc3

因?yàn)镃OSA>0,所以Ado,]

Γ-Γ2√2

所以SinA=Λ∕1-COS2A=1^9=~Γs

（2）由（1）知SinA=延，

3

因?yàn)锳BC的面積為g√∑,所以g*sinA=g√Σ,解得歷=4,

ABBD

在AABO中，由正弦定理，得

sinZADB~sinΛBAD,

ACCD

在A8中，由正弦定理，得

sinZ.ADCsinZ.CAD'

因?yàn)锳D為角A的角平分線，所以SinNBAD=SinNCAD,

ADBD

XZADB÷ZADC=π,所以SinZAzW3=sinZADC,所以---=---,

ACDC

不妨設(shè)==左，AC=m,則AB=Am,?knr=4,

ΔΓ)

延長AD至點(diǎn)E,使得M=k,連接CE,

DE

貝展=黑=%，又乃B=NEDC,

DECD

所以aABXZ?ECD,故NBAZ)=NE,—=?,

CE

則AB∕∕CK,CE=m9

則ZACE+ZBAC=π,cosZACE=-cosZBAC=,

2蘇-11+“AD2

在“CE中'由余弦定理'得8SNACE=生*_L_d_=Λ'

2m23

Aa-8"8

因?yàn)榍蠵=4,所以"，療Y(1m21V

3[1+句3?+l6+iJ

其中工+=當(dāng)且僅當(dāng)即帆=2時(shí)，等號成立,

m216‰2162m-16

AD-?~~2娓

故3」+士，3,故3半.

(加162)

所以Ao長的最大值為友.

3

【點(diǎn)睛】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，

或與角度有關(guān)的范圍問題，

常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；

②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，

通常采用這種方法；

③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.

9.（2022?福建莆田?莆田華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測）在ΛBC中，ΛB=2,AC=4,角A為鈍角，ΛBC的面

積為2√L

(1)若。是BC的中點(diǎn)，求4。的長度；

(2)若AE為ΛBC的角平分線，求AE的長度.

【答案】(I)AO=百；

4

(2)AE=-.

【分析】⑴求出ZBAC=年，利用AO=ι(48+ACj求解；

IJT

(2)求出NBAE=NC4E=]N8AC=5,再利用S=S△.￡+Sgn求解.

⑴解：'：AB=2,AC=4,ΛBC的面積為26,

：.s?.=-AB-ACsinABAC=?×2×4×sinZBAC=2√3,

△ΛboCγ22,

sinZBAC=——>又NBAe為鈍角，Z.BAC-――,

23

：D是BC的中點(diǎn)，：.AD=^AB+ACy；.AD=^AB+AC^,

2

×AB=2,AC=4,ZBAC=y,Λ∣λd∣=4+16+2A??AC=3j：.AD=拒.

(2)解：TAE為ΛBC的角平分線，

：.NBAE=NCAE=-ZBAC=-,

23

因?yàn)镾△的=SAABE+SMCE，所以TABAESinq+gAC?AEsin5=2百,

即,x2AEx且+Lχ4AEx巫=26，所以4E=g.

22223

10.(2022秋?江西九江?統(tǒng)考期末)ABC中，三內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為α",c,已知“cos5+>=c.

⑴求角A；

⑵若c=2,角A的角平分線AO交BC于。，AO=±3,求".

3

【答案】(I)A=?

(2)a=2√3

【分析】(D根據(jù)正弦定理統(tǒng)一為三角函數(shù)化簡即可求解;

(2)根據(jù)角平分線建立三角形面積方程求出b,再由余弦定理求解即可.

⑴