歷年高考數(shù)學(xué)（理）知識(shí)清單-專題20 坐標(biāo)系與參數(shù)方程（原卷+解析版）

專練 θ-π1．已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=2，ρ2－2ρcos4 θ-π(1)把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)求經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程.2．在極坐標(biāo)系下，已知圓O：ρ=cosθ+sinθ和直線l：ρsinθ-＝(ρ≥0，0≤θ<2π).(1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)θ∈(0，π)時(shí)，求直線l與圓O的公共點(diǎn)的極坐標(biāo).3．已知圓C：x2＋y2＝4，直線l：x＋y＝2.以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系.(1)將圓C和直線l的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)P是l上的點(diǎn)，射線OP交圓C于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在OP上且滿足|OQ|·|OP|＝|OR|2，當(dāng)點(diǎn)P在l上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q軌跡的極坐標(biāo)方程.4．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2＝.(1)若以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)若P(x，y)是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求3x＋4y的最大值.5．已知在極坐標(biāo)系中點(diǎn)C的極坐標(biāo)為3(1)求出以點(diǎn)C為圓心，半徑為2的圓的極坐標(biāo)方程(寫出解題過(guò)程)并畫出圖形；(2)在直角坐標(biāo)系中，以圓C所在極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P是圓C上任意一點(diǎn)，Q(5)，M是線段PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡的普通方程.y＝sinα6．在直角坐標(biāo)系中，曲線y＝sinα軸，并取與直角坐標(biāo)系相同的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=cosθ.(1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若P，Q分別是曲線C1和C2上的任意一點(diǎn)，求|PQ|的最小值.7．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸，與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度2x＝cosθ,θ-πy＝sinθ單位，建立極坐標(biāo)系．設(shè)曲線C的參數(shù)方程為x＝cosθ,θ-πy＝sinθ2.(1)寫出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)求曲線C上的點(diǎn)到直線l的最大距離.8．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，直線l過(guò)點(diǎn)P(1，1)，且傾斜角α=.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ.(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|·|PB|的值.y＝at9．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線y＝at為參數(shù))，曲線C1的方程為ρ(ρ-4sinθ)＝12，定點(diǎn)A(6，0)，點(diǎn)P是曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，Q為AP的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)Q的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；(2)直線l與直線C2交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|≥2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.x2＋tcosα,y＝tsinαx2＋tcosα,y＝tsinα立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ-2cosθ.(1)求曲線C的參數(shù)方程；(2)當(dāng)α=時(shí)，求直線l與曲線C交點(diǎn)的極坐標(biāo).11．在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C：ρsin2θ=2acosx2＋t，θ(a>0)，過(guò)點(diǎn)P(－24)的直線l：y4＋t(t為參數(shù))與曲線C相交于M，N兩點(diǎn).(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值. θ+π1，π12．在極坐標(biāo)系中，已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin4＝1，圓C θ+π1，π半徑為1.(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；(2)求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng).3y2t13．已知直線l：1(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，xy2t曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ.(導(dǎo)學(xué)號(hào)55460152)(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(5，)，直線l與曲線C的交點(diǎn)為A，B，求|MA|·|MB|的值.x＝sinα+cosα,y＝1＋sinx＝sinα+cosα,y＝1＋sin2α θ+πx軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin4曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ= θ-3π2acos4(a>0)．( θ-3π(1)求直線l與曲線C1的交點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ,θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)；(2)若直線l與C2相切，求a的值.建立極坐標(biāo)系，且兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.(1)把曲線C1和C2的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)C1與x，y軸交于M，N兩點(diǎn)，且線段MN的中點(diǎn)為P，若射線OP與C1，C2交于P，Q兩點(diǎn)，求P，Q兩點(diǎn)間的距離.16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ,θ∈[0，2π).y3t＋2(2)在曲線C上求一點(diǎn)D，使它到直線l：x＝t(t為參數(shù)，t∈R)的距離最短，并求出點(diǎn)y3t＋2角坐標(biāo).y＝y(tǒng)＝tsinα(t為參數(shù))，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ=12，且直線l與曲線C交于P，Q兩點(diǎn).(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程及直線l恒過(guò)的定點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)在(1)的條件下，若|AP|·|AQ|＝6，求直線l的普通方程.y＝sinφ18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(y＝sinφ4的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2是圓心為2，半徑為1(1)求曲線C1的普通方程，C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)M為曲線C1上的點(diǎn)，N為曲線C2上的點(diǎn)，求|MN|的取值范圍19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓x5＋cost，y＝3＋six5＋cost，y＝3＋sint θ+π系中，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos4＝－ θ+π(1)求圓C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線l與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是圓C上任意一點(diǎn)，求A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)和△PAB面積的最小值.20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ,θ∈[0，2π).(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；x＝t(2)x＝t(2)在曲線C上求一點(diǎn)D，使它到直線l：(t為參數(shù))的距離最短，并求出點(diǎn)D的直角坐標(biāo).y＝sinα21．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1y＝sinα θ+π半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin4＝4 θ+π(1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)P為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到曲線C2上點(diǎn)的距離的最小值. y＝tsinα y＝tsinα坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是ρcos2θ-4sinθ=0.(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)已知點(diǎn)P(1,0)．若點(diǎn)M的極坐標(biāo)為2，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M且與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為Q，求|PQ|y＝1＋t23．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1過(guò)點(diǎn)P(a,1)y＝1＋tO為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ+4cosθ-ρ=0.(1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)已知曲線C1與曲線C2交于A，B兩點(diǎn)，且|PA|＝2|PB|，求實(shí)數(shù)a的值.y＝5＋3sint24．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為y＝5＋3sint極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ.(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若A，B分別為曲線C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)AB取最小值時(shí)△AOB的面積.高考押題專練 θ-π1．已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=2，ρ2－2ρcos4 θ-π(1)把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)求經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程.【解析】(1)由ρ=2知ρ2＝4，故圓O1的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4. θ-πcosθcosπ+sinθsinπ因?yàn)棣?－2ρcos θ-πcosθcosπ+sinθsinπ故圓O2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x－2y－2＝0.(2)將兩圓的直角坐標(biāo)方程相減，得經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線方程為x＋y＝1.化為極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ=1， θ+π θ+π2．在極坐標(biāo)系下，已知圓O：ρ=cosθ+sinθ和直線l：ρsinθ-＝(ρ≥0，0≤θ<2π).(1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)θ∈(0，π)時(shí)，求直線l與圓O的公共點(diǎn)的極坐標(biāo).【解析】(1)圓O：ρ=cosθ+sinθ,即ρ2=ρcosθ+ρsinθ,故圓O的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－x－y＝0. θ-π直線l：ρsin4＝2，即ρsinθ-ρcosθ θ-π則直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋1＝0.(2)由(1)知圓O與直線l的直角坐標(biāo)方程，將兩方程聯(lián)立得，x－y＋1＝0y＝1，即圓O與直線l在直角坐標(biāo)系下的公共點(diǎn)為(0，1)，將(0，1)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)為23．已知圓C：x2＋y2＝4，直線l：x＋y＝2.以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系.7(1)將圓C和直線l的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)P是l上的點(diǎn)，射線OP交圓C于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在OP上且滿足|OQ|·|OP|＝|OR|2，當(dāng)點(diǎn)P在l上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q軌跡的極坐標(biāo)方程.【解析】(1)將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入圓C和直線l的直角坐標(biāo)方程，得其極坐標(biāo)方程分別為C：ρ=2，l：ρ(cosθ+sinθ)＝2.(2)設(shè)P，Q，R的極坐標(biāo)分別為(ρ1，θ)，(ρ,θ)，(ρ2，θ)，則由|OQ|·|OP|＝|OR|2，得ρρ1=ρ2.cosθ+sinθcosθ+sinθ所以2ρ=4，cosθ+sinθ故點(diǎn)Q軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ=2(cosθ+sinθ)(ρ≠0).4．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2＝.(1)若以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)若P(x，y)是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求3x＋4y的最大值.4ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=36，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為1.3x＋4y＝9cosθ+8sinθ=sin(θ+φ).∴當(dāng)sin(θ+φ)＝1時(shí)，3x＋4y取得最大值，最大值為.5．已知在極坐標(biāo)系中點(diǎn)C的極坐標(biāo)為3(1)求出以點(diǎn)C為圓心，半徑為2的圓的極坐標(biāo)方程(寫出解題過(guò)程)并畫出圖形；(2)在直角坐標(biāo)系中，以圓C所在極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P是圓C上任意一點(diǎn)，Q(5)，M是線段PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡的普通方程.【解析】(1)如圖，設(shè)圓C上任意一點(diǎn)A(ρ,θ)，則∠AOC=θ-或-θ.8== θ-π由余弦定理得，AC2＝OA2＋OC2－2OA·OC θ-π θ-π即4+ρ2－4ρcos θ-π θ-π∴圓C的極坐標(biāo)方程ρ=4cos θ-π(2)在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，)，可設(shè)圓C上任意一點(diǎn)P(1＋2cosα,＋2sinα)，又令M(x，y)，∵Q(5)，M是線段PQ的中點(diǎn).x=,2y=,x=,2y=,∴M的參數(shù)方程為2sinα2yy＝sinα∴點(diǎn)M的軌跡的普通方程為(x－3)2＋y2＝1.y＝sinα6．在直角坐標(biāo)系中，曲線Cy＝sinα軸，并取與直角坐標(biāo)系相同的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=cosθ.(1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若P，Q分別是曲線C1和C2上的任意一點(diǎn)，求|PQ|的最小值. x－121【解析】(1)∵ρ=cosθ,∴x2＋y2＝x，即2 x－121(2)設(shè)P(2cosα,sinα)，易知C2，0，2cosα-2+（sinα)2=4cos2α-2cosα+＋2sin2α=2cos2α-2cosα+，當(dāng)cosα=時(shí)，|PC2|取得最小值，227．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸，與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度y＝sinθ2.(1)寫出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)求曲線C上的點(diǎn)到直線l的最大距離. θ-π【解析】(1)由ρcos4＝2，得ρ(cosθ+sinθ)＝4，∴直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y－4 θ-πx＝cosθ,y＝sinθ得C的普通方程為＋y2＝1.(2)在曲線C：＋y2＝1上任取一點(diǎn)P(cosθ,sinθ)，則點(diǎn)P到直線l的距離為d＝|cosθ+sinθ-4|=|2sind＝|cosθ+sinθ-4|∴曲線C上的點(diǎn)到直線l的最大距離為3. θ-π(θ為參數(shù))，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos θ-π8．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，直線l過(guò)點(diǎn)P(1，1)，且傾斜角α=.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ.(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|·|PB|的值.【解析】(1)∵ρ=4sinθ,∴ρ2＝4ρsinθ,則x2＋y2－4y＝0，即圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4y＝0.(2)由題意，得直線l的參數(shù)方程為 y＝1＋2t(y＝1＋2t將該方程代入圓C的方程x2＋y2－4y＝0，得2＋2－y＝at9．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線y＝at為參數(shù))，曲線C1的方程為ρ(ρ-4sinθ)＝12，定點(diǎn)A(6，0)，點(diǎn)P是曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，Q為AP的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)Q的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；(2)直線l與直線C2交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|≥2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)根據(jù)題意得，曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4y＝12，設(shè)點(diǎn)P(x′，y′)，Q(x，y)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得代入得點(diǎn)Q的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程為(x－3)2＋(y－1)2＝4，(2)直線l的直角坐標(biāo)方程為y＝ax，根據(jù)題意，得圓心(3，1)到直線的距離d≤＝1，即|3a－1| a2|3a－1| a2＋1 ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為0，.x2＋tcosα,y＝tsinαx2＋tcosα,y＝tsinα立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ-2cosθ.(1)求曲線C的參數(shù)方程；(2)當(dāng)α=時(shí)，求直線l與曲線C交點(diǎn)的極坐標(biāo).【解析】(1)由ρ=2sinθ-2cosθ,可得ρ2＝2ρsinθ-2ρcosθ.所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝2y－2x，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝2.曲線C的參數(shù)方程為x1＋cosφx1＋cosφ,y＝1＋sinφ(2)當(dāng)α=時(shí)，直線l的方程為x2＋t，化成普通方程為y＝2x2＋y2＝2y－2x，y＝x＋2，y＝2y＝0.π所以直線l與曲線C交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為2，2y＝2y＝0.π11．在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C：ρsin2θ=2acosx2＋t，θ(a>0)，過(guò)點(diǎn)P(－24)的直線l：(t為參數(shù))與曲線C相交于M，N兩點(diǎn).y4＋2t(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值.【解析】(1)把,代入ρsin2θ=2acosθ,得y2＝2ax(a>0)，x2＋2t，由y4＋t(t為參數(shù))，消去t得x－y－x2＋2t，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程分別是y2＝2ax(a>0)，x－y－2＝0.x2＋t，y4＋t(2)將(t為參數(shù))代入y2＝y(tǒng)4＋t整理得t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0.設(shè)t1，t2是該方程的兩根，∴8(4＋a)2－4×8(4＋a)＝8(4＋a)， θ+π1，π12．在極坐標(biāo)系中，已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin4＝1，圓C θ+π1，π半徑為1.(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；(2)求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng).【解析】(1)設(shè)O為極點(diǎn)，OD為圓C的直徑，A(ρ,θ)為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則∠AOD=-θ或∠AOD=θ-， π-θθ-πOA＝ODcos4或 π-θθ-π θ-π∴圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2 θ-π θ+π(2)由ρsin4＝1，得2ρ(sinθ+cos θ+π∴直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y0.又圓心C的直角坐標(biāo)為2，2滿足直線l的方程∴直線l過(guò)圓C的圓心，故直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為直徑2.13．已知直線l：y＝＋t(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ.(導(dǎo)學(xué)號(hào)55460152)(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(5，)，直線l與曲線C的交點(diǎn)為A，B，求|MA|·|MB|的值.【解析】(1)ρ=2cosθ等價(jià)于ρ2＝2ρcosθ.①將ρ2＝x2＋y2，ρcosθ=x代入①即得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0.②(2)將1(t(2)將1(t為參數(shù))代入②式，得t2＋5＋18＝0.設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根分別為t1，t2，則由參數(shù)t的幾何意義即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝1814．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為isα,(α為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， θ+πx軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin4曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ= θ+π θ-3π2acos4(a>0)．( θ-3π(1)求直線l與曲線C1的交點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ,θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)；(2)若直線l與C2相切，求a的值.【解析】(1)曲線C1的普通方程為y＝x2，x∈[]，直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y＝2，x＋y＝2，y＝1y＝4 π 2故直線l與曲線C1的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1，1)，其極坐標(biāo)為，π 2(2)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＋2ax－2ay＝0，即(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a>0).y＝sinφ建立極坐標(biāo)系，且兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.y＝sinφ建立極坐標(biāo)系，且兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.(1)把曲線C1和C2的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)C1與x，y軸交于M，N兩點(diǎn)，且線段MN的中點(diǎn)為P，若射線OP與C1，C2交于P，Q兩點(diǎn)，求P，Q兩點(diǎn)間的距離.【解析】(1)曲線C1化為ρcosθ+ρsinθ=，∴ρsinθ+＝.將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入(*)式，得cos2θ+sin2θ=1，即ρ2(cos2θ+3sin2θ)＝6，∴曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2＝.(2·)∵M(jìn)(，0)，N(0，1)，所以P2，2，∴OP的極坐標(biāo)方程為θ=， θ+π1π把θ=代入ρsin6＝2得ρ1＝1，P θ+π1ππ把θ=代入ρ2＝得ρ2＝2，Q2，6.π∴|PQ|＝|ρ2-ρ1|＝1，即P，Q兩點(diǎn)間的距離為1.16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ,θ∈[0，2π).y3t＋2(2)在曲線C上求一點(diǎn)D，使它到直線l：x＝t(t為參數(shù)，t∈R)的距離最短，并求出點(diǎn)y3t＋2角坐標(biāo).【解析】(1)由ρ=2sinθ,θ∈[0，2π)，可得ρ2＝2ρsinθ.2＋y2，ρsinθ=y，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋(y－1)2＝1.y3t＋2t得直線l的普通方程為yx＋5.(2)∵直線ly3t＋2t得直線l的普通方程為yx＋5.∵曲線C：x2＋(y－1)2＝1是以C(0，1)為圓心，1為半徑的圓，設(shè)點(diǎn)D(x0，y0)，且點(diǎn)D到直線l：y=-x＋5的距離最短，曲線C在點(diǎn)D處的切線與直線l：y＝－x＋5平行，即直線CD與l的斜率的乘積等于－1，即×(－)1.①由①②解得x0或x0-，13∴點(diǎn)D的直角坐標(biāo)為22-，13由于點(diǎn)D到直線yx＋5的距離最短，∴點(diǎn)D的直角坐標(biāo)為2，2.y＝tsinα17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是x＝2＋ty＝tsinα(t為參數(shù))，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ=12，且直線l與曲線C交于P，Q兩點(diǎn).(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程及直線l恒過(guò)的定點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)在(1)的條件下，若|AP|·|AQ|＝6，求直線l的普通方程.【解析】(1)∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴C的直角坐標(biāo)方程為x2＋2y2＝12.直線l恒過(guò)的定點(diǎn)為A(2,0).(2)把直線l的方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程中得，(sin2α+1)t2＋4(cosα)t－8＝0.∵點(diǎn)A在橢圓內(nèi)，這個(gè)方程必有兩個(gè)實(shí)根，1t2∴=6，即sin2α=，∴sinα=，cosα=±，∴直線l的斜率k=±，因此，直線l的方程為y＝(x－2)或y(x－2).18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為φ,(φ為參數(shù))，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸π的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2是圓心為3，2，半徑為1的圓.π(1)求曲線C1的普通方程，C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)M為曲線C1上的點(diǎn)，N為曲線C2上的點(diǎn)，求|MN|的取值范圍.【解析】(1)消去參數(shù)φ可得C1的普通方程為＋y2＝1.由題可知，曲線C2的圓心的直角坐標(biāo)為(0,3)，∴C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋(y－3)2＝1.(2)設(shè)M(2cosφ,sinφ)，曲線C2的圓心為C2，則|MC2|＝(2cosφ)2＋(sinφ-3)2==-3(sinφ+1)2＋16.∵-1≤sinφ≤1，∴|MC2|min＝2，|MC2|max＝4.根據(jù)題意可得|MN|min＝2－1＝1，|MN|max＝4＋1＝5，即|MN|的取值范圍是[1,5].x5＋cost，y＝x5＋cost，y＝3＋sint(t為參數(shù))，在以原點(diǎn)O為極 θ+π點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos4＝－ θ+π(1)求圓C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線l與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是圓C上任意一點(diǎn)，求A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)和△PAB面積的最小值.【解析】(1)由 θ+πx5【解析】(1)由 θ+πy＝3＋sint，消去參數(shù)t，得圓C的普通方程為(x＋5)2＋(y－3)2＝2.由ρcos4得ρcosθ-ρsinθ=-2，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋2＝0.(2)直線l與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為A(－2,0)，B(0,2)，化為極坐標(biāo)為A(2，π)，B2.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－5＋cost,3＋sint)，則點(diǎn)P到直線l的距離為22d＝|－5＋cost－3－sint＋2|＝|－6＋2cost+|，22所以dmin2.又|AB|＝2，所以△PAB面積的最小值是Smin＝×2×2＝4.20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ,θ∈[0，2π).(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；x＝t(2)x＝t(2)在曲線C上求一點(diǎn)D，使它到直線l：(t為參數(shù))的距離最短，并求出點(diǎn)D的直角坐標(biāo).【解析】(1)由ρ=2sinθ,θ∈[0,2π)，可得ρ2＝2ρsinθ.因?yàn)棣?＝x2＋y2，ρsinθ=y，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋(y－1)2＝1.y3t＋2(2)y3t＋2消去t得直線l的普通方程為yx＋5.因?yàn)榍€C：x2＋(y－1)2＝1是以G(0,1)為圓心、1為半徑的圓，(易知C，l相離)設(shè)點(diǎn)D(x0，y0)，且點(diǎn)D到直線l：yx＋5的距離最短，所以曲線C在點(diǎn)D處的切線與直線l：yx＋5平行.即直線GD與l的斜率的乘積等于－1，即×(－)1，又x＋(y0－1)2＝1，可得x0(舍去)或x0所以y0 即點(diǎn)D的直角坐標(biāo)為2 y＝y(tǒng)＝sinα(α為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正 θ+π半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin4＝4 θ+π(1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)P為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到曲線C2上點(diǎn)的距離的最小值.【解析】(1)由曲線C1： x＝cosα,y＝sinα得曲線C1的普通方程為＋y2＝1.由曲線C2：ρsinθ+＝4得，ρ(sinθ+cosθ)＝4，即曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x＋y－8＝0.(2)易知橢圓C1與直線C2無(wú)公共點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)P(cosα,sinα)到直線x＋y－8＝0的距離為d＝=，其中φ是銳角且tanφ=.所以當(dāng)sin(α+φ)＝1時(shí)，d取得最小值. y＝tsinα坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是ρcos2θ-4sinθ=0.(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)已知點(diǎn)P(1,0)．若點(diǎn)M的極坐標(biāo)為2，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M且與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為Q，求|PQ|【解析】(1)∵直線l的參數(shù)方程為y＝tsinα∴直線l【解析】(1)∵直線l的參數(shù)方程為(t