第三講 數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用（解析版）

第3講數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾針對(duì)數(shù)形結(jié)合思想作了一首著名的詩(shī)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休?！睌?shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，達(dá)到“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，即通過(guò)抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題形象化。在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，如三角函數(shù)的定義域，值域，周期性，奇偶性，單調(diào)性，對(duì)稱性等都可以從三角函數(shù)的圖象上直觀的顯現(xiàn)出來(lái)，而利用三角函數(shù)的圖象又非常容易理解三角函數(shù)的這些性質(zhì)。因此，明確研究三角函數(shù)問(wèn)題都可用代數(shù)和幾何相結(jié)合的思想方法，即數(shù)形結(jié)合思想，來(lái)拓寬思維空間，提高解決問(wèn)題的能力。例如數(shù)形結(jié)合思想在含絕對(duì)值的三角函數(shù)、在三角函數(shù)已知零點(diǎn)或極值點(diǎn)求ω及在三角函數(shù)求交點(diǎn)個(gè)數(shù)（解的個(gè)數(shù)、交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和）、方程的根及零點(diǎn)個(gè)數(shù)（零點(diǎn)之和）中都有廣泛的重要應(yīng)用，而本文會(huì)重點(diǎn)就數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的幾類應(yīng)用展開(kāi)詳細(xì)講解?！緫?yīng)用一】數(shù)形結(jié)合思想在含絕對(duì)值的三角函數(shù)中的應(yīng)用我們?cè)趯W(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到給定（）的函數(shù)解析式，求周期、最值、單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心及判斷奇偶性，此時(shí)我們可以直接利用公式或整體思想計(jì)算而得。但有時(shí)也會(huì)遇到這樣一類題，給定的三角函數(shù)解析式中含有絕對(duì)值，例如：、、、等，此時(shí)仍然考查周期、最值、單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心及判斷奇偶性，那么我們?cè)撊绾吻蠼饽?？面?duì)這類題，如果我們能把對(duì)應(yīng)三角函數(shù)的圖象畫(huà)出來(lái)，借助數(shù)形結(jié)合思想則可求解上述問(wèn)題，例如下面這道例題：【例1】（2023春·山東·高三統(tǒng)考）已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．若，則D．函數(shù)的最小值為通過(guò)觀察及上述方法介紹的學(xué)習(xí)，本題用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)求解，那么我們應(yīng)該怎么去化簡(jiǎn)函數(shù)和畫(huà)出圖象呢？首先先分類討論去絕對(duì)值，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即，即可繪出函數(shù)圖像，如下所示：結(jié)合圖象即可得到答案【答案】A【分析】本題首先可以去絕對(duì)值，將函數(shù)變成分段函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)解析式繪出函數(shù)圖像，最后結(jié)合函數(shù)圖像即可得出答案.【詳解】由題意可得：，即可繪出函數(shù)圖像，如下所示：故對(duì)稱軸為，A正確；由圖像易知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；要使，則，由圖象可得或、或，故或或，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，最小值，D錯(cuò)誤，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查三角函數(shù)的對(duì)稱軸、三角函數(shù)的單調(diào)性以及三角函數(shù)的最值，考查分段函數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合思想，是難題.【思維提升】通過(guò)本題我們不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于給定、、、等函數(shù)解析式,可以先去掉絕對(duì)值，再畫(huà)出圖象，從而利用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)求解相關(guān)問(wèn)題，可通過(guò)學(xué)習(xí)這一道題會(huì)一類題的效果。未來(lái)我們也可以用同樣的方法來(lái)研究稍復(fù)雜型帶絕對(duì)值的同類題型求解。【變式1.1】（2022·湖南·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)，現(xiàn)有下述四個(gè)結(jié)論：①的最小正周期為；②曲線關(guān)于直線對(duì)稱；③在上單調(diào)遞增；④方程在上有4個(gè)不同的實(shí)根.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（

）A．②④ B．①③④ C．②③④ D．①②④【答案】D【分析】結(jié)合二倍角公式對(duì)函數(shù)進(jìn)行變形可得，作出在上的圖象，可知四個(gè)命題的正確性.【詳解】解：，作出在上的圖象（先作出的圖象，再利用平移變換和翻折變換得到的圖象），如圖所示，由圖可知①②④正確，③錯(cuò)誤.故所有正確結(jié)論的編號(hào)是①②④.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角公式，考查了分段函數(shù)的圖像的做法，考查了三角函數(shù)的圖像，考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合.本題的關(guān)鍵是對(duì)已知函數(shù)進(jìn)行整理變形后，畫(huà)出其函數(shù)的圖像.【變式1.2】（2022·安徽·高三模擬）（多選）已知函數(shù)，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的增區(qū)間為，B．的對(duì)稱軸為，C．，使得對(duì)恒成立D．，若，則，【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性，得出函數(shù)為偶函數(shù)且周期為周期函數(shù)，進(jìn)而只需要研究上圖象即可，先畫(huà)出函數(shù)在上圖象，利用性質(zhì)即可畫(huà)出函數(shù)在上圖象，結(jié)合圖象即可以判斷各選項(xiàng).【詳解】為偶函數(shù)，為函數(shù)的周期，因此只需要研究上圖象即可，當(dāng)時(shí)，，再根據(jù)偶函數(shù)和周期性得到，的圖象，如圖所示由圖可知：的增區(qū)間為，，故A正確；的對(duì)稱軸為，，故B正確；的最小正周期為，故C不正確；，，故D正確.故選:ABD.【變式1.3】（2023春·安徽合肥·高一合肥市第八中學(xué)?？计谥校ǘ噙x）已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最正周期為B．若，則C．在區(qū)間上是增函數(shù)D．的對(duì)稱軸是【答案】ABD【分析】把函數(shù)化成分段函數(shù)，作出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象判斷AC，由余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷C，再結(jié)合圖象利用函數(shù)對(duì)稱性的性質(zhì)判斷D.【詳解】依題意，，函數(shù)部分圖象如圖，

由圖象知函數(shù)是周期函數(shù)，周期為，故A正確；因且，則當(dāng)時(shí)，且，則且，，因此，，，B正確；觀察圖象知，在區(qū)間上不單調(diào)，所以在區(qū)間上不是增函數(shù)，故C不正確；觀察圖象知，，是函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸，且相距半個(gè)周期長(zhǎng)，事實(shí)上，即圖象關(guān)于對(duì)稱，同理有圖象關(guān)于對(duì)稱，而函數(shù)的周期是，所以函數(shù)圖象對(duì)稱軸，D正確.故選：ABD【應(yīng)用二】數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)已知零點(diǎn)或極值點(diǎn)求ω的應(yīng)用我們?cè)趯W(xué)習(xí)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)及三角恒等變換綜合時(shí)，會(huì)遇到這樣一類題，給出對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)的解析式，已知單調(diào)性、奇偶性或?qū)ΨQ性求ω的范圍，我們可以借助整體思想求解即可。但有時(shí)也會(huì)遇到這樣一類題，給定三角函數(shù)在確定區(qū)間內(nèi)有幾個(gè)零點(diǎn)或幾個(gè)極值點(diǎn)求ω的范圍，那么此時(shí)我們應(yīng)該如何求解呢？考慮到題干當(dāng)中已經(jīng)給出了確定的零點(diǎn)或極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果我們能畫(huà)出圖象，并且能夠直觀的從圖象中讀出零點(diǎn)或極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而確定區(qū)間范圍，再而可確定參數(shù)ω的范圍，則所求問(wèn)題可求解，那么問(wèn)題關(guān)鍵是我們能不能作出圖象？又該怎樣作出圖象呢？我們還是可以結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)借助五點(diǎn)作圖法來(lái)作圖，不妨先看下面這道例題：【例2】（2022秋·山西運(yùn)城·高三?？迹┮阎瘮?shù)，若在區(qū)間上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)和1個(gè)極大值點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．觀察本題，角度是統(tǒng)一的，但函數(shù)名及次數(shù)不統(tǒng)一，我們可以先用輔助角公式把函數(shù)名統(tǒng)一，即，此時(shí)我們可以換元作圖，令，由，則，則，，作圖如下：有4個(gè)零點(diǎn)和1個(gè)極大值點(diǎn)，即右端點(diǎn)即可求解【答案】D【分析】先利用輔助角公式得到，設(shè)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)和1個(gè)極大值點(diǎn)，再結(jié)合圖象進(jìn)行求解.【詳解】，令，由，則；因?yàn)樵趨^(qū)間上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)和1個(gè)極大值點(diǎn)，即在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)和1個(gè)極大值點(diǎn).作出的圖象（如圖所示），則，解得，故的取值范圍是.故選：D.【思維提升】通過(guò)本題我們不難發(fā)現(xiàn)，在三角函數(shù)已知零點(diǎn)或極值點(diǎn)求ω,往往可以數(shù)形結(jié)合思想來(lái)作圖求解，如較復(fù)雜型函數(shù)則可通過(guò)誘導(dǎo)公式或三角恒等變換公式,將其轉(zhuǎn)化為形如（）等形式，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)圖象與性質(zhì)可求解，可通過(guò)學(xué)習(xí)這一道題會(huì)一類題的效果。未來(lái)我們也可以用同樣的方法來(lái)研究三角函數(shù)中已知的其他綜合條件來(lái)求ω的綜合問(wèn)題?！咀兪?.1】（2022秋·北京·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)和三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，由已知可得，根據(jù)已知可得，應(yīng)使在上有兩個(gè)極值點(diǎn)、三個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象即可得到關(guān)于的不等式，求解即可得到的取值范圍.【詳解】令，因?yàn)?，所以，要使函?shù)在區(qū)間有兩個(gè)極值點(diǎn)、三個(gè)零點(diǎn)，只需函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)、三個(gè)零點(diǎn)即可.又因?yàn)榈臉O值點(diǎn)即為的最值點(diǎn)，即在對(duì)稱軸處取得極值.作出的圖象，，.根據(jù)函數(shù)圖象可知，需滿足，即，即，解得，所以的取值范圍是.故選：C.【變式2.2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間恰有3個(gè)零點(diǎn)，4個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出的范圍，然后結(jié)合函數(shù)圖象、零點(diǎn)個(gè)數(shù)和極值點(diǎn)個(gè)數(shù)可，進(jìn)而求出可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)恰好有3個(gè)零點(diǎn)，4個(gè)極值點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象可得：，解得，的取值范圍是.故選：A.【變式2.3】（2022·江蘇高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)在內(nèi)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用兩角和正弦公式和輔助角公式將函數(shù)整理為，由，得，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像求得的范圍，從而求得的范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，在有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)圖像可知，解得：故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，解答本題關(guān)鍵是先利用三角恒等變換公式將三角函數(shù)整理為形式，再利用數(shù)形結(jié)合思想求解，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合與計(jì)算能力，屬于中檔題.【應(yīng)用三】數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)求交點(diǎn)個(gè)數(shù)（解的個(gè)數(shù)、交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和）、方程的根及零點(diǎn)個(gè)數(shù)（零點(diǎn)之和）中的應(yīng)用我們?cè)趯W(xué)習(xí)函數(shù)的應(yīng)用時(shí)學(xué)習(xí)到函數(shù)零點(diǎn)的定義和函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用，我們知道求函數(shù)的零點(diǎn)可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程的根或圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。而在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)時(shí)，我們?nèi)匀粫?huì)遇到已知關(guān)于三角函數(shù)的解析式求交點(diǎn)個(gè)數(shù)（解的個(gè)數(shù)、交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和）、方程的根及零點(diǎn)個(gè)數(shù)（零點(diǎn)之和）的系列問(wèn)題。在學(xué)習(xí)函數(shù)應(yīng)用時(shí)我們也曾作出圖象求解，那么在三角函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題求解中，我們同意可以利用數(shù)形結(jié)合思想求解，例如下面3道例題：【例3.1】（2023春·高三練習(xí)）方程的解的個(gè)數(shù)是A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)本題不難，分別作出和的圖象，觀察圖象，即可得到交點(diǎn)個(gè)數(shù)【答案】D【分析】先在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)，的圖象，數(shù)形結(jié)合即可得圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即方程的根的個(gè)數(shù).【詳解】解：在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)，的圖象如圖：由圖可知函數(shù)，的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，即方程的解有3個(gè).故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了方程的根和函數(shù)的交點(diǎn)間的轉(zhuǎn)化，正弦函數(shù)、一次函數(shù)的圖象及畫(huà)法，考查了數(shù)形結(jié)合求交點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法，是基礎(chǔ)題.【例3.2】（2023秋·福建龍巖·高三統(tǒng)考）函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)之和為（

）A．6 B．8 C．12 D．16觀察本題，的系數(shù)里有，不能直接作出的圖象，那么我們?cè)撛鯓影褑?wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)換呢？結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的定義，我們可以轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)方程的根或?qū)?yīng)兩個(gè)圖象的交點(diǎn)，我們不妨先把函數(shù)化簡(jiǎn)，，令，即，于是我們可以轉(zhuǎn)換成兩圖象交點(diǎn)問(wèn)題，可以發(fā)現(xiàn)與均關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，作圖如下：結(jié)合圖象即可求得零點(diǎn)之和即交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和【答案】B【分析】根據(jù)題意整理可得，將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)問(wèn)題，利用圖象結(jié)合對(duì)稱性分析運(yùn)算.【詳解】由題意可得：，令，且，可得，∵與均關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，由圖可設(shè)與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)依次為，根據(jù)對(duì)稱性可得，故函數(shù)在上所有零點(diǎn)之和為.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法（1）直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，則方程解的個(gè)數(shù)即為零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）零點(diǎn)存在性定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在[a，b]上是連續(xù)的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)；（3）數(shù)形結(jié)合：對(duì)于給定的函數(shù)不能直接求解或畫(huà)出圖形，常會(huì)通過(guò)分解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有幾個(gè)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．【例3.3】（2022·北京·高三專題練習(xí)）若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．觀察本題，角度是統(tǒng)一的，但函數(shù)名及次數(shù)不統(tǒng)一，我們可以先用輔助角公式把函數(shù)名統(tǒng)一，即，此時(shí)我們可以換元作圖，原方程可等價(jià)于，于是我們可以畫(huà)出，如圖：結(jié)合圖象即可求得即的取值范圍【答案】D【分析】由題意結(jié)合三角恒等變換轉(zhuǎn)化條件為在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】由題意，所以在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，作出函數(shù)的圖象，如圖：由題意要使直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則，解得.所以k的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換與三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想與數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.【例3.4】（2023·高三練習(xí)）函數(shù)和的圖象在區(qū)間上交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為（

）A．6 B．4 C．8 D．12通過(guò)計(jì)算和類比思想，我們可以發(fā)現(xiàn)故是函數(shù)和的對(duì)稱中心，則本題直接可以作出與的圖象，如圖所示：結(jié)合圖象和對(duì)稱性即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和【答案】C【分析】由題意求得的最小正周期和對(duì)稱中心及的對(duì)稱中心，分別作出它們的圖像，得交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與特征，即可求交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.【詳解】解：，，令，則，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為，因?yàn)槭怯珊瘮?shù)向右平移2個(gè)單位得到的，所以關(guān)于對(duì)稱，故是函數(shù)和的對(duì)稱中心，畫(huà)出兩函數(shù)的圖像如圖所示：故兩函數(shù)有四個(gè)交點(diǎn)，設(shè)從左到右依次為，根據(jù)對(duì)稱性，則關(guān)于對(duì)稱，也關(guān)于對(duì)稱，所以，即函數(shù)和的圖象在區(qū)間上交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為8.故選：C.【思維提升】通過(guò)兩題我們不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于在三角函數(shù)求交點(diǎn)個(gè)數(shù)（解的個(gè)數(shù)、交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和）、方程的根及零點(diǎn)個(gè)數(shù)（零點(diǎn)之和）中的問(wèn)題中，我們都可以用數(shù)形結(jié)合的思想結(jié)合具體函數(shù)作出圖象。從而可直觀求解出對(duì)應(yīng)問(wèn)題，未來(lái)我們也可以用同樣的方法來(lái)研究較為復(fù)雜型的三角函數(shù)的性質(zhì)及零點(diǎn)、交點(diǎn)、方程的根的綜合問(wèn)題。【變式3.1】（2023春·江蘇南京·高一南京市第二十九中學(xué)?？计谀┰O(shè)常數(shù)使方程在區(qū)間上恰有五個(gè)解，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，作出函數(shù)在上的圖像，判斷方程在區(qū)間上恰有五個(gè)解的條件，解方程.【詳解】作出函數(shù)在上的圖像:由圖像可知，在區(qū)間上恰有五個(gè)解，只有時(shí)才能成立，由，解得：，，，，，故選：C【變式3.2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由且有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，可知與有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象并列不等式，即可求出的范圍【詳解】∵∴，則由于關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，結(jié)合如下圖示

∴故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)三角函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍【變式3.3】（2022春·江西贛州·高一贛州市贛縣第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若方程在內(nèi)有解，則a的取值范圍是.【答案】【分析】由題得，令，，再利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.【詳解】解：由題得，令，，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，由二次函數(shù)的圖象得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：【變式3.4】（2022秋·江蘇·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，有三個(gè)不同的零點(diǎn)、、，且，則的值為（

）A． B．C． D．不能確定【答案】A【分析】作出函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象以及函數(shù)的圖象，利用對(duì)稱性可求得的值.【詳解】畫(huà)出函數(shù)在內(nèi)的圖象以及的圖象如下圖所示，令，，則，可得或，解得或，令，可得，解得.由圖象可知點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，故，，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦型函數(shù)的零點(diǎn)求零點(diǎn)之和，考查了正弦型函數(shù)圖象對(duì)稱性的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.【變式3.5】（2022春·河南安陽(yáng)·高一林州一中校考階段練習(xí)）函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】轉(zhuǎn)化條件得在上有兩個(gè)零點(diǎn)，令，，畫(huà)出的圖象后數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】令，得．因?yàn)椋?，，因?yàn)楹瘮?shù)在有2個(gè)零點(diǎn)，所以直線和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．作出的圖象，如圖，數(shù)形結(jié)合可知，．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.【變式3.6】（2020秋·浙江溫州·高一溫州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，，，，，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知可得有5個(gè)根，作出的圖像，利用正弦型函數(shù)圖像的對(duì)稱性，找出間的關(guān)系，即可求得結(jié)果.【詳解】由函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，知有5個(gè)根，由五點(diǎn)法作圖，02πx0100如圖，可知過(guò)點(diǎn)，，，又則，，，故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解【變式3.7】（2022秋·四川廣安·高三四川省岳池縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且三個(gè)根從小到大依次成等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)以及余弦函數(shù)的對(duì)稱性列式求得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)方程的三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根從小到大依次為，，則，解得，所以.故選：A.【變式3.8】（2022秋·浙江杭州·高一杭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┮阎P(guān)于的方程在區(qū)間上存在兩個(gè)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】令，問(wèn)題等價(jià)于直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合思想即可得解.【詳解】由，可得，，令，問(wèn)題等價(jià)于直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：由圖象可知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用三角方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)，一般轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)求解，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.【變式3.9】（2023·福建·高三福建高三?？迹┖瘮?shù)，，滿足，若，在有兩個(gè)實(shí)根，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由對(duì)稱性求得的解析式，方法1：換元后畫(huà)圖研究交點(diǎn)個(gè)數(shù)可得m的范圍；方法2：直接畫(huà)的圖象研究交點(diǎn)個(gè)數(shù)可得m的范圍.【詳解】∵，∴關(guān)于對(duì)稱，∴，，解得：，，又∵，∴，∴方法1：，，即：，，設(shè)，則在有兩個(gè)實(shí)根，即：在有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，當(dāng)時(shí)，，∴，即：，故選：A.方法2：∵在有兩個(gè)實(shí)根，∴在有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，當(dāng)時(shí)，∴，即：即：，故選：A.【變式3.10】（2022·貴州貴陽(yáng)·高三統(tǒng)考）已知函數(shù)，若直線與的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．（-2，2） B．（-1，2） C．（1，2） D．（0，2）【答案】C【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為,做出函數(shù)的圖象,數(shù)形結(jié)合可得的取值范圍.【詳解】因?yàn)?所以.由,做出的圖象如圖所示:直線與的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn),只需滿足有兩個(gè)解.即即可.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦函數(shù)的最大值和單調(diào)性,函數(shù)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的圖象特征,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.【變式3.11】（2022·廣東中山·高三校考階段練習(xí)）函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題及函數(shù)性質(zhì)可知，兩個(gè)函數(shù)的圖象均關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，分別作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，由函數(shù)的對(duì)稱性性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象均關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，作圖如下：所以由圖可知，兩個(gè)函數(shù)在上共有個(gè)交點(diǎn)，且兩兩關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則，個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的對(duì)稱性，考查數(shù)形結(jié)合思想,且其關(guān)鍵點(diǎn)是能正確作圖，屬于中檔題.【變式3.12】（2022春·安徽安慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)與的圖像有個(gè)交點(diǎn)，其坐標(biāo)依次為，，，，則（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】A【分析】由已知函數(shù)解析式可知兩個(gè)函數(shù)對(duì)稱中心均為為，在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象根據(jù)對(duì)稱性即可得到答案．【詳解】，兩個(gè)函數(shù)對(duì)稱中心均為為，在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖：由圖可知共有四個(gè)交點(diǎn)，且關(guān)于對(duì)稱，故．故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象，中心對(duì)稱圖形的特點(diǎn)，屬于中檔題．鞏固練習(xí)一、單選題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】畫(huà)出圖象，再利用圖象翻折得到觀察圖象可得周期.【詳解】由的圖象可知，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)型的圖像與性質(zhì).三角函數(shù)周期的求解公式法：或的最小正周期為，的最小正周期為2．（2022春·山西晉中·高一?？茧A段練習(xí)）關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：①是偶函數(shù)；②在上是減函數(shù)；③在上有三個(gè)零點(diǎn)；④的最小值是0.其中所有正確結(jié)論編號(hào)是（

）A．①②④ B．②③ C．①③ D．①④【答案】A【解析】作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象逐一核對(duì)四個(gè)命題得答案．【詳解】解：作出函數(shù)的圖象如圖，由圖可知，，故是偶函數(shù)，故①正確；在區(qū)間上單調(diào)遞減，故②正確；在上有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；的最小值是0.，故④正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，作出函數(shù)的圖象是關(guān)鍵，是中檔題．3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是①函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸的方程為；②函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)遞增；③函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為點(diǎn)；④函數(shù)的值域?yàn)?A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】A【分析】根據(jù)題意寫(xiě)出分段函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)圖象和性質(zhì)逐一進(jìn)行分析即可．【詳解】由題意可知，函數(shù)即，作出函數(shù)的圖象，如下圖所示：由圖象可知函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，故①正確；由圖象可知函數(shù)閉區(qū)間上單調(diào)遞增，故②正確的；當(dāng)時(shí)，，可知③錯(cuò)誤；由解析式和圖象可知，故④錯(cuò)誤的.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)與圖象，本題的關(guān)鍵是作出函數(shù)的圖象，屬于中檔題．4．（2022秋·福建·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】先分類討論去絕對(duì)值號(hào)，得出函數(shù)的解析式，然后畫(huà)出函數(shù)與的圖象進(jìn)行判斷.【詳解】，如圖所示，要使的圖象與直線有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則只需.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，較簡(jiǎn)單，畫(huà)出函數(shù)的圖象是關(guān)鍵.5．（2023·高三模擬）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．98 B．100 C．102 D．200【答案】B【解析】化簡(jiǎn)函數(shù)，令，轉(zhuǎn)化為方程，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和的圖象，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，令，即，即，在同一個(gè)坐標(biāo)系中分別作出和的圖象.結(jié)合指數(shù)函數(shù)和的圖象，可得一個(gè)周期內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)，即一個(gè)周期內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，所以所求交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(個(gè)).故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定，以及正弦函數(shù)和指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中結(jié)合指數(shù)函數(shù)和正弦函數(shù)的圖象，求得一個(gè)周期內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.6．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的零點(diǎn)為x軸上的所有整數(shù)，則函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【分析】先確定出，然后數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與軸交于所有的整數(shù)點(diǎn)，所以函數(shù)的最小正周期為2，則又，且，則，所以.解法一：作出函數(shù)，的大致圖象，根據(jù)圖象可以得到兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為11，故選：D.解法二：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，此時(shí)與的圖象無(wú)交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，與的圖象有交點(diǎn)，且交點(diǎn)個(gè)數(shù)為5，根據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)時(shí)，與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為5.與的圖象均經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則函數(shù)的圖象與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為11.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于根據(jù)已知條件求出.7．（2023·四川綿陽(yáng)·三臺(tái)中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù)的最小正周期為，若在上有兩個(gè)實(shí)根，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題設(shè)可得，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上與有兩個(gè)交點(diǎn)且交點(diǎn)橫坐標(biāo)之差，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合確定的取值范圍.【詳解】由題設(shè)，，則，即，又在上有兩個(gè)實(shí)根，，且，上，，則的圖象如下：

∴要使，則對(duì)應(yīng)，∴當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)且.故選：D8．（2022春·安徽滁州·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，，且，則的范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)問(wèn)題進(jìn)行研究.根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性質(zhì)得到,進(jìn)而得到，結(jié)合圖象和正弦函數(shù)的最大值，得到的取值范圍，進(jìn)而得到的取值范圍.【詳解】令，當(dāng)時(shí)，，的圖象如圖所示，由對(duì)稱性可知，∴,又∵，∴，,故，∴,故選：.9．（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有且只有三個(gè)零點(diǎn)，則屬于A． B． C． D．【答案】D【分析】有且僅有三個(gè)不同零點(diǎn)等價(jià)于與有且僅有三個(gè)不同交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合知當(dāng)與相切時(shí)，滿足題意，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，進(jìn)一步得到，所以，再求出的范圍即可得到答案.【詳解】由已知，有且僅有三個(gè)不同零點(diǎn)等價(jià)于方程有且僅有三個(gè)不同實(shí)根，等價(jià)于與有且僅有三個(gè)不同交點(diǎn)，如圖當(dāng)與相切時(shí)，滿足題意，因?yàn)?，所以，且，消a得由誘導(dǎo)公式，有，又，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求范圍問(wèn)題，涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道有一定難度的題.二、多選題10．（2023秋·湖南湘潭·高一湘潭縣一中?？计谀┮阎瘮?shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的值域?yàn)锽．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值C．的最小正周期是D．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，【答案】BD【分析】先對(duì)化簡(jiǎn)，然后作出的圖像如圖所示，利用函數(shù)的圖像逐個(gè)分析判斷即可【詳解】因?yàn)椋鞒龊瘮?shù)的圖象，如圖所示：所以，的值域?yàn)?，A錯(cuò)誤；函數(shù)的最小正周期是，C錯(cuò)誤；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，B正確；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，D正確.故選：BD.11．（2023春·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（