河南省開封市古莊中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

河南省開封市古莊中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（

）

參考答案：B2.已知函數(shù)在區(qū)間(1,2)上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.參考答案：A【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，將問題轉(zhuǎn)化成在恒成立，從而求出的取值范圍．【詳解】∵，∴．∵在區(qū)間上是減函數(shù)，∴在上恒成立，即上恒成立．∵，∵，∴．∴實數(shù)的取值范圍為．故選A．【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及一元二次不等式的解法，是高考中的熱點問題，解題的關(guān)鍵是將函數(shù)在給定區(qū)間上是減函數(shù)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)小于等于零恒成立，屬于基礎(chǔ)題．3.如圖,這是一個正六邊形的序列,則第個圖形的邊數(shù)為（

）.

A.

5n-1

B.6n

C.5n+1

D.4n參考答案：C略4.數(shù)列{an}滿足an=4an﹣1+3且a1=0，則此數(shù)列第4項是（）A．15 B．16 C．63 D．255參考答案：C【考點】梅涅勞斯定理；數(shù)列遞推式．【專題】計算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】根據(jù)an=4an﹣1+3，把a(bǔ)1=0代入求出a2，進(jìn)而求出a3，a4，即可確定出第4項．【解答】解：把a(bǔ)1=0代入得：a2=4a1+3=3，把a(bǔ)2=3代入得：a3=4a2+3=12+3=15，把a(bǔ)3=15代入得：a4=4a3+3=60+3=63，則此數(shù)列第4項是63，故選：C．【點評】此題考查了梅涅勞斯定理，數(shù)列的遞推式，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．5.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上為增函數(shù)的是（

）A. B.C. D.參考答案：C【分析】根據(jù)初等函數(shù)圖象可排除；利用導(dǎo)數(shù)來判斷選項，可得結(jié)果.【詳解】由函數(shù)圖象可知：選項：；選項：在上單調(diào)遞減，可排除；選項：，因為，所以，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則正確；選項：，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，可排除.本題正確選項：【點睛】本題考查函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)性的判斷，涉及到初等函數(shù)的知識、利用導(dǎo)數(shù)來求解單調(diào)性的問題.6.若實數(shù)x，y滿足不等式組且x+y的最大值為9，則實數(shù)m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2參考答案：C【考點】簡單線性規(guī)劃．

【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，設(shè)z=x+y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線x+y=9過可行域內(nèi)的點A時，從而得到m值即可．【解答】解：先根據(jù)約束條件畫出可行域，設(shè)z=x+y，將最大值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距，當(dāng)直線z=x+y經(jīng)過直線x+y=9與直線2x﹣y﹣3=0的交點A（4，5）時，z最大，將m等價為斜率的倒數(shù)，數(shù)形結(jié)合，將點A的坐標(biāo)代入x﹣my+1=0得m=1，故選C．【點評】本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．目標(biāo)函數(shù)有唯一最優(yōu)解是我們最常見的問題，這類問題一般要分三步：畫出可行域、求出關(guān)鍵點、定出最優(yōu)解．7.某城市有甲、乙、丙3個旅游景點，一位客人游覽這三個景點的概率分別是0.4，0.5，0.6，且此人是否游覽哪個景點互不影響，設(shè)表示客人離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值.則等于（

）A.1.48 B.0.76 C.0.24 D.1參考答案：A【分析】先分析隨機(jī)變量取值有1，3兩種情況，再分別求得概率，列出分布列求期望.【詳解】隨機(jī)變量的取值有1，3兩種情況，表示三個景點都游覽了或都沒有游覽，所以，，所以隨機(jī)變量的分布列為130.760.24

故選：A.【點睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.8.已知4，4，4成等比數(shù)列，則點(x，y)在平面直角坐標(biāo)系中的軌跡為（

）（A）圓的一部分（B）橢圓的一部分（C）雙曲線的一部分（D）拋物線的一部分

參考答案：C9.將正方形沿對角線折成直二面角，有如下四個結(jié)論：①⊥；

②△是等邊三角形；③與平面所成的角為60°；

④與所成的角為60°．其中錯誤的結(jié)論是（

）A．①

B．②

C．③

D．④參考答案：C略10.已知等差數(shù)列的前項和,滿足,則=（）A．-2015 B．-2014 C．-2013 D．-2012參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.曲線C是平面內(nèi)與兩個定點和的距離的積等于常數(shù)（）的點的軌跡。給出下列三個結(jié)論：（1）曲線C過坐標(biāo)原點（2）曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點對稱；（3）若點P在曲線C上，則的面積不大于。其中，所有正確結(jié)論的序號是

。參考答案：（2）（3）略12.以雙曲線的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程為_____．參考答案：【分析】本題首先可以確定雙曲線的焦點、頂點坐標(biāo)，然后通過題意可以確定橢圓的頂點、焦點坐標(biāo)，最后通過橢圓的相關(guān)性質(zhì)即可求橢圓的方程．【詳解】由雙曲線的相關(guān)性質(zhì)可知，雙曲線的焦點為，頂點為，所以橢圓的頂點為，焦點為，因為，所以橢圓的方程為，故答案為．【點睛】本題考查圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)，主要考查橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，正確運用橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)是關(guān)鍵．13.閱讀如圖所示的偽代碼：若輸入x的值為12，則p=

．參考答案：4.9【考點】E6：選擇結(jié)構(gòu)．【分析】由已知中偽代碼，可知該程序的功能是計算并輸出分段函數(shù)p=的函數(shù)值，將x=12代入可得答案．【解答】解：由已知中偽代碼，可知：該程序的功能是計算并輸出分段函數(shù)p=的函數(shù)值，當(dāng)x=12時，p=3.5+0.7（12﹣10）=4.9，故答案為：4.914.已知函數(shù)在區(qū)間（-1,1）上恰有一個極值點，則實數(shù)的取值范圍是

____

．參考答案：略15.若函數(shù)f（x）=x3﹣x在（a，10﹣a2）上有最小值，則a的取值范圍為

．參考答案：[﹣2，1）【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】由題意求導(dǎo)f′（x）=x2﹣1=（x﹣1）（x+1）；從而得到函數(shù)的單調(diào)性，從而可得﹣2≤a＜1＜10﹣a2；從而解得．【解答】解：∵f（x）=x3﹣x，∴f′（x）=x2﹣1=（x﹣1）（x+1）；故f（x）=x3﹣x在（﹣∞，﹣1）上是增函數(shù)，在（﹣1，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；f（x）=x3﹣x=f（1）=﹣；故x=1或x=﹣2；故﹣2≤a＜1＜10﹣a2；解得，﹣2≤a＜1故答案為：[﹣2，1）．16.如圖所示，將數(shù)以斜線作如下分群：（1），（2，3），（4，6，5），（8，12，10，7），（16，24，20，14，9），…并順次稱其為第1群，第2群，第3群，第4群，…。13579…26101418…412202836…824405672…164880112114…

⑴第7群中的第2項是：

；⑵第n群中n個數(shù)的和是：

參考答案：17.圓x2+y2﹣2x+2y=0的周長是．參考答案：考點：圓的一般方程．專題：計算題；直線與圓．分析：由配方法化為標(biāo)準(zhǔn)式，求出圓的半徑，再求周長即可．解答：解：x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2所以圓的半徑為，故周長為2π．故答案為：2π．點評：本題考查圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程，屬基礎(chǔ)知識的考查．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD為等邊三角形，，AB⊥AD，AB∥CD，點M是PC的中點．（I）求證：MB∥平面PAD；（II）求二面角P﹣BC﹣D的余弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取PD中點H，連結(jié)MH，AH．推導(dǎo)出四邊形ABMH為平行四邊形，從而BM∥AH，由此能證明BM∥平面PAD．（Ⅱ）取AD中點O，連結(jié)PO．以O(shè)為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角P﹣BC﹣D的余弦值．【解答】（本小題滿分12分）證明：（Ⅰ）取PD中點H，連結(jié)MH，AH．因為M為中點，所以．因為．所以AB∥HM且AB=HM．所以四邊形ABMH為平行四邊形，所以BM∥AH．因為BM?平面PAD，AH?平面PAD，所以BM∥平面PAD．…..解：（Ⅱ）取AD中點O，連結(jié)PO．因為PA=PD，所以PO⊥AD．因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD．取BC中點K，連結(jié)OK，則OK∥AB．以O(shè)為原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2，則，．平面BCD的法向量，設(shè)平面PBC的法向量，由，得令x=1，則．．由圖可知，二面角P﹣BC﹣D是銳二面角，所以二面角P﹣BC﹣D的余弦值為．…..19.已知函數(shù)f（x）=cos（﹣x）+sin（+x）（x∈R）．（1）求函數(shù)y=f（x）的最大值，并指出此時x的值；（2）若α∈（﹣，）且f（α）=1，求f（2α）的值．參考答案：（1）利用誘導(dǎo)公式、兩角和差的正弦公式，化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值，求得函數(shù)y=f（x）的最大值，并指出此時x的值．（2）由條件求得α的值，結(jié)合函數(shù)的解析式從而求得f（2α）的值．解：（1）函數(shù)f（x）=cos（﹣x）+sin（+x）=sinx+cosx=2sin（x+），故當(dāng)x+=2kπ+時，函數(shù)f（x）取得最大值為2，此時，x=2kπ+，k∈Z．（2）若α∈（﹣，）且f（α）=2sin（α+）=1，即sin（α+）=，∴α=﹣，∴f（2α）=2sin（﹣+）=0．20.設(shè)函數(shù)為實數(shù)。（Ⅰ）已知函數(shù)在處取得極值，求的值；（Ⅱ）已知不等式對任意都成立，求實數(shù)的取值范圍。參考答案：．解:(1)

，由于函數(shù)在時取得極值，所以

即(2)方法一

由題設(shè)知：對任意都成立

即對任意都成立

設(shè),則對任意，為單調(diào)遞增函數(shù)

所以對任意，恒成立的充分必要條件是

即，

于是的取值范圍是方法二

由題設(shè)知：對任意都成立

即對任意都成立

于是對任意都成立，即于是的取值范圍是略21.橢圓()過點，為原點.（1）求橢圓的方程；（2）是否存在圓心在原點，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點、，且？若存在，寫出該圓的方程，并求出的最大值；若不存在，說明理由.

參考答案：解析：

22.已知函數(shù)f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）設(shè)g（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，討論g（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）證明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)有唯一解．參考答案：【考點】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（I）函數(shù)f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），可得g′（x）==，分別解出g′（x）＜0，g′（x）＞0，即可得出單調(diào)性．（II）由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，可得a=x﹣1﹣lnx，代入f（x）可得：u（x）=（1+lnx）2﹣2xlnx，利用函數(shù)零點存在定理可得：存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．【解答】（I）解：函數(shù)f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），∴g′（x）==，當(dāng)0＜x＜1時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)1＜x時，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增．（II）證明：由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，解得a=x﹣1﹣lnx，令u（x）=﹣2xlnx+x2﹣2（x﹣1﹣lnx）x+（x﹣1﹣lnx）2=（1+lnx）2﹣2xlnx，則u（1）=1＞0，u（e）=2（2﹣e）＜0，∴存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），其中v（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），由v′（x）=1﹣≥0，可得：函數(shù)v（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增．∴0=v（1）＜a0=v（x0）＜v（e）=e﹣2＜1，即a0∈（0，1），當(dāng)a=a0時，有f