標準差與標準誤

標準差與標準誤一、本文概述本文旨在探討統(tǒng)計學中兩個重要的概念：標準差與標準誤。這兩個概念在數(shù)據(jù)分析、科學實驗、經(jīng)濟預測等領域具有廣泛的應用。標準差用于描述一組數(shù)據(jù)的離散程度，反映了數(shù)據(jù)的波動性和變化范圍。而標準誤則用于描述樣本均值與總體均值之間的差異，是評估樣本代表性的重要指標。本文將詳細解釋這兩個概念的定義、計算方法及其在實際應用中的意義，幫助讀者更好地理解和應用這兩個統(tǒng)計工具。我們還將通過實例分析，展示如何在實際問題中運用標準差與標準誤進行數(shù)據(jù)處理和結果解讀。二、標準差的概念及計算標準差，作為統(tǒng)計學中描述數(shù)據(jù)離散程度的重要參數(shù)，對于理解數(shù)據(jù)的分布特性具有關鍵作用。標準差，通常用希臘字母σ（sigma）或者英文縮寫SD表示，衡量的是一組數(shù)值與其平均數(shù)之間的離散程度。換句話說，標準差描述的是數(shù)據(jù)點相對于均值（即“中心”點）的波動大小。計算標準差需要遵循一定的步驟。需要確定數(shù)據(jù)集的平均數(shù)（即均值），這是所有數(shù)據(jù)點總和除以數(shù)據(jù)點的數(shù)量。接下來，對于數(shù)據(jù)集中的每個數(shù)據(jù)點，都需要計算其與均值的差異（即偏差）。這些偏差的平方和（即方差）除以數(shù)據(jù)點的數(shù)量，就得到了方差。將方差開平方根，就得到了標準差。數(shù)學公式表達為：標準差=sqrt[Σ(xi-μ)2/N]，其中xi表示數(shù)據(jù)集中的每一個數(shù)據(jù)點，μ表示數(shù)據(jù)集的平均數(shù)，N表示數(shù)據(jù)點的數(shù)量，Σ表示對所有數(shù)據(jù)點的偏差平方和進行求和，sqrt表示開平方根。在實際應用中，標準差常用于衡量一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性。標準差越小，表示數(shù)據(jù)點越集中，離散程度越低，數(shù)據(jù)穩(wěn)定性越高；標準差越大，表示數(shù)據(jù)點越分散，離散程度越高，數(shù)據(jù)穩(wěn)定性越低。因此，在數(shù)據(jù)分析、風險管理、預測模型等多個領域，標準差都是一個非常重要的統(tǒng)計指標。三、標準誤的概念及計算在統(tǒng)計學中，標準誤（StandardError）是一個重要的概念，它是用來衡量樣本統(tǒng)計量（如樣本均值）與總體參數(shù)（如總體均值）之間差異的一個指標。與標準差不同，標準誤描述的是樣本統(tǒng)計量的抽樣分布，而不是數(shù)據(jù)的離散程度。簡單來說，標準誤反映了樣本統(tǒng)計量在多次抽樣中可能的變化范圍。標準誤的計算通?；跇颖緲藴什詈蜆颖玖?。對于樣本均值的標準誤，其計算公式為：標準誤=總體標準差/根號下樣本量。這里需要注意的是，總體標準差通常是未知的，因此在實踐中常用樣本標準差作為替代。然而，當樣本量較小時，這種方法可能會導致標準誤的估計偏大。為了校正這種偏差，可以使用更復雜的公式，如貝塞爾修正公式，來計算標準誤。標準誤在許多統(tǒng)計應用中都有重要作用。例如，在置信區(qū)間的構建中，標準誤用于確定區(qū)間寬度；在假設檢驗中，標準誤則用于計算檢驗統(tǒng)計量的分布和臨界值。因此，理解標準誤的概念和計算方法對于正確應用統(tǒng)計學知識至關重要。通過本節(jié)的學習，我們了解了標準誤的定義和計算方法，并認識到它在統(tǒng)計推斷中的重要作用。這將有助于我們在后續(xù)的學習中更好地理解和應用相關統(tǒng)計概念和方法。四、標準差與標準誤的區(qū)別與聯(lián)系標準差與標準誤都是統(tǒng)計學中常用的兩個概念，它們用于描述數(shù)據(jù)的離散程度和估計總體參數(shù)的不確定性。盡管兩者在概念上有所關聯(lián)，但在實際應用和解釋上卻存在明顯的區(qū)別。定義與應用：標準差主要用于描述數(shù)據(jù)的離散程度，即數(shù)據(jù)點圍繞其均值的離散或分布情況。它反映了數(shù)據(jù)內(nèi)部的波動，不涉及對總體參數(shù)的估計。而標準誤則是用于描述樣本均值與總體均值之間的波動，它反映了樣本均值對總體均值的估計精度。計算公式：標準差的計算公式基于數(shù)據(jù)集的方差，即數(shù)據(jù)點與均值的差的平方的平均值。而標準誤的計算公式則基于樣本方差和樣本大小，它考慮了樣本大小對估計精度的影響。單位與解釋：標準差通常以原始數(shù)據(jù)的單位表示，如身高數(shù)據(jù)的標準差可能以厘米為單位。而標準誤則通常以抽樣分布的單位表示，如Z分數(shù)或t分數(shù)的單位。標準差越大，說明數(shù)據(jù)越離散；而標準誤越小，說明樣本均值越接近總體均值。盡管標準差與標準誤在定義、計算和解釋上存在差異，但它們之間也存在密切的聯(lián)系。當樣本量足夠大時，標準誤趨向于減少，而標準差則不受樣本大小的影響。在構建置信區(qū)間或進行假設檢驗時，標準誤是衡量估計精度的重要指標，而標準差則用于評估數(shù)據(jù)的離散程度。標準誤可以通過將標準差除以樣本量的平方根來計算，這體現(xiàn)了兩者在概念上的關聯(lián)。標準差與標準誤在統(tǒng)計學中各自承擔著不同的角色和功能。理解它們的區(qū)別與聯(lián)系有助于我們更準確地應用這兩個概念于實際的數(shù)據(jù)分析和推斷中。五、標準差與標準誤的應用標準差與標準誤在統(tǒng)計學和數(shù)據(jù)分析中扮演著至關重要的角色，它們的應用廣泛且深遠。理解并正確應用這兩個概念，能幫助我們更準確地解讀數(shù)據(jù)，更科學地進行預測和決策。標準差常用于衡量數(shù)據(jù)的離散程度。在科學研究、市場分析和風險評估等多個領域，研究者都需要對數(shù)據(jù)的波動性有清晰的認識。通過計算標準差，研究者可以了解到數(shù)據(jù)的分布情況，比如是否呈現(xiàn)正態(tài)分布，或者是否有異常值存在。這對于后續(xù)的數(shù)據(jù)處理和分析至關重要。標準誤在統(tǒng)計學中常常用于估計參數(shù)的精度。在科研實驗中，研究者常常需要通過樣本數(shù)據(jù)來推斷總體的情況。標準誤可以幫助我們了解樣本均值與總體均值之間的差距，從而判斷樣本的代表性。例如，在醫(yī)學研究中，通過計算不同樣本組的標準誤，研究者可以比較不同治療方法的療效差異，從而選擇更有效的治療方案。標準差與標準誤在預測模型中也發(fā)揮著重要作用。在建立預測模型時，我們需要對模型的預測精度進行評估。標準誤可以作為評估模型預測能力的重要指標之一。通過比較實際觀測值與模型預測值之間的標準誤，我們可以了解模型的預測精度，并對模型進行優(yōu)化和改進。標準差與標準誤在決策分析中也具有重要意義。在風險決策中，我們需要對可能的風險進行量化評估。標準差可以幫助我們了解風險的大小和波動范圍，而標準誤則可以幫助我們評估決策的準確性。通過綜合考慮這兩個因素，我們可以做出更加科學、合理的決策。標準差與標準誤在數(shù)據(jù)分析、科研實驗、預測模型和決策分析等多個領域都有廣泛的應用。正確理解和應用這兩個概念，可以幫助我們更好地理解和利用數(shù)據(jù)，提高決策的準確性和科學性。六、結論在統(tǒng)計學中，標準差與標準誤是兩個極其重要但經(jīng)常被誤解的概念。通過對這兩個概念的深入剖析，我們發(fā)現(xiàn)它們雖然在計算和含義上有所不同，但都扮演著各自重要的角色，對于數(shù)據(jù)分析與解讀有著不可替代的作用。標準差是衡量數(shù)據(jù)分布離散程度的重要指標，它揭示了數(shù)據(jù)的波動性或變異性。在實際應用中，標準差被廣泛用于風險管理、質(zhì)量控制、金融投資等多個領域，幫助決策者更好地理解數(shù)據(jù)的分布特征，從而做出更準確的決策。而標準誤則更多地與抽樣分布和統(tǒng)計推斷相關，它是衡量樣本均數(shù)抽樣誤差大小的指標。在統(tǒng)計推斷中，標準誤的應用尤為關鍵，它幫助我們估計樣本均數(shù)與總體均數(shù)之間的差異，進而判斷樣本是否具有代表性，以及總體參數(shù)的置信區(qū)間和假設檢驗等。因此，理解和正確運用標準差與標準誤，對于提升數(shù)據(jù)分析和統(tǒng)計推斷的能力至關重要。在未來的學習和工作中，我們應該更加注重這兩個概念的理解和應用，以便更好地利用數(shù)據(jù)來揭示事物的本質(zhì)和規(guī)律。我們也要注意區(qū)分它們的差異，避免在實際應用中出現(xiàn)混淆或誤用的情況。參考資料：在統(tǒng)計學中，我們經(jīng)常會遇到兩個概念：標準差和標準誤。這兩個術語雖然相似，但實際上代表了兩種不同的概念，具有不同的用途和含義。標準差（StandardDeviation）是一個用于衡量數(shù)據(jù)分散程度的統(tǒng)計量。具體來說，標準差是數(shù)據(jù)點到其平均值的距離的平均數(shù)的平方根。我們可以通過以下公式來計算標準差：其中，xi是每個數(shù)據(jù)點，μ是數(shù)據(jù)的平均值，N是數(shù)據(jù)點的數(shù)量。這個公式表示的是，我們把每個數(shù)據(jù)點與其平均值的差取平方，然后把所有的平方值加起來（即求和），最后除以數(shù)據(jù)點的數(shù)量N，并取平方根。標準差的主要用途是描述數(shù)據(jù)的分散程度，也就是數(shù)據(jù)的離散程度。標準差越大，表示數(shù)據(jù)的離散程度越高，數(shù)據(jù)點之間的差異越大。另一方面，標準誤（StandardError）是用于衡量樣本統(tǒng)計量精度的指標。具體來說，標準誤是樣本統(tǒng)計量（如樣本均值）的標準差。我們可以通過以下公式來計算標準誤：標準誤=sqrt[(1/(N-f))*Σ(xi-μ)^2]其中，xi是每個數(shù)據(jù)點，μ是數(shù)據(jù)的平均值，N是數(shù)據(jù)點的數(shù)量，f是樣本數(shù)量。這個公式表示的是，我們把每個數(shù)據(jù)點與其平均值的差取平方，然后把所有的平方值加起來（即求和），最后除以數(shù)據(jù)點的數(shù)量N減去樣本數(shù)量f（即總數(shù)據(jù)點數(shù)量減去樣本數(shù)量），并取平方根。標準誤的主要用途是描述樣本統(tǒng)計量的精度。標準誤越小，表示樣本統(tǒng)計量越精確，樣本統(tǒng)計量對總體情況的代表性越高。標準差和標準誤都是重要的統(tǒng)計學概念，它們分別用于描述數(shù)據(jù)的分散程度和樣本統(tǒng)計量的精度。正確理解和使用這兩個概念，對于我們理解和解釋數(shù)據(jù)，以及制定有效的統(tǒng)計分析計劃至關重要。標準差（StandardDeviation），數(shù)學術語，是離均差平方的算術平均數(shù)（即：方差）的算術平方根，用σ表示。標準差也被稱為標準偏差，或者實驗標準差，在概率統(tǒng)計中最常使用作為統(tǒng)計分布程度上的測量依據(jù)。標準差是方差的算術平方根。標準差能反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的兩組數(shù)據(jù)，標準差未必相同。在實驗中單次測量總是難免會產(chǎn)生誤差，為此我們經(jīng)常測量多次，然后用測量值的平均值表示測量的量，并用誤差條來表征數(shù)據(jù)的分布，其中誤差條的高度為±標準誤差。這里即標準差。標準差（StandardDeviation），在概率統(tǒng)計中最常使用作為統(tǒng)計分布程度（statisticaldispersion）上的測量。標準差定義是總體各單位標準值與其平均數(shù)離差平方的算術平均數(shù)的平方根。它反映組內(nèi)個體間的離散程度。測量到分布程度的結果，原則上具有兩種性質(zhì)：為非負數(shù)值，與測量資料具有相同單位。一個總量的標準差或一個隨機變量的標準差，及一個子集合樣品數(shù)的標準差之間，有所差別。簡單來說，標準差是一組數(shù)據(jù)平均值分散程度的一種度量。一個較大的標準差，代表大部分數(shù)值和其平均值之間差異較大；一個較小的標準差，代表這些數(shù)值較接近平均值。例如，兩組數(shù)的集合{0,5,9,14}和{5,6,8,9}其平均值都是7，但第二個集合具有較小的標準差。標準差可以當作不確定性的一種測量。例如在物理科學中，做重復性測量時，測量數(shù)值集合的標準差代表這些測量的精確度。當要決定測量值是否符合預測值，測量值的標準差占有決定性重要角色：如果測量平均值與預測值相差太遠（同時與標準差數(shù)值做比較），則認為測量值與預測值互相矛盾。這很容易理解，因為如果測量值都落在一定數(shù)值范圍之外，可以合理推論預測值是否正確。標準差應用于投資上，可作為量度回報穩(wěn)定性的指標。標準差數(shù)值越大，代表回報遠離過去平均數(shù)值，回報較不穩(wěn)定故風險越高。相反，標準差數(shù)值越小，代表回報較為穩(wěn)定，風險亦較小。例如，A、B兩組各有6位學生參加同一次語文測驗，A組的分數(shù)為45，B組的分數(shù)為67。這兩組的平均數(shù)都是70，但A組的標準差約為08分，B組的標準差約為16分，說明A組學生之間的差距要比B組學生之間的差距大得多。如是總體（即估算總體方差），根號內(nèi)除以n（對應excel函數(shù)：STDEV.P）；如是抽樣（即估算樣本方差），根號內(nèi)除以（n-1）（對應excel函數(shù)：STDEV.S）；所有數(shù)減去其平均值的平方和，所得結果除以該組數(shù)之個數(shù)（或個數(shù)減一，即變異數(shù)），再把所得值開根號，所得之數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的標準差。深藍區(qū)域是距平均值一個標準差之內(nèi)的數(shù)值范圍。在正態(tài)分布中，此范圍所占比率為全部數(shù)值（即1）之2%。對于正態(tài)分布，兩個標準差之內(nèi)（深藍，藍）的比率合起來為4%。對于正態(tài)分布，正負三個標準差之內(nèi)（深藍，藍，淺藍）的比率合起來為6%。由于標準差的這個性質(zhì)，得出了三西格瑪準則（three-sigmaguideline）。標準差是反映一組數(shù)據(jù)離散程度最常用的一種量化形式，是表示精確度的重要指標。說起標準差首先得搞清楚它出現(xiàn)的目的。我們使用方法去檢測它，但檢測方法總是有誤差的，所以檢測值并不是其真實值。檢測值與真實值之間的差距就是評價檢測方法最有決定性的指標。但是真實值是多少，不得而知。因此怎樣量化檢測方法的準確性就成了難題。這也是臨床工作質(zhì)控的目的：保證每批實驗結果的準確可靠。雖然樣本的真實值是不可能知道的，但是每個樣本總是會有一個真實值的，不管它究竟是多少?？梢韵胂螅粋€好的檢測方法，其檢測值應該很緊密的分散在真實值周圍。如果不緊密，與真實值的距離就會大，準確性當然也就不好了，不可能想象離散度大的方法，會測出準確的結果。因此，離散度是評價方法的好壞的最重要也是最基本的指標。最直接也是最簡單的方法，即最大值?最小值（也就是極差）來評價一組數(shù)據(jù)的離散度。這一方法在日常生活中最為常見，比如比賽中去掉最高最低分就是極差的具體應用。由于誤差的不可控性，因此只由兩個數(shù)據(jù)來評判一組數(shù)據(jù)是不科學的。所以人們在要求更高的領域不使用極差來評判。其實，離散度就是數(shù)據(jù)偏離平均值的程度。因此將數(shù)據(jù)與均值之差（我們叫它離均差）加起來就能反映出一個準確的離散程度。和越大離散度也就越大。但是由于偶然誤差是成正態(tài)分布的，離均差有正有負，對于大樣本離均差的代數(shù)和為零的。為了避免正負問題，在數(shù)學上有兩種方法：一種是取絕對值，也就是常說的離均差絕對值之和。而為了避免符號問題，數(shù)學上最常用的是另一種方法－－平方，這樣就都成了非負數(shù)。因此，離均差的平方和成了評價離散度一個指標。由于離均差的平方和與樣本個數(shù)有關，只能反映相同樣本的離散度，而實際工作中做比較很難做到相同的樣本，因此為了消除樣本個數(shù)的影響，增加可比性，將離均差的平方和求平均值，這就是我們所說的方差成了評價離散度的較好指標。樣本量越大越能反映真實的情況，而算術平均值卻完全忽略了這個問題，對此統(tǒng)計學上早有考慮，在統(tǒng)計學中樣本的均差多是除以自由度（n-1），它的意思是樣本能自由選擇的程度。當選到只剩一個時，它不可能再有自由了，所以自由度是n-1。由于方差是數(shù)據(jù)的平方，與檢測值本身相差太大，人們難以直觀的衡量，所以常用方差開根號換算回來這就是我們要說的標準差。在統(tǒng)計學中樣本的均差多是除以自由度（n-1），它的意思是樣本能自由選擇的程度。當選到只剩一個時，它不可能再有自由了，所以自由度是n-1。標準差能很客觀準確的反映一組數(shù)據(jù)的離散程度，但是對于不同的項目，或同一項目不同的樣本，標準差就缺乏可比性了，因此對于方法學評價來說又引入了變異系數(shù)CV。一組數(shù)據(jù)的平均值及標準差常常同時做為參考的依據(jù)。在直覺上，如果數(shù)值的中心以平均值來考慮，則標準差為統(tǒng)計分布之一“自然”的測量。從幾何學的角度出發(fā)，標準差可以理解為一個從n維空間的一個點到一條直線的距離的函數(shù)。舉一個簡單的例子，一組數(shù)據(jù)中有3個值。它們可以在3維空間中確定一個點。想像一條通過原點的直線。如果這組數(shù)據(jù)中的3個值都相等，則點P就是直線L上的一個點，P到L的距離為0，所以標準差也為0。若這3個值不都相等，過點P作垂線PR垂直于L，PR交L于點R，則R的坐標為這3個值的平均數(shù)：運用一些代數(shù)知識，不難發(fā)現(xiàn)點P與點R之間的距離（也就是點P到直線L的距離）是|PR|。在n維空間中，這個規(guī)律同樣適用，把3換成n就可以了。標準差與標準誤差都是數(shù)理統(tǒng)計學的內(nèi)容，兩者不但在字面上比較相近，而且兩者都是表示距離某一個標準值或中間值的離散程度，即都表示變異程度，但是兩者是有著較大的區(qū)別的。首先要從統(tǒng)計抽樣的方面說起?，F(xiàn)實生活或者調(diào)查研究中，我們常常無法對某類欲進行調(diào)查的目標群體的所有成員都加以施測，而只能夠在所有成員（即樣本）中抽取一些成員出來進行調(diào)查，然后利用統(tǒng)計原理和方法對所得數(shù)據(jù)進行分析，分析出來的數(shù)據(jù)結果就是樣本的結果，然后用樣本結果推斷總體的情況。一個總體可以抽取出多個樣本，所抽取的樣本越多，其樣本均值就越接近總體數(shù)據(jù)的平均值。標準差表示的就是樣本數(shù)據(jù)的離散程度。標準差就是樣本平均數(shù)方差的開平方，標準差通常是相對于樣本數(shù)據(jù)的平均值而定的，通常用M±SD來表示，表示樣本某個數(shù)據(jù)觀察值相距平均值有多遠。從這里可以看到，標準差受到極值的影響。標準差越小，表明數(shù)據(jù)越聚集；標準差越大，表明數(shù)據(jù)越離散。標準差的大小因測驗而定，如果一個測驗是學術測驗，標準差大，表示學生分數(shù)的離散程度大，更能夠測量出學生的學業(yè)水平；如果一個測驗測量的是某種心理品質(zhì)，標準差小，表明所編寫的題目是同質(zhì)的，這時候的標準差小的更好。標準差與正態(tài)分布有密切聯(lián)系：在正態(tài)分布中，1個標準差等于正態(tài)分布下曲線的26%的面積，96個標準差等于95%的面積。這在測驗分數(shù)等值上有重要作用。標準誤差表示的是抽樣的誤差。因為從一個總體中可以抽取出無數(shù)多種樣本，每一個樣本的數(shù)據(jù)都是對總體的數(shù)據(jù)的估計。標準誤差代表的就是當前的樣本對總體數(shù)據(jù)的估計，標準誤差代表的就是樣本均數(shù)與總體均數(shù)的相對誤差。標準誤差是由樣本的標準差除以樣本容量的開平方來計算的。從這里可以看到，標準誤差更大的是受到樣本容量的影響。樣本容量越大，標準誤差越小，那么抽樣誤差就越小，就表明所抽取的樣本能夠較好地代表總體。一個正態(tài)分布的總體，抽取n個作為樣本，可以得到樣本平均值，用樣本均值估計總體均值需要考慮樣本均值的方差或標準差（也就是標準誤差）Excel中有STDEV.S、STDEV.P、STDEVA、STDEVPA四個函數(shù)，分別表示樣本標準差、總體標準差、包含邏輯值運算的樣本標準差、包含邏輯值運算的總體標準差（excel用的是“標準偏差”字樣）。在計算方法上的差異是：樣本標準差^2=樣本方差*（數(shù)據(jù)個數(shù)-1）；總體標準差^2=總體方差*數(shù)據(jù)個數(shù)。⑴stdev函數(shù)可以分解為（假設樣本數(shù)據(jù)為A1:E10這樣一個矩陣）：stdev(A1:E10)=sqrt(DEVSQ(A1:E10)/(COUNT(A1:E10)-1))⑵stdevp函數(shù)可以分解為（假設總體數(shù)據(jù)為A1:E10這樣一個矩陣）：stdevp(A1:E10)=sqrt(DEVSQ(A1：E10)/(COUNT(A1：E10)))標準差指統(tǒng)計上用于衡量一組數(shù)值中某一數(shù)值與其平均值差異程度的指標。標準差被用來評估價格可能的變化或波動程度。標準差越大，價格波動的范圍就越廣，股票等金融工具表現(xiàn)的波動就越大。在excel中調(diào)用函數(shù)“STDEV.S”估算樣本的標準偏差。標準偏差反映相對于平均值的離散程度。在投資基金上，一般人比較重視的是業(yè)績，但往往買進了近期業(yè)績表現(xiàn)最佳的基金之后，基金表現(xiàn)反而不如預期，這是因為所選基金波動度太大，沒有穩(wěn)定的表現(xiàn)。衡量基金波動程度的工具就是標準差。標準差是指基金可能的變動程度。標準差越大，基金未來凈值可能變動的程度就越大，穩(wěn)定度就越小，風險就越高。比方說，一年期標準差是30%的基金，表示這類基金的凈值在一年內(nèi)可能上漲30%，但也可能下跌30%。因此，如果有兩只收益率相同的基金，投資人應該選擇標準差較小的基金（承受較小的風險得到相同的收益），如果有兩只相同標準差的基金，則應該選擇收益較高的基金（承受相同的風險，但是收益更高）。建議投資人同時將收益和風險計入，以此來判斷基金。例如，A基金二年期的收益率為36%，標準差為18%；B基金二年期收益率為24%，標準差為8%，從數(shù)據(jù)上看，A基金的收益高于B基金，但同時風險也大于B基金。A基金的"每單位風險收益率"為2，而B基金為3。因此，原先僅僅以收益評價是A基金較優(yōu)，但是經(jīng)過標準差即風險因素調(diào)整后，B基金反而更為優(yōu)異。另外，標準差也可以用來判斷基金屬性。據(jù)晨星統(tǒng)計，股票基金的平均標準差為14，積極型基金的平均標準差為04；保守配置型基金的平均標準差為86；普通債券基金平均標準差為91；貨幣基金平均標準差則為19；由此可見，越是積極型的基金，標準差越大；而如果投資人持有的基金標準差高于平均值，則表示風險較高，投資人不妨在觀賞奧運比賽的同時，也檢視一下手中的基金。股票價格的波動是股票市場風險的表現(xiàn)，因此股票市場風險分析就是對股票市場價格波動進行分析。波動性代表了未來價格取值的不確定性，這種不確定性一般用方差或標準差來刻畫（Markowitz,1952）。下表是中國和美國部分時段的股票統(tǒng)計指標，其中中國證券市場的數(shù)據(jù)由“錢龍”軟件下載，美國證券市場的數(shù)據(jù)取自ECI的“WorldStockExchangeDataDisk”。上證綜指業(yè)績期望值≈（93-13+94+24+86-34-82）/7=6685714因為標準差是絕對值，不能通過標準差對中美直接進行對比，而變異系數(shù)可以直接比較。計算可得：變異系數(shù)C·V=標準偏差SD÷平均值MN×100%通過比較可以看出上證波動率變異系數(shù)要大于標準普爾波動率變異系數(shù)，說明長期來講中國股市穩(wěn)定性相對較差，還是一個不太成熟的股票市場。資本結構指的是企業(yè)各種資金來源的比例關系，是企業(yè)籌資活動的結果。最優(yōu)資本結構是指能使企業(yè)資本成本最低且企業(yè)價值最大的資本結構；產(chǎn)權比率，即借入資本與自有資本的構成比例，是反映企業(yè)資本結構的重要變量。企業(yè)的資產(chǎn)由債務性資金和權益性資金組成，但其風險等級和收益率各不相同。根據(jù)投資組合理論，投資的多樣化可以分散掉一定的風險，因此資金提供者需要決定投資于債務性資金和權益性資金的比例。以便在權衡風險和收益的情況下保證其利益的最大化。理論探索而外部資金提供者利益的最大化也就是企業(yè)價值的最大化，這一投資比例對于企業(yè)融資而言也就是企業(yè)的最優(yōu)資本結構比例。假定某企業(yè)的資金通過發(fā)行債券和股票兩種方式獲得，并且都屬于風險性資產(chǎn)。其中債券的收益率為，風險通過標準差來衡量；股票的收益率為，風險為；股票和債券的相關系數(shù)為，協(xié)方差為；債券所占的比重為，股票所占比重為（*）。根據(jù)投資組合理論，企業(yè)外部投資者對該企業(yè)投資所獲的期望收益率為，方差為那么究竟在什么比例下企業(yè)的價值才會達到最大呢？根據(jù)投資組合理論，當，且時，才能出現(xiàn)優(yōu)于?？梢姡瑳Q定企業(yè)資本結構的直接因素主要是不同籌資方式的收益率和風險以及它們之間的相關系數(shù)。標準差（StandardDeviation），數(shù)學術語，是離均差平方的算術平均數(shù)（即：方差）的算術平方根，用σ表示。標準差也被稱為標準偏差，或者實驗標準差，在概率統(tǒng)計中最常使用作為統(tǒng)計分布程度上的測量依據(jù)。標準差是方差的算術平方根。標準差能反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的兩組數(shù)據(jù)，標準差未必相同。在實驗中單次測量總是難免會產(chǎn)生誤差，為此我們經(jīng)常測量多次，然后用測量值的平均值表示測量的量，并用誤差條來表征數(shù)據(jù)的分布，其中誤差條的高度為±標準誤差。這里即標準差。標準差（StandardDeviation），在概率統(tǒng)計中最常使用作為統(tǒng)計分布程度（statisticaldispersion）上的測量。標準差定義是總體各單位標準值與其平均數(shù)離差平方的算術平均數(shù)的平方根。它反映組內(nèi)個體間的離散程度。測量到分布程度的結果，原則上具有兩種性質(zhì)：為非負數(shù)值，與測量資料具有相同單位。一個總量的標準差或一個隨機變量的標準差，及一個子集合樣品數(shù)的標準差之間，有所差別。簡單來說，標準差是一組數(shù)據(jù)平均值分散程度的一種度量。一個較大的標準差，代表大部分數(shù)值和其平均值之間差異較大；一個較小的標準差，代表這些數(shù)值較接近平均值。例如，兩組數(shù)的集合{0,5,9,14}和{5,6,8,9}其平均值都是7，但第二個集合具有較小的標準差。標準差可以當作不確定性的一種測量。例如在物理科學中，做重復性測量時，測量數(shù)值集合的標準差代表這些測量的精確度。當要決定測量值是否符合預測值，測量值的標準差占有決定性重要角色：如果測量平均值與預測值相差太遠（同時與標準差數(shù)值做比較），則認為測量值與預測值互相矛盾。這很容易理解，因為如果測量值都落在一定數(shù)值范圍之外，可以合理推論預測值是否正確。標準差應用于投資上，可作為量度回報穩(wěn)定性的指標。標準差數(shù)值越大，代表回報遠離過去平均數(shù)值，回報較不穩(wěn)定故風險越高。相反，標準差數(shù)值越小，代表回報較為穩(wěn)定，風險亦較小。例如，A、B兩組各有6位學生參加同一次語文測驗，A組的分數(shù)為45，B組的分數(shù)為67。這兩組的平均數(shù)都是70，但A組的標準差約為08分，B組的標準差約為16分，說明A組學生之間的差距要比B組學生之間的差距大得多。如是總體（即估算總體方差），根號內(nèi)除以n（對應excel函數(shù)：STDEV.P）；如是抽樣（即估算樣本方差），根號內(nèi)除以（n-1）（對應excel函數(shù)：STDEV.S）；所有數(shù)減去其平均值的平方和，所得結果除以該組數(shù)之個數(shù)（或個數(shù)減一，即變異數(shù)），再把所得值開根號，所得之數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的標準差。深藍區(qū)域是距平均值一個標準差之內(nèi)的數(shù)值范圍。在正態(tài)分布中，此范圍所占比率為全部數(shù)值（即1）之2%。對于正態(tài)分布，兩個標準差之內(nèi)（深藍，藍）的比率合起來為4%。對于正態(tài)分布，正負三個標準差之內(nèi)（深藍，藍，淺藍）的比率合起來為6%。由于標準差的這個性質(zhì)，得出了三西格瑪準則（three-sigmaguideline）。標準差是反映一組數(shù)據(jù)離散程度最常用的一種量化形式，是表示精確度的重要指標。說起標準差首先得搞清楚它出現(xiàn)的目的。我們使用方法去檢測它，但檢測方法總是有誤差的，所以檢測值并不是其真實值。檢測值與真實值之間的差距就是評價檢測方法最有決定性的指標。但是真實值是多少，不得而知。因此怎樣量化檢測方法的準確性就成了難題。這也是臨床工作質(zhì)控的目的：保證每批實驗結果的準確可靠。雖然樣本的真實值是不可能知道的，但是每個樣本總是會有一個真實值的，不管它究竟是多少?？梢韵胂?，一個好的檢測方法，其檢測值應該很緊密的分散在真實值周圍。如果不緊密，與真實值的距離就會大，準確性當然也就不好了，不可能想象離散度大的方法，會測出準確的結果。因此，離散度是評價方法的好壞的最重要也是最基本的指標。最直接也是最簡單的方法，即最大值?最小值（也就是極差）來評價一組數(shù)據(jù)的離散度。這一方法在日常生活中最為常見，比如比賽中去掉最高最低分就是極差的具體應用。由于誤差的不可控性，因此只由兩個數(shù)據(jù)來評判一組數(shù)據(jù)是不科學的。所以人們在要求更高的領域不使用極差來評判。其實，離散度就是數(shù)據(jù)偏離平均值的程度。因此將數(shù)據(jù)與均值之差（我們叫它離均差）加起來就能反映出一個準確的離散程度。和越大離散度也就越大。但是由于偶然誤差是成正態(tài)分布的，離均差有正有負，對于大樣本離均差的代數(shù)和為零的。為了避免正負問題，在數(shù)學上有兩種方法：一種是取絕對值，也就是常說的離均差絕對值之和。而為了避免符號問題，數(shù)學上最常用的是另一種方法－－平方，這樣就都成了非負數(shù)。因此，離均差的平方和成了評價離散度一個指標。由于離均差的平方和與樣本個數(shù)有關，只能反映相同樣本的離散度，而實際工作中做比較很難做到相同的樣本，因此為了消除樣本個數(shù)的影響，增加可比性，將離均差的平方和求平均值，這就是我們所說的方差成了評價離散度的較好指標。樣本量越大越能反映真實的情況，而算術平均值卻完全忽略了這個問題，對此統(tǒng)計學上早有考慮，在統(tǒng)計學中樣本的均差多是除以自由度（n-1），它的意思是樣本能自由選擇的程度。當選到只剩一個時，它不可能再有自由了，所以自由度是n-1。由于方差是數(shù)據(jù)的平方，與檢測值本身相差太大，人們難以直觀的衡量，所以常用方差開根號換算回來這就是我們要說的標準差。在統(tǒng)計學中樣本的均差多是除以自由度（n-1），它的意思是樣本能自由選擇的程度。當選到只剩一個時，它不可能再有自由了，所以自由度是n-1。標準差能很客觀準確的反映一組數(shù)據(jù)的離散程度，但是對于不同的項目，或同一項目不同的樣本，標準差就缺乏可比性了，因此對于方法學評價來說又引入了變異系數(shù)CV。一組數(shù)據(jù)的平均值及標準差常常同時做為參考的依據(jù)。在直覺上，如果數(shù)值的中心以平均值來考慮，則標準差為統(tǒng)計分布之一“自然”的測量。從幾何學的角度出發(fā)，標準差可以理解為一個從n維空間的一個點到一條直線的距離的函數(shù)。舉一個簡單的例子，一組數(shù)據(jù)中有3個值。它們可以在3維空間中確定一個點。想像一條通過原點的直線。如果這組數(shù)據(jù)中的3個值都相等，則點P就是直線L上的一個點，P到L的距離為0，所以標準差也為0。若這3個值不都相等，過點P作垂線PR垂直于L，PR交L于點R，則R的坐標為這3個值的平均數(shù)：運用一些代數(shù)知識，不難發(fā)現(xiàn)點P與點R之間的距離（也就是點P到直線L的距離）是|PR|。在n維空間中，這個規(guī)律同樣適用，把3換成n就可以了。標準差與標準誤差都是數(shù)理統(tǒng)計學的內(nèi)容，兩者不但在字面上比較相近，而且兩者都是表示距離某一個標準值或中間值的離散程度，即都表示變異程度，但是兩者是有著較大的區(qū)別的。首先要從統(tǒng)計抽樣的方面說起。現(xiàn)實生活或者調(diào)查研究中，我們常常無法對某類欲進行調(diào)查的目標群體的所有成員都加以施測，而只能夠在所有成員（即樣本）中抽取一些成員出來進行調(diào)查，然后利用統(tǒng)計原理和方法對所得數(shù)據(jù)進行分析，分析出來的數(shù)據(jù)結果就是樣本的結果，然后用樣本結果推斷總體的情況。一個總體可以抽取出多個樣本，所抽取的樣本越多，其樣本均值就越接近總體數(shù)據(jù)的平均值。標準差表示的就是樣本數(shù)據(jù)的離散程度。標準差就是樣本平均數(shù)方差的開平方，標準差通常是相對于樣本數(shù)據(jù)的平均值而定的，通常用M±SD來表示，表示樣本某個數(shù)據(jù)觀察值相距平均值有多遠。從這里可以看到，標準差受到極值的影響。標準差越小，表明數(shù)據(jù)越聚集；標準差越大，表明數(shù)據(jù)越離散。標準差的大小因測驗而定，如果一個測驗是學術測驗，標準差大，表示學生分數(shù)的離散程度大，更能夠測量出學生的學業(yè)水平；如果一個測驗測量的是某種心理品質(zhì)，標準差小，表明所編寫的題目是同質(zhì)的，這時候的標準差小的更好。標準差與正態(tài)分布有密切聯(lián)系：在正態(tài)分布中，1個標準差等于正態(tài)分布下曲線的26%的面積，96個標準差等于95%的面積。這在測驗分數(shù)等值上有重要作用。標準誤差表示的是抽樣的誤差。因為從一個總體中可以抽取出無數(shù)多種樣本，每一個樣本的數(shù)據(jù)都是對總體的數(shù)據(jù)的估計。標準誤差代表的就是當前的樣本對總體數(shù)據(jù)的估計，標準誤差代表的就是樣本均數(shù)與總體均數(shù)的相對誤差。標準誤差是由樣本的標準差除以樣本容量的開平方來計算的。從這里可以看到，標準誤差更大的是受到樣本容量的影響。樣本容量越大，標準誤差越小，那么抽樣誤差就越小，就表明所抽取的樣本能夠較好地代表總體。一個正態(tài)分布的總體，抽取n個作為樣本，可以得到樣本平均值，用樣本均值估計總體均值需要考慮樣本均值的方差或標準差（也就是標準誤差）Excel中有STDEV.S、STDEV.P、STDEVA、STDEVPA四個函數(shù)，分別表示樣本標準差、總體標準差、包含邏輯值運算的樣本標準差、包含邏輯值運算的總體標準差（excel用的是“標準偏差”字樣）。在計算方法上的差異是：樣本標準差^2=樣本方差*（數(shù)據(jù)個數(shù)-1）；總體標準差^2=總體方差*數(shù)據(jù)個數(shù)。⑴stdev函數(shù)可以分解為（假設樣本數(shù)據(jù)為A1:E10這樣一個矩陣）：stdev(A1:E10)=sqrt(DEVSQ(A1:E10)/(COUNT(A1:E10)-1))⑵stdevp函數(shù)可以分解為（假設總體數(shù)據(jù)為A1:E10這樣一個矩陣）：stdevp(A1:E10)=sqrt(DEVSQ(A1：E10)/(COUNT(A1：E10)))標準差指統(tǒng)計上用于衡量一組數(shù)值中某一數(shù)值與其平均值差異程度的指標。標準差被用來評估價格可能的變化或波動程度。標準差越大，價格波動的范圍就越廣，股票等金融工具表現(xiàn)的波動就越大。在excel中調(diào)用函數(shù)“STDEV.S”估算樣本的標準偏差。標準偏差反映相對于平均值的離散程度。在投資基金上，一般人比較重視的是業(yè)績，但往往買進了近期業(yè)績表現(xiàn)最佳的基金之后，基金表現(xiàn)反而不如預期，這是因為所選基金波動度太大，沒有穩(wěn)定的表現(xiàn)。衡量基金波動程度的工具就是標準差。標準差是指基金可能的變動程度。標準差越大，基金未來凈值可能變動的程度就越大，穩(wěn)定度就越小，風險就越高。比方說，一年期標準差是30%的基金，表示這類基金的凈值在一年內(nèi)可能上漲30%，但也可能下跌30%。因此，如果有兩只收益率相同的基金，投資人應該選擇標準差較小的基金（承受較小的風險得到相同的收益），如果有兩只相同標準差的基金，則應該選擇收益較高的基金（承受相同的風險，但是收益更高）。建議投資人同時將收益和風險計入，以此來判斷基金。例如，A基金二年期的收益率為36%，標準差為18%；B基金二年期收益率為24%，標準差為8%，從數(shù)據(jù)上看，A基金的收益高于B基金，但同時風險也大于B基金。A基金的"每單位風險收益率"為2，而B基金為3。因此，原先僅僅以收益評價是A基金較優(yōu)，但是經(jīng)過標準差即風險因素調(diào)整后，B基金反而更為優(yōu)異。另外，標準差也可以用來判斷基金屬性。據(jù)晨星統(tǒng)計，股票基金的平均標準差為14，積極型基金的平均標準差為04；保守配置型基金的平均標準差為86；普通債券基金平均標準差為91；貨幣基金平均標準差則為19；由此可見，越是積極型的基金，標準差越大；而如果投資人持有的基金標準差高于平均值，則表示風險較高，投資人不妨在觀賞奧運比賽的同時，也檢視一下手中的基金。股票價格的波動是股票市場風險的表現(xiàn)，因此股票市場風險分析就是對股票市場價格波動進行分析。波動性代表了未來價格取值的不確定性，這種不確定性一般用方差或標準差來刻畫（Markowitz,1952）。下表是中國和美國部分時段的股票統(tǒng)計指標，其中中國證券市場的數(shù)據(jù)