2023-2024學(xué)年廣東省深圳高二年級(jí)上冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年廣東省深圳高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.過點(diǎn)4(2,0),8(-1,石)的直線的傾斜角為()

A.30oB.60oC.120oD.150°

【正確答案】D

【分析】求出直線AB的斜率，再根據(jù)傾斜角的范圍結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值求解即得.

【詳解】經(jīng)過42,0),B(T,b)兩點(diǎn)的直線的斜率為L(zhǎng)=JL=-且，

-1-23

設(shè)該直線的傾斜角為α,則tanα=-且，又(T^a<180。，

3

所以a=150°.

故選：D

2.已知“=(—2,1,3),b=(—1,2,1),若。乂。-勸)，則實(shí)數(shù)4的值為()

A.-2B.--C.—D.2

35

【正確答案】D

【分析】由：乂〉〃)==。-$)=0,然后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.

【詳解】解：因?yàn)棣?(-2,l,3),?=(-1,2,1),

所以α—λb—(—2÷Λ,1—2Λ,3—4),

因?yàn)棣羅L(a-茄),

所以“?(α-/Ib)=0,gp-2(-2+Λ)+(l-22)+3(3-Λ)=0,解得2=2,

故選：D.

3.已知兩平行直線K*-y=O與4：2x-2y+〃=0的距離為應(yīng)，則實(shí)數(shù)b的值是()

A.2√2B.4

C.+2√2D.±4

【正確答案】D

【分析】由題知4"-y+∣=0,再根據(jù)平行線間的距離公式計(jì)算即可.

【詳解】解：將直線4：2x-2y+b=0整理得4/-y+∣=0,

b

所以平行線間的距離公式得直線4：x-y=o與，2：x-y+V=。的距離為百

=&'

2頁(yè)

解得6=±4

故選：D

4.四面體CMBC中，OA="，OB=b，OC=C,點(diǎn)"在線段OC上，且。M=2MC,N為BA中

點(diǎn)，則MN為（）

12,121,1

A.一?！猙+-cB.——a+—b+—c

232322

Ir1y2r221

C.—a+—b——cD.-a+-br+-c

223332

【正確答案】C

【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算及空間向量基本定理，結(jié)合圖像即可得解.

【詳解】解：根據(jù)題意可得，

21/-?112

MN=Mo+ON=——OC+-?OA+OB?=-a+-b——c.

32、>223

故選：C.

5.經(jīng)過點(diǎn)（1,?1）且一個(gè)方向向量為（2,?3）的直線L的方程是（）

A.3x+2y-l=0B.3x+2y+l=0

C.Zr+3y+l=0D.x-2y-3=0

【正確答案】A

【分析】根據(jù)直線的方向向量求出直線的斜率，結(jié)合點(diǎn)斜式即可得解.

【詳解】因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量為（2,-3）,所以直線的斜率為-又因?yàn)橹本€過點(diǎn)（1,?1）,由

點(diǎn)斜式可得直線的方程為3x+2y-1=0.

故選：A.

6.己知。=(2,3,—2),〃=(<2,1),C=(Io,3,4),若α"、C三個(gè)三向量共面，則實(shí)數(shù)幾等于()

A.-B.?C.-D.--

2222

【正確答案】D

【分析】根據(jù)向量共面，設(shè)a=xb+yc,由空間向量的坐標(biāo)線性運(yùn)算和向量相等，列出方程組，解之

可求得答案.

【詳解】解：因?yàn)棣?(2,3,-2),b=(?2,l),C=(IO,3,Q三個(gè)向量共面，所以設(shè)O=幼+",即

(2,3,-2)=x(-4,2,l)+y(10,3"),

3

2=-4x+10y4

所以＜3=2x+3y解得y=；

-2-x+λy

故選：D.

7.已知直線/：x-y+機(jī)=O與圓f+y2=4交于A,B兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且QVOB=O,則實(shí)

數(shù)旭為()

A.2B.2√2C.±2D.+2√2

【正確答案】C

【分析】由題意，ZAa5=90,故圓心(0,0)到直線/的距離d=比r,結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式即得解

2

【詳解】由題意，NAo8=90,由于圓半徑為r=2,

則圓心(0,0)到直線/的距離"

得同=2,/77=±2

故選：C

8.在正方體ABCo-A耳GA中，在正方形。。CC中有一動(dòng)點(diǎn)P,滿足Pnl，尸力，則直線產(chǎn)B與平

面。。CC所成角中最大角的正切值為()

A.1B.0C.墾?D.苴包

22

【正確答案】D

根據(jù)題意,可知P是平面OO1C1C內(nèi),以DDl為直徑的半圓上一點(diǎn).由ZBPC即為直線依與平面

GC所成的角可知當(dāng)PC取得最小值時(shí),PB與平面。RCC所成的角最大.而連接圓心E與C時(shí),

與半圓的交點(diǎn)為P,此時(shí)PC取得最小值.設(shè)出正方體的棱長(zhǎng),即可求得PC,進(jìn)而求得tan/BPC.

【詳解】正方體4BCQ-4BCA中,正方形。AGC內(nèi)的點(diǎn)尸滿足PQ?LPD

可知P是平面DRCC內(nèi),以O(shè)R為直徑的半圓上一點(diǎn),設(shè)圓心為E,如下圖所示：

當(dāng)直線依與平面ORGC所成最大角時(shí),點(diǎn)尸位于圓心E與C點(diǎn)連線上

此時(shí)PC取得最小值.

則NBPC即為直線PB與平面DDGC所成的角

設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2,則PC=EC-EP=?β-?,BC=2

所以tanNBPC=生=-7J-=必過

PC√5-l2

故選:D

本題考查了空間中動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題,直線與平面夾角的求法,對(duì)空間想象能力要求較高,屬于中檔題.

二、多選題

9.（多選）若直線過點(diǎn)（一3,4）,且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則該直線的一般式方程可能為（）

A.4x-3y=0B.4x+3y=0

C.x-y+1=OD.x+yT=O

【正確答案】BD

【分析】分情況討論，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)直線方程4x+3y=0;當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)：設(shè)直線方程為

x+V=α,代入點(diǎn)（-3,4）求出。的值即可得到直線方程.

【詳解】解：①當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)：直線方程為y=-；x,化為一般式為4x+3y=0,

②當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)：設(shè)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為“，則直線方程為χ+y=”,

又?直線過點(diǎn)（-3,4）,代入得-3+4=α,即α=l,

??.直線方程為：χ+y=ι,化為一般式為x+y-1=0,

綜上所求，直線的方程為4x+3y=0或x+y-l=0.

故選：BD.

10.已知兩條不同的直線“與兩個(gè)不重合的平面α,￡,∕uα,"iu.,則下列命題中不正確的是()

A.若/〃，小則必有α〃4B.若/L”，則必有ɑ,夕

C.若壯0,則必有ɑ,4D.若a_L￡,則必有m,a

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)線面、面面位置關(guān)系，逐一分析選項(xiàng)，即可得出答案.

【詳解】解：對(duì)于A：如圖所示：

設(shè)α∩夕=c,/〃c,,”〃c滿足條件，但是ɑ與夕不平行，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：假設(shè)α〃夕，Tu.,∣'∕∕l,l'Lm,則滿足條件，但是ɑ與萬不垂直，故B錯(cuò)誤：

對(duì)于C：若∕uα,I1β,根據(jù)線面垂直的判定定理可得a，.，故C正確；

對(duì)于D：設(shè)a∏0=c,若IHC,in"c,雖然Ctj_尸，但是可有機(jī)〃a,故D錯(cuò)誤，

故選：ABD.

11.將正方形ABCO沿對(duì)角線80折成直二面角A-80—C,貝IJ()

A.ACLBDB.ACD是等邊三角形

C.AB與平面BCQ所成的角為60。D.48與CO所成的角為90。

【正確答案】AB

【分析】A選項(xiàng)，作出輔助線，證明出線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直；

B選項(xiàng)，設(shè)出正方形邊長(zhǎng)為a,由直二面角的條件得到/4OC=90。，由勾股定理得到AC=a,從而

得到CC)=4)=AC,一AcD是等邊三角形，B正確；

C選項(xiàng)，證明線面垂直，得到A8與平面BCO所成角為ZABO,求出其度數(shù)即可；

D選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解異面直角的夾角.

【詳解】取3。的中點(diǎn)0,連接。C,0A,

因?yàn)锳B=Ar>,BC=DC,

所以O(shè)COA_L8。，

因?yàn)镺CCQ4=0,0C,OAu平面。AC,

所以8。_L平面AOC,

因?yàn)锳CU平面AOC,

所以BOJ_AC,A正確；

不妨設(shè)正方形邊長(zhǎng)為4,則CZ)=Az)=",

則AO=CO=—a,

2

因?yàn)槎娼茿—8￡>—C為直二面角，OCl_B3,O4，B。，

所以NAoC即為二面角A-比>-C的平面角，且ZAOC=90o,

由勾股定理得：AC=>jAO1+CO2=a'

故CD=AD=AC,Aa)是等邊三角形，B正確；

由AB選項(xiàng)可知：AOLOC,AO±BD,OCBD=O,OCmU平面BCD,

所以AoJ_平面BCD,

故AB與平面BC。所成角為NAB。，且NASO=45。，

故AB與平面BCO所成的角為45。，C錯(cuò)誤；

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，0A,0D,OC所在直線分別為X軸，)，軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=”,

(石\(五?(?(Ji、

則A-^-6f,0,0,B0,——β,0,C0,0,—6Z,Dθ,-?-ɑ,θ,

(B、

則A8=θ,-?-^,θ巴,。昨恪,

22

Co=(O,*a,θ)-(θ,θ,等4=(),?ɑ,-?ɑ,

(近夜W41近11

則ABeZ)=--a,--a,0?O,-a,--a=--a2≠O

22222

故AB與CZ)所成的角不為90。，D錯(cuò)誤.

故選：AB

12.過直線x+y=4(0<x<4)上一點(diǎn)P作圓。：/+V=4的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,8,直線AB

與X,y軸分別交于點(diǎn)〃，N,則()

A.點(diǎn)。恒在以線段A8為直徑的圓上B.四邊形B4O8面積的最小值為4

C.∣A卻的最小值為2√∑D.|。叫+|。M的最小值為4

【正確答案】BCD

【分析】對(duì)于A,由動(dòng)點(diǎn)及圓的性質(zhì)即可判斷；

對(duì)于以連接尸。，利用切線的性質(zhì)將四邊形的面積用IPol表示，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離公式求解;

對(duì)于C,由點(diǎn)A,5在以。P為直徑的圓上可求得直線A3的方程，進(jìn)而得到該直線過定點(diǎn)，最后數(shù)

形結(jié)合即可得解；

對(duì)于。，先由直線AB的方程得到點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，進(jìn)而得到IoMl+∣0M=∕+,最后利用基本不

等式即可求解.

【詳解】對(duì)于A,在四邊形叢03中，NAQS不一定是直角，故4錯(cuò)誤；

對(duì)于8,連接PO,由題易知RtB4gRtPBO,所以四邊形B4O8的面積

2

S=2×^?PA?-?OA?=2?PA?=2√∣PO∣-4,又IPoI的最小值為點(diǎn)。到直線x+y=4的距離，Bp2√2.所

以四邊形R4O8面積的最小值為25N=4,8正確;

22

設(shè)Pmb),則以線段OP為直徑的圓的方程是x(x-a)+y(y-6)=O,與圓。的方程x+y=4相減,

得以+勿=4,即直線AB的方程為改+Ay=4,又點(diǎn)尸在直線x+y=4上，所以.+8=4,則b=4-α,

代入直線AB的方程，得α(x—y)+4y—4=0,即α(x-y)+4y—4=0,令x=y,貝∣J4y-4=(),得X=1,

y=l,所以直線AB過定點(diǎn)C(U),所以∣OC∣=√L數(shù)形結(jié)合可知IABl的最小值為2/^=2&，

C正確；

在α+勿=4中，分別令y=0,X=O得到點(diǎn)Muo],N(O,J所以∣O叫+∣ON∣=：+',因?yàn)辄c(diǎn)

P(o,b)在直線x+y=4(0<xv4)上，所以α+0=4且0<αv4,0<fe<4,則

3+W=(α+3p?+']=2+2+色≥2+2、匠=4,當(dāng)且僅當(dāng)α=8=2時(shí)等號(hào)成立,所以IOMI+∣OM的

ab?ab)abNab

最小值為4,。正確.

故選：BCD.

結(jié)論點(diǎn)睛：與圓的切線有關(guān)的結(jié)論：

(1)過圓(x-α)2+(y-?)2=r2(r>0)上一點(diǎn)P(%兒)的切線方程為

(Xo-α)(x-α)+(%-A)(y-6)=r2；

(2)過圓C：(x-ɑ)2+(y-。)2=/(r>O)外一點(diǎn)尸(xo，兒)作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,

則切點(diǎn)弦AB所在直線的方程為(與-α)(x-α)+(%-b)(y-b)=r2.

三、填空題

13.已知點(diǎn)A(3,-2),β(-5,4),則以線段AB為直徑的圓的方程是.

【正確答案】(x+lf+(y-l)2=25

【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出圓心坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間距離公式求出圓的半徑即可得解.

【詳解】因點(diǎn)A(3,-2),β(-5,4),則線段A3的中點(diǎn)C(Tl),即所求圓的圓心為點(diǎn)C(T1),

22

圓的半徑r=?AC?=λ∕(3+l)+(-2-l)=5,

所以以線段AB為直徑的圓的方程是.(x+iy+(y-l)2=25

i?(x+l)2+(y-l)2=25

14.P為矩形ABC。所在平面外一點(diǎn)，P4_L平面ABCr>,若已知AB=3,AD=4,PA=I,則點(diǎn)P到

B。的距離為一.

H

【正確答案】y/2.6

【分析】方法一：過A作MLB。，交BD于E,連結(jié)PE,則可得PE是點(diǎn)P到BZ）的距離，然后求

解即可，方法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可

【詳解】方法一

矩形ABCD中，Ae=3,AD=4,BD=√9+16=5,

過A作AEJ_3D,交BD于E,連結(jié)PE,

P

/W0

BC

A4_L平面ABcD,BDu平面ABCO,

.-.PAYBD,

又AELBD,PAAE=A,

.?.8f>l.平面R4E,

,/PEU平面P4E,

.-.PEA.BD,即PE是點(diǎn)P到BO的距離，

-×AB×AD=-×BD×AE,AE="xAQ=乜

22BD5

.?.PE=JPA2+E2=Jl+等=y,

13

???點(diǎn)P到30的距離為

方法二

VPA_L平面ABCD,AB.A。U平面ABCD,

PAlAByPAlAD1

YABLAD

.*.PA?AS、AD三線兩兩垂直，

???以A為原點(diǎn)，AB,AD,A尸所在的直線分別為x∕,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

Z

P

:.P(O,O,1),B(3,O,O),O(O40),

.?.BP=(-3,0,1),BD=(-3,4,0),

.cos")=鬻組=T―4

\/BP∣BD√9+16?√9+l5√10'

15.在平面直角坐標(biāo)系XOy中，若圓/+丁=4和圓d+y2+4χ-4y+4=0關(guān)于直線/對(duì)稱，則直線

/的方程為.

【正確答案】x-y+2=0

【分析】直線/為兩個(gè)圓心的中垂線，分別求圓心，利用點(diǎn)斜式求解即可.

【詳解】若圓f+∕=4和圓d+∕+4x-4y+4=0關(guān)于直線/對(duì)稱，

則直線/為兩個(gè)圓心的中垂線，

/+>2=4的圓心為o∣(0,0),

V+y2+4χ-4y+4=0的圓心為Oz(-2,2).

QQ=-I,中點(diǎn)為(Tl)

可得直線/為y-i=χ+ι,整理得.χ-y+2=0

故答案為.χ-y+2=0

16.正四面體ABC。中，M.N分別為邊BC、AB的中點(diǎn)，則異面直線DW、CN所成角的余弦

值為.

【正確答案】?

6

【分析】根據(jù)點(diǎn)M，N分別為棱BC、AB的中點(diǎn)，根據(jù)向量的運(yùn)算得出。M=g(α+b-2c),

CN=^a-b,然后可設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2,從而進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算可求得QM?CN=并且根

據(jù)可得出IQMl=ICN卜白，然后便可求出CoSeM,CN)的值，從而可得出異面直線DM與CN所成角

的余弦值.

【詳解】M為棱BC的中點(diǎn)，設(shè)48=α,4C=力,4。=c,

:.DM=^DB+DC)=^AB-AD)+[AC-AD)^=^(a+b-2c).

又N為棱A3的中點(diǎn)，

.?.CN=CA+AN=-AC+-AB=-a-b.

22

又.4,6,c的兩兩夾角都為60°,并設(shè)M=M=H=2,

八一1(,c?(l八121121

.*.DM-CN=—kz+p-2c?-a-b?=-a——a`b1——b——α?c+0f?c

2、M2)4422

22

又QM=ICN卜叔

???sW卜瑞?T

異面直線DM與CN所成角的余弦值為，.

O

故答案為O

四、解答題

17.已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)44,一6),B(T,0),C(-l,4),求:

(I)AC邊上的高8。所在直線的方程；

(2)BC的垂直平分線EF所在直線的方程.

【正確答案】(I)X-2y+4=0；

(2)6x+8y-l=0.

【分析】（1）由斜率公式易知原C，由垂直關(guān)系可得直線8。的斜率心代入點(diǎn)斜式易得方程;

（2）根據(jù)klιc可得怎F,再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得線段BC的中點(diǎn)，可得方程.

【詳解】（1）由斜率公式易知3c=-2,直線BZ）的斜率怎。

又3。直線過點(diǎn)9-4,0）,代入點(diǎn)斜式得直線3。的方程為：x-2y+4=0.

（2）kBC=^,：.kEF=~.又線段BC的中點(diǎn)為（一"2）,

.?.EF所在直線的方程為y-2=-5（x+|）,

整理得所求的直線方程為：6x+8y-l=0.

18.如圖，在長(zhǎng)方體ABCO-A蜴CQ中，Afi=2,BC=CG=1,E是CD中點(diǎn).

（1）BG和。IE所成角的大小:

（2）證明.B∣E,AA

TT

【正確答案】（1）y;（2）證明見解析；

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出異面直線所成的角的大小;

（2）首先求出4E,A〃，利用空間向量法證明即可；

【詳解】解：(1)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則8(120),C1(0,2,1),D1(0,0,1),E(O,1,O),B1(1,2,1),

A(1,O,O),所以Be=(T,0,1),AE=(0,1,-1),設(shè)IG和烏E所成的角為凡則

COSe=FF_?=kF=7,因?yàn)镺G°'?，所以e=g,即BG和2E所成的角為￡；

∣BCl∣?∣D,E∣√2×√22L2」33

(2)由(1)可得4E=(-l,T,T),AD；=(-1,0,1),所以4皮9=(T)X(T)+0χ(τ)+iχ(τ)=0,

所以BE，AR

19.已知圓C過點(diǎn)A(O,1),8(2,1),且圓心C在直線x+y-1=0上.

⑴求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若直線/過點(diǎn)(2,2),被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2,求直線/的方程.

【正確答案】⑴(x—lj+y2=2;

⑵x=2或3x-4y+2=0.

【分析】(1)易知圓C的圓心在直線x=l上，結(jié)合圓心C在直線x+y-1=0上，可求圓心坐標(biāo)，根

據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出半徑即可得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)先考慮斜率不存在的情況，由題中條件，直接得直線方程x=2；再考慮斜率存在的情況，設(shè)/的

方程為y-2=Z(x-2),根據(jù)圓的弦長(zhǎng)的幾何表示，得到圓心到直線的距離，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公

式列出方程求解，即可得出斜率，求出對(duì)應(yīng)直線方程.

【詳解】(1)由圓C過點(diǎn)A(0,l),B(2,l),可得圓C的圓心在直線X=I上，

又圓心C在直線χ+y-1=0上，令X=I可得y=o,

所以圓C的圓心為(1,0),半徑為?/(o-I)2+(1-0)2=√2，

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X-I)=2.

(2)當(dāng)/斜率不存在時(shí)，/的方程為x=2,

易知此時(shí)被圓C截得的弦長(zhǎng)為2,符合題意，所以x=2;

當(dāng)/斜率存在時(shí)，設(shè)/的方程為y_2=Mx-2)=入一y+2-2%=0,

∣2-?∣

則d=

Jk2+1

又直線/被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2,所以2=2護(hù)彳=2√Ξ萬，則"=1，

∣2-?∣解得T，

所以

√?2+l

3

所以直線/的方程為y-2=z(x-2)n3x-4y+2=0.

綜上：/的方程為x=2或3x-4y+2=0.

20.如圖，正三棱柱ABC-ABC的所有棱長(zhǎng)都為2.

⑴求點(diǎn)B倒平面A∕C∣的距離.

(2)求平面AAtB與平面AQG夾角的余弦值.

【正確答案】(i)2^

(2)T

【分析】(1)取BC的中點(diǎn)。，BC的中點(diǎn)E,以。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面ABG

的一個(gè)法向量”=(G,-6,0)和84=(0,2,0),結(jié)合距離公式，即可求解；

(2)由(1)中的空間直角坐標(biāo)系，求得平面AAB的一個(gè)法向量,"=(6,0,1),結(jié)合平面AfG的一

個(gè)法向量為〃=(6,-6,0),利用向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】(1)解：如圖所示，取8C的中點(diǎn)。，BC的中點(diǎn)E,連接A3與OE,

因?yàn)槿庵鵄BC-AgG為正三棱柱，可得Ao上BC且平面ABCI平面BCG5，

所以AOL平面BCCg,

由矩形BCGg中，因?yàn)椤?E分別為BC,4G的中點(diǎn)，可得。ELBC

以。為原點(diǎn)，以D2,OE,D4所在的直線分別為X軸、y軸和Z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)檎庵鵄BC-ABIG的所有棱長(zhǎng)都為2,可得4力=6,

則B(l,0,0),A(0,2,6),B1(1,2,0),C1(-1,2,0),

所以BC1=(—2,2,0),即=(-l,2,√3),BB1=(0,2,0),

n-BA=-x+2v+GZ=0

設(shè)平面ABG的法向量為"=(χ,y,z),貝IJ71,

n-BC1=-2x+2γ=0

取工=百，可得y=百,z=-l,所以〃=(百,-百,-1),

I叫?/7∣∣-2Λ∕3∣25∕ΣT

則Bl到平面ΛlBC1的距離為d=L中==?.

H國(guó)7

(2)解：由(1)中的空間直角坐標(biāo)系，可得A(0,0,g),B(l,0,0),A(0,2,K),

可得加=(1,0,-6),9=(0,2,0),

m-AB—a—?/?e=0

設(shè)平面44田的法向量為m=①也c),則，

m?BC1=2Z?=0

取α=√L可得6=0,c=l,所以機(jī)=(6,0,1),

又由平面4明的一個(gè)法向量為〃=(6,-6,-1),

/?m`n25/7

可得8sM〃)=麗=O=了,

即平面ABG與平面AAIB的夾角的余弦值為正

7

AB=BC=2五,∕?=P8=PC=AC=4,。為AC的中點(diǎn).

P

(1)證明：Poi■平面ABC

⑵若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角M-限-C為30。，求PC與平面布用所成角的正弦值.

【正確答案】(I)證明見解析

⑵且

4

【分析】(1)根據(jù)平面幾何知識(shí)可證得PoJLO8,OPLAC,再由線面垂直的判定可得證；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用面面角、線面角的向量求解方法可求得答案.

【詳解】(1)以為AP=CP=AC=4,。為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)PJ_AC,且0P=2√L連接。B.

因?yàn)锳B=BC=也AC,所以一MC為等腰直角三角形，且。B_LAC,0B=1AC=2.

22

由OP?+OB2=PB2得PoLOB.

由OP_LOBQP1AC,OBnAC=0,03U平面ABC,ACu平面ABC,Po1平面ABC.

(2)如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB的方向?yàn)閄軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系。孫z,

由題意得。(0,0,0),5(2,0,0),4(0,-2,0),。(0,2,0),尸(0,0,2百)，.?.4「=(0,2,26).

取平面尸AC的一個(gè)法向量為OB=(2,0,0).設(shè)"(α,2-〃,O)(O<a≤2),貝IJAM=(α,4-α,0).設(shè)平面

PAM的法向量為"=(x,y,z).

由4P?"=0,AM?"=0,得，2"'+：力c可取〃=(6(α-4),√5”,-a),所以

0^+(4-Q)y=0