數值分析第五版4-6章

數值分析第5版李慶揚王能超易大義編清華大學出版社2024/3/221第4章數值微分與數值積分第4章數值積分與數值微分數值積分概念牛頓-柯特斯公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分2024/3/222第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分4.1數值積分概論

在實際問題及科學計算中經常需要計算定積分。如計算河道的過流斷面面積，用有限單元法求解偏微分方程組等。按牛頓-萊布尼茲（Newton-Leibniz）公式1基本思想似乎只要求出的原函數F就可計算出定積分。的確若原函數便于計算又較為簡單，上式就提供了計算定積分的一種快捷方法。但有時原函數會過于復雜，如2024/3/223第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分

或是在初等函數范圍內不存在，如定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積，計算的難點在于有一條邊是曲的。由積分中值定理

都會給Newton-Leibniz公式的使用帶來困難；另外有些問題中的函數是以數據表的形式給出的，此時Newton-Leibniz公式也不能直接運用。因此有必要討論定積分的數值計算問題，利用數值求積方法算出滿足一定精度要求的定積分的近似值。

困難在于一般難以確定，從而難以準確地計算出。但可以對平均高度提供一種算法，相應地建立一種數值求積公式。2024/3/224第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分2024/3/225第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分

數值求積方法是求定積分的近似方法。為保證求積公式的精度，當然希望它對盡可能多的被積函數是準確成立的?？梢则炞C中點公式與梯形公式對所有次數不超過一次的多項式是準確成立的。但對二次多項式就不準確成立；同樣Simpson公式對所有次數不超過三次的多項式是準確成立的，但對四次多項式就不準確成立。對某個求積公式而言能準確成立的多項式次數越高，就意味著該求積公式越精確。這就引出了代數精度的概念。2代數精度2024/3/226第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分定義4.1若求積公式對所有次數不超過m次的多項式都能準確成立，而對m+1次多項式就不準確成立，則稱該求積公式具有m次代數精度。

上述定義可等價地敘述為若求積公式對都能準確成立，而對不準確成立，則稱該求積公式具有m次代數精度。

可以驗證，中點公式與梯形公式均具有一次代數度，而Simpson公式具有三次代數精度。2024/3/227第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分

若求積節(jié)點及求積系數都待定，取m=2n+1，則*式為具有2n+2個方程，2n+2個未知量的非線性方程組，我們將在第5節(jié)中討論這一問題。

若給定求積節(jié)點，如以等分積分區(qū)間的等距點作為節(jié)點，令m=n，則可求解線性方程組*式，得求積系數，代入求積公式即可。不過這樣做需要解n+1元線性方程組，極為不便。為避免解線性方程組，可用f在節(jié)點xi上的函數值作插值多項式，以插值多項式近似代替f作定積分，可得相同的結果。相應的求積公式就是插值型求積公式。2024/3/228第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分3插值型求積公式2024/3/229第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分2024/3/2210第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分4.2Newton-Cotes公式1Cotes系數2024/3/2211第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分2024/3/2212第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分2024/3/2213第4章數值微分與數值積分2Newton-Cotes公式的余項概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分2024/3/2214第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分2024/3/2215第4章數值微分與數值積分3Newton-Cotes公式的收斂性及穩(wěn)定性概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分2024/3/2216第4章數值微分與數值積分當n≥8時，Cotes系數出現負值，求積系數也相應出現負值，可能會引起不穩(wěn)定，故n≥8的N-C公式是不用的

。概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分2024/3/2217第4章數值微分與數值積分4偶數階求積公式的代數精度由定理1知n階的Newton-Cotes公式至少具有n次代數精度，那么是否存在超過n次的情形呢？

先來看n=1的情形，此時為梯形公式，它正好具有一次代數精度。再來看n=2的情形，此時為Simpson公式，作為二階Newton-Cotes公式，它至少具有二次代數精度，那么是否具有三次代數精度呢？概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分2024/3/2218第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分定理3當n為偶數時，Newton-Cotes公式至少具有n+1次代數精度。定理3表明選用偶數階的Newton-Cotes公式是有益的，如n=2的Simpson公式及n=4的Cotes公式為常用的Newton-Cotes公式。2024/3/2219第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分2024/3/2220第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分

盡管例1表明對于低階Newton-Cotes公式，隨著階數的增加，準確性越來越好。但由于高階Newton-Cotes公式是不穩(wěn)定的，所以無法通過不斷提高階數的方法來提高求積精度。為了進一步提高精度，通常是采用復合求積的方法。它的思想與第2章中分段插值是類似的。先將積分區(qū)間分為若干個子區(qū)間，再在每個子區(qū)間上用低階求積公式，利用積分關于區(qū)間的可加性，即可得相應的復合求積公式。

4.3復合求積公式2024/3/2221第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分1復合梯形公式2024/3/2222第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分2024/3/2223第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分2復合Simpson公式2024/3/2224第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分3復合Cotes公式2024/3/2225第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分

三種方法都需要調用九個節(jié)點上的函數值，它們的計算量基本相同，但結果的精度差別較大。與精確值比較，復合梯形公式結果只有兩位有效數字，而復合Simpson公式與復合Cotes公式的結果分別有七位和六位有效數字。

2024/3/2226第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分4.4Romberg求積公式1梯形公式的步長逐次分半法

實際計算時，不斷二分求積區(qū)間，由上式計算出一系列復合梯形公式的結果，直到滿足精度要求為止。2024/3/2227第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分例3用梯形公式的步長逐次分半法計算積分，要求有八位有效數字。

用復合梯形公式計算積分要達到八位有效數字的精度要求，需要二分區(qū)間11次，即2048等分區(qū)間，共有2049個節(jié)點，計算過程中盡管利用了遞推公式，但計算量仍然很大。

2024/3/2228第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分2Romberg求積公式

由例3可見復合梯形公式序列的收斂速度較慢，下面討論如何由收斂緩慢的序列加工成收斂迅速的序列。

2024/3/2229第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分表明將二分前后兩個復合梯形公式的結果作適當的線性組合可得復合Simpson公式的結果。復合梯形公式與復合Simpson公式的誤差分別是h2及h4階的，這就將收斂速度慢的復合梯形公式序列加工成了收斂速度快的復合Simpson公式序列。2024/3/2230第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分

運用上述公式可將收斂速度緩慢的梯形值序列加速成收斂速度越來越快的Simpson值序列、Cotes值序列和Romberg值序列，這種方法稱為Romberg算法，其加速過程如下表所示，其中i表示二分次數。

2024/3/2231第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分例4用Romberg算法加工表中的梯形值。解：僅取i等于0到4的梯形值，按Romberg公式計算結果見表。上表說明用二分4次(17個求積節(jié)點)精度只有1到3位有效數字的數據，經過三次加速得到了具有8位有效數字的結果，而在例3中要求達到這一精度需要二分11次，有2049個求積節(jié)點?？梢奟omberg算法的加速效果是極為顯著的。2024/3/2232第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分3Richardson外推法

Romberg算法的加速過程還可以繼續(xù)下去，其理論依據是復合梯形公式余項的展開定理。

2024/3/2233第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分2024/3/2234第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分4.5Gauss求積公式1Gauss求積公式基本理論

Newton-Cotes公式用積分區(qū)間的等分點作為求積節(jié)點，待定的只有求積系數，方法簡單，但同時也限制了精度。在求積節(jié)點數目不變的情況下，希望通過同時適當選擇求積節(jié)點位置和求積系數，使求積公式具有更高的代數精度。

例5構造如下形式的求積公式2024/3/2235第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分2024/3/2236第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分若事先固定xi為區(qū)間的等距節(jié)點，并使其代數精度盡可能地高，來確定求積系數Ai，這就是Newton-Cotes公式，其代數精度至少為n次。但若視它含有2n+2個待定系數xi，

Ai，適當選取這些系數可望達到2n+1次代數精度，這類求積公式稱為高斯(Gauss)求積公式。更一般地，可以考慮帶權函數的求積公式

一般地，考慮求積公式2024/3/2237第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分2024/3/2238第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分2024/3/2239第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分2024/3/2240第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分2Gauss-Legendre求積公式

Legendre多項式是區(qū)間[-1,1]上帶權函數ρ=1的正交多項式，從而n+1次Legendre多項式的零點就是求積公式的Gauss點。一旦確定了Gauss點，則求積系數就歸結為n+1元線性方程組的解。該求積公式稱為高斯-勒讓德(Gauss-Legendre)求積公式。2024/3/2241第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分2024/3/2242第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分2024/3/2243第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分2024/3/2244第4章數值微分與數值積分概論N-C公式復合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分