泛函分析-證明題40個(gè)

PAGEPAGE1泛函分析證明題（40個(gè)）設(shè)是一個(gè)度量空間，，證明：若當(dāng)時(shí)，且，則。設(shè)是兩個(gè)賦范線性空間，是的線性子空間到中的線性算子。證明：若在中某一點(diǎn)處連續(xù)，則在上連續(xù)。設(shè)是H空間上的可列規(guī)范正交系，，令，（），證明：收斂的充要條件是收斂。設(shè)是H空間上的兩個(gè)自伴算子。證明：為自伴算子的充要條件為：。設(shè)是線性空間，是一個(gè)給定的數(shù)，，令，證明：是線性算子。設(shè)，，令，證明：是一個(gè)度量空間。設(shè)是一個(gè)內(nèi)積空間，且，令，證明：，成立設(shè)，是定義在上的二元連續(xù)函數(shù)，，令，證明：是有界線性算子。設(shè)是內(nèi)積空間的一個(gè)規(guī)范正交系，，令。證明：若將展開(kāi)成級(jí)數(shù)（其中是數(shù)）時(shí)，只有當(dāng)時(shí)，取最小值。設(shè)為復(fù)H空間上的有界線性算子。證明：若為自伴算子，那么，，其中為實(shí)數(shù)集。設(shè)，，，令，證明：是可分度量空間。設(shè)，，令，證明：是連續(xù)線性算子。設(shè)是任一維線性空間，證明：與線性同構(gòu)。設(shè)是一個(gè)內(nèi)積空間，證明：，有。設(shè)為復(fù)H空間上的有界線性算子，且，是實(shí)數(shù)，證明：是自伴算子。設(shè)是一個(gè)度量空間，，令，證明：也是上的一個(gè)度量空間。設(shè)，，，且有，證明：存在唯一的，使。設(shè)是內(nèi)積空間的閉線性子空間，且，證明：中必有非零元素。在線性空間中，，令，證明：是一個(gè)賦范線性空間。設(shè)為復(fù)內(nèi)積空間上的有界線性算子，證明：的充要條件是成立。設(shè)是一個(gè)度量空間，是中的兩個(gè)點(diǎn)列，且，（），證明：。設(shè)，，令，證明：是上的線性算子。設(shè)是一個(gè)賦范線性空間，令，證明：若在上連續(xù)，則是一個(gè)閉集。設(shè)是一個(gè)內(nèi)積空間，證明：，若，則。設(shè)為復(fù)H空間上的有界線性算子，證明：為正常算子的充要條件為，成立。設(shè)是一個(gè)度量空間，是中的任一收斂點(diǎn)列，證明：為中的有界點(diǎn)列。設(shè)是度量空間，，且B在A中稠密，證明：以及，，使。設(shè)，，令，證明：是到中的一個(gè)連續(xù)映射。設(shè)是一個(gè)賦范線性空間，，令，證明：是一個(gè)度量空間。設(shè)是復(fù)H空間上的有界線性算子，令，，證明：均為上的自伴算子。設(shè)是一個(gè)度量空間，是中的一個(gè)收斂點(diǎn)列，證明：是一個(gè)柯西點(diǎn)列。在線性空間中，，令，證明：是一個(gè)賦范線性空間。設(shè)是兩個(gè)賦范線性空間，，證明：是有界算子。設(shè)是一個(gè)維內(nèi)積空間，是的一個(gè)正交系，證明：是的一個(gè)線性無(wú)關(guān)子集。設(shè)是復(fù)H空間上的有界線性算子，是的笛卡爾分解，證明：為正常算子的充要條件是。設(shè)是度量空間中的閉集，證明：有一列開(kāi)集滿足，，且有。設(shè)，，令，證明：是線性算子。設(shè)為賦范線性空間的子空間到賦范線性空間中的線性算子，證明：，。設(shè)是實(shí)線性空間，，令，證明：，。設(shè)是H空間上的兩個(gè)酉算子，證明：也是酉算子。34、設(shè)是希爾伯特空間的兩個(gè)酉算子，那么；當(dāng)時(shí)，；是算子；是算子。35、設(shè)是賦范線性空