歷年高考數(shù)學(xué)（理）知識(shí)清單-專(zhuān)題25 數(shù)學(xué)思想方法及其應(yīng)用（原卷+解析版）

專(zhuān)練1.已知函數(shù)f(x)＝3x3＋23x2＋33x(0<a<1，x∈R)有f(x1)＋f(x2)>f(x3)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.2.是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)y＝sin2x＋acosx＋a－在閉區(qū)間[0，]上的最大值是1？若存在，則求出對(duì)應(yīng)的a的值；若不存在，則說(shuō)明理由. 3．已知a∈R，函數(shù)f(x)＝xh(x)解關(guān)于x的方程log4x－1log2h(a－x)－log2h(4-x).4．在正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1＝3，a＝an－1＋2(n≥2，n∈N*).(1)求a2，a3的值，判斷an與2的大小關(guān)系并證明；(2)求證：|an－2|<|an－1－2|(n≥2)；(3)求證：|a1－2|＋|a2－2|+?+|an－2|<.5．已知橢圓Gy2＝1，過(guò)點(diǎn)(m,0)作圓x2＋y2＝1的切線l交橢圓G于A，B兩點(diǎn).(1)求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；(2)將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值.6、如果方程cos2x－sinx＋a＝0在(0，]上有解，求a的取值范圍.7、設(shè)函數(shù)f(x)＝cos2x＋sinx＋a－1，已知不等式1≤f(x)≤對(duì)一切x∈R恒成立，求a的取值范圍.8、已知數(shù)列{an}是一個(gè)等差數(shù)列，且a2＝1，a55.(1)求{an}的通項(xiàng)an；(2)求{an}前n項(xiàng)和Sn的最大值.9、設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A(2,0)，B(0,1)是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線y＝kx(k>0)與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn).(2)求四邊形AEBF面積的最大值.210．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a，b，c.已知c＝2，C=.(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面積.11．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝1，a2＋a3+?+a10＝144.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；(2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)bn記Sn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，若n≥3時(shí)，有Sn≥m恒成立，求m的最12．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0)，離心率為.直線y＝k(x－1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)△AMN的面積為時(shí)，求k的值.13．設(shè)關(guān)于θ的方程cosθ+sinθ+a＝0在區(qū)間(0,2π)內(nèi)有相異的兩個(gè)實(shí)根α、β.(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)求α+β的值.14．設(shè)有函數(shù)f(x)＝a＋和g(x)＝x＋1，已知x∈[－4,0]時(shí)恒有f(x)≤g(x)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.15.已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)在x1處取得極值，直線y＝m與y＝f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍.x＋2y－5≤0，16.已知實(shí)數(shù)x，y滿足x≥1，則的最大值為x＋2y－5≤0，x＋2y－x＋2y－3≥0，17.已知P是直線l：3x＋4y＋8＝0上的動(dòng)點(diǎn)，PA、PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值.18．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4，且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過(guò)A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M.(1)求拋物線的方程；(2)以M為圓心，MB為半徑作圓M，當(dāng)K(m,0)是x軸上一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，討論直線AK與圓M的位置關(guān)系.19．設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y＝2cos2x－2acosx－(2a＋1)的最小值為f(a)，試確定滿足f(a)＝的a的值，并求此時(shí)函數(shù)的最大值.20．已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝(x－a).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)g(a)為f(x)在區(qū)間[0,2]上的最小值.①寫(xiě)出g(a)的表達(dá)式；②求a的取值范圍，使得－6≤g(a)≤-2.21.設(shè)F1、F2為橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，已知P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且PF1＞PF2，求的值.22.已知函數(shù)f(x)x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]上有最大值2，求a的值.24．f(x)＝x3－x，x1，x2∈[－1,1]時(shí)，求證：f|(x1)－f(x2)|≤.25．已知函數(shù)f(x)＝elnx，g(x)＝(x)－(x＋1)．(e＝2.718……)(1)求函數(shù)g(x)的極大值；(2)求證：1＋＋+?+>ln(n＋1)(n∈N*).26.已知集合A＝{x∈R|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x∈R|x<0}，若A∩B≠?,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.27．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足an＝1－2Sn.(1)求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列；(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝logx，bn＝f(a1)＋f(a2)+?+f(an)，求Tn＝＋＋+?+.28.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AB＝2，AA1＝1，E為D1C1的中點(diǎn)，如圖所示.4(1)在所給圖中畫(huà)出平面ABD1與平面B1EC的交線(不必說(shuō)明理由)；(2)證明：BD1∥平面B1EC；(3)求平面ABD1與平面B1EC所成銳二面角的余弦值.29．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a4cosC，b＝1.(2)若△ABC的面積為，求a，C.30．某商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的付款期數(shù)ξ的分布列為ξ12345P0.40.20.20.10.1商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)一件該商品，采用1期付款，其利潤(rùn)為200元；分2期或3期付款，其利潤(rùn)為250元；分4期或5期付款，其利潤(rùn)為300元.η表示經(jīng)銷(xiāo)一件該商品的利潤(rùn).(1)求事件A：“購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(2)求η的分布列及數(shù)學(xué)期望E(η).31．已知遞增的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a6＝64，且a4，a5的等差中項(xiàng)為3a3.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.32．如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°,AC與BD相交于點(diǎn)E，(1)求證：BD⊥平面PAC；(2)求二面角A-PC-D的余弦值.高考押題專(zhuān)練1.已知函數(shù)f(x)＝3x3＋23x2＋33x(0<a<1，x∈R)有f(x1)＋f(x2)>f(x3)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.-84－2－2【解析】因?yàn)閒′(x)＝x2＋a3x＋33a＝x3(x-84－2－2解得x1x2＝2－a.由0<a<1，知1<2－a<2.所以令f′(x)>0，得x<，或x>2－a；令f′(x)<0，得<x<2－a，所以函數(shù)f(x)在(1,2－a)上單調(diào)遞減，在(2－a,2)上單調(diào)遞增.所以函數(shù)f(x)在[1,2]上的最小值為f(2－a)＝(2－a)2，最大值為max{f(1)，f(2)}＝max－，a.因?yàn)楫?dāng)0<a≤時(shí)≥a；當(dāng)<a<1時(shí)，a>－，由對(duì)任意x1，x2，x3∈[1,2]，都有f(x1)＋f(x2)>f(x3)恒成立，得2f(x)min>f(x)max(x∈[1,2]).所以當(dāng)0<a≤時(shí)，必有2×(2－a)2>－，結(jié)合0<a≤可解得1－<a≤；當(dāng)<a<1時(shí)，必有2×(2－a)2>a，結(jié)合<a<1可解得<a<2－.綜上，知所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是1－<a<2－.2.是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)y＝sin2x＋acosx＋a－在閉區(qū)間[0，]上的最大值是1？若存在，則求出對(duì)應(yīng)的a的值；若不存在，則說(shuō)明理由.【解析】y＝sin2x＋acosx＋a－=1－cos2x＋acosx＋a－6=-(cosx－)2＋＋a－.則y(t－)2a0≤t≤1.當(dāng)>1，即a>2時(shí)，函數(shù)y(t－)2a－在t∈[0,1]上單調(diào)遞增，∴t＝1時(shí)，函數(shù)有最大值ymax＝a＋a1，解得a＝<2(舍去)；當(dāng)0≤≤1，即0≤a≤2時(shí)，t＝函數(shù)有最大值，ymaxa1，解得a＝或a4(舍去)；函數(shù)y(t－)2a－在t∈[0,1]上單調(diào)遞減，∴t＝0時(shí)，函數(shù)有最大值ymax＝a1，解得a＝>0(舍去)，綜上所述，存在實(shí)數(shù)a＝使得函數(shù)有最大值. 3．已知a∈R，函數(shù)f(x)＝xh(x)解關(guān)于x的方程log4x－1log2h(a－x)－log2h(4-x). 36－3【解析】原方程可化為log424 36－3【解析】原方程可化為log424=log2－log2，即log4(x－1)＝log2－log2＝log2，①當(dāng)1<a≤4時(shí)，1<x<a，則x－1即x2－6x＋a＋4＝0，Δ=36－4(a＋4)＝20－4a>0，此時(shí)x3±，∵1<x<a，此時(shí)方程僅有一解x＝3－.②當(dāng)a>4時(shí)，1<x<4，由x－1得x2－6x＋a＋4＝0，Δ=36－4(a＋4)＝20－4a，若4<a<5，則Δ>0，方程有兩解x＝3±；若a＝5時(shí)，則Δ=0，方程有一解x＝3；③由函數(shù)有意義及②知，若a≤1或a>5，原方程無(wú)解.綜合以上討論，當(dāng)1<a≤4時(shí)，方程僅有一解x＝3當(dāng)4<a<5，方程有兩解x＝3±；當(dāng)a＝5時(shí)，方程有一解x＝3；當(dāng)a≤1或a>5時(shí)，原方程無(wú)解.4．在正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1＝3，a＝an－1＋2(n≥2，n∈N*).(1)求a2，a3的值，判斷an與2的大小關(guān)系并證明；(2)求證：|an－2|<|an－1－2|(n≥2)；(3)求證：|a1－2|＋|a2－2|+?+|an－2|<.【解析】(1)a2a3.由題設(shè)，a－4＝an－1－2，(an－2)(an＋2)＝an－1－2.因?yàn)閍n＋2>0，所以an－2與an－1－2同號(hào).又a1－2＝1>0，所以an－2>0(n≥2)，即an>2.(2)證明：由題設(shè)由(1)知，an>2，所以<，因此<，即|an－2|<|an－1－2|(n≥2).(3)證明：由(2)知，|an－2|<|an－1－2|，8因此|an－2|<|a1－2|＝(n≥2).因此|a1－2|＋|a2－2|+?+|an－2|<1＋4＋42+?+4n－15．已知橢圓Gy2＝1，過(guò)點(diǎn)(m,0)作圓x2＋y2＝1的切線l交橢圓G于A，B兩點(diǎn).(1)求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；(2)將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值.3x＋y=λ,3x2＋y2=λ,【解析】(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有兩式相減得3(x1－x2)(x1＋3x＋y=λ,3x2＋y2=λ,=0.由題意，知x1≠x2，所以kAB32).因?yàn)镹(1,3)是弦AB的中點(diǎn)，所以kAB1.所以弦AB所在直線的方程為y－3(x－1)，即x＋y－4＝0.又N(1,3)在橢圓內(nèi)，所以λ>3×12＋32＝12.所以λ的取值范圍是(12，+∞).(2)因?yàn)橄褻D垂直平分弦AB，所以弦CD所在直線的方程為y－3＝x－1，即x－y＋2＝0，將其代入橢圓的方程，整理得4x2＋4x＋4-λ=0.①設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)，弦CD的中點(diǎn)為M(x0，y0)，則x3，x4是方程①的兩個(gè)根.所以x3＋x41，x0＝(x3＋x4)y0＝x0＋2即M.所以點(diǎn)M到直線AB的距離d.所以以弦CD的中點(diǎn)M為圓心且與直線AB相切的圓 x＋1y－39 x＋1y－396、如果方程cos2x－sinx＋a＝0在(0，]上有解，求a的取值范圍.【解析】方法一設(shè)f(x)＝－cos2x＋sinx(x∈(0，]).顯然當(dāng)且僅當(dāng)a屬于f(x)的值域時(shí)，a＝f(x)有解.因?yàn)閒(x)(1－sin2x)＋sinx=(sinx＋)2易求得f(x)的值域?yàn)?－1,1].故a的取值范圍是(－1,1].將方程變?yōu)閠2＋t－1－a＝0.依題意，該方程在(0,1]上有解.設(shè)f(t)＝t2＋t－1－a.其圖象是開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱(chēng)軸t＝－，如圖所示.f(0)<0，因此f(t)＝0f(0)<0，-1－a<0，即-1－a<0，1－a≥0，故a的取值范圍是(－1,1].7、設(shè)函數(shù)f(x)＝cos2x＋sinx＋a－1，已知不等式1≤f(x)≤對(duì)一切x∈R恒成立，求a的取值范圍.f(x)＝cos2x＋sinx＋a－1=1－sin2x＋sinx＋a－1=-(sinx－)2＋a＋.因?yàn)椋?≤sinx≤1，所以當(dāng)sinx＝時(shí)，函數(shù)有最大值f(x)max＝a當(dāng)sinx1時(shí)，函數(shù)有最小值f(x)min＝a－2.因?yàn)?≤f(x)≤對(duì)一切x∈R恒成立，所以f(x)max≤且f(x)min≥1，a－2≥1，即44解得3≤aa－2≥1，所以a的取值范圍是[3,4].8、已知數(shù)列{an}是一個(gè)等差數(shù)列，且a2＝1，a55.(1)求{an}的通項(xiàng)an；(2)求{an}前n項(xiàng)和Sn的最大值.【解析】(1)設(shè){an}的公差為d，由已知條件，解出a1＝3，解出a1＝3，d2.a1＋4d5，所以an＝a1＋(n－1)d2n＋5.(2)Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2.所以n＝2時(shí)，Sn取到最大值4.9、設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A(2,0)，B(0,1)是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線y＝kx(k>0)與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn).(2)求四邊形AEBF面積的最大值.【解析】(1)依題意得橢圓的方程為＋y2＝1，直線AB，EF的方程分別為x＋2y＝2，y＝kx(k>0)．如圖，設(shè)D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(xiàn)(x2，kx2)，其中x1<x2，且x1，x2滿足方程(1＋4k2)x2＝4，故x2x1＝.①由D在AB上知x0＋2kx0＝2，得x0＝2.1＋2k1＋2k71＋4k2化簡(jiǎn)得24k2－25k＋6＝0，解得k＝或k＝.(2)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和①式知，點(diǎn)E，F(xiàn)到AB的距離分別為，又|AB|所以四邊形AEBF的面積為S＝|AB|(h1＋h2)25(1＋4k2)=2(1＋2k)1＋4k2=214k≤2，當(dāng)4k2＝1(k>0)，即當(dāng)k＝時(shí)，上式取等號(hào).所以S的最大值為2.即四邊形AEBF面積的最大值為2.10．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a，b，c.已知c＝2，C=.(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面積.【解析】(1)由余弦定理及已知條件得，a2＋b2－ab＝4，又因?yàn)椤鰽BC的面積等于，所以absinC得ab＝4.ab＝4，ab＝4，(2)由題意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA，當(dāng)cosA＝0時(shí)，A=，B=，ab當(dāng)cosA≠0時(shí)，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，聯(lián)立方程組a2＋b2－ab＝4，聯(lián)立方程組 b＝2a，所以△ABC的面積S＝absinC＝.11．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝1，a2＋a3+?+a10＝144.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；(2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)bn記Sn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，若n≥3時(shí)，有Sn≥m恒成立，求m的最大值.【解析】(1)∵{an}是等差數(shù)列，a1＝1，a2＋a3+?+a10＝144，(2)由(1)知bn1-=1-=3n－23n＋1，33＋b2+?+bn＝13n3∵Sn＋1－Sn>0，∴數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列.當(dāng)n≥3時(shí)，(Sn)min＝S3依題意，得m≤，∴m的最大值為. 12．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0)，離心率為.直線y＝k(x－1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)△AMN的面積為時(shí)，求k的值.【解析】(1)由題意得解得b【解析】(1)由題意得解得b＝.所以橢圓C的方程為1.y＝k(x－1)，(2)由1，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1＋x22k2－41＋2k2x1x21＋2k2所以MN＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2=(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]=2(1＋k2.)(4＋6k2).1＋2k2又因?yàn)辄c(diǎn)A(2,0)到直線y＝k(x－1)的距離1＋k21＋k2所以△AMN的面積為S＝MN·d＝.由解得k=±1.所以，k的值為1或－1.13．設(shè)關(guān)于θ的方程cosθ+sinθ+a＝0在區(qū)間(0,2π)內(nèi)有相異的兩個(gè)實(shí)根α、β.(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)求α+β的值.【解析】(1)原方程可化為sin(θ+)作出函數(shù)y＝sin(x+)(x∈(0,2π))的圖象.由圖知，方程在(0,2π)內(nèi)有相異實(shí)根α,β的充要條件-1＜－＜1， -≠ -≠2，即－2＜a或a＜2.-1，(2)由圖知：當(dāng)a＜2，即－∈2時(shí)，直線y與三角函數(shù)y＝sin(x+)的圖象交于C、-1，D兩點(diǎn)，它們中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以=，所以α+β=.當(dāng)－2＜a即－∈，1時(shí)，直線y與三角函數(shù)y＝sin(x+)的圖象有兩交點(diǎn)A、B，由對(duì)稱(chēng)性知，=，所以α+β=，綜上所述，α+β=或.14．設(shè)有函數(shù)f(x)＝a＋和g(x)＝x＋1，已知x∈[－4,0]時(shí)恒有f(x)≤g(x)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.f(x)≤g(x)，變形得≤x＋1－a，令y1x2－4x，①y2＝x＋1－a.②①變形得(x＋2)2＋y2＝4(y≥0)，即表示以(－2,0)為圓心，2為半徑的圓的上半圓；②表示斜率為，縱截距為1－a的平行直線系.設(shè)與圓相切的直線為AT，AT的直線方程為y＝x＋b(b＞0)，則圓心(－2,0)到AT的距離為d由圖可知，當(dāng)1－a≥6即a≤-5時(shí)，f(x)≤g(x).15.已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)在x1處取得極值，直線y＝m與y＝f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍.【解析】(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)x∈R，有f′(x)>0，∴當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,+∞)；當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)>0，解得x<－或x>，由f′(x)<0，解得－<x<，∴當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-)，(，+∞)；單調(diào)減區(qū)間為(－，).(2)∵f(x)在x1處取得極值，∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x11，x2＝1.由(1)中f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x1處取得極大值f(－1)＝1，在x＝1處取得極小值f(1)3.因?yàn)橹本€y＝m與函數(shù)y＝f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合如圖所示f(x)的圖象可知：m的取值范圍是(－3,1).x＋2y－5≤0，16.已知實(shí)數(shù)x，x＋2y－5≤0，x＋2y－x＋2y－3≥0，【答案】2【解析】畫(huà)出不等式組則y的最大值為.________xx＋2y－5≤0x＋2y－x＋2y－3≥0，對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域Ω為圖中的四邊形ABCD表示的平面區(qū)域Ω上的點(diǎn)P(x，y)與原點(diǎn)的連線的斜率，顯然OA的斜率最大.17.已知P是直線l：3x＋4y＋8＝0上的動(dòng)點(diǎn)，PA、PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值.【解析】從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看問(wèn)題，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P沿直線3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方無(wú)窮遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)時(shí)，直角三角形PAC的面積SRt△PAC＝PA·AC＝PA越來(lái)越大，從而S四邊形PACB也越來(lái)越大；當(dāng)點(diǎn)P從左上、右下兩個(gè)方向向中間運(yùn)動(dòng)時(shí)，S四邊形PACB變小，顯然，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)一個(gè)最特殊的位置，即CP垂直直線l時(shí)，S四邊形PACB應(yīng)有唯一的最小值，32＋42從而PA2.所以(S四邊形PACB)min＝2××PA×AC＝2.18．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4，且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過(guò)A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M.(1)求拋物線的方程；(2)以M為圓心，MB為半徑作圓M，當(dāng)K(m,0)是x軸上一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，討論直線AK與圓M的位置關(guān)系.【解析】(1)拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線為x由題意得45，所以p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x.(2)由題意知，圓M的圓心為點(diǎn)(0,2)，半徑為2.當(dāng)m＝4時(shí)，直線AK的方程為x＝4，此時(shí)，直線AK與圓M相離；當(dāng)m≠4時(shí)，由(1)知A(4,4)，則直線AK的方程為y＝(x－m)，即4x－(4－m)y－4m＝0，圓心M(0,2)到直線AK的距離16＋（m－4）2d＝16＋（m－4）2令d>2，解得m>1.所以，當(dāng)m>1時(shí)，直線AK與圓M相離；當(dāng)m＝1時(shí)，直線AK與圓M相切；當(dāng)m<1時(shí)，直線AK與圓M相交.19．設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y＝2cos2x－2acosx－(2a＋1)的最小值為f(a)，試確定滿足f(a)＝的a的值，并求此時(shí)函數(shù)的最大值.【解析】令cosx＝t，t∈[－1,1]，則y＝2t2－2at－(2a＋1)=2(t－)22a－1，關(guān)于t的二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是t當(dāng)<－1，即a<－2時(shí)，函數(shù)y在t∈[－1,1]上是單調(diào)遞增，所以f(a)＝f(－1)＝1≠；函數(shù)y在t∈[－1,1]上是單調(diào)遞減，所以f(a)＝f(1)4a＋1解得a這與a>2矛盾；當(dāng)－1≤≤1，即－2≤a≤2時(shí)，f(a)2a－1＋4a＋3＝0，解得a1或a3，因?yàn)椋?≤a≤2，所以a1.所以y＝2t2＋2t＋1，t∈[－1,1]，所以當(dāng)t＝1時(shí)，函數(shù)取得最大值ymax＝2＋2＋1＝5.20．已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝(x－a).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)g(a)為f(x)在區(qū)間[0,2]上的最小值.①寫(xiě)出g(a)的表達(dá)式；②求a的取值范圍，使得－6≤g(a)≤-2.【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)閇0，+∞)，f′(x)(x>0).若a≤0，則f′(x)>0，f(x)有單調(diào)遞增區(qū)間[0，+∞).若a>0，令f′(x)＝0，得x當(dāng)0<x<時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x>時(shí)，f′(x)>0.f(x)有單調(diào)遞減區(qū)間[0，]，有單調(diào)遞增區(qū)間(，+∞).(2)①由(1)知，若a≤0，f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增，所以g(a)＝f(0)＝0.若0<a<6，f(x)在[0，]上單調(diào)遞減，在(，2]上單調(diào)遞增，所以g(a)＝f().若a≥6，f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減，所以g(a)＝f(2)＝(2－a). 22－a，a≥6.綜上所述，g(a)0<22－a，a≥6.②令－6≤g(a)≤-2.若a≤0，無(wú)解.若0<a<6，解得3≤a<6.若a≥6，解得6≤a≤2＋3.故a的取值范圍為3≤a≤2＋3.21.設(shè)F1、F2為橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，已知P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且PF1＞PF2，求的值.【解析】若∠PF2F1＝90°,則PF＝PF2＋F1F2，又∵PF1＋PF2＝6，F(xiàn)1F2＝2，解得PF1PF2∴＝.若∠F1PF2＝90°,則F1F2＝PF＋PF2，∴PF＋(6－PF1)2＝20，∴＝2.綜上知或2.22.已知函數(shù)f(x)x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]上有最大值2，求a的值.【解析】函數(shù)f(x)x2＋2ax＋1－a=-(x－a)2＋a2－a＋1，對(duì)稱(chēng)軸方程為x＝a.(1)當(dāng)a<0時(shí)，f(x)max＝f(0)＝1－a，(2)當(dāng)0≤a≤1時(shí)，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，(3)當(dāng)a>1時(shí)，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2.綜上可知，a1或a＝2.【解析】∵A＝{04}，B=A，于是可分為以下幾種情況.(1)當(dāng)A＝B時(shí)，B＝{04}，∴由根與系數(shù)的關(guān)系，得-2a＋∴由根與系數(shù)的關(guān)系，得a2－1＝0，(2)當(dāng)BA時(shí)，又可分為兩種情況.①當(dāng)B≠?時(shí)，即B＝{0}或B＝{－4}，當(dāng)x＝0時(shí)，有a=±1；當(dāng)x4時(shí)，有a＝7或a＝1.又由Δ=4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a1，此時(shí)B＝{0}滿足條件；②當(dāng)B=?時(shí)，Δ=4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.綜合(1)(2)知，所求實(shí)數(shù)a的取值為a≤-1或a＝1.24．f(x)＝x3－x，x1，x2∈[－1,1]時(shí)，求證：f|(x1)－f(x2)|≤.【證明】∵f′(x)＝x2－1，當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f′(x)≤0，∴f(x)在[－1,1]上遞減.故f(x)在[－1,1]上的最大值為f(－1)最小值為f(1)即f(x)在[－1,1]上的值域?yàn)閇].所以x1，x2∈[－1,1]時(shí)，f|(x1)|≤，f|(x2)|≤，即有f|(x1)－f(x2)|≤f|(x1)|＋f|(x2)|≤.即f|(x1)－f(x2)|≤.25．已知函數(shù)f(x)＝elnx，g(x)＝(x)－(x＋1)．(e＝2.718……)(1)求函數(shù)g(x)的極大值；(2)求證：1＋＋+?+>ln(n＋1)(n∈N*).(1)【解析】∵g(x)＝(x)－(x＋1)＝lnx－(x＋1)，∴g′(x)1(x>0).令g′(x)>0，解得0<x<1；令g′(x)<0，解得x>1.∴函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，+∞)上單調(diào)遞減，∴g(x)極大值＝g(1)2.(2)證明由(1)知x＝1是函數(shù)g(x)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，∴g(x)≤g(1)2，即lnx－(x＋1)≤-2?lnx≤x－1(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)等號(hào)成立)，令t＝x－1，得t≥ln(t＋1)，t>－1，則n>ln n＋1∴1>ln2，>ln，>ln，?,>lnn， n＋1疊加得1+?+>ln(2···…·)＝ln(n＋1).即1+?+>ln(n＋1).26.已知集合A＝{x∈R|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x∈R|x<0}，若A∩B≠?,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】設(shè)全集U＝{m|Δ=(－4m)2－4(2m＋6)≥0}，即U＝{m|m≤-1或m≥}.若方程x2－4mx＋2m＋6＝0的兩根x1，x2均為非負(fù)，x1x2＝2m＋6≥0x1x2＝2m＋6≥0所以，使A∩B≠?的實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|≤-1}.27．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足an＝1－2Sn.(1)求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列；(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝logx，bn＝f(a1)＋f(a2)+?+f(an)，求Tn＝＋＋+?+.【解析】(1)證明：∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足an＝1－2Sn.∴a1＝1－2a1，解得a1＝.n≥2時(shí)，an－1＝1－2Sn－1，可得an－an－12an.∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列.(2)由(1)可知an＝3n，則f(an)＝logan＝n.n＝1＋2+?+n＝.1-1-b1b2b3…bn=22＋=2n＋128.在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AD＝AB＝2，AA1＝1，E為D1C1的中點(diǎn)，如圖所示.(1)在所給圖中畫(huà)出平面ABD1與平面B1EC的交線(不必說(shuō)明理由)；(2)證明：BD1∥平面B1EC；(3)求平面ABD1與平面B1EC所成銳二面角的余弦值.【解析】(1)連接BC1交B1C于M，連接ME，則直線ME即為平面ABD1與平面B1EC的交線，如圖所示.(2)證明：在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，DA，DC，DD1兩兩垂直，于是以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.因?yàn)锳D＝AB＝2，AA1＝1，所以D(0,0,0)，A(2,0,0)，D1(0,0,1)，B(2,2,0)，B1(2,2,1)，C(0,2,0)，E(0,1,1).所以＝(－22,1)(2,0,1)(01,1)，設(shè)平面B1EC的法向量為m＝(x，y，z)，則即y＝z，得到平面B1EC的一個(gè)法向量為m＝(－1,2,2)，而·m＝2－4＋2＝0，所以⊥m.又因?yàn)锽D1?平面B1EC，所以∥平面B1EC．所以BD1∥平面B1EC.(3)由(2)知＝(02,0)(－22,1)，設(shè)平面ABD1的法向量為n＝(x1，y1，z1)，-2y1＝0，則即不妨令-2y1＝0，-2x1－2y1＋z1＝0，得到平面ABD1的一個(gè)法向量為n＝(1,0,2)，m·n－1＋4m·n－1＋4所以平面ABD1與平面B1EC所成銳二面角的余弦值為.529．在