【數(shù)學(xué)】函數(shù)的最大（?。┲嫡n件-2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

我們把a(bǔ)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn)，

f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值；b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn)，

f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.極值點(diǎn)與極值的定義：極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值(extremum).函數(shù)最大值和最小值是如何定義的？一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M

那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值.

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮

，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≥m;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=m那么，稱m是函數(shù)y=f(x)的最小值

.

一般地，如果在閉區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)曲線,它必有最大值和最小值.5.3.2

函數(shù)的最大（?。┲禈O值是一個(gè)局部概念，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值比它附近點(diǎn)的函數(shù)值大或小，并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)最大或最小.

問題1：函數(shù)的最值一定在極值點(diǎn)取得嗎？f(x)max=f(a)f(x)min=f(x3)不一定，最大(小)值可能在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)取得.閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)必有最大(小)值.問題2：函數(shù)在區(qū)間I上一定有最大值和最小值嗎？若開區(qū)間(a,b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)有最值，則該最值必在極值點(diǎn)處取得.且最值在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)取得.若開區(qū)間(a,b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)不一定有最值，如y=lnx例1例1解：x0(0,2)2(2,3)3f′(x)f(x)xyO423求f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下：①求函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；②求函數(shù)f(x)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b)；③將函數(shù)f(x)在各極值與f(a),f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．除點(diǎn)(1,0)外，曲線C1：在y軸右側(cè)的部分位于曲線C2：y=lnx的下方.怎么證明這個(gè)結(jié)論呢？

證明：所以,當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得最小值.x(0,1)1(1,+∞)f'(x)0f(x)–+單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以,

f(x)≥f(1)=0,即x－lnx－1≥0證明：將不等式lnx≤x－1轉(zhuǎn)化為x－lnx－1≥0令

,解得故當(dāng)x>0時(shí),

lnx≤x－1.xyOy=x-1y=lnx除點(diǎn)(1,0)外，曲線C1：y=x-1在y軸右側(cè)的部分位于曲線C2：y=lnx的上方.A若開區(qū)間(a,b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)有最值，則該最值必在極值點(diǎn)處取得.

x(－∞,－2)－2(－2,+∞)f'(x)0f(x)

因?yàn)閒'(x)=(x+1)'ex+(x+1)(ex)'=ex+(x+1)ex=(x+2)ex–+單調(diào)遞減單調(diào)遞增

xyO1-1-2???

解：xyO1-1-2???

問題

飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤的影響(1)你是否注意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？你想從數(shù)學(xué)上知道它的道理嗎？(2)是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤越大？

解：

換一個(gè)角度：如果我們不用導(dǎo)數(shù)工具，直接從函數(shù)f(r)