第四章 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 單元綜合測試卷（解析版）

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)單元綜合測試卷第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)恒過定點（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】指數(shù)函數(shù)（且）過定點，所以，當(dāng)時的值恒為2，即過定點，故選：B2．在對數(shù)式中，實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】要使對數(shù)式有意義，需滿足，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是．故選:D.3．函數(shù)零點個數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】由得：或解得或．因此函數(shù)共有2個零點．故選：B.4．下列命題中正確的是（

）A．命題“，都有”的否定是“，使得”B．函數(shù)的零點有2個C．用二分法求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點近似值，至少經(jīng)過3次二分后精確度達到0.1D．函數(shù)在上只有一個零點，且該零點在區(qū)間上【答案】D【解析】選項A：命題“，都有”的否定是“，使得”，選項A錯誤；選項B：函數(shù)的零點的個數(shù)即與圖象交點的個數(shù)，根據(jù)圖象可知函數(shù)的零點有3個，選項B錯誤；選項C：因為區(qū)間的長度為，次二分后長度為，次二分后長度為，次二分后長度為，次二分后長度為，所以至少需要次二分后，才能使精確度達到，選項C錯誤；選項D：由對數(shù)函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，又，，所以由零點存在性定理可知函數(shù)在上只有一個零點，且該零點在區(qū)間上，選項D正確；故選：D5．計算（）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】因為，，所以.故選：B6．百端待舉、日理萬機中，毛澤東主席仍不忘我國的教育事業(yè).1951年9月底，毛主席在接見安徽參加國慶的代表團時，送給代表團成員----渡江小英雄馬毛姐一本精美的筆記本，并在扉頁上題詞：好好學(xué)習(xí)，天天向上.這8個字的題詞迅速在全國傳播開來，影響并指導(dǎo)著一代代青少年青春向上，不負韶華.他告訴我們：每天進步一點點，持之以恒，收獲不止一點點.把學(xué)生現(xiàn)在的學(xué)習(xí)情況看作1，每天的“進步率”為，那么經(jīng)過一個學(xué)期（看作120天）后的學(xué)習(xí)情況為，如果每天的“遲步率”為，同樣經(jīng)過一個學(xué)期的學(xué)習(xí)情況為.經(jīng)過一個學(xué)期，進步者的學(xué)習(xí)情況是遲步者學(xué)習(xí)情況的倍還多，按上述情況，若“進步”的值是“遲步”的值的100倍，要經(jīng)過的的天數(shù)大約為（保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：）（

）A． B．77 C． D．200【答案】B【解析】依題意，設(shè)要經(jīng)過天，“進步"的值是“遲步”的值的100倍，則，即，則.故選：B.7．已知函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由且，得為單調(diào)遞減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則得，又，解得．故選：C．8．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有且只有2個不同的零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意知函數(shù)，有2個不同的零點；令，得，有2個對應(yīng)的根，根據(jù)判別式法則有與兩種情況：當(dāng)時，即，得，即，解得，即，此時無解，所以此種情況不符題意；當(dāng)時，即，得；設(shè)的實根為：和，不妨設(shè)，則，則方程與一共有兩個不等實根．進一步可知：方程和有且僅有一個方程有兩個不等實根．即和中一個方程有兩不等實根，另一個方程無實根．因為，所以，即，即，則，設(shè)，則，則，所以，解得，，，即．故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知，則下列不等式成立的是（

）A． B． C．> D．【答案】ACD【解析】對于A，因為在上遞減，且，所以，所以A正確，對于B，因為在上單調(diào)遞增，且，所以，所以B錯誤，對于C，因為，，所以，即，所以C正確，對于D，因為，所以，所以D正確，故選：ACD.10．設(shè)指數(shù)函數(shù)，且，則下列等式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】對于A，，，所以，故A正確；對于B，，，所以，故B正確；對于C，，，所以，故C正確；對于D，，，所以，故D錯誤；故選：ABC．11．已知二次函數(shù)有兩個零點，，且，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】的兩個零點，，且，因此，由于，所以恒成立故，對于A，，故A正確，對于B，，故B正確，對于C，，故C正確，對于D，由于二次函數(shù)的開口向下，且對稱軸為，，且因此兩個根，，故D錯誤，故選：ABC12．已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（

）A．若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍是B．若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是C．若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是D．若，則不等式的解集為【答案】AC【解析】對于A：因為的定義域為，所以恒成立，當(dāng)時，顯然不恒成立，故，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是，故A正確；對于B：因為的值域為，所以函數(shù)的值域有子集，當(dāng)時，此時的定義域為，值域為，符合題意；當(dāng)時，解得，綜上可得實數(shù)的取值范圍是，故B錯誤；對于C，因為函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，當(dāng)時，，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)時，，解得；綜上可得，故C正確；對于D，當(dāng)時，，由，即，可得，解得，即不等式的解集為，故D錯誤.故選：AC.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，則大小關(guān)系是.【答案】【解析】因為在單調(diào)增，所以，即，因為在單調(diào)減，所以，即綜上，.故答案為：.14．若正實數(shù)a、b、c均不為1，滿足，且，則的值為.【答案】1【解析】由題意，正實數(shù)a、b、c均不為1，設(shè)，則，，，即，，，由，得，即，即.故答案為：1.15．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒有，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.【答案】【解析】根據(jù)題意，由指數(shù)函數(shù)可知，當(dāng)時，，又在區(qū)間內(nèi)恒有，所以可得；易知函數(shù)對于恒成立，所以函數(shù)的定義域為，且函數(shù)在上單調(diào)遞減；又，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故答案為：16．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有個不同根，則整數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】作出函數(shù)的圖象如圖：關(guān)于x的方程有6個不同根，令，，即方程有2個不同的解，可能一個在上，一個在上，也可能兩個都在上.令，若在上和上各有一個不同的零點，所以，解得，若在有兩個不同的零點，所以，該不等式組無解，綜上，∴.故答案為：

.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（10分）求值：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.18．（12分）推行垃圾分類以來，某環(huán)保公司新上一種把?余垃圾加工處理為可重新利用的化工產(chǎn)品的項目.設(shè)該公司每日處理廚余垃圾的成本為（元），日處理量為（噸），經(jīng)測算，當(dāng)時，；當(dāng)時，，且每處理一噸廚余垃圾，可得到價值100元的化工產(chǎn)品的收益.(1)當(dāng)日處理量為10噸時，該公司每日的純收益為多少？（純收益=總收益-成本）(2)該公司每日處理的廚余垃圾為多少噸時，獲得的日純收益最大？【解析】（1）當(dāng)時，代入中，故成本，故收益為（元）；（2）設(shè)日純收益為當(dāng)時，，所以當(dāng)時，日純收益最大，為1200元當(dāng)時，，當(dāng)時，的最大值為1288.，該公司每日處理的?余垃圾為24噸時，獲得的日純收益最大.19．（12分）已知函數(shù).(1)判定函數(shù)的奇偶性，并加以證明；(2)判定的單調(diào)性（不用證明），并求不等式的解集.【解析】（1）是奇函數(shù)，理由如下：由題意，解得，即的定義域關(guān)于原點對稱，且，即，所以是奇函數(shù).（2）由于，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在定義域上單調(diào)遞增，由（1）可知的定義域為，且是奇函數(shù)，所以，因為在定義域上單調(diào)遞增，所以有，解不等式組得，即，所以不等式的解集為.20．（12分）已知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足.(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；(2)求函數(shù)，的最小值.【解析】（1）定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，則，∵①，∴，即②，聯(lián)立①②解得:，在上單調(diào)遞增，證明如下:設(shè)，且，，，，，即，在單調(diào)遞增.（2），令，可知時單調(diào)遞增，則，，令，當(dāng)，即時，在時單調(diào)遞增，則；當(dāng)，即時，在時單調(diào)遞減，在時單調(diào)遞增，則；當(dāng)，即時，在時單調(diào)遞減，則；綜上，當(dāng)時，的最小值為0；當(dāng)時，的最小值為；當(dāng)時，的最小值為.21．（12分）已知函數(shù)（且）．(1)若函數(shù)為奇函數(shù)，求實數(shù)的值；(2)對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以對定義域內(nèi)每一個元素恒成立．即，則，即．又因為，所以，故．（2）因為，所以．由，得到，又，故只需要，即對任意恒成立．因為，所以，故對任意的恒成立．因為在為減函數(shù)，所以，故．綜上所述，．22．（12分）設(shè)函數(shù)是偶函數(shù)．(1)求k的值；(2)設(shè)函數(shù)，若不等式對任意的恒成立．求實數(shù)n的取值范圍；(3)設(shè)，當(dāng)m為何值時，關(guān)于x的方程有實根．【解析】（1）由函數(shù)是定義域在R上的偶函數(shù)，則對于，都有，即，即對于，都有，得．（2）結(jié)合（1）可得，則，令，由在R上單調(diào)遞增，在R上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，得，則不等式對任意的